होने देना <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक प्रायिकता स्थान बनें। याद रखें कि a की [[सशर्त संभाव्यता|सशर्त प्रायिकता]] <math>A \in \mathcal A</math> दिया गया <math>B \in \mathcal A</math> परिभाषित किया जाता है
मान लीजिए <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक प्रायिकता समष्टि है।
याद रखें कि <math>A \in \mathcal A</math> दिए गए <math>B \in \mathcal A</math> की [[सशर्त संभाव्यता|सशर्त प्रायिकता]] को
:<math>
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\begin{align}
\begin{align}
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\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।{{math theorem|name = Chain rule| Let <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> be a probability space. Let <math>A_1, ..., A_n \in \mathcal A</math>. Then
के रूप में परिभाषित किया गया है।
तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।{{math theorem|name = श्रृंखला नियम| मान लीजिए <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक प्रायिकता समष्टि है। तब <math>A_1, ..., A_n \in \mathcal A</math>. तब
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
{{Math proof|The formula follows immediately by recursion
{{Math proof|सूत्र प्रत्यावर्तन द्वारा तुरंत अनुसरण करता है
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 85:
Line 87:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
where we used the definition of the conditional probability in the first step.}}
जहां हमने पहले चरण में सप्रतिबंधप्रायिकता की परिभाषा का उपयोग किया।}}
प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम[1] (जिसे सामान्य गुणनफल नियम भी कहा जाता है[2][3]) यह वर्णन करता है कि सशर्त प्रायिकताओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र न होते हुए भी, घटनाओं या क्रमशः यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत प्रसंभाव्यता प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में प्रायिकता वितरण का वर्णन करता है।
एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना कलश चुन रही है, अर्थात , कहाँ की पूरक घटना है। मान लीजिए कि घटना वह संभावना है जब हम एक सफेद गेंद चुनते हैं। सफ़ेद गेंद चुनने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है, जो है। प्रतिच्छेदन फिर पहले कलश और उसमें से एक सफेद गेंद को चुनने का वर्णन करता है। प्रायिकता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है,
निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ
उन घटनाओं के लिए जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा
उदाहरण 1
के लिए, अर्थात चार घटनाएं हैं, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा
उदाहरण 2
हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?
सबसे पहले, हम सेट करते हैं . जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं
माना कि और यादृच्छिक चर है। सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,
और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम को निर्धारित करते हैं और फिर हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं
उदाहरण
के लिए, अर्थात तीन यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,
यह भी देखें
[[स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)
|स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)
]]- जब एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना की संभावना प्रभावित नहीं होती
ग्रन्थसूची
René L. Schilling (2021), Measure, Integral, Probability & Processes - Probab(ilistical)ly the Theoretical Minimum (1 ed.), Technische Universität Dresden, Germany, ISBN979-8-5991-0488-9{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
William Feller (1968), An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. I (3 ed.), New York / London / Sydney: Wiley, ISBN978-0-471-25708-0