अंत (टोपोलॉजी): Difference between revisions

Revision as of 21:26, 13 July 2023

टोपोलॉजी में, गणित की शाखा, टोपोलॉजिकल स्पेस के सिरे मुख्य रूप से स्पेस की आदर्श सीमा के जुड़े घटक को टोपोलॉजी के माध्यम से प्रदर्शित करते हैं। प्रत्येक छोर किसी समतल के भीतर अनंत तक जाने के लिए टोपोलॉजिकल रूप से अलग तरीके का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक छोर पर बिंदु जोड़ने से मूल क्षेत्र का संकलन (गणित) प्राप्त होता है, जिसे एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन के रूप में जाना जाता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के अंत होने की धारणा किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी?

हैंस फ्रायडेन्थल (1931) द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

परिभाषा

मान लीजिए कि X टोपोलॉजिकल स्पेस है, और इस प्रकार उक्त समीकरण के अनुसार-

K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots

एक्स के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का आरोही क्रम है, जिसका आंतरिक (टोपोलॉजी) कवर (टोपोलॉजी) x है। फिर x के पास प्रत्येक अनुक्रम के लिए 'अंत' है

U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq U_{3}\supseteq \cdots ,

जहाँ प्रत्येक U_n X \ K_n का जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) है, जिसके सिरों की संख्या विशिष्ट अनुक्रम {K_i पर निर्भर नहीं करती} कॉम्पैक्ट समुच्चय के लिए ऐसे किन्हीं दो अनुक्रमों से जुड़े सिरों के समुच्चय के बीच प्राकृतिक परिवर्तन आक्षेप के समान होते है।

इस परिभाषा का उपयोग करते हुए इसके अंत होने के समीपस्थ {U_i} संवृत समुच्चय V के कारण प्राप्त होता हैं, इस प्रकार V⊇U_n कुछ इस प्रकार हैं कि इनमें से कुछ n के लिए ऐसे समीपस्थ 'एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन' में अनंत पर संबंधित बिंदु के समीपस्थ बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं, इस प्रकार यह कॉम्पेक्टिफिकेशन सदैव कॉम्पैक्ट नहीं होता है, इस प्रकार टोपोलॉजिकल स्पेस x को संयोजित करना होगा और क्षेत्रीय रूप से संयोजित करना आवश्यक होगा।

इस प्रकार ऊपर दिए गए सिरों की परिभाषा केवल रिक्त क्षेत्र X पर लागू होती है, जिसमें इस प्रकार हेमीकॉम्पैक्ट क्षेत्र द्वारा इसमें कमी हो जाती है, अर्थात इसे निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है, और X और समावेशन मानचित्रों के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) {K} पर विचार करते हैं। इसके संगत व्युत्क्रम प्रणाली है { $π$ ₀( X \ K ) } हैं, जहाँ $π$ ₀(Y) समतल Y के जुड़े घटकों के समुच्चय को दर्शाता है, और प्रत्येक समावेशन मानचित्र Y → Z फलन को प्रेरित करता है $π$ ₀(Y) → $π$ ₀(Z) के कारण हैं। इस प्रकार पुनः X के 'सिरों के समुच्चय' को इस व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस परिभाषा के अनुसार इसके सिरों को टोपोलॉजिकल रिक्त क्षेत्र की श्रेणी से ऑपरेटर की श्रेणी में रखा जाता है, जहाँ इस प्रकार यह संरचना केवल समुच्चय की श्रेणी के लिए उचित निरंतर मानचित्र हैं। स्पष्ट रूप से, यदि φ : X → Y उचित मानचित्र है और x = (x)_K)_K X का अंत है, अर्थात प्रत्येक तत्व x_K परिवार में X ∖ K का जुड़ा हुआ घटक है, और इस प्रकार इसके समावेशन से प्रेरित मानचित्रों के साथ संगत हैं, इसके आधार पर φ(x) समूह $\varphi _{*}(x_{\varphi ^{-1}(K')})$ है, जहाँ $K'$ Y और φ के सघन उपसमुच्चय पर आधारित है_, जिससे प्रेरित मानचित्र $\pi _{0}(X\smallsetminus \varphi ^{-1}(K'))$ को $\pi _{0}(Y\smallsetminus K')$ दर्शाता है, इस प्रकार φ की उचितता का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक φ⁻¹(K) X में संहत है।

उपरोक्त मूल परिभाषा उस विशेष स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है, जहाँ इस प्रकार कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की प्रत्यक्ष प्रणाली में सह-अंतिम अनुक्रम होता है।

उदाहरण

किसी भी संहत क्षेत्र के सिरों का समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है।
असली लाइन $\mathbb {R}$ दो सिरे हैं, उदाहरण के लिए यदि हम K_n विवृत अंतराल [−n, n] में इसे प्राप्त करते हैं, जो दोनों छोर पर संवृत समुच्चय U_n= (n, ∞) और वी_n= (−∞, −n) के अनुक्रम को प्रदर्शित करता हैं, इस प्रकार इन सिरों को सामान्यतः क्रमशः अनंत और ऋण अनंत के रूप में जाना जाता है।
यदि n > 1, तो यूक्लिडियन क्षेत्र $\mathbb {R} ^{n}$ केवल ही छोर है, यह $\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus K$ है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K के लिए केवल असीमित घटक होते हैं।
अधिकांशतः सामान्य रूप से यदि m सीमा के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, तो एम के इंटीरियर के सिरों की संख्या m की सीमा के जुड़े घटकों की संख्या के बराबर है।
मूल से निकलने वाली n विशिष्ट किरण (गणित) का संयोजन $\mathbb {R} ^{2}$ n सिरे पर होता हैं,
बाइनरी ट्री के प्रकारों में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कई सिरे होते हैं, जो इस प्रकार इसके मूलबिन्दु से प्रारंभ होकर अलग-अलग अवरोही पथों के अनुरूप होते हैं। इसे K_n द्वारा देखा जा सकता है, जिसकी गहराई का पूर्ण द्विआधारी वृक्ष n होता हैं, इन सिरों को अनंत वृक्ष की पत्तियों के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार अंत में संघनन में, सिरों के समुच्चय में कैंटर समुच्चय की टोपोलॉजी होती है।

ग्राफ़ और समूहों का अंत

अनंत ग्राफ ग्राफ सिद्धांत में, अंत को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया जाता है, इस ग्राफ में इसके आधे स्वरूप को अनंत पथों के समतुल्य वर्ग के रूप में या हेवन (ग्राफ सिद्धांत) के रूप में उपयोग किए जाने वाले फलन जो उनके पूरक के जुड़े घटकों के लिए कोने के परिमित समुच्चय को मैप करता है। चूंकि इस प्रकार इसके क्षेत्रीय रूप से परिमित ग्राफ़ के लिए ग्राफ़ जिसमें प्रत्येक शीर्ष की परिमित डिग्री होती है, जिसे ग्राफ़ सिद्धांत द्वारा उपयोग किया जाता हैं, इस प्रकार से परिभाषित सिरे ग्राफ़ से परिभाषित टोपोलॉजिकल रिक्त क्षेत्र के सिरों के साथ (डीस्टल & कुह्न 2003) मेल खाते हैं।

इस प्रकार अंतिम रूप से उत्पन्न समूह के सिरों से संबंधित केली ग्राफ के सिरों के रूप में परिभाषित किया गया है, यह परिभाषा जनरेटिंग समुच्चय की पसंद के प्रति असंवेदनशील है। इस प्रकार प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत समूह में या तो 1, 2, या असीम रूप से कई छोर होते हैं, और समूहों के सिरों के बारे में स्टालिंग्स प्रमेय से अधिक छोर वाले समूहों के लिए अपघटन प्रदान करता है।

सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का अंत

सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स से जुड़े पथ के लिए, सिरों को उचित मानचित्रों के समरूप वर्गों के रूप में चित्रित किया जा सकता है, इस प्रकार $\mathbb {R} ^{+}\to X$ , जिसे x में लाइन कहा जाता है: अधिकांशतः यदि प्रतिबंध के बीच - उपसमुच्चय तक $\mathbb {N}$ - इनमें से किन्हीं दो मानचित्रों में उचित समरूपता उपस्थिति रहती है, तो हम कह सकते हैं कि वे समतुल्य हैं और वे उचित किरणों के समतुल्य वर्ग को परिभाषित करते हैं। इस समुच्चय को X का एंड कहा जाता है।

संदर्भ

Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Graph-theoretical versus topological ends of graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 87 (1): 197–206, doi:10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888.
Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", Mathematische Zeitschrift, Springer Berlin / Heidelberg, 33: 692–713, doi:10.1007/BF01174375, ISSN 0025-5874, S2CID 120965216, Zbl 0002.05603
Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
Scott, Peter; Wall, Terry; Wall, C. T. C. (1979). "Topological methods in group theory". Homological Group Theory. pp. 137–204. doi:10.1017/CBO9781107325449.007. ISBN 9781107325449.

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-{{About|the notion in general topology|the construction in category theory|End (category theory)}}
+{{About|सामान्य टोपोलॉजी में धारणा|श्रेणी सिद्धांत में निर्माण|अंत (श्रेणी सिद्धांत)}}
-[[टोपोलॉजी]] में, गणित की शाखा, [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के सिरे, मोटे तौर पर कहें तो, स्पेस की आदर्श सीमा के जुड़े घटक (टोपोलॉजी) हैं। अर्थात्, प्रत्येक छोर अंतरिक्ष के भीतर अनंत तक जाने के लिए टोपोलॉजिकल रूप से अलग तरीके का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक छोर पर बिंदु जोड़ने से मूल स्थान का [[संकलन (गणित)]]गणित) प्राप्त होता है, जिसे एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन के रूप में जाना जाता है।
+[[टोपोलॉजी]] में, गणित की शाखा, [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के सिरे मुख्य रूप से स्पेस की आदर्श सीमा के जुड़े घटक को टोपोलॉजी के माध्यम से प्रदर्शित करते हैं। प्रत्येक छोर किसी समतल के भीतर अनंत तक जाने के लिए टोपोलॉजिकल रूप से अलग तरीके का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार प्रत्येक छोर पर बिंदु जोड़ने से मूल क्षेत्र का [[संकलन (गणित)]] प्राप्त होता है, जिसे एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन के रूप में जाना जाता है।
-टोपोलॉजिकल स्पेस के अंत की धारणा किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी? {{harvs|first=Hans|last=Freudenthal|authorlink=Hans Freudenthal|year=1931|txt}}.
+टोपोलॉजिकल स्पेस के अंत होने की धारणा किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी?
+{{harvs|first=हैंस|last=फ्रायडेन्थल|authorlink=हैंस फ्रायडेन्थल|year=1931|txt}} द्वारा प्रस्तुत की गई थी।
 ==परिभाषा==
-मान लीजिए कि X टोपोलॉजिकल स्पेस है, और मान लीजिए
+मान लीजिए कि X टोपोलॉजिकल स्पेस है, और इस प्रकार उक्त समीकरण के अनुसार-
 :<math>K_1 \subseteq K_2 \subseteq K_3 \subseteq \cdots</math>
-एक्स के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का आरोही क्रम है जिसका [[आंतरिक (टोपोलॉजी)]] [[कवर (टोपोलॉजी)]] एक्स है। फिर एक्स के पास प्रत्येक अनुक्रम के लिए 'अंत' है
+एक्स के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का आरोही क्रम है, जिसका [[आंतरिक (टोपोलॉजी)]] [[कवर (टोपोलॉजी)]] x है। फिर x के पास प्रत्येक अनुक्रम के लिए 'अंत' है
 :<math>U_1 \supseteq U_2 \supseteq U_3 \supseteq \cdots,</math>
-जहां प्रत्येक यू<sub>''n''</sub> X \ K का जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) है<sub>''n''</sub>. सिरों की संख्या विशिष्ट अनुक्रम {K पर निर्भर नहीं करती<sub>''i''</sub>}कॉम्पैक्ट सेट का; ऐसे किन्हीं दो अनुक्रमों से जुड़े सिरों के सेट के बीच [[प्राकृतिक परिवर्तन]] आक्षेप है।
+जहाँ प्रत्येक U<sub>''n''</sub> X \ K<sub>''n''</sub> का जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) है, जिसके सिरों की संख्या विशिष्ट अनुक्रम {K<sub>''i''</sub> पर निर्भर नहीं करती} कॉम्पैक्ट समुच्चय के लिए ऐसे किन्हीं दो अनुक्रमों से जुड़े सिरों के समुच्चय के बीच [[प्राकृतिक परिवर्तन]] आक्षेप के समान होते है।
-इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, अंत का पड़ोस {''U''<sub>''i''</sub>} खुला समुच्चय V इस प्रकार है कि V⊇U<sub>''n''</sub> कुछ एन के लिए ऐसे पड़ोस 'एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन' में अनंत पर संबंधित बिंदु के पड़ोस का प्रतिनिधित्व करते हैं (यह कॉम्पेक्टिफिकेशन हमेशा कॉम्पैक्ट नहीं होता है; टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को कनेक्ट करना होगा और स्थानीय रूप से कनेक्ट करना होगा)।
+इस परिभाषा का उपयोग करते हुए इसके अंत होने के समीपस्थ {''U''<sub>''i''</sub>} संवृत समुच्चय V के कारण प्राप्त होता हैं, इस प्रकार V⊇U<sub>''n''</sub> कुछ इस प्रकार हैं कि इनमें से कुछ n के लिए ऐसे समीपस्थ 'एंड कॉम्पेक्टिफिकेशन' में अनंत पर संबंधित बिंदु के समीपस्थ बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं, इस प्रकार यह कॉम्पेक्टिफिकेशन सदैव कॉम्पैक्ट नहीं होता है, इस प्रकार टोपोलॉजिकल स्पेस x को संयोजित करना होगा और क्षेत्रीय रूप से संयोजित करना आवश्यक होगा।
-ऊपर दी गई सिरों की परिभाषा केवल रिक्त स्थान X पर लागू होती है जिसमें [[हेमीकॉम्पैक्ट स्थान]] द्वारा थकावट होती है (अर्थात, हालाँकि, इसे निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है, और X और [[समावेशन मानचित्र]]ों के कॉम्पैक्ट सबसेट की [[प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित)]] {K} पर विचार करें। संगत व्युत्क्रम प्रणाली है {{{pi}}<sub>0</sub>( X \ K ) }, कहां {{pi}}<sub>0</sub>(Y) अंतरिक्ष Y के जुड़े घटकों के सेट को दर्शाता है, और प्रत्येक समावेशन मानचित्र Y → Z फ़ंक्शन को प्रेरित करता है {{pi}}<sub>0</sub>(वाई) →{{pi}}<sub>0</sub>(जेड). फिर X के 'सिरों के सेट' को इस व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है।
+इस प्रकार ऊपर दिए गए सिरों की परिभाषा केवल रिक्त क्षेत्र X पर लागू होती है, जिसमें इस प्रकार [[हेमीकॉम्पैक्ट स्थान|हेमीकॉम्पैक्ट क्षेत्र]] द्वारा इसमें कमी हो जाती है, अर्थात इसे निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है, और X और [[समावेशन मानचित्र|समावेशन मानचित्रों]] के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की [[प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित)]] {K} पर विचार करते हैं। इसके संगत व्युत्क्रम प्रणाली है {{{pi}}<sub>0</sub>( X \ K ) } हैं, जहाँ {{pi}}<sub>0</sub>(Y) समतल Y के जुड़े घटकों के समुच्चय को दर्शाता है, और प्रत्येक समावेशन मानचित्र Y → Z फलन को प्रेरित करता है {{pi}}<sub>0</sub>(Y) →{{pi}}<sub>0</sub>(Z) के कारण हैं। इस प्रकार पुनः X के 'सिरों के समुच्चय' को इस व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है।
-इस परिभाषा के तहत, सिरों [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी]] की श्रेणी से [[ऑपरेटर]] है, जहां आकारिकी केवल [[सेट की श्रेणी]] के लिए उचित निरंतर मानचित्र हैं। स्पष्ट रूप से, यदि φ : X → Y उचित मानचित्र है और x = (x)<sub>''K''</sub>)<sub>K</sub> X का अंत है (अर्थात प्रत्येक तत्व x<sub>''K''</sub> परिवार में X ∖ K का जुड़ा हुआ घटक है और वे समावेशन से प्रेरित मानचित्रों के साथ संगत हैं) तो φ(x) परिवार है <math>\varphi_*(x_{\varphi^{-1}(K')})</math> कहाँ <math>K'</math> Y और φ के सघन उपसमुच्चय पर आधारित है<sub>*</sub> से प्रेरित मानचित्र है <math>\pi_0(X \smallsetminus \varphi^{-1}(K'))</math> को <math>\pi_0(Y \smallsetminus K')</math>. φ की उचितता का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक φ<sup>−1</sup>(K) X में संहत है।
+इस परिभाषा के अनुसार इसके सिरों को [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी|टोपोलॉजिकल रिक्त क्षेत्र की श्रेणी]] से [[ऑपरेटर]] की श्रेणी में रखा जाता है, जहाँ इस प्रकार यह संरचना केवल [[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] के लिए उचित निरंतर मानचित्र हैं। स्पष्ट रूप से, यदि φ : X → Y उचित मानचित्र है और x = (x)<sub>''K''</sub>)<sub>K</sub> X का अंत है, अर्थात प्रत्येक तत्व x<sub>''K''</sub> परिवार में X ∖ K का जुड़ा हुआ घटक है, और इस प्रकार इसके समावेशन से प्रेरित मानचित्रों के साथ संगत हैं, इसके आधार पर φ(x) समूह <math>\varphi_*(x_{\varphi^{-1}(K')})</math> है, जहाँ <math>K'</math> Y और φ के सघन उपसमुच्चय पर आधारित है<sub>,</sub> जिससे प्रेरित मानचित्र <math>\pi_0(X \smallsetminus \varphi^{-1}(K'))</math> को <math>\pi_0(Y \smallsetminus K')</math> दर्शाता है, इस प्रकार  φ की उचितता का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक φ<sup>−1</sup>(K) X में संहत है।
-उपरोक्त मूल परिभाषा उस विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करती है जहां कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की प्रत्यक्ष प्रणाली में सह-अंतिम अनुक्रम होता है।
+उपरोक्त मूल परिभाषा उस विशेष स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है, जहाँ इस प्रकार कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय की प्रत्यक्ष प्रणाली में सह-अंतिम अनुक्रम होता है।
 ==उदाहरण==
-* किसी भी संहत स्थान के सिरों का समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है।
+* किसी भी संहत क्षेत्र के सिरों का समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है।
-*[[असली लाइन]] <math>\mathbb{R}</math> दो सिरे हैं. उदाहरण के लिए, यदि हम K<sub>''n''</sub> [[बंद अंतराल]] [−n, n] हो, तो दोनों छोर खुले सेट यू के अनुक्रम हैं<sub>''n''</sub>= (n, ∞) और वी<sub>''n''</sub>= (−∞, −n). इन सिरों को आमतौर पर क्रमशः अनंत और ऋण अनंत के रूप में जाना जाता है।
+*[[असली लाइन]] <math>\mathbb{R}</math> दो सिरे हैं, उदाहरण के लिए यदि हम K<sub>''n''</sub> [[बंद अंतराल|विवृत अंतराल]] [−n, n] में इसे प्राप्त करते हैं, जो दोनों छोर पर संवृत समुच्चय U<sub>''n''</sub>= (n, ∞) और वी<sub>''n''</sub>= (−∞, −n) के अनुक्रम को प्रदर्शित करता हैं, इस प्रकार इन सिरों को सामान्यतः क्रमशः अनंत और ऋण अनंत के रूप में जाना जाता है।
-* यदि n > 1, तो यूक्लिडियन स्थान <math>\mathbb{R}^n </math> केवल ही छोर है. यह है क्योंकि <math>\mathbb{R}^n \smallsetminus K</math> किसी भी कॉम्पैक्ट सेट K के लिए केवल असीमित घटक होता है।
+* यदि n > 1, तो यूक्लिडियन क्षेत्र <math>\mathbb{R}^n </math> केवल ही छोर है, यह <math>\mathbb{R}^n \smallsetminus K</math> है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K के लिए केवल असीमित घटक होते हैं।
-* अधिक आम तौर पर, यदि एम सीमा के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, तो एम के इंटीरियर के सिरों की संख्या एम की सीमा के जुड़े घटकों की संख्या के बराबर है।
+* अधिकांशतः सामान्य रूप से यदि m सीमा के साथ कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, तो एम के इंटीरियर के सिरों की संख्या m की सीमा के जुड़े घटकों की संख्या के बराबर है।
-* मूल से निकलने वाली एन विशिष्ट [[किरण (गणित)]] का मिलन <math>\mathbb{R}^2 </math> n सिरे हैं.
+* मूल से निकलने वाली n विशिष्ट [[किरण (गणित)]] का संयोजन <math>\mathbb{R}^2 </math> n सिरे पर होता हैं,
-* बाइनरी ट्री#बाइनरी ट्री के प्रकार में बेशुमार कई सिरे होते हैं, जो जड़ से शुरू होने वाले बेशुमार अलग-अलग अवरोही पथों के अनुरूप होते हैं। (इसे K देकर देखा जा सकता है<sub>''n''</sub> गहराई का पूर्ण द्विआधारी वृक्ष हो n.) इन सिरों को अनंत वृक्ष की पत्तियों के रूप में माना जा सकता है। अंत में संघनन में, सिरों के सेट में [[कैंटर सेट]] की टोपोलॉजी होती है।
+* बाइनरी ट्री के प्रकारों में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कई सिरे होते हैं, जो इस प्रकार इसके मूलबिन्दु से प्रारंभ होकर  अलग-अलग अवरोही पथों के अनुरूप होते हैं। इसे K<sub>''n''</sub> द्वारा देखा जा सकता है, जिसकी गहराई का पूर्ण द्विआधारी वृक्ष n होता हैं, इन सिरों को अनंत वृक्ष की पत्तियों के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार अंत में संघनन में, सिरों के समुच्चय में [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] की टोपोलॉजी होती है।
 ==ग्राफ़ और समूहों का अंत==
-{{main article|End (graph theory)}}
+{{main article|अंत (ग्राफ़ सिद्धांत)}}
-[[अनंत ग्राफ]] [[ग्राफ सिद्धांत]] में, अंत को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया जाता है, ग्राफ में अर्ध-अनंत पथों के समतुल्य वर्ग के रूप में, या [[हेवन (ग्राफ सिद्धांत)]] के रूप में, फ़ंक्शन जो उनके पूरक के जुड़े घटकों के लिए कोने के परिमित सेट को मैप करता है। हालाँकि, स्थानीय रूप से परिमित ग्राफ़ के लिए (ग्राफ़ जिसमें प्रत्येक शीर्ष की परिमित डिग्री होती है (ग्राफ़ सिद्धांत)), इस तरह से परिभाषित सिरे ग्राफ़ से परिभाषित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के सिरों के साथ एक-के-एक मेल खाते हैं {{harv|Diestel|Kühn|2003}}.
+[[अनंत ग्राफ]] [[ग्राफ सिद्धांत]] में, अंत को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया जाता है, इस ग्राफ में इसके आधे स्वरूप को अनंत पथों के समतुल्य वर्ग के रूप में या [[हेवन (ग्राफ सिद्धांत)]] के रूप में उपयोग किए जाने वाले फलन जो उनके पूरक के जुड़े घटकों के लिए कोने के परिमित समुच्चय को मैप करता है। चूंकि इस प्रकार इसके क्षेत्रीय रूप से परिमित ग्राफ़ के लिए ग्राफ़ जिसमें प्रत्येक शीर्ष की परिमित डिग्री होती है, जिसे ग्राफ़ सिद्धांत द्वारा उपयोग किया जाता हैं, इस प्रकार से परिभाषित सिरे ग्राफ़ से परिभाषित टोपोलॉजिकल रिक्त क्षेत्र के सिरों के साथ {{harv|डीस्टल|कुह्न|2003}} मेल खाते हैं।
-एक [[अंतिम रूप से उत्पन्न समूह]] के सिरों को संबंधित [[केली ग्राफ]] के सिरों के रूप में परिभाषित किया गया है; यह परिभाषा जनरेटिंग सेट की पसंद के प्रति असंवेदनशील है। प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत समूह में या तो 1, 2, या असीम रूप से कई छोर होते हैं, और [[समूहों के सिरों के बारे में स्टालिंग्स प्रमेय]] से अधिक छोर वाले समूहों के लिए अपघटन प्रदान करता है।
+इस प्रकार [[अंतिम रूप से उत्पन्न समूह]] के सिरों से संबंधित [[केली ग्राफ]] के सिरों के रूप में परिभाषित किया गया है, यह परिभाषा जनरेटिंग समुच्चय की पसंद के प्रति असंवेदनशील है। इस प्रकार प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न अनंत समूह में या तो 1, 2, या असीम रूप से कई छोर होते हैं, और [[समूहों के सिरों के बारे में स्टालिंग्स प्रमेय]] से अधिक छोर वाले समूहों के लिए अपघटन प्रदान करता है।
 ==सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स का अंत==
-[[सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स]] से जुड़े पथ के लिए, सिरों को [[उचित मानचित्र]]ों के समरूप वर्गों के रूप में चित्रित किया जा सकता है <math>\mathbb{R}^+\to X</math>, जिसे एक्स में लाइन (गणित) कहा जाता है: अधिक सटीक रूप से, यदि प्रतिबंध के बीच - सबसेट तक <math>\mathbb{N}</math>- इनमें से किन्हीं दो मानचित्रों में उचित समरूपता मौजूद है, हम कहते हैं कि वे समतुल्य हैं और वे उचित किरणों के समतुल्य वर्ग को परिभाषित करते हैं। इस सेट को ''X'' का अंत कहा जाता है।
+[[सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स]] से जुड़े पथ के लिए, सिरों को [[उचित मानचित्र|उचित मानचित्रों]] के समरूप वर्गों के रूप में चित्रित किया जा सकता है, इस प्रकार <math>\mathbb{R}^+\to X</math>, जिसे x में लाइन कहा जाता है: अधिकांशतः यदि प्रतिबंध के बीच - उपसमुच्चय तक <math>\mathbb{N}</math>- इनमें से किन्हीं दो मानचित्रों में उचित समरूपता उपस्थिति रहती है, तो हम कह सकते हैं कि वे समतुल्य हैं और वे उचित किरणों के समतुल्य वर्ग को परिभाषित करते हैं। इस समुच्चय को ''X'' का एंड कहा जाता है।
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