खंडशः रैखिक मैनिफोल्ड: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "{{Short description|Topological manifold with a piecewise linear structure on it.}} गणित में, एक टुकड़ा-वार रैखिक (पीएल)...") |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Short description|Topological manifold with a piecewise linear structure on it.}} | {{Short description|Topological manifold with a piecewise linear structure on it.}} | ||
गणित में, | गणित में, टुकड़ा-वार रैखिक (पीएल) मैनिफोल्ड [[ टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड |टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड]] है, जिस पर टुकड़ा-वार रैखिक संरचना होती है। इस तरह की संरचना को [[एटलस (टोपोलॉजी)]] के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि कोई इसमें [[टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य]]ों द्वारा [[चार्ट (टोपोलॉजी)]] से चार्ट तक जा सकता है। यह [[त्रिकोणासन (टोपोलॉजी)]] की टोपोलॉजिकल धारणा से थोड़ा अधिक मजबूत है।{{efn|A PL structure also requires that the link of a simplex be a PL-sphere. An example of a topological triangulation of a manifold that is not a PL structure is, in dimension ''n'' ≥ 5, the (''n'' − 3)-fold [[Suspension (topology)|suspension]] of the [[Poincaré homology sphere|Poincaré sphere]] (with some fixed triangulation): it has a simplex whose link is the Poincaré sphere, a three-dimensional manifold that is not homeomorphic to a sphere, hence not a PL-sphere. See {{slink|Triangulation (topology)|Piecewise linear structures}} for details.}} | ||
पीएल मैनिफोल्ड्स की | पीएल मैनिफोल्ड्स की समरूपता को पीएल होमियोमोर्फिज्म कहा जाता है. | ||
== मैनिफोल्ड्स की अन्य श्रेणियों से संबंध == | == मैनिफोल्ड्स की अन्य श्रेणियों से संबंध == | ||
| Line 10: | Line 10: | ||
स्मूथ मैनिफोल्ड्स में कैनोनिकल पीएल संरचनाएं होती हैं - त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) पर व्हाइटहेड के प्रमेय के अनुसार, वे विशिष्ट रूप से त्रिकोणीय होते हैं। {{Harv|Whitehead|1940}}<ref>{{Citation |first= Jacob |last= Lurie |authorlink= Jacob Lurie |url= http://www-math.mit.edu/~lurie/937notes/937Lecture3.pdf |title= Whitehead Triangulations (Lecture 3)| date= February 13, 2009 }}</ref><ref>{{springer|id=T/t093230|author=M.A. Shtan'ko|title=Topology of manifolds}}</ref> - लेकिन पीएल मैनिफोल्ड्स में हमेशा [[चिकनी संरचना]]एं नहीं होती हैं - वे हमेशा चिकनी नहीं होती हैं। इस संबंध को पीडीआईएफएफ श्रेणी की शुरुआत करके विस्तृत किया जा सकता है, जिसमें डीआईएफएफ और पीएल दोनों शामिल हैं, और पीएल के बराबर है। | स्मूथ मैनिफोल्ड्स में कैनोनिकल पीएल संरचनाएं होती हैं - त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) पर व्हाइटहेड के प्रमेय के अनुसार, वे विशिष्ट रूप से त्रिकोणीय होते हैं। {{Harv|Whitehead|1940}}<ref>{{Citation |first= Jacob |last= Lurie |authorlink= Jacob Lurie |url= http://www-math.mit.edu/~lurie/937notes/937Lecture3.pdf |title= Whitehead Triangulations (Lecture 3)| date= February 13, 2009 }}</ref><ref>{{springer|id=T/t093230|author=M.A. Shtan'ko|title=Topology of manifolds}}</ref> - लेकिन पीएल मैनिफोल्ड्स में हमेशा [[चिकनी संरचना]]एं नहीं होती हैं - वे हमेशा चिकनी नहीं होती हैं। इस संबंध को पीडीआईएफएफ श्रेणी की शुरुआत करके विस्तृत किया जा सकता है, जिसमें डीआईएफएफ और पीएल दोनों शामिल हैं, और पीएल के बराबर है। | ||
पीएल को डीआईएफएफ से बेहतर व्यवहार करने का | पीएल को डीआईएफएफ से बेहतर व्यवहार करने का तरीका यह है कि कोई पीएल में [[शंकु (टोपोलॉजी)]] ले सकता है, लेकिन डीआईएफएफ में नहीं - शंकु बिंदु पीएल में स्वीकार्य है। | ||
परिणाम यह है कि सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान चार से अधिक आयामों के लिए पीएल में सत्य है - प्रमाण होमोटॉपी क्षेत्र लेना है, दो गेंदों को हटा दें, एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय लागू करें ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि यह सिलेंडर है, और फिर गोले को पुनः प्राप्त करने के लिए शंकु संलग्न करें। यह अंतिम चरण पीएल में काम करता है लेकिन डीआईएफएफ में नहीं, [[विदेशी क्षेत्र]]ों को जन्म देता है। | |||
=== टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स === | === टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स === | ||
| Line 17: | Line 17: | ||
प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पीएल संरचना को स्वीकार नहीं करता है, और जो ऐसा करते हैं, पीएल संरचना को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है - इसमें असीमित रूप से कई हो सकते हैं। हाउप्टवरमुटुंग में इसका विस्तार से वर्णन किया गया है। | प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पीएल संरचना को स्वीकार नहीं करता है, और जो ऐसा करते हैं, पीएल संरचना को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है - इसमें असीमित रूप से कई हो सकते हैं। हाउप्टवरमुटुंग में इसका विस्तार से वर्णन किया गया है। | ||
पीएल संरचना को टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर रखने में बाधा किर्बी-सीबेनमैन वर्ग है। सटीक होने के लिए, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग एम एक्स आर पर पीएल-संरचना रखने के लिए [[बाधा सिद्धांत]] है और आयाम एन> 4 में, केएस वर्ग गायब हो जाता है यदि और केवल अगर एम में कम से कम | पीएल संरचना को टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर रखने में बाधा किर्बी-सीबेनमैन वर्ग है। सटीक होने के लिए, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग एम एक्स आर पर पीएल-संरचना रखने के लिए [[बाधा सिद्धांत]] है और आयाम एन> 4 में, केएस वर्ग गायब हो जाता है यदि और केवल अगर एम में कम से कम पीएल-संरचना है। | ||
=== वास्तविक बीजीय समुच्चय === | === वास्तविक बीजीय समुच्चय === | ||
पीएल मैनिफोल्ड पर | पीएल मैनिफोल्ड पर ए-संरचना संरचना है जो पीएल मैनिफोल्ड को चिकनी मैनिफोल्ड में हल करने का प्रेरक तरीका देती है। कॉम्पैक्ट पीएल मैनिफोल्ड ए-संरचनाओं को स्वीकार करता है।<ref>{{cite journal |first1=S. |last1=Akbulut |first2=L. |last2=Taylor |title=एक टोपोलॉजिकल रिज़ॉल्यूशन प्रमेय|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |series=(N.S.) |volume=2 |issue=1 |year=1980 |pages=174–176 |doi=10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |first1=S. |last1=Akbulut |first2=L. |last2=Taylor |title=एक टोपोलॉजिकल रिज़ॉल्यूशन प्रमेय|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] |volume=53 |issue=1 |year=1981 |pages=163–196 |doi=10.1007/BF02698689 |s2cid=121566364 |url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1981__53__163_0/ }}</ref> कॉम्पैक्ट पीएल मैनिफोल्ड [[वास्तविक बीजगणितीय सेट]] के होमियोमॉर्फिक हैं|वास्तविक-बीजगणितीय सेट।<ref>{{cite journal |first1=S. |last1=Akbulut |first2=H. C. |last2=King |title=वास्तविक बीजगणितीय किस्मों का एक टोपोलॉजिकल लक्षण वर्णन|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |series=(N.S.) |volume=2 |issue=1 |year=1980 |pages=171–173 |doi=10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |first1=S. |last1=Akbulut |first2=H. C. |last2=King |title=टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर वास्तविक बीजगणितीय संरचनाएँ|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS |volume=53 |issue=1 |year=1981 |pages=79–162 |doi=10.1007/BF02698688 |s2cid=13323578 |url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1981__53__79_0/ }}</ref> दूसरे तरीके से कहें तो, ए-श्रेणी पीएल-श्रेणी के ऊपर समृद्ध श्रेणी के रूप में बैठती है, जिसमें उठाने में कोई बाधा नहीं है, यानी बीए → बीपीएल बीए = बीपीएल × पीएल/ए के साथ उत्पाद फ़िब्रेशन है, और पीएल मैनिफोल्ड वास्तविक बीजगणितीय सेट हैं क्योंकि ए -मैनिफोल्ड्स वास्तविक बीजगणितीय सेट हैं। | ||
=== कॉम्बिनेटोरियल मैनिफोल्ड्स और [[ डिजिटल मैनिफ़ोल्ड ]]्स === | === कॉम्बिनेटोरियल मैनिफोल्ड्स और [[ डिजिटल मैनिफ़ोल्ड |डिजिटल मैनिफ़ोल्ड]] ्स === | ||
* [[कॉम्बिनेटरियल मैनिफोल्ड]] | * [[कॉम्बिनेटरियल मैनिफोल्ड]] प्रकार का मैनिफोल्ड है जो मैनिफोल्ड का विवेकाधीन होता है। आमतौर पर इसका मतलब [[सरल परिसरों]] द्वारा बनाई गई टुकड़े-टुकड़े रैखिक मैनिफोल्ड से है। | ||
* डिजिटल मैनिफोल्ड | * डिजिटल मैनिफोल्ड विशेष प्रकार का कॉम्बिनेटरियल मैनिफोल्ड है जिसे डिजिटल स्पेस में परिभाषित किया गया है। [[डिजिटल टोपोलॉजी]] देखें. | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
| Line 32: | Line 32: | ||
==टिप्पणियाँ== | ==टिप्पणियाँ== | ||
{{notelist}} | {{notelist}} | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 10:55, 14 July 2023
गणित में, टुकड़ा-वार रैखिक (पीएल) मैनिफोल्ड टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड है, जिस पर टुकड़ा-वार रैखिक संरचना होती है। इस तरह की संरचना को एटलस (टोपोलॉजी) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि कोई इसमें टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों द्वारा चार्ट (टोपोलॉजी) से चार्ट तक जा सकता है। यह त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) की टोपोलॉजिकल धारणा से थोड़ा अधिक मजबूत है।[lower-alpha 1]
पीएल मैनिफोल्ड्स की समरूपता को पीएल होमियोमोर्फिज्म कहा जाता है.
मैनिफोल्ड्स की अन्य श्रेणियों से संबंध
पीडीआईएफएफ डीआईएफएफ और पीएल को जोड़ने का काम करता है और यह पीएल के बराबर है।
पीएल, या अधिक सटीक रूप से पीडीआईएफएफ, डीआईएफएफ (चिकनी कई गुना ्स की श्रेणी) और टॉप (टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स की श्रेणी) के बीच बैठता है: यह डीआईएफएफ की तुलना में स्पष्ट रूप से बेहतर व्यवहार करता है - उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान पीएल में सच है (संभव के साथ) आयाम 4 का अपवाद, जहां यह डीआईएफएफ के बराबर है), लेकिन आम तौर पर डीआईएफएफ में गलत है - लेकिन टीओपी से भी बदतर व्यवहार किया जाता है, जैसा कि सर्जरी सिद्धांत में बताया गया है।
चिकनी कई गुना
स्मूथ मैनिफोल्ड्स में कैनोनिकल पीएल संरचनाएं होती हैं - त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) पर व्हाइटहेड के प्रमेय के अनुसार, वे विशिष्ट रूप से त्रिकोणीय होते हैं। (Whitehead 1940)[1][2] - लेकिन पीएल मैनिफोल्ड्स में हमेशा चिकनी संरचनाएं नहीं होती हैं - वे हमेशा चिकनी नहीं होती हैं। इस संबंध को पीडीआईएफएफ श्रेणी की शुरुआत करके विस्तृत किया जा सकता है, जिसमें डीआईएफएफ और पीएल दोनों शामिल हैं, और पीएल के बराबर है।
पीएल को डीआईएफएफ से बेहतर व्यवहार करने का तरीका यह है कि कोई पीएल में शंकु (टोपोलॉजी) ले सकता है, लेकिन डीआईएफएफ में नहीं - शंकु बिंदु पीएल में स्वीकार्य है। परिणाम यह है कि सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान चार से अधिक आयामों के लिए पीएल में सत्य है - प्रमाण होमोटॉपी क्षेत्र लेना है, दो गेंदों को हटा दें, एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय लागू करें ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि यह सिलेंडर है, और फिर गोले को पुनः प्राप्त करने के लिए शंकु संलग्न करें। यह अंतिम चरण पीएल में काम करता है लेकिन डीआईएफएफ में नहीं, विदेशी क्षेत्रों को जन्म देता है।
टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स
प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पीएल संरचना को स्वीकार नहीं करता है, और जो ऐसा करते हैं, पीएल संरचना को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है - इसमें असीमित रूप से कई हो सकते हैं। हाउप्टवरमुटुंग में इसका विस्तार से वर्णन किया गया है।
पीएल संरचना को टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर रखने में बाधा किर्बी-सीबेनमैन वर्ग है। सटीक होने के लिए, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग एम एक्स आर पर पीएल-संरचना रखने के लिए बाधा सिद्धांत है और आयाम एन> 4 में, केएस वर्ग गायब हो जाता है यदि और केवल अगर एम में कम से कम पीएल-संरचना है।
वास्तविक बीजीय समुच्चय
पीएल मैनिफोल्ड पर ए-संरचना संरचना है जो पीएल मैनिफोल्ड को चिकनी मैनिफोल्ड में हल करने का प्रेरक तरीका देती है। कॉम्पैक्ट पीएल मैनिफोल्ड ए-संरचनाओं को स्वीकार करता है।[3][4] कॉम्पैक्ट पीएल मैनिफोल्ड वास्तविक बीजगणितीय सेट के होमियोमॉर्फिक हैं|वास्तविक-बीजगणितीय सेट।[5][6] दूसरे तरीके से कहें तो, ए-श्रेणी पीएल-श्रेणी के ऊपर समृद्ध श्रेणी के रूप में बैठती है, जिसमें उठाने में कोई बाधा नहीं है, यानी बीए → बीपीएल बीए = बीपीएल × पीएल/ए के साथ उत्पाद फ़िब्रेशन है, और पीएल मैनिफोल्ड वास्तविक बीजगणितीय सेट हैं क्योंकि ए -मैनिफोल्ड्स वास्तविक बीजगणितीय सेट हैं।
कॉम्बिनेटोरियल मैनिफोल्ड्स और डिजिटल मैनिफ़ोल्ड ्स
- कॉम्बिनेटरियल मैनिफोल्ड प्रकार का मैनिफोल्ड है जो मैनिफोल्ड का विवेकाधीन होता है। आमतौर पर इसका मतलब सरल परिसरों द्वारा बनाई गई टुकड़े-टुकड़े रैखिक मैनिफोल्ड से है।
- डिजिटल मैनिफोल्ड विशेष प्रकार का कॉम्बिनेटरियल मैनिफोल्ड है जिसे डिजिटल स्पेस में परिभाषित किया गया है। डिजिटल टोपोलॉजी देखें.
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ A PL structure also requires that the link of a simplex be a PL-sphere. An example of a topological triangulation of a manifold that is not a PL structure is, in dimension n ≥ 5, the (n − 3)-fold suspension of the Poincaré sphere (with some fixed triangulation): it has a simplex whose link is the Poincaré sphere, a three-dimensional manifold that is not homeomorphic to a sphere, hence not a PL-sphere. See Triangulation (topology) § Piecewise linear structures for details.
संदर्भ
- ↑ Lurie, Jacob (February 13, 2009), Whitehead Triangulations (Lecture 3) (PDF)
- ↑ M.A. Shtan'ko (2001) [1994], "Topology of manifolds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- ↑ Akbulut, S.; Taylor, L. (1980). "एक टोपोलॉजिकल रिज़ॉल्यूशन प्रमेय". Bulletin of the American Mathematical Society. (N.S.). 2 (1): 174–176. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14709-6.
- ↑ Akbulut, S.; Taylor, L. (1981). "एक टोपोलॉजिकल रिज़ॉल्यूशन प्रमेय". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 53 (1): 163–196. doi:10.1007/BF02698689. S2CID 121566364.
- ↑ Akbulut, S.; King, H. C. (1980). "वास्तविक बीजगणितीय किस्मों का एक टोपोलॉजिकल लक्षण वर्णन". Bulletin of the American Mathematical Society. (N.S.). 2 (1): 171–173. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14708-4.
- ↑ Akbulut, S.; King, H. C. (1981). "टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर वास्तविक बीजगणितीय संरचनाएँ". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 53 (1): 79–162. doi:10.1007/BF02698688. S2CID 13323578.
- Whitehead, J. H. C. (October 1940). "On C1-Complexes". The Annals of Mathematics. Second Series. 41 (4): 809–824. doi:10.2307/1968861. JSTOR 1968861.
- Rudyak, Yuli B. (2001). "Piecewise linear structures on topological manifolds". arXiv:math.AT/0105047.
