न्यूनतम-उच्चतर-परिबद्ध गुण: Difference between revisions

Latest revision as of 19:39, 21 July 2023

प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय

M

वास्तविक संख्याओं में से

\mathbb {R}

जो ऊपर से घिरा है उसकी उच्चतर सीमा सबसे कम है।

गणित में, न्यूनतम-उच्चतर-परिबद्ध गुण (कभी-कभी पूर्णता या सर्वोच्च गुण या एल.यू.बी. गुण कहा जाता है)^[1] वास्तविक संख्याओं की एक मौलिक गुण है। अधिक सामान्यतः आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय $X$ में सबसे कम-उच्चतर-सीमित गुण होती है यदि उच्चतर सीमित के साथ $X$ के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में $X$ में न्यूनतम उच्चतर सीमित (सर्वोच्च) होता है। प्रत्येक (आंशिक रूप से) क्रमित किए गए समुच्चय में न्यूनतम उच्चतर सीमा वाली गुण नहीं होती है। उदाहरण के लिए, अपने प्राकृतिक क्रम के साथ सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में न्यूनतम उच्चतर सीमा वाली गुण नहीं होती है।

न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण वास्तविक संख्याओं के लिए पूर्णता सिद्धांत का एक रूप है, और कभी-कभी इसे डेडेकाइंड पूर्णता के रूप में जाना जाता है।^[2] इसका उपयोग वास्तविक विश्लेषण के कई मूलभूत परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय, बोल्ज़ानो-वेइरस्ट्रैस प्रमेय, अतिशय मूल्य प्रमेय और हेन-बोरेल प्रमेय। इसे सामान्यतः वास्तविक संख्याओं के सिंथेटिक निर्माण में एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है, और यह डेडेकाइंड कट्स का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के निर्माण से भी घनिष्ठ रूप से संबंधित है।

क्रमित सिद्धांत में, इस गुण को किसी आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय के लिए पूर्णता की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय जो सघन होता है और जिसमें सबसे कम उच्चतर सीमा वाला गुण होता है, उसे रैखिक सातत्य कहा जाता है।

गुण का विवरण

वास्तविक संख्याओं के लिए कथन

मान लीजिए $S$ वास्तविक संख्याओं का एक गैर-रिक्त समुच्चय है।

वास्तविक संख्या $x$ को $S$ के लिए उच्चतर सीमा कहा जाता है यदि $x \geq s$ सभी $s \in S$ के लिए है।
वास्तविक संख्या $x$ , $S$ के लिए न्यूनतम उच्चतर सीमा (या सर्वोच्च) है यदि $x$ $S$ के लिए उच्चतर सीमा है और $S$ की प्रत्येक उच्चतर सीमा $y$ के लिए $x \leq y$ है।

न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण बताती है कि वास्तविक संख्याओं का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जिसकी उच्चतर सीमा है, वास्तविक संख्याओं में न्यूनतम उच्चतर सीमा होनी चाहिए।

क्रमित समुच्चयों का सामान्यीकरण

लाल: समुच्चय

\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}

. नीला: इसकी उच्चतर सीमा का समुच्चय

\mathbf {Q}

.

अधिक सामान्यतः, कोई आंशिक रूप से क्रम किए गए समुच्चय इस स्तिथि में, हम कहते हैं कि $X$ के पास सबसे कम उच्चतर सीमा वाली गुण है यदि उच्चतर सीमा वाले $X$ के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में $X$ में सबसे कम उच्चतर सीमा होती है।

उदाहरण के लिए, समुच्चय $Q$ तर्कसंगत संख्याओं में सामान्य क्रम के तहत न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण नहीं होती है। उदाहरण के लिए, समुच्चय

\left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)

$Q$ में उच्चतर सीमा होती है, लेकिन $Q$ में न्यूनतम उच्चतर सीमा नहीं होती है (क्योंकि दो का वर्गमूल अपरिमेय होता है)। डेडेकाइंड कट्स का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का निर्माण इस विफलता का लाभ उठाते हुए अपरिमेय संख्याओं को परिमेय के कुछ उपसमुच्चय की सबसे कम उच्चतर सीमा के रूप में परिभाषित करता है।

सिद्ध

तार्किक स्थिति

न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण पूर्णता स्वयंसिद्ध के अन्य रूपों के बराबर है, जैसे कॉची अनुक्रमों का अभिसरण या नेस्टेड अंतराल प्रमेय। गुण की तार्किक स्थिति उपयोग की गई वास्तविक संख्याओं के निर्माण पर निर्भर करती है: सिंथेटिक दृष्टिकोण में, गुण को सामान्यतः वास्तविक संख्याओं के लिए एक सिद्धांत के रूप में लिया जाता है (न्यूनतम उच्चतर सीमा सिद्धांत देखें); रचनात्मक दृष्टिकोण में, गुण को एक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जाना चाहिए, या तो सीधे निर्माण से या किसी अन्य प्रकार की पूर्णता के परिणामस्वरूप हैं।

कॉची अनुक्रमों का उपयोग करके प्रमाण

इस धारणा का उपयोग करके न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण को साबित करना संभव है कि वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है। मान लीजिये $S$ वास्तविक संख्याओं का अरिक्त समुच्चय बनें। अगर $S$ में बिल्कुल अवयव है, तो इसका एकमात्र अवयव न्यूनतम उच्चतर सीमा है। तो विचार करें $S$ एक से अधिक अवयवों के साथ, और मान लीजिए कि $S$ की एक उच्चतर सीमा $B 1$ है। तब से $S$ शून्य नहीं है और इसमें एक से अधिक अवयव हैं, वास्तविक संख्या उपस्थित है $A 1$ इसके लिए कोई उच्चतर सीमा नहीं है $S$ . अनुक्रमों को परिभाषित करें $A 1, A 2, A 3, ...$ और $B 1, B 2, B 3, ...$ पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार है:

जाँच करें $(A n + B n) ⁄ 2$ के लिए उच्चतर सीमा है $S$ .
यदि यह है, मान लीजिये $A n +1 = A n$ और मान लीजिये $B n +1 = (A n + B n) ⁄ 2$ .
अन्यथा $s$ में एक अवयव $S$ अवश्य होना चाहिए ताकि $s >(A n + B n) ⁄ 2$ मान लीजिए $A n +1 = s$ और मान लीजिए $B n +1 = B n$ .

तब $A 1 \leq A 2 \leq A 3 \leq \dots \leq B 3 \leq B 2 \leq B 1$ और $| A n - B n | \to 0$ जैसा $n \to \infty$ . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दोनों अनुक्रम कॉची हैं और उनकी सीमा समान है $L$ , जिसके लिए न्यूनतम उच्चतर सीमा $S$ होनी चाहिए।

अनुप्रयोग

की सबसे कम-उच्चतर-सीमा वाली गुण $R$ का उपयोग वास्तविक विश्लेषण में कई मुख्य मूलभूत प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय

मान लीजिये $f : [a, b] \to R$ सतत कार्य हो, और मान लीजिए $f (a) < 0$ और $f (b) > 0$ . इस स्तिथि में, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय बताता है कि $f$ अंतराल में किसी फ़ंक्शन का रूट होना चाहिए $[a, b]$ . इस प्रमेय को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है

S = {s \in [a, b] : f (x) < 0 for all x \leq s}

.

वह है, $S$ का प्रारंभिक खंड है $[a, b]$ जो नकारात्मक मान लेता है $f$ . तब $b$ के लिए उच्चतर सीमा है $S$ , और सबसे छोटी उच्चतर सीमा का मूल $f$ होना चाहिए।

बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय

रिक्तबोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के लिए $R$ बताता है कि प्रत्येक अनुक्रम $x n$ सवृत अंतराल में वास्तविक संख्याओं का $[a, b]$ अभिसरण अनुवर्ती होना चाहिए। इस प्रमेय को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है

S = {s \in [a, b] : s \leq x n for infinitely many n}

स्पष्ट रूप से, $a\in S$ , और $S$ रिक्त नहीं है।

इसके साथ ही, $b$ के लिए उच्चतर सीमा $S$ है , इसलिए $S$ की न्यूनतम उच्चतर सीमा $c$ है।

तब $c$ अनुक्रम का सीमा बिंदु $x n$ होना चाहिए , और यह उसका अनुसरण करता है $x n$ में अनुवर्ती $c$ है जो अभिसरण करता है।

अतिशय मान प्रमेय

मान लीजिये $f : [a, b] \to R$ सतत कार्य हो और चलो $M = sup f ([a, b])$ , जहाँ $M = \infty$ अगर $f ([a, b])$ की कोई उच्चतर सीमा नहीं है। अतिशय मूल्य प्रमेय यह बताता है $M$ परिमित है और $f (c) = M$ कुछ के लिए $c \in [a, b]$ । इसे समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है

S = {s \in [a, b] : sup f ([s, b]) = M}

.

की परिभाषा के अनुसार $M$ , $a \in S$ , और $b$ अपनी परिभाषा के अनुसार, $S$ से घिरा है।

अगर $c$ की सबसे निचली उच्चतर सीमा है $S$ , तो यह निरंतरता से इस प्रकार है कि $f (c) = M$ .

हेन-बोरेल प्रमेय

मान लीजिए कि $[a, b]$ $R$ में एक बंद अंतराल है, और मान लें कि ${U α}$ विवृत समुच्चयों का एक संग्रह है जो [a, b] को आच्छादित करता है। फिर हेइन-बोरेल प्रमेय बताता है कि ${U α}$ का कुछ सीमित उपसंग्रह $[a, b]$ को भी आच्छादित करता है। इस कथन को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है

S = {s \in [a, b] : [a, s] सीमित रूप से अनेक लोगों द्वारा आच्छादित किया जा सकता है U α}

.

समुच्चय $S$ में स्पष्ट रूप से $a$ सम्मिलित है, और निर्माण द्वारा $b$ से घिरा है। न्यूनतम-उच्चतर-परिबद्ध गुण द्वारा, $S$ की न्यूनतम उच्चतर सीमा $c \in [a, b]$ है। इसलिए, $c$ स्वयं कुछ खुले समुच्चय $U α$ का अवयव है, और यह $c < b$ के लिए अनुसरण करता है कि $[a, c + δ]$ को कुछ पर्याप्त छोटे $δ > 0$ के लिए सीमित रूप से कई $U α$ द्वारा आच्छादित किया जा सकता है। इससे सिद्ध होता है कि $c + δ \in S$ और $c$ , $S$ के लिए उच्चतर सीमा नहीं है। परिणामस्वरूप, $c = b$

इतिहास

न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण के महत्व को सबसे पहले बर्नार्ड बोलजानो ने अपने 1817 के पेपर में प्रमेय का विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक प्रमाण माना था कि विपरीत परिणाम देने वाले प्रत्येक दो मूल्यों के बीच, समीकरण की न्यूनतम वास्तविक वर्गमूल होती है।^[3]

यह भी देखें

वास्तविक विश्लेषण विषयों की सूची

↑ Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)
↑ Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)
↑ Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). "सघनता का एक शैक्षणिक इतिहास". American Mathematical Monthly. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.

संदर्भ

Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (Third ed.). Academic. ISBN 0-12-050257-7.

Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (4 ed.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3 ed.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 9780486434797.

[1] Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)

[2] Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)

[Sundström-3] Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). "सघनता का एक शैक्षणिक इतिहास". American Mathematical Monthly. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID 119936587.

[1]

[2]

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-[[File:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय <math>M</math> वास्तविक संख्याओं में से <math>\mathbb{R}</math> जो ऊपर से घिरा है उसकी ऊपरी सीमा सबसे कम है।]]गणित में, न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति (कभी-कभी पूर्णता या सर्वोच्च संपत्ति या एल.यू.बी. संपत्ति कहा जाता है)<ref>Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)</ref> [[वास्तविक संख्या]]ओं का एक मूलभूत गुण है। अधिक सामान्यतः, [[आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट]] {{math|''X''}} यदि प्रत्येक गैर-रिक्त [[सेट (गणित)]] में न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति है {{math|''X''}} [[ऊपरी सीमा]] के साथ न्यूनतम ऊपरी सीमा (सर्वोच्च) होती है {{math|''X''}}. प्रत्येक (आंशिक रूप से) ऑर्डर किए गए सेट में न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली संपत्ति नहीं होती है। उदाहरण के लिए, सेट <math>\mathbb{Q}</math> अपने प्राकृतिक क्रम के साथ सभी [[तर्कसंगत संख्या]]ओं में न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली संपत्ति नहीं होती है।
+[[File:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय <math>M</math> वास्तविक संख्याओं में से <math>\mathbb{R}</math> जो ऊपर से घिरा है उसकी उच्चतर सीमा सबसे कम है।]]गणित में, '''न्यूनतम-उच्चतर-परिबद्ध''' '''गुण''' (कभी-कभी '''पूर्णता''' या '''सर्वोच्च गुण''' या '''एल.यू.बी. गुण''' कहा जाता है)<ref>Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)</ref> वास्तविक संख्याओं की एक मौलिक गुण है। अधिक सामान्यतः आंशिक रूप से क्रमित किए गए [[सेट (गणित)|समुच्चय]] {{math|''X''}} में सबसे कम-उच्चतर-सीमित गुण होती है यदि उच्चतर सीमित के साथ {{math|''X''}} के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में {{math|''X''}} में न्यूनतम उच्चतर सीमित (सर्वोच्च) होता है। प्रत्येक (आंशिक रूप से) क्रमित किए गए समुच्चय में न्यूनतम उच्चतर सीमा वाली गुण नहीं होती है। उदाहरण के लिए, अपने प्राकृतिक क्रम के साथ सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में न्यूनतम उच्चतर सीमा वाली गुण नहीं होती है।
-न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति वास्तविक संख्याओं के लिए [[वास्तविक संख्याओं की पूर्णता]] का एक रूप है, और इसे कभी-कभी 'डेडेकाइंड पूर्णता' के रूप में जाना जाता है।<ref>Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)</ref> इसका उपयोग [[वास्तविक विश्लेषण]] के कई मूलभूत परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि [[मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय]], बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय, [[चरम मूल्य प्रमेय]] और हेन-बोरेल प्रमेय। इसे आम तौर पर वास्तविक संख्याओं के सिंथेटिक निर्माण में एक सिद्धांत के रूप में लिया जाता है, और यह [[डेडेकाइंड कट]]्स का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के निर्माण से भी गहराई से संबंधित है।
+न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण [[वास्तविक संख्याओं की पूर्णता|वास्तविक संख्याओं]] के लिए पूर्णता सिद्धांत का एक रूप है, और कभी-कभी इसे '''डेडेकाइंड पूर्णता''' के रूप में जाना जाता है।<ref>Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)</ref> इसका उपयोग [[वास्तविक विश्लेषण]] के कई मूलभूत परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि [[मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय]], बोल्ज़ानो-वेइरस्ट्रैस प्रमेय, [[चरम मूल्य प्रमेय|अतिशय मूल्य प्रमेय]] और हेन-बोरेल प्रमेय। इसे सामान्यतः वास्तविक संख्याओं के सिंथेटिक निर्माण में एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है, और यह [[डेडेकाइंड कट|डेडेकाइंड]] कट्स का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के निर्माण से भी घनिष्ठ रूप से संबंधित है।
-ऑर्डर सिद्धांत में, इस संपत्ति को किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए पूर्णता (ऑर्डर सिद्धांत) की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक रैखिक रूप से क्रमित सेट जो [[सघन क्रम]] वाला होता है और जिसमें सबसे कम ऊपरी सीमा वाला गुण होता है, उसे [[रैखिक सातत्य]] कहा जाता है।
+क्रमित सिद्धांत में, इस गुण को किसी आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय के लिए पूर्णता की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय जो सघन होता है और जिसमें सबसे कम उच्चतर सीमा वाला गुण होता है, उसे [[रैखिक सातत्य]] कहा जाता है।
-==संपत्ति का विवरण==
+==गुण का विवरण==
 ===वास्तविक संख्याओं के लिए कथन===
-होने देना {{math|''S''}} वास्तविक संख्याओं का एक गैर-रिक्त सेट बनें।
+मान लीजिए {{math|''S''}} वास्तविक संख्याओं का एक गैर-रिक्त समुच्चय है।
-* एक वास्तविक संख्या {{math|''x''}} को ऊपरी सीमा कहा जाता है {{math|''S''}} अगर {{math|''x'' ≥ ''s''}} सभी के लिए {{math|''s'' ∈ ''S''}}.
+* वास्तविक संख्या {{math|''x''}} को {{math|''S''}} के लिए उच्चतर सीमा कहा जाता है यदि {{math|''x'' ≥ ''s''}} सभी {{math|''s'' ∈ ''S''}} के लिए है।
-* एक वास्तविक संख्या {{math|''x''}} के लिए न्यूनतम ऊपरी सीमा (या सर्वोच्च) है {{math|''S''}} अगर {{math|''x''}} के लिए ऊपरी सीमा है {{math|''S''}} और {{math|''x'' ≤ ''y''}} प्रत्येक ऊपरी सीमा के लिए {{math|''y''}} का {{math|''S''}}.
+*वास्तविक संख्या {{math|''x''}}, {{math|''S''}} के लिए '''न्यूनतम उच्चतर सीमा''' (या सर्वोच्च) है यदि {{math|''x''}} {{math|''S''}} के लिए उच्चतर सीमा है और {{math|''S''}} की प्रत्येक उच्चतर सीमा {{math|''y''}} के लिए {{math|''x'' ≤ ''y''}} है।
-न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति बताती है कि वास्तविक संख्याओं का कोई भी गैर-रिक्त सेट जिसकी ऊपरी सीमा है, ''वास्तविक संख्याओं'' में कम से कम ऊपरी सीमा होनी चाहिए।
+'''न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण''' बताती है कि वास्तविक संख्याओं का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जिसकी उच्चतर सीमा है, ''वास्तविक संख्याओं'' में न्यूनतम उच्चतर सीमा होनी चाहिए।
-===आदेशित सेटों का सामान्यीकरण===
+===क्रमित समुच्चयों का सामान्यीकरण===
-[[File:Dedekind cut- square root of two.png|thumb|लाल: सेट <math>\left\{ x \in \mathbf{Q} : x^2 \le 2 \right\}</math>. नीला: इसकी ऊपरी सीमा का समुच्चय <math>\mathbf{Q}</math>.]]
+[[File:Dedekind cut- square root of two.png|thumb|लाल: समुच्चय <math>\left\{ x \in \mathbf{Q} : x^2 \le 2 \right\}</math>. नीला: इसकी उच्चतर सीमा का समुच्चय <math>\mathbf{Q}</math>.]]
-{{main article|Completeness (order theory)}}
+{{main article|संपूर्णता (क्रम सिद्धांत)}}
-अधिक आम तौर पर, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के किसी भी [[सबसेट]] के लिए ऊपरी सीमा और न्यूनतम ऊपरी सीमा को परिभाषित किया जा सकता है {{math|''X''}}, "वास्तविक संख्या" को "के तत्व" से प्रतिस्थापित कर दिया गया है {{math|''X''}}"। इस मामले में हम ऐसा कहते हैं {{math|''X''}} के पास न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति है यदि प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय {{math|''X''}} ऊपरी सीमा के साथ न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है  {{math|''X''}}.
-उदाहरण के लिए, सेट {{math|'''Q'''}} तर्कसंगत संख्याओं में सामान्य क्रम के तहत न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति नहीं होती है। उदाहरण के लिए, सेट
+अधिक सामान्यतः, कोई आंशिक रूप से क्रम किए गए समुच्चय इस स्तिथि में, हम कहते हैं कि {{math|''X''}} के पास सबसे कम उच्चतर सीमा वाली गुण है यदि उच्चतर सीमा वाले {{math|''X''}} के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में {{math|''X''}} में सबसे कम उच्चतर सीमा होती है।
+उदाहरण के लिए, समुच्चय {{math|'''Q'''}} तर्कसंगत संख्याओं में सामान्य क्रम के तहत न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण नहीं होती है। उदाहरण के लिए, समुच्चय
 : <math> \left\{ x \in \mathbf{Q} : x^2 \le 2 \right\} = \mathbf{Q} \cap \left(-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right) </math>
-में एक ऊपरी सीमा होती है {{math|'''Q'''}}, लेकिन इसमें कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है {{math|'''Q'''}} (चूंकि दो का वर्गमूल [[अपरिमेय संख्या]] है)। डेडेकाइंड कट्स का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का निर्माण, अपरिमेय संख्याओं को परिमेय के कुछ उपसमुच्चयों की सबसे कम ऊपरी सीमा के रूप में परिभाषित करके इस विफलता का लाभ उठाता है।
+{{math|'''Q'''}} में उच्चतर सीमा होती है, लेकिन {{math|'''Q'''}} में न्यूनतम उच्चतर सीमा नहीं होती है (क्योंकि दो का वर्गमूल [[अपरिमेय संख्या|अपरिमेय]] होता है)। डेडेकाइंड कट्स का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का निर्माण इस विफलता का लाभ उठाते हुए अपरिमेय संख्याओं को परिमेय के कुछ उपसमुच्चय की सबसे कम उच्चतर सीमा के रूप में परिभाषित करता है।
-==प्रमाण==
+==सिद्ध==
 ===तार्किक स्थिति===
-न्यूनतम-ऊपरी-बाउंड संपत्ति [[पूर्णता स्वयंसिद्ध]] के अन्य रूपों के बराबर है, जैसे [[कॉची अनुक्रम]]ों का अभिसरण या [[नेस्टेड अंतराल [[प्रमेय]]]]। संपत्ति की तार्किक स्थिति उपयोग की गई वास्तविक संख्याओं के निर्माण पर निर्भर करती है: वास्तविक संख्याओं के निर्माण में #सिंथेटिक दृष्टिकोण, संपत्ति को आमतौर पर वास्तविक संख्याओं के लिए एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है (कम से कम ऊपरी सीमा स्वयंसिद्ध देखें); रचनात्मक दृष्टिकोण में, संपत्ति को एक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जाना चाहिए, या तो सीधे निर्माण से या पूर्णता के किसी अन्य रूप के परिणामस्वरूप।
+न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण [[पूर्णता स्वयंसिद्ध]] के अन्य रूपों के बराबर है, जैसे [[कॉची अनुक्रम|कॉची]] अनुक्रमों का अभिसरण या नेस्टेड अंतराल [[प्रमेय]]। गुण की तार्किक स्थिति उपयोग की गई वास्तविक संख्याओं के निर्माण पर निर्भर करती है: सिंथेटिक दृष्टिकोण में, गुण को सामान्यतः वास्तविक संख्याओं के लिए एक सिद्धांत के रूप में लिया जाता है (न्यूनतम उच्चतर सीमा सिद्धांत देखें); रचनात्मक दृष्टिकोण में, गुण को एक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जाना चाहिए, या तो सीधे निर्माण से या किसी अन्य प्रकार की पूर्णता के परिणामस्वरूप हैं।
 ===कॉची अनुक्रमों का उपयोग करके प्रमाण===
-इस धारणा का उपयोग करके न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति को साबित करना संभव है कि वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है। होने देना {{math|''S''}} वास्तविक संख्याओं का एक [[अरिक्त]] समुच्चय बनें। अगर {{math|''S''}} में बिल्कुल एक तत्व है, तो इसका एकमात्र तत्व न्यूनतम ऊपरी सीमा है। तो विचार करें {{math|''S''}} एक से अधिक तत्वों के साथ, और मान लीजिए कि {{math|''S''}} की एक ऊपरी सीमा है {{math|''B''<sub>1</sub>}}. तब से {{math|''S''}} शून्य नहीं है और इसमें एक से अधिक तत्व हैं, एक वास्तविक संख्या मौजूद है {{math|''A''<sub>1</sub>}} इसके लिए कोई ऊपरी सीमा नहीं है {{math|''S''}}. अनुक्रमों को परिभाषित करें {{math|''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ...}} और {{math|''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ...}} पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार है:
+इस धारणा का उपयोग करके न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण को साबित करना संभव है कि वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण करता है। मान लीजिये {{math|''S''}} वास्तविक संख्याओं का [[अरिक्त]] समुच्चय बनें। अगर {{math|''S''}} में बिल्कुल अवयव है, तो इसका एकमात्र अवयव न्यूनतम उच्चतर सीमा है। तो विचार करें {{math|''S''}} एक से अधिक अवयवों के साथ, और मान लीजिए कि {{math|''S''}} की एक उच्चतर सीमा {{math|''B''<sub>1</sub>}} है। तब से {{math|''S''}} शून्य नहीं है और इसमें एक से अधिक अवयव हैं, वास्तविक संख्या उपस्थित है {{math|''A''<sub>1</sub>}} इसके लिए कोई उच्चतर सीमा नहीं है {{math|''S''}}. अनुक्रमों को परिभाषित करें {{math|''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ...}} और {{math|''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ...}} पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार है:
-# हवामान जाँच लो {{math|(''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2}} के लिए ऊपरी सीमा है {{math|''S''}}.
+# जाँच करें {{math|(''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2}} के लिए उच्चतर सीमा है {{math|''S''}}.
-#अगर है तो चलो {{math|''A''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''A<sub>n</sub>''}} और जाने {{math|''B''<sub>''n''+1</sub> {{=}} (''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2}}.
+#यदि यह है, मान लीजिये {{math|''A''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''A<sub>n</sub>''}} और मान लीजिये {{math|''B''<sub>''n''+1</sub> {{=}} (''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2}}.
-# अन्यथा कोई तत्व अवश्य होगा {{math|''s''}} में {{math|''S''}} ताकि {{math|''s''>(''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2}}. होने देना {{math|''A''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''s''}} और जाने {{math|''B''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''B<sub>n</sub>''}}.
+#अन्यथा {{math|''s''}} में एक अवयव {{math|''S''}} अवश्य होना चाहिए ताकि {{math|''s''>(''A<sub>n</sub>'' + ''B<sub>n</sub>'') ⁄ 2}} मान लीजिए {{math|''A''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''s''}} और मान लीजिए {{math|''B''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''B<sub>n</sub>''}}.
-तब {{math|''A''<sub>1</sub> ≤ ''A''<sub>2</sub> ≤ ''A''<sub>3</sub> ≤ ⋯ ≤ ''B''<sub>3</sub> ≤ ''B''<sub>2</sub> ≤ ''B''<sub>1</sub>}} और {{math|{{!}}''A<sub>n</sub>'' − ''B<sub>n</sub>''{{!}} → 0}} जैसा {{math|''n'' → ∞}}. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दोनों अनुक्रम कॉची हैं और उनकी सीमा समान है {{math|''L''}}, जिसके लिए न्यूनतम ऊपरी सीमा होनी चाहिए {{math|''S''}}.
+तब {{math|''A''<sub>1</sub> ≤ ''A''<sub>2</sub> ≤ ''A''<sub>3</sub> ≤ ⋯ ≤ ''B''<sub>3</sub> ≤ ''B''<sub>2</sub> ≤ ''B''<sub>1</sub>}} और {{math|{{!}}''A<sub>n</sub>'' − ''B<sub>n</sub>''{{!}} → 0}} जैसा {{math|''n'' → ∞}}. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दोनों अनुक्रम कॉची हैं और उनकी सीमा समान है {{math|''L''}}, जिसके लिए न्यूनतम उच्चतर सीमा {{math|''S''}} होनी चाहिए।
 ==अनुप्रयोग==
-की सबसे कम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति {{math|'''R'''}} का उपयोग वास्तविक विश्लेषण में कई मुख्य मूलभूत प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।
+की सबसे कम-उच्चतर-सीमा वाली गुण {{math|'''R'''}} का उपयोग वास्तविक विश्लेषण में कई मुख्य मूलभूत प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।
 ===मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय===
-होने देना {{math|''f'' : [''a'', ''b''] → '''R'''}} एक [[सतत कार्य]] हो, और मान लीजिए {{math|''f'' (''a'') < 0}} और {{math|''f'' (''b'') > 0}}. इस मामले में, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय बताता है कि {{math|''f''}} अंतराल में किसी फ़ंक्शन का रूट होना चाहिए {{math|[''a'', ''b'']}}. इस प्रमेय को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
+मान लीजिये {{math|''f'' : [''a'', ''b''] → '''R'''}} [[सतत कार्य]] हो, और मान लीजिए {{math|''f'' (''a'') < 0}} और {{math|''f'' (''b'') > 0}}. इस स्तिथि में, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय बताता है कि {{math|''f''}} अंतराल में किसी फ़ंक्शन का रूट होना चाहिए {{math|[''a'', ''b'']}}. इस प्रमेय को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
 :{{math|''S''  {{=}}  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  ''f'' (''x'') < 0 for all ''x'' ≤ ''s''} }}.
-वह है, {{math|''S''}} का प्रारंभिक खंड है {{math|[''a'', ''b'']}} जो नकारात्मक मान लेता है {{math|''f''}}. तब {{math|''b''}} के लिए ऊपरी सीमा है {{math|''S''}}, और सबसे छोटी ऊपरी सीमा का मूल होना चाहिए {{math|''f''}}.
+वह है, {{math|''S''}} का प्रारंभिक खंड है {{math|[''a'', ''b'']}} जो नकारात्मक मान लेता है {{math|''f''}}. तब {{math|''b''}} के लिए उच्चतर सीमा है {{math|''S''}}, और सबसे छोटी उच्चतर सीमा का मूल {{math|''f''}} होना चाहिए।
 ===बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय===
-बोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के लिए {{math|'''R'''}} बताता है कि प्रत्येक [[अनुक्रम]] {{math|''x<sub>n</sub>''}} एक बंद अंतराल में वास्तविक संख्याओं का {{math|[''a'', ''b'']}} एक अभिसरण अनुवर्ती होना चाहिए। इस प्रमेय को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
+रिक्तबोल्ज़ानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के लिए {{math|'''R'''}} बताता है कि प्रत्येक [[अनुक्रम]] {{math|''x<sub>n</sub>''}} सवृत अंतराल में वास्तविक संख्याओं का {{math|[''a'', ''b'']}} अभिसरण अनुवर्ती होना चाहिए। इस प्रमेय को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
 :{{math|''S''  {{=}}  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  ''s'' ≤ ''x<sub>n</sub>'' for infinitely many ''n''} }}
-स्पष्ट रूप से,
+स्पष्ट रूप से, <math>a\in S</math>, और {{math|''S''}} रिक्त नहीं है।
-<math>a\in S</math>, और {{math|''S''}} खाली नहीं है।
-इसके साथ ही, {{math|''b''}} के लिए ऊपरी सीमा है {{math|''S''}}, इसलिए {{math|''S''}} की न्यूनतम ऊपरी सीमा है {{math|''c''}}.
+इसके साथ ही, {{math|''b''}} के लिए उच्चतर सीमा {{math|''S''}} है , इसलिए {{math|''S''}} की न्यूनतम उच्चतर सीमा {{math|''c''}} है।
-तब {{math|''c''}} अनुक्रम का एक [[सीमा बिंदु]] होना चाहिए {{math|''x<sub>n</sub>''}}, और यह उसका अनुसरण करता है {{math|''x<sub>n</sub>''}} में एक अनुवर्ती है जो अभिसरण करता है {{math|''c''}}.
+तब {{math|''c''}} अनुक्रम का [[सीमा बिंदु]] {{math|''x<sub>n</sub>''}} होना चाहिए , और यह उसका अनुसरण करता है {{math|''x<sub>n</sub>''}} में अनुवर्ती {{math|''c''}} है जो अभिसरण करता है।
-===चरम मान प्रमेय===
+===अतिशय मान प्रमेय===
-होने देना {{math|''f'' : [''a'', ''b''] → '''R'''}} एक सतत कार्य हो और चलो {{math|''M'' {{=}} sup ''f'' ([''a'', ''b''])}}, कहाँ {{math|''M'' {{=}} ∞}} अगर {{math|''f'' ([''a'', ''b''])}} की कोई ऊपरी सीमा नहीं है. चरम मूल्य प्रमेय यह बताता है {{math|''M''}} परिमित है और {{math|''f'' (''c'') {{=}} ''M''}} कुछ के लिए {{math|''c'' ∈ [''a'', ''b'']}}. इसे समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
+मान लीजिये {{math|''f'' : [''a'', ''b''] → '''R'''}} सतत कार्य हो और चलो {{math|''M'' {{=}} sup ''f'' ([''a'', ''b''])}}, जहाँ {{math|''M'' {{=}} ∞}} अगर {{math|''f'' ([''a'', ''b''])}} की कोई उच्चतर सीमा नहीं है। अतिशय मूल्य प्रमेय यह बताता है {{math|''M''}} परिमित है और {{math|''f'' (''c'') {{=}} ''M''}} कुछ के लिए {{math|''c'' ∈ [''a'', ''b'']}}। इसे समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
 :{{math|''S''  {{=}}  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  sup ''f'' ([''s'', ''b'']) {{=}} ''M''} }}.
-की परिभाषा के अनुसार {{math|''M''}}, {{math|''a'' ∈ ''S''}}, और अपनी परिभाषा के अनुसार, {{math|''S''}} से घिरा है {{math|''b''}}.
+की परिभाषा के अनुसार {{math|''M''}}, {{math|''a'' ∈ ''S''}}, और {{math|''b''}} अपनी परिभाषा के अनुसार, {{math|''S''}} से घिरा है।
-अगर {{math|''c''}} की सबसे निचली ऊपरी सीमा है {{math|''S''}}, तो यह निरंतरता से अनुसरण करता है कि {{math|''f'' (''c'') {{=}} ''M''}}.
+अगर {{math|''c''}} की सबसे निचली उच्चतर सीमा है {{math|''S''}}, तो यह निरंतरता से इस प्रकार है कि {{math|''f'' (''c'') {{=}} ''M''}}.
 ===हेन-बोरेल प्रमेय===
-होने देना {{math|[''a'', ''b'']}} में एक बंद अंतराल हो {{math|'''R'''}}, और जाने {{math|{''U<sub>α</sub>''} }} खुले सेटों का एक संग्रह हो जो कवर करें (टोपोलॉजी) {{math|[''a'', ''b'']}}. फिर हेन-बोरेल प्रमेय बताता है कि कुछ परिमित उपसंग्रह {{math|{''U<sub>α</sub>''} }} कवर करता है {{math|[''a'', ''b'']}} भी। इस कथन को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
+मान लीजिए कि {{math|[''a'', ''b'']}} {{math|'''R'''}} में एक बंद अंतराल है, और मान लें कि {{math|{''U<sub>α</sub>''} }} विवृत समुच्चयों का एक संग्रह है जो [a, b] को आच्छादित करता है। फिर हेइन-बोरेल प्रमेय बताता है कि {{math|{''U<sub>α</sub>''} }}का कुछ सीमित उपसंग्रह {{math|[''a'', ''b'']}} को भी आच्छादित करता है। इस कथन को समुच्चय पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है
-:{{math|''S''  {{=}}  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  [''a'', ''s''] can be covered by finitely many ''U<sub>α</sub>''} }}.
+:{{math|''S''  {{=}}  {''s'' ∈ [''a'', ''b'']  :  [''a'', ''s''] सीमित रूप से अनेक लोगों द्वारा आच्छादित किया जा सकता है'' U<sub>α</sub>''} }}.
-सेट {{math|''S''}} स्पष्ट रूप से शामिल है {{math|''a''}}, और से घिरा है {{math|''b''}} निर्माण द्वारा.
+समुच्चय {{math|''S''}} में स्पष्ट रूप से {{math|''a''}} सम्मिलित है, और निर्माण द्वारा {{math|''b''}} से घिरा है। न्यूनतम-उच्चतर-परिबद्ध गुण द्वारा, {{math|''S''}} की न्यूनतम उच्चतर सीमा {{math|''c'' ∈ [''a'', ''b'']}} है। इसलिए, {{math|''c''}} स्वयं कुछ खुले समुच्चय {{math|''U<sub>α</sub>''}} का अवयव है, और यह {{math|''c'' < ''b''}} के लिए अनुसरण करता है कि {{math|[''a'', ''c'' + ''δ'']}} को कुछ पर्याप्त छोटे {{math|''δ'' > 0}} के लिए सीमित रूप से कई {{math|''U<sub>α</sub>''}} द्वारा आच्छादित किया जा सकता है। इससे सिद्ध होता है कि {{math|''c'' + ''δ'' ∈ ''S''}} और {{math|''c''}},{{math|''S''}} के लिए उच्चतर सीमा नहीं है। परिणामस्वरूप, {{math|''c'' {{=}} ''b''}}
-न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति से, {{math|''S''}} की न्यूनतम ऊपरी सीमा है {{math|''c'' ∈ [''a'', ''b'']}}.
-इस तरह, {{math|''c''}} स्वयं कुछ खुले सेट का एक तत्व है {{math|''U<sub>α</sub>''}}, और यह इसके लिए अनुसरण करता है {{math|''c'' < ''b''}} वह {{math|[''a'', ''c'' + ''δ'']}} को बहुत से लोगों द्वारा कवर किया जा सकता है {{math|''U<sub>α</sub>''}} कुछ के लिए पर्याप्त रूप से छोटा {{math|''δ'' > 0}}.
-इससे यह सिद्ध होता है {{math|''c'' + ''δ'' ∈ ''S''}} और {{math|''c''}} के लिए कोई ऊपरी सीमा नहीं है {{math|''S''}}.
-फलस्वरूप, {{math|''c'' {{=}} ''b''}}.
 ==इतिहास==
-न्यूनतम-ऊपरी-सीमा वाली संपत्ति के महत्व को सबसे पहले [[बर्नार्ड बोलजानो]] ने अपने 1817 के पेपर में प्रमेय का विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक प्रमाण माना था कि विपरीत परिणाम देने वाले प्रत्येक दो मूल्यों के बीच, समीकरण की कम से कम एक वास्तविक जड़ होती है।<ref name="Sundström">{{cite journal | journal = [[American Mathematical Monthly]] | title = सघनता का एक शैक्षणिक इतिहास| last1 = Raman-Sundström | first1 = Manya | date = August–September 2015 | volume = 122 | issue = 7 | pages = 619–635 | jstor = 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619| doi = 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 | arxiv = 1006.4131 | s2cid = 119936587 }}</ref>
+न्यूनतम-उच्चतर-सीमा वाली गुण के महत्व को सबसे पहले [[बर्नार्ड बोलजानो]] ने अपने 1817 के पेपर में प्रमेय का विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक प्रमाण माना था कि विपरीत परिणाम देने वाले प्रत्येक दो मूल्यों के बीच, समीकरण की न्यूनतम वास्तविक वर्गमूल होती है।<ref name="Sundström">{{cite journal | journal = [[American Mathematical Monthly]] | title = सघनता का एक शैक्षणिक इतिहास| last1 = Raman-Sundström | first1 = Manya | date = August–September 2015 | volume = 122 | issue = 7 | pages = 619–635 | jstor = 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619| doi = 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619 | arxiv = 1006.4131 | s2cid = 119936587 }}</ref>
 ==यह भी देखें==
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 ==टिप्पणियाँ==
 {{Reflist}}
 ==संदर्भ==
 *{{cite book |author=Abbott, Stephen |title=Understanding Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |isbn=0-387-95060-5 |date=2001 |location=New York |publisher=Springer-Verlag }}
@@ Line 97: / Line 94: @@
 *{{cite book |author=Rudin, Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |year=1976 |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3 |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8 }}
 *{{cite book |last=Willard |first=Stephen |title=General Topology |isbn=9780486434797 |orig-year=1970|year=2004 |location=Mineola, N.Y. |publisher=Dover Publications }}
-[[Category: वास्तविक विश्लेषण]] [[Category: आदेश सिद्धांत]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
 [[Category:Created On 30/06/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:आदेश सिद्धांत]]
+[[Category:प्रमाण युक्त लेख]]
+[[Category:वास्तविक विश्लेषण]]

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न्यूनतम-उच्चतर-परिबद्ध गुण: Difference between revisions

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