हॉपफ मैनिफोल्ड

समष्टि ज्यामिति में, एक होपफ मैनिफोल्ड (Hopf 1948) पूर्णांकों के समूह$({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)$की एक मुक्त कार्रवाई द्वारा समष्टि सदिश स्थान (शून्य हटाए गए) $\Gamma \cong {\mathbb {Z} }$ के भागफल के रूप में प्राप्त किया जाता है, जिसमें होलोमोर्फिक संकुचन द्वारा जनरेटर $\gamma$ का $\Gamma$ कार्य होता है। यहां, एक होलोमोर्फिक संकुचन एक मानचित्र `$\gamma :\;{\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }^{n}$ है, जैसे कि एक पर्याप्त बड़ा पुनरावृत्ति $\;\gamma ^{N}$किसी भी दिए गए कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय ${\mathbb {C} }^{n}$ को 0 के एक इच्छित रूप से छोटे निकट पर मैप करता है।

द्वि-आयामी हॉपफ मैनिफोल्ड्स को हॉपफ सतह कहा जाता है।

उदाहरण

एक विशिष्ट स्थिति में, $\Gamma$ एक रैखिक संकुचन द्वारा उत्पन्न होता है, सामान्यतः एक विकर्ण आव्यूह $q\cdot Id$, जिसमें $q\in {\mathbb {C} }$ एक समष्टि संख्या,$0<|q|<1$ होती है। ऐसे मैनिफोल्ड को क्लासिकल हॉफ मैनिफोल्ड कहा जाता है।

गुण

एक हॉपफ मैनिफोल्ड $H:=({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)/{\mathbb {Z} }$ , $S^{2n-1}\times S^{1}$से भिन्न है। $n\geq 2$ के लिए, यह गैर-काहलर है। वास्तव में, यह सहानुभूतिपूर्ण भी नहीं है क्योंकि दूसरा कोहोमोलोजी समूह शून्य है।

हाइपरकॉम्प्लेक्स संरचना

सम-आयामी हॉफ मैनिफोल्ड्स हाइपरकॉम्प्लेक्स संरचना को स्वीकार करते हैं। हॉपफ सतह क्वाटरनियोनिक आयाम 1 का एकमात्र कॉम्पैक्ट हाइपरकॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है जो हाइपरकेहलर नहीं है।

संदर्भ

• Hopf, Heinz (1948), "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten", Studies and Essays Presented to R. Courant on his 60th Birthday, January 8, 1948, Interscience Publishers, Inc., New York, pp. 167–185, MR 0023054
• Ornea, Liviu (2001) [1994], "Hopf manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press