ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि

बीजगणितीय ज्यामिति में, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि एक ऐसा निर्माण है जो बीजगणितीय विविधता V (और अधिक सामान्यतः) पर बिंदु P पर स्पर्शरेखा समष्टि को परिभाषित करता है। यह प्रत्यक्षतः अमूर्त बीजगणित पर आधारित होने के कारण अंतर कलन का उपयोग नहीं करता है, और सबसे जटिल स्थितियों में मात्र रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सिद्धांत है।

प्रेरणा

इस प्रकार से उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित समतल वक्र C दिया गया है

F(X,Y) = 0

और P को मूल बिंदु (0,0) मानें। 1 से अधिक क्रम के पदों को मिटाने से

L(X,Y) = 0

पढ़ने वाला एक 'रैखिकीकृत' समीकरण तैयार होगा जिसमें a + b > 1 होने पर सभी पद X^aY^b को हटा दिया जाएगा।

हमारे निकट दो स्थिति हैं: L 0 हो सकता है, या यह रेखा का समीकरण हो सकता है। पहली स्थिति में (0,0) पर C का (ज़ारिस्की) स्पर्शरेखा समष्टि संपूर्ण तल है, जिसे द्वि-विमीय सजातीय समष्टि माना जाता है। अतः दूसरी स्थिति में, स्पर्शरेखा समष्टि वह रेखा है, जिसे सजातीय समष्टि माना जाता है। (उत्पत्ति का प्रश्न तब सामने आता है, जब हम P को C पर सामान्य बिंदु के रूप में लेते हैं; इस प्रकार से 'सजातीय समष्टि' कहना ठीक होता है और फिर ध्यान दें कि P प्राकृतिक उत्पत्ति है, इसके अतिरिक्त कि प्रत्यक्षतः इस बात पर बल दिया जाए कि यह सदिश समष्टि है।)

अतः यह देखना सरल है कि वास्तविक संख्या पर हम F के पूर्व आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में L प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार से जब वे दोनों P पर 0 होते हैं, तो हमारे निकट गणितीय विलक्षणता (दोहरा बिंदु, पुच्छ (विलक्षण) या कुछ और अधिक जटिल) होती है। सामान्य परिभाषा यह है कि C के विलक्षण बिंदु ऐसी स्थिति हैं जब स्पर्शरेखा समष्टि की विमा 2 होती है।

परिभाषा

इस प्रकार से अधिकतम आदर्श ${\mathfrak {m}}$ के साथ स्थानीय वलय R की कोटिस्पर्श रेखा समष्टि

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

के रूप में परिभाषित किया गया है जहां ${\mathfrak {m}}$²आदर्शों के गुणनफल द्वारा दिया गया है। यह अवशेष क्षेत्र k:= R/${\mathfrak {m}}$ पर सदिश समष्टि है। इसके दोहरे सदिश समष्टि (k-सदिश समष्टि के रूप में) को R का 'स्पर्शरेखा समष्टि' कहा जाता है।

अतः यह परिभाषा उपरोक्त उदाहरण का उच्च विमाओं के लिए एक सामान्यीकरण है: मान लीजिए कि एक सजातीय बीजगणितीय विविधता V और V का एक बिंदु v दिया गया है। नैतिक रूप से, ${\mathfrak {m}}$² को संशोधित करना कुछ सजातीय समष्टि के भीतर V को परिभाषित करने वाले समीकरणों से गैर-रैखिक शब्दों को हटाने से मेल खाता है, इसलिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाती है जो स्पर्शरेखा समष्टि को परिभाषित करती है।

इस प्रकार से यह बिंदु $T_{P}(X)$ पर योजना X के लिए स्पर्शरेखा समष्टि P और सह-स्पर्शरेखा समष्टि $T_{P}^{*}(X)$ ${\mathcal {O}}_{X,P}$ की (सह)स्पर्शरेखा समष्टि है। अतः वलय के वर्णक्रम फलनात्मकता के कारण, प्राकृतिक भागफल प्रतिचित्र $f:R\rightarrow R/I$ एक समरूपता $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ को प्रेरित करता है, X=Spec(R), P के लिए Y=Spec(R/I) में एक बिंदु है। इस प्रकार से इसका उपयोग $T_{f^{-1}P}(X)$ में $T_{P}(Y)$ को अन्तः स्थापित करने के लिए किया जाता है। चूँकि क्षेत्रों की आकृतियाँ अंतःक्षेपक योग्य होती हैं, g द्वारा प्रेरित अवशेष क्षेत्रों का प्रक्षेपण समरूपता है। फिर कोटिस्पर्श रेखा रिक्त समष्टि का रूपवाद k,

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)$

$\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k)$ द्वारा दिए गए g से प्रेरित होता है।

चूँकि यह एक अनुमान है, कि स्थानांतर $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$ एक अंतःक्षेपक है।

(प्रायः समान विधि से कई गुना के लिए स्पर्शरेखा समष्टि और कोटिस्पर्श रेखा समष्टि को परिभाषित किया जाता है।)

विश्लेषणात्मक फलन

इस प्रकार से यदि V आदर्श I द्वारा परिभाषित n-विमीय सदिश समष्टि की उप-विविधता है, तो R = F_n/ I, जहां F_n इस सदिश समष्टि पर सहज/विश्लेषणात्मक/होलोमोर्फिक फलनों का वलय है। अतः x पर ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि

m_n / (I+m_n²),

है, जहां m_n अधिकतम आदर्श है जिसमें x पर लुप्त होने वाले F_nx में वे फलन सम्मिलित हैं।

इस प्रकार से उपरोक्त समतलीय उदाहरण में, I = (F(X,Y)), और I+m² = (L(X,Y))+m²।

गुण

यदि R नोथेरियन वलय स्थानीय वलय है, तो स्पर्शरेखा समष्टि का विमा कम से कम R का क्रुल विमा है:

dim m/m² ≧ dim R

यदि समानता निश्चित रहे तो R को नियमित स्थानीय वलय कहा जाता है। अधिक ज्यामितीय भाषा में, जब R बिंदु v पर विविधता V का स्थानीय वलय है, तो कोई यह भी कहता है कि v नियमित बिंदु है। अन्यथा इसे 'विलक्षण बिंदु' कहा जाता है।

इस प्रकार से स्पर्शरेखा समष्टि की व्याख्या K[t]/(t²) के संदर्भ में है, जो K के लिए दोहरी संख्या है; योजना (गणित) की भाषा में, Spec K[t]/(t²) से K के ऊपर एक योजना X तक की आकृतियाँ एक तर्कसंगत बिंदुx ∈ X(k) के चुनाव और x पर स्पर्शरेखा समष्टि के एक तत्व के अनुरूप होती हैं। इसलिए, कोई स्पर्शरेखा सदिशों के विषय में भी बात करता है। यह भी देखें: एक कारक के लिए स्पर्शरेखा समष्टि।

सामान्यतः, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि की विमा बहुत बड़ी हो सकती है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $C^{1}(\mathbf {R} )$, $\mathbf {R}$ पर निरंतर भिन्न होने योग्य वास्तविक-मानित फलन का वलय है। अतः $R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )$ को मूल में ऐसे फलनों के आधार के वलय के रूप में परिभाषित करें। फिर R स्थानीय वलय है, और इसके अधिकतम आदर्श m में सभी आधार सम्मिलित हैं जो मूल पर लुप्त हो जाते हैं। $\alpha \in (1,2)$ के लिए फलन $x^{\alpha }$, ज़ारिस्की कोटिस्पर्श रेखा समष्टि $m/m^{2}$ में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश को परिभाषित करता है, इसलिए $m/m^{2}$ की विमा कम से कम है ${\mathfrak {c}}$ है, जो सातत्य की प्रमुखता है। इस प्रकार से ज़ारिस्की स्पर्शरेखा समष्टि $(m/m^{2})^{*}$ की विमा कम से कम $2^{\mathfrak {c}}$ है। दूसरी ओर, एन-कई गुना में बिंदु पर सुचारू फलनों के आधारों के वलय में एन-विमीय ज़ारिस्की कोटिस्पर्श रेखा समष्टि होता है।

यह भी देखें

• स्पर्शरेखा शंकु
• जेट (गणित)

स्रोत

• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998). योजनाओं की ज्यामिति. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5 – via Internet Archive.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
• Zariski, Oscar (1947). "एक अमूर्त बीजगणितीय विविधता के एक सरल बिंदु की अवधारणा". Transactions of the American Mathematical Society. 62: 1–52. doi:10.1090/S0002-9947-1947-0021694-1. MR 0021694. Zbl 0031.26101.

बाहरी संबंध

• Zariski tangent space. V.I. Danilov (originator), Encyclopedia of Mathematics.