टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी: Difference between revisions

Revision as of 00:35, 14 July 2023

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी या टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय टोपोलॉजिकल समिष्ट की प्रॉपर्टी है जो होमियोमोर्फिज्म के अनुसार अपरिवर्तनीय (गणित) है। वैकल्पिक रूप से, टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी टोपोलॉजिकल समिष्ट का वर्ग समुच्चय सिद्धांत है जो होमोमोर्फिज्म के अनुसार विवृत है। अर्थात्, समिष्ट की प्रॉपर्टी सांस्थितिक प्रॉपर्टी है यदि जब भी कोई समिष्ट X उस प्रॉपर्टी के पास होमोमॉर्फिक से X के पास वह गुण रखता है। सामान्यतः, सामयिक प्रॉपर्टी समिष्ट की प्रॉपर्टी है जिसे संवृत समुच्चयों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

टोपोलॉजी में सामान्य समस्या यह तय करना है कि दो टोपोलॉजिकल समिष्ट होमियोमॉर्फिक हैं या नहीं है। यह सिद्ध करने के लिए कि दो समिष्ट होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, यह सांस्थितिक गुण खोजने के लिए पर्याप्त है जो उनके द्वारा साझा नहीं किया गया है।

सामयिक गुणों के गुण

एक प्रॉपर्टी $P$ है:

अनुवांशिक, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल समिष्ट के लिए $(X,{\mathcal {T}})$ और ससाधारणतःमुच्चय $S\subseteq X,$ ससाधारणतःमिष्ट (टोपोलॉजी) $\left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)$ प्रॉपर्टी $P.$ है
दुर्बल अनुवांशिक, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल समिष्ट के लिए $(X,{\mathcal {T}})$ और विवृत उपसमुच्चय $S\subseteq X,$ उप-समिष्ट $\left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)$ प्रॉपर्टी $P.$ है

सामान्य सामयिक गुण

कार्डिनल फलन

प्रमुखता | x | समिष्ट का X है।
कार्डिनलिटी $\vert$ T (X) $\vert$ समिष्ट X की टोपोलॉजी (संवृत उपसमुच्चय का समुच्चय)।
वजन डब्ल्यू (X), समिष्ट X के आधार (टोपोलॉजी) की कम से कम कार्डिनैलिटी।
घनत्व d (X), X के ससाधारणतःमुच्चय की ससाधारणतःे कम कार्डिनैलिटी जिसका समापन X है।

पृथक्करण

ध्यान दें कि इनमें से कुछ शब्द पुराने गणितीय साहित्य में अलग विधि से परिभाषित किए गए हैं; पृथक्करण स्वयंसिद्धों का इतिहास देखें।

T₀ या कोलमोगोरोव समिष्ट कोलमोगोरोव समिष्ट है यदि समिष्ट में अलग-अलग बिंदुओं x और y के प्रत्येक जोड़े के लिए, कम से कम या तो संवृत समुच्चय है जिसमें x है किन्तु y नहीं है, या संवृत समुच्चय जिसमें y है किन्तु x नहीं है।
T₁ या फ्रेचेट समिष्ट T1 समिष्ट है। यदि समिष्ट में अलग-अलग बिंदुओं x और y के प्रत्येक जोड़े के लिए संवृत समुच्चय है जिसमें x है, किन्तु y नहीं है। (T₀ से तुलना करें; यहां, हमें यह निर्दिष्ट करने की अनुमति है कि संवृत समुच्चय में कौन सा बिंदु समाहित होगा।) समान रूप से, समिष्ट T₁ है यदि इसके सभी सिंगलटन विवृत हैं। T₁ समिष्ट सदैव T₀ होते हैं.
समिष्ट क्लोज्ड समिष्ट है यदि प्रत्येक इर्रिड्यूसिबल क्लोज्ड समुच्चय C का अद्वितीय सामान्य बिंदु p है। दूसरे शब्दों में, यदि C दो छोटे विवृत उपसमुच्चयों का (संभवत: अविच्छिन्न) मिलन नहीं है, तो p ऐसा है कि {p} का विवृत होना C' के बराबर है। और 'p' इस प्रॉपर्टी के साथ एकमात्र बिंदु है।
T₂या हॉसडॉर्फ समिष्ट हौसडॉर्फ समिष्ट है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में असंबद्ध निकट हैं। T₂ समिष्ट सदैव T₁ होते हैं.
T_2½या उरीसोहन समिष्ट उरीसोहन है और पुर्णतः हौसडॉर्फ समिष्ट है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में विवृत निकट हैं। T_2½ समिष्ट सदैव T होते हैं₂.
पुर्णतः T₂ या पुर्णतः हॉसडॉर्फ समिष्ट पुर्णतः हौसडॉर्फ समिष्ट है | पुर्णतः T₂ यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं को फलन द्वारा अलग किया जाता है। हर पुर्णतः हॉउसडॉर्फ समिष्ट उरीसोहन है।
नियमित समिष्ट नियमित समिष्ट है यदि जब भी C विवृत समुच्चय है और P C में नहीं है, तो C और P के आस-पास निकट हैं।
T₃या नियमित हॉसडॉर्फ समिष्ट नियमित हॉसडॉर्फ समिष्ट है यदि यह नियमित T है₀ समिष्ट (एक नियमित समिष्ट हॉसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह T₀ है, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।)
पुर्णतः नियमित समिष्ट टायचोनॉफ समिष्ट है यदि जब भी C विवृत समुच्चय है और P बिंदु है जो C में नहीं है, तो C और {P} द्वारा अलग किया जाता है ।
T_3½, टाइकोनॉफ़, पुर्णतः नियमित हॉसडॉर्फ या पुर्णतः T₃. टाइकोनॉफ समिष्ट पुर्णतः नियमित T₀ समिष्ट है। (एक पुर्णतः नियमित समिष्ट हौसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह T₀ है, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।) टायकोनॉफ़ समिष्ट सदैव नियमित हौसडॉर्फ होते हैं।
सामान्य समिष्ट सामान्य समिष्ट है यदि किन्हीं भी दो अलग-अलग विवृत समुच्चयों में अलग-अलग निकट हैं। सामान्य समिष्ट एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं।
T₄या सामान्य हॉसडॉर्फ सामान्य समिष्ट हौसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह T₁ है. सामान्य हॉसडॉर्फ समिष्ट सदैव टाइकोनॉफ होते हैं।
पूर्णतः सामान्य समिष्ट पुर्णतः सामान्य है यदि दो अलग-अलग समुच्चय में असंबद्ध निकट हैं।
T₅या पुर्णतः सामान्य हौसडॉर्फ हॉउसडॉर्फ पुर्णतः सामान्य समिष्ट है यदि और केवल यदि यह T₁ है. पुर्णतः सामान्य हॉउसडॉर्फ समिष्ट सदैव सामान्य हॉसडॉर्फ होते हैं।
पुर्णतः सामान्य समिष्ट पुर्णतः सामान्य समिष्ट है यदि कोई भी दो अलग-अलग विवृत समुच्चय कि C फलन द्वारा स्पष्ट रूप से अलग हो जाते हैं। पुर्णतः सामान्य समिष्ट भी पुर्णतः सामान्य होना चाहिए।
T₆या पुर्णतः सामान्य हॉसडॉर्फ, या पुर्णतः T₄. समिष्ट पुर्णतः सामान्य हौसडॉर्फ समिष्ट है, यदि यह पुर्णतः सामान्य और T₁ दोनों है. पुर्णतः सामान्य हॉउसडॉर्फ समिष्ट भी पुर्णतः सामान्य हॉउसडॉर्फ होना चाहिए।
असतत समिष्ट असतत समिष्ट है यदि इसके सभी बिंदु पुर्णतः अलग-थलग हैं, अर्थात यदि कोई उपसमुच्चय संवृत है।
पृथक बिंदुओं की संख्या टोपोलॉजिकल समिष्ट के पृथक बिंदुओं की संख्या है।

गणना के नियम

वियोज्य समिष्ट वियोज्य (टोपोलॉजी) है यदि इसमें गणनीय सघन उपसमुच्चय है।
प्रथम-गणनीय समिष्ट प्रथम-गणनीय समिष्ट है | प्रथम-गणनीय है यदि प्रत्येक बिंदु का गणनीय समिष्टीय आधार है।
दूसरा-गणनीय समिष्ट दूसरी-गणना योग्य समिष्ट है | दूसरी-गणना योग्य है यदि इसकी टोपोलॉजी के लिए गणनीय आधार है। द्वितीय-गणनीय समिष्ट सदैव वियोज्य होते हैं, प्रथम-गणनीय और लिंडेलोफ़ है।

संबद्धता

कनेक्टेड समिष्ट संयोजित समिष्ट है यदि यह असंयुक्त गैर-शून्य संवृत समुच्चयों की जोड़ी का मिलन नहीं है। समतुल्य रूप से, समिष्ट संयोजित है यदि केवल क्लोपेन समुच्चय शून्य समुच्चय और स्वयं हैं।
समिष्टीय रूप से संयोजित समिष्ट समिष्टीय रूप से संयोजित है यदि प्रत्येक बिंदु का समिष्टीय आधार है जिसमें कनेक्टेड समुच्चय सम्मिलित हैं।
पुर्णतः डिस्कनेक्ट समिष्ट पुर्णतः डिस्कनेक्ट हो जाता है यदि इसमें से अधिक बिंदुओं के साथ कोई संयोजित उपसमुच्चय नहीं है।
पथ-संयोजित समिष्ट X समिष्टीय रूप से पथ से संयोजित है यदि X में हर दो बिंदु x, y के लिए, x से p के लिए पाथ y है , अर्थात, सतत मैप p: [0,1] → X with p(0) = x और p( 1) = y है। पथ से जुड़े समिष्ट सदैव जुड़े रहते हैं।
समिष्टीय रूप से पथ से जुड़े समिष्ट समिष्टीय रूप से पथ से संयोजित है यदि प्रत्येक बिंदु में समिष्टीय आधार है जिसमें पथ से जुड़े समुच्चय सम्मिलित हैं। समिष्टीय रूप से पथ से जुड़ा समिष्ट संयोजित है यदि और केवल यदि यह पथ से संयोजित है।
चाप से संयोजित समिष्ट X चाप से संयोजित है यदि X में प्रत्येक दो बिंदुओं x, y के लिए, x से चाप f y है , अर्थात, इंजेक्शन कंटीन्यूअस मैप f: [0,1] → X with p(0) = x and p (1) = य चाप संयोजित समिष्ट पाथ-कनेक्टेड होते हैं
साधारणतः संयोजित है। समिष्ट X केवल संयोजित है यदि यह पथ से संयोजित है और प्रत्येक निरंतर मैप f: S¹ → X स्थिर मैप के लिए समरूप है।
'समिष्टीय रूप से सरलता से जुड़ा' समिष्ट X समिष्टीय रूप से साधारणतः संयोजित समिष्ट है यदि X में प्रत्येक बिंदु x का निकट U का समिष्टीय आधार है जो साधारणतः संयोजित है।
'अर्ध-समिष्टीय रूप से संयोजित है समिष्ट X अर्ध-समिष्टीय रूप से सरल रूप से संयोजित है यदि प्रत्येक बिंदु का निकट U का समिष्टीय आधार है जैसे कि U में प्रत्येक लूप X में अनुबंधित है। अर्ध-समिष्टीय सरल कनेक्टिविटी, समिष्टीय सरल कनेक्टिविटी की तुलना में सख्त अशक्त स्थिति, के लिए आवश्यक नियम है सार्वभौमिक आवरण का अस्तित्व है।
'संविदात्मक' समिष्ट X अनुबंधित समिष्ट है यदि X पर पहचान कार्य स्थिर मैप के लिए होमोटोपिक है। अनुबंधित समिष्ट सदैव साधारणतः जुड़े होते हैं।
'हाइपरकनेक्टेड' यदि कोई दो गैर-शून्य संवृत समुच्चय असंयुक्त नहीं हैं, तो समिष्ट हाइपरकनेक्टेड है। प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड समिष्ट संयोजित है।
'अल्ट्राकनेक्टेड' यदि कोई दो गैर-शून्य विवृत समुच्चय अलग नहीं होते हैं तो समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है। प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट पाथ-कनेक्टेड है।
'अविवेकी' या 'सामान्य समिष्ट अंधाधुंध समिष्ट है यदि केवल संवृत समुच्चय शून्य समुच्चय और स्वयं हैं। कहा जाता है कि इस तरह के समिष्ट में सामान्य टोपोलॉजी होती है।

सघनता

सघन समिष्ट सघन समिष्ट होता है यदि प्रत्येक संवृत आवरण में परिमित सब आवरण होता है। कुछ लेखक इन समिष्टों को हॉसडॉर्फ समिष्ट समिष्ट के लिए क्वै C सघन और रिजर्व सघन कहते हैं, जहां हर संवृत आवरण में परिमित उपआवरण होता है। सघन समिष्ट सदैव लिंडेलोफ़ और हॉसडॉर्फ़ होते हैं। सघन हौसडॉर्फ समिष्ट इसलिए सामान्य हैं।
क्रमिक रूप से सघन होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में अभिसारी क्रम होता है।
गणनात्मक रूप से सघन यदि प्रत्येक गणनीय संवृत आवरण में परिमित उपआवरण होता है, जिससे समिष्ट गणनात्मक रूप से सघन होता है।
स्यूडोसघन । समिष्ट स्यूडोसघन है यदि समिष्ट पर प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य C की कमी है।
σ-सघन। समिष्ट σ-सघन समिष्ट है | σ-सघन यदि यह गिनती के कई सघन ससाधारणतःमुच्चय का मिलन है।
लिंडेलोफ समिष्ट लिंडेलोफ समिष्ट है | लिंडेलोफ यदि हर संवृत आवरण में गणनीय उपआवरण होता है।
पैराकॉम्पैक्ट समिष्ट पैराकॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक संवृत आवरण में समिष्टीय रूप से परिमित परिशोधन होता है। पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समिष्ट सामान्य हैं।
समिष्टीय रूप से सघन या समिष्ट समिष्टीय रूप से सघन होता है यदि प्रत्येक बिंदु में सघन निकट से युक्त समिष्टीय आधार होता है। थोड़ी अलग परिभाषाओं का भी उपयोग किया जाता है। समिष्टीय रूप से सघन हौसडॉर्फ समिष्ट सदैव टाइकोनॉफ होते हैं।
अल्ट्राकनेक्टेड सघन या अल्ट्रा-कनेक्टेड सघन समिष्ट X में प्रत्येक संवृत आवरण में X ही होना चाहिए। गैर-शून्य अल्ट्रा-कनेक्टेड सघन समिष्ट में ससाधारणतः बड़ा उचित संवृत उपसमुच्चय होता है जिसे मोनोलिथ कहा जाता है।

मेट्रिज़ेबिलिटी

मेट्रिजेबल या समिष्ट मेट्रिक योग्य समिष्ट है यदि यह मीट्रिक समिष्ट के लिए होमोमोर्फिक है। मेट्रिजेबल समिष्ट सदैव हौसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट (और इसलिए सामान्य और टाइकोनॉफ़) होते हैं, और पहले-गिनने योग्य होते हैं। इसके अतिरिक्त, टोपोलॉजिकल समिष्ट (X, T) को मेट्रिजेबल कहा जाता है यदि X के लिए मीट्रिक उपस्थित है जैसे कि मीट्रिक टोपोलॉजी T (d) टोपोलॉजी T के समान है।
पोलिश या समिष्ट को पोलिश समिष्ट कहा जाता है यदि यह वियोज्य और पूर्ण मीट्रिक के साथ मेट्रिजेबल है।
समिष्टीय रूप से मेट्रिजेबल या समिष्ट समिष्टीय रूप से मेट्रिज़ेबल है यदि प्रत्येक बिंदु में मेट्रिज़ेबल निकट है।

विविध

बायर समिष्ट या समिष्ट X बाहर की समिष्ट है यदि यह अपने आप में कम समुच्चय नहीं है। समान रूप से, X बायर समिष्ट है यदि गिने-चुने घने संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन है।
दरवाजे की समिष्ट। टोपोलॉजिकल समिष्ट डोर समिष्ट है यदि हर ससाधारणतःमुच्चय संवृत या विवृत (या दोनों) है।
टोपोलॉजिकल एकरूपता। समिष्ट X (स्थलीय रूप से) सजातीय समिष्ट है यदि X में प्रत्येक x और y के लिए होमोमोर्फिज्म है $f:X\to X$ ऐसा है कि $f(x)=y.$ सहज रूप से बोलते हुए, इसका मतलब है कि समिष्ट हर बिंदु पर समान दिखता है। सभी टोपोलॉजिकल समूह सजातीय हैं।
अंतिम रूप से उत्पन्न या अलेक्जेंड्रोव। समिष्ट X अलेक्जेंडर टोपोलॉजी है यदि X में संवृत समुच्चयों के मनमाना चौराहे संवृत हैं, या समतुल्य हैं यदि विवृत समुच्चयों के मनमाना संघ विवृत हैं। ये टोपोलॉजिकल समिष्ट और निरंतर मैपों की श्रेणी के स्पष्ट रूप से जेनरेट किए गए ऑब्जेक्ट सदस्य हैं।
शून्य आयामी। समिष्ट शून्य-आयामी है यदि उसके पास क्लोपेन समुच्चय का आधार है। ये '0' के छोटे आगमनात्मक आयाम वाले समिष्ट हैं।
लगभग असतत। यदि प्रत्येक संवृत समुच्चय विवृत है (इसलिए क्लोपेन) तो समिष्ट लगभग असतत है। लगभग असतत समिष्ट स्पष्ट रूप से उत्पन्न शून्य-आयामी समिष्ट हैं।
बूलियन। समिष्ट बूलियन समिष्ट है यदि यह शून्य-आयामी, सघन और हॉसडॉर्फ (समकक्ष रूप से, पुर्णतः डिस्कनेक्ट, सघन और हॉसडॉर्फ) है। ये ठीक वे समिष्ट हैं जो बूलियन बीजगणित (संरचना) के स्टोन समिष्ट के लिए होमोमोर्फिक हैं।
रिडेमिस्टर मरोड़
$\kappa$ - हल करने योग्य। समिष्ट को κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है^[1] (क्रमशः: लगभग κ-रिज़ॉल्वेबल) यदि इसमें κ सघन समुच्चय होते हैं जो जोड़ीदार रूप से अलग होते हैं (क्रमशः: कहीं नहीं घने उपसमुच्चय के आदर्श पर लगभग अलग)। यदि समिष्ट नहीं है $\kappa$ - हल करने योग्य तो इसे कहा जाता है $\kappa$ -अनिवार्य।
अधिकतम हल करने योग्य। समिष्ट $X$ यदि यह है तो अधिकतम हल करने योग्य है $\Delta (X)$ - हल करने योग्य, कहाँ $\Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.$ संख्या $\Delta (X)$ का फैलाव लक्षण कहलाता है $X.$
अत्यधिक असतत। तय करना $D$ समिष्ट का दृढ़ता से असतत उपसमुच्चय है $X$ यदि अंक में $D$ जोड़ीदार असंबद्ध निकट द्वारा अलग किया जा सकता है। समिष्ट $X$ कहा जाता है कि यदि प्रत्येक गैर-पृथक बिंदु दृढ़ता से असतत है $X$ कुछ अत्यधिक असतत समुच्चय का Cमा बिंदु है।

गैर-स्थलीय गुण

मेट्रिक समिष्ट आदि के गुणों के कई उदाहरण हैं, जो टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। प्रॉपर्टी दिखाने के लिए $P$ टोपोलॉजिकल नहीं है, यह दो होमियोमॉर्फिक टोपोलॉजिकल समिष्ट खोजने के लिए पर्याप्त है $X\cong Y$ ऐसा है कि $X$ है $P$ , किन्तु $Y$ नहीं है $P$ .

उदाहरण के लिए, मेट्रिक समिष्ट के मीट्रिक समिष्ट गुण # बाउंडेड और पुर्णतः बाउंड समिष्ट और मेट्रिक समिष्ट # कम्प्लीट समिष्ट टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। होने देना $X=\mathbb {R}$ और $Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})$ मानक मीट्रिक के साथ मीट्रिक समिष्ट हो। तब, $X\cong Y$ होमोमोर्फिज्म के माध्यम से $\operatorname {arctan} \colon X\to Y$ . हालाँकि, $X$ पूर्ण है किन्तु बाध्य नहीं है, जबकि $Y$ बंधा हुआ है किन्तु पूरा नहीं है।

यह भी देखें

उद्धरण

↑ Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "संकल्पशीलता और मोनोटोन सामान्यता". Israel Journal of Mathematics. 166 (1): 1–16. arXiv:math/0609092. doi:10.1007/s11856-008-1017-y. ISSN 0021-2172. S2CID 14743623.

संदर्भ

Willard, Stephen (1970). General topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. p. 369. ISBN 9780486434797.
Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein and Graciana Puentes, Entanglement engineering and topological protection by discrete-time quantum walks, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf

[1] Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "संकल्पशीलता और मोनोटोन सामान्यता". Israel Journal of Mathematics. 166 (1): 1–16. arXiv:math/0609092. doi:10.1007/s11856-008-1017-y. ISSN 0021-2172. S2CID 14743623.

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 {{Short description|Mathematical property of a space}}
-[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, टोपोलॉजिकल संपत्ति या टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] की संपत्ति है जो [[होमियोमोर्फिज्म]] के तहत इनवेरिएंट (गणित) है। वैकल्पिक रूप से, टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]] है जो होमोमोर्फिज्म के तहत बंद है। अर्थात्, रिक्त स्थान की संपत्ति सांस्थितिक संपत्ति है यदि जब भी कोई स्थान ''X'' उस संपत्ति के पास होमोमॉर्फिक से ''X'' के पास वह गुण रखता है। अनौपचारिक रूप से, सामयिक संपत्ति अंतरिक्ष की संपत्ति है जिसे खुले सेटों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
+[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी या टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समिष्ट]] की प्रॉपर्टी है जो [[होमियोमोर्फिज्म]] के अनुसार अपरिवर्तनीय (गणित) है। वैकल्पिक रूप से, टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी टोपोलॉजिकल समिष्ट का [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग समुच्चय सिद्धांत]] है जो होमोमोर्फिज्म के अनुसार विवृत है। अर्थात्, समिष्ट की प्रॉपर्टी सांस्थितिक प्रॉपर्टी है यदि जब भी कोई समिष्ट ''X'' उस प्रॉपर्टी के पास होमोमॉर्फिक से ''X'' के पास वह गुण रखता है। सामान्यतः, सामयिक प्रॉपर्टी समिष्ट की प्रॉपर्टी है जिसे संवृत समुच्चयों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
-टोपोलॉजी में आम समस्या यह तय करना है कि दो टोपोलॉजिकल स्पेस [[होमियोमॉर्फिक]] हैं या नहीं। यह साबित करने के लिए कि दो स्थान होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, यह सांस्थितिक गुण खोजने के लिए पर्याप्त है जो उनके द्वारा साझा नहीं किया गया है।
+टोपोलॉजी में सामान्य समस्या यह तय करना है कि दो टोपोलॉजिकल समिष्ट [[होमियोमॉर्फिक]] हैं या नहीं है। यह सिद्ध करने के लिए कि दो समिष्ट होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, यह सांस्थितिक गुण खोजने के लिए पर्याप्त है जो उनके द्वारा साझा नहीं किया गया है।
 == सामयिक गुणों के गुण ==
-एक संपत्ति <math>P</math> है:
+एक प्रॉपर्टी <math>P</math> है:
-* वंशानुगत, अगर हर टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए <math>(X, \mathcal{T})</math> और सबसेट <math>S \subseteq X,</math> [[सबस्पेस (टोपोलॉजी)]] <math>\left(S, \mathcal{T}|_S\right)</math> संपत्ति है <math>P.</math>
+* अनुवांशिक, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल समिष्ट के लिए <math>(X, \mathcal{T})</math> और ससाधारणतःमुच्चय <math>S \subseteq X,</math> [[सबस्पेस (टोपोलॉजी)|ससाधारणतःमिष्ट (टोपोलॉजी)]] <math>\left(S, \mathcal{T}|_S\right)</math> प्रॉपर्टी <math>P.</math> है
-* दुर्बल वंशानुगत, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए <math>(X, \mathcal{T})</math> और बंद उपसमुच्चय <math>S \subseteq X,</math> उप-स्थान <math>\left(S, \mathcal{T}|_S\right)</math> संपत्ति है <math>P.</math>
+* दुर्बल अनुवांशिक, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल समिष्ट के लिए <math>(X, \mathcal{T})</math> और विवृत उपसमुच्चय <math>S \subseteq X,</math> उप-समिष्ट <math>\left(S, \mathcal{T}|_S\right)</math> प्रॉपर्टी <math>P.</math> है
 == सामान्य सामयिक गुण ==
-=== कार्डिनल फ़ंक्शंस ===
+=== कार्डिनल फलन ===
-{{Main|Cardinal function#Cardinal functions in topology}}
+{{Main|कार्डिनल फलन#टोपोलॉजी में कार्डिनल फलन}}
-* [[ प्रमुखता ]] | एक्स | अंतरिक्ष का एक्स।
+* [[ प्रमुखता ]] | x | समिष्ट का X है।
-* कार्डिनलिटी <math>\vert</math>टी (एक्स)<math>\vert</math> अंतरिक्ष X की टोपोलॉजी (खुले उपसमुच्चय का सेट)।
+* कार्डिनलिटी <math>\vert</math>T (X)<math>\vert</math> समिष्ट X की टोपोलॉजी (संवृत उपसमुच्चय का समुच्चय)।
-* वजन डब्ल्यू (एक्स), अंतरिक्ष एक्स के [[आधार (टोपोलॉजी)]] की कम से कम कार्डिनैलिटी।
+* वजन डब्ल्यू (X), समिष्ट X के [[आधार (टोपोलॉजी)]] की कम से कम कार्डिनैलिटी।
-* घनत्व डी (एक्स), एक्स के सबसेट की सबसे कम कार्डिनैलिटी जिसका समापन एक्स है।
+* घनत्व d (X), X के ससाधारणतःमुच्चय की ससाधारणतःे कम कार्डिनैलिटी जिसका समापन X है।
-=== जुदाई ===
+=== पृथक्करण ===
-{{Main|Separation axiom}}
+{{Main|पृथक्करण अभिगृहीत}}
-ध्यान दें कि इनमें से कुछ शब्द पुराने गणितीय साहित्य में अलग तरीके से परिभाषित किए गए हैं; [[पृथक्करण स्वयंसिद्धों का इतिहास]] देखें।
-* टी<sub>0</sub>या कोलमोगोरोव। स्थान [[कोलमोगोरोव अंतरिक्ष]] है यदि अंतरिक्ष में अलग-अलग बिंदुओं ''x'' और ''y'' के प्रत्येक जोड़े के लिए, कम से कम या तो खुला सेट है जिसमें ''x'' है लेकिन ''y'' नहीं है, या खुला सेट जिसमें ''y'' है लेकिन ''x'' नहीं है।
+ध्यान दें कि इनमें से कुछ शब्द पुराने गणितीय साहित्य में अलग विधि से परिभाषित किए गए हैं; [[पृथक्करण स्वयंसिद्धों का इतिहास]] देखें।
-* टी<sub>1</sub>या फ्रेचेट। स्पेस T1 स्पेस है। अगर स्पेस में अलग-अलग बिंदुओं ''x'' और ''y'' के प्रत्येक जोड़े के लिए खुला सेट है जिसमें ''x'' है, लेकिन ''y'' नहीं है। (टी से तुलना करें<sub>0</sub>; यहां, हमें यह निर्दिष्ट करने की अनुमति है कि खुले सेट में कौन सा बिंदु समाहित होगा।) समान रूप से, स्थान T है<sub>1</sub> अगर इसके सभी सिंगलटन बंद हैं। टी<sub>1</sub> रिक्त स्थान हमेशा टी होते हैं<sub>0</sub>.
-* गंभीर। स्थान [[ शांत स्थान ]] है यदि प्रत्येक इर्रिड्यूसिबल क्लोज्ड सेट ''C'' का अद्वितीय सामान्य बिंदु ''p'' है। दूसरे शब्दों में, यदि ''C'' दो छोटे बंद उपसमुच्चयों का (संभवत: अविच्छिन्न) मिलन नहीं है, तो ''p'' ऐसा है कि {''p''} का बंद होना ''C' के बराबर है। ', और 'p' इस संपत्ति के साथ एकमात्र बिंदु है।
-* टी<sub>2</sub>या हॉसडॉर्फ। स्थान हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में असंबद्ध पड़ोस हैं। टी<sub>2</sub> रिक्त स्थान हमेशा टी होते हैं<sub>1</sub>.
-* टी<sub>2½</sub>या उरीसोहन। स्थान उरीसोहन है और पूरी तरह से हौसडॉर्फ रिक्त स्थान है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में ''बंद'' पड़ोस हैं। टी<sub>2½</sub> रिक्त स्थान हमेशा टी होते हैं<sub>2</sub>.
-*पूरी तरह से टी<sub>2</sub>या पूरी तरह से हॉसडॉर्फ। स्पेस पूरी तरह से हौसडॉर्फ स्पेस है | पूरी तरह से टी<sub>2</sub>यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं को फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जाता है। हर पूरी तरह से हॉउसडॉर्फ स्पेस उरीसोहन है।
-* नियमित। स्थान [[नियमित स्थान]] है यदि जब भी ''सी'' बंद सेट है और ''पी'' ''सी'' में नहीं है, तो ''सी'' और ''पी'' के आस-पास पड़ोस हैं।
-* टी<sub>3</sub>या नियमित हॉसडॉर्फ। स्थान [[नियमित हॉसडॉर्फ स्थान]] है यदि यह नियमित टी है<sub>0</sub> अंतरिक्ष। (एक नियमित स्थान हॉसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है<sub>0</sub>, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।)
-*पूरी तरह से नियमित। स्पेस [[टायचोनॉफ स्पेस]] है अगर जब भी ''सी'' बंद सेट है और ''पी'' बिंदु है जो ''सी'' में नहीं है, तो ''सी'' और {''पी''} द्वारा अलग किया जाता है समारोह।
-* टी<sub>3½</sub>, टाइकोनॉफ़, पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ या पूरी तरह से टी<sub>3</sub>. टाइकोनॉफ स्पेस पूरी तरह से नियमित टी है<sub>0</sub> अंतरिक्ष। (एक पूरी तरह से नियमित स्थान हौसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है<sub>0</sub>, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।) टायकोनॉफ़ स्थान हमेशा नियमित हौसडॉर्फ होते हैं।
-* सामान्य। स्थान [[सामान्य स्थान]] है यदि किन्हीं भी दो अलग-अलग बंद सेटों में अलग-अलग पड़ोस हैं। सामान्य स्थान एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं।
-* टी<sub>4</sub>या सामान्य हॉसडॉर्फ। सामान्य स्थान हौसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है<sub>1</sub>. सामान्य हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान हमेशा टाइकोनॉफ होते हैं।
-* पूर्णतः सामान्य। स्थान [[पूरी तरह से सामान्य]] है यदि दो अलग-[[अलग सेट]]ों में असंबद्ध पड़ोस हैं।
-* टी<sub>5</sub>या पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ। हॉउसडॉर्फ पूरी तरह से सामान्य स्थान है अगर और केवल अगर यह टी है<sub>1</sub>. पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ स्थान हमेशा सामान्य हॉसडॉर्फ होते हैं।
-* पूरी तरह से सामान्य। स्थान पूरी तरह से सामान्य स्थान है यदि कोई भी दो अलग-अलग बंद सेट किसी फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से अलग हो जाते हैं। [[बिल्कुल सामान्य स्थान]] भी पूरी तरह से सामान्य होना चाहिए।
-* टी<sub>6</sub>या बिल्कुल सामान्य हॉसडॉर्फ, या पूरी तरह से टी<sub>4</sub>. स्थान पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्थान है, यदि यह पूरी तरह से सामान्य और टी दोनों है<sub>1</sub>. पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ स्थान भी पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ होना चाहिए।
-* [[असतत स्थान]]। स्थान असतत स्थान है यदि इसके सभी बिंदु पूरी तरह से अलग-थलग हैं, अर्थात यदि कोई उपसमुच्चय खुला है।
-* [[पृथक बिंदु]]ओं की संख्या। टोपोलॉजिकल स्पेस के पृथक बिंदुओं की संख्या।
-=== गणना की स्थिति ===
+* T<sub>0</sub> या कोलमोगोरोव समिष्ट [[कोलमोगोरोव अंतरिक्ष|कोलमोगोरोव समिष्ट]] है यदि समिष्ट में अलग-अलग बिंदुओं ''x'' और ''y'' के प्रत्येक जोड़े के लिए, कम से कम या तो संवृत समुच्चय है जिसमें ''x'' है किन्तु ''y'' नहीं है, या संवृत समुच्चय जिसमें ''y'' है किन्तु ''x'' नहीं है।
-{{See also|Axiom of countability}}
+* T<sub>1</sub> या फ्रेचेट समिष्ट T1 समिष्ट है। यदि समिष्ट में अलग-अलग बिंदुओं ''x'' और ''y'' के प्रत्येक जोड़े के लिए संवृत समुच्चय है जिसमें ''x'' है, किन्तु ''y'' नहीं है। (T<sub>0</sub> से तुलना करें; यहां, हमें यह निर्दिष्ट करने की अनुमति है कि संवृत समुच्चय में कौन सा बिंदु समाहित होगा।) समान रूप से, समिष्ट T<sub>1</sub> है यदि इसके सभी सिंगलटन विवृत हैं। T<sub>1</sub> समिष्ट सदैव T<sub>0</sub> होते हैं.
-* वियोज्य। स्थान [[वियोज्य (टोपोलॉजी)]] है यदि इसमें [[गणनीय]] सघन उपसमुच्चय है।
+* समिष्ट [[ शांत स्थान | क्लोज्ड समिष्ट]]  है यदि प्रत्येक इर्रिड्यूसिबल क्लोज्ड समुच्चय ''C'' का अद्वितीय सामान्य बिंदु ''p'' है। दूसरे शब्दों में, यदि ''C'' दो छोटे विवृत उपसमुच्चयों का (संभवत: अविच्छिन्न) मिलन नहीं है, तो ''p'' ऐसा है कि {''p''} का विवृत होना ''C' के बराबर है। और 'p' इस प्रॉपर्टी के साथ एकमात्र बिंदु है।''
-*प्रथम-गणनीय। स्थान [[प्रथम-गणनीय स्थान]] है | प्रथम-गणनीय है यदि प्रत्येक बिंदु का गणनीय स्थानीय आधार है।
+* T<sub>2</sub>या हॉसडॉर्फ समिष्ट हौसडॉर्फ समिष्ट है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में असंबद्ध निकट हैं। T<sub>2</sub> समिष्ट सदैव T<sub>1</sub> होते हैं.
-*दूसरा-गणनीय। स्थान दूसरी-गणना योग्य जगह है | दूसरी-गणना योग्य है यदि इसकी टोपोलॉजी के लिए गणनीय आधार है। द्वितीय-गणनीय स्थान हमेशा वियोज्य होते हैं, प्रथम-गणनीय और लिंडेलोफ़।
+* T<sub>2½</sub>या उरीसोहन समिष्ट उरीसोहन है और पुर्णतः हौसडॉर्फ समिष्ट है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में ''विवृत'' निकट हैं। T<sub>2½</sub> समिष्ट सदैव T होते हैं<sub>2</sub>.
+*पुर्णतः T<sub>2</sub> या पुर्णतः हॉसडॉर्फ समिष्ट पुर्णतः हौसडॉर्फ समिष्ट है | पुर्णतः T<sub>2</sub> यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं को फलन द्वारा अलग किया जाता है। हर पुर्णतः हॉउसडॉर्फ समिष्ट उरीसोहन है।
+* नियमित समिष्ट [[नियमित स्थान|नियमित समिष्ट]] है यदि जब भी ''C''  विवृत समुच्चय है और ''P'' ''C'' में नहीं है, तो ''C'' और ''P'' के आस-पास निकट हैं।
+* T<sub>3</sub>या नियमित हॉसडॉर्फ समिष्ट [[नियमित हॉसडॉर्फ स्थान|नियमित हॉसडॉर्फ समिष्ट]] है यदि यह नियमित T है<sub>0</sub> समिष्ट (एक नियमित समिष्ट हॉसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह T<sub>0</sub> है, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।)
+*पुर्णतः नियमित समिष्ट [[टायचोनॉफ स्पेस|टायचोनॉफ समिष्ट]] है यदि जब भी ''C'' विवृत समुच्चय है और ''P'' बिंदु है जो ''C'' में नहीं है, तो ''C'' और {''P''} द्वारा अलग किया जाता है ।
+* T<sub>3½</sub>, टाइकोनॉफ़, पुर्णतः नियमित हॉसडॉर्फ या पुर्णतः T<sub>3</sub>. टाइकोनॉफ समिष्ट पुर्णतः नियमित T<sub>0</sub> समिष्ट है। (एक पुर्णतः नियमित समिष्ट हौसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह T<sub>0</sub> है, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।) टायकोनॉफ़ समिष्ट सदैव नियमित हौसडॉर्फ होते हैं।
+* सामान्य समिष्ट [[सामान्य स्थान|सामान्य समिष्ट]] है यदि किन्हीं भी दो अलग-अलग विवृत समुच्चयों में अलग-अलग निकट हैं। सामान्य समिष्ट एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं।
+* T<sub>4</sub>या सामान्य हॉसडॉर्फ सामान्य समिष्ट हौसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह T<sub>1</sub> है. सामान्य हॉसडॉर्फ समिष्ट सदैव टाइकोनॉफ होते हैं।
+* पूर्णतः सामान्य समिष्ट [[पूरी तरह से सामान्य|पुर्णतः सामान्य]] है यदि दो अलग-[[अलग सेट|अलग समुच्चय]] में असंबद्ध निकट हैं।
+* T<sub>5</sub>या पुर्णतः सामान्य हौसडॉर्फ हॉउसडॉर्फ पुर्णतः सामान्य समिष्ट है यदि और केवल यदि यह T<sub>1</sub> है. पुर्णतः सामान्य हॉउसडॉर्फ समिष्ट सदैव सामान्य हॉसडॉर्फ होते हैं।
+* पुर्णतः सामान्य समिष्ट पुर्णतः सामान्य समिष्ट है यदि कोई भी दो अलग-अलग विवृत समुच्चय कि C फलन द्वारा स्पष्ट रूप से अलग हो जाते हैं। [[बिल्कुल सामान्य स्थान|पुर्णतः सामान्य समिष्ट]] भी पुर्णतः सामान्य होना चाहिए।
+* T<sub>6</sub>या पुर्णतः सामान्य हॉसडॉर्फ, या पुर्णतः T<sub>4</sub>. समिष्ट पुर्णतः सामान्य हौसडॉर्फ समिष्ट है, यदि यह पुर्णतः सामान्य और T<sub>1</sub> दोनों है. पुर्णतः सामान्य हॉउसडॉर्फ समिष्ट भी पुर्णतः सामान्य हॉउसडॉर्फ होना चाहिए।
+* [[असतत स्थान|असतत समिष्ट]] असतत समिष्ट है यदि इसके सभी बिंदु पुर्णतः अलग-थलग हैं, अर्थात यदि कोई उपसमुच्चय संवृत है।
+* [[पृथक बिंदु]]ओं की संख्या टोपोलॉजिकल समिष्ट के पृथक बिंदुओं की संख्या है।
-=== जुड़ाव ===
+=== गणना के नियम ===
-* जुड़े हुए। स्थान [[जुड़ा हुआ स्थान]] है यदि यह असंयुक्त गैर-खाली खुले सेटों की जोड़ी का मिलन नहीं है। समतुल्य रूप से, स्थान जुड़ा हुआ है यदि केवल [[क्लोपेन सेट]] खाली सेट और स्वयं हैं।
+{{See also|गणनीयता का सिद्धांत}}
-* [[स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ]]। स्थान स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है यदि प्रत्येक बिंदु का स्थानीय आधार है जिसमें जुड़े हुए सेट शामिल हैं।
+* वियोज्य समिष्ट [[वियोज्य (टोपोलॉजी)]] है यदि इसमें [[गणनीय]] सघन उपसमुच्चय है।
-* [[पूरी तरह से डिस्कनेक्ट]]। स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है यदि इसमें से अधिक बिंदुओं के साथ कोई जुड़ा हुआ उपसमुच्चय नहीं है।
+*प्रथम-गणनीय समिष्ट [[प्रथम-गणनीय स्थान|प्रथम-गणनीय समिष्ट]] है | प्रथम-गणनीय है यदि प्रत्येक बिंदु का गणनीय समिष्टीय आधार है।
-* पथ-जुड़ा हुआ। स्पेस ''X[[स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ]] है अगर ''X'' में हर दो पॉइंट्स ''x'', ''y'' के लिए, ''x'' से ''p'' के लिए पाथ है ''y'', यानी, सतत मानचित्र ''p'': [0,1] → ''X'' with ''p''(0) = ''x'' और ''p''( 1) = ''वाई''। पथ से जुड़े स्थान हमेशा जुड़े रहते हैं।
+*दूसरा-गणनीय समिष्ट दूसरी-गणना योग्य समिष्ट है | दूसरी-गणना योग्य है यदि इसकी टोपोलॉजी के लिए गणनीय आधार है। द्वितीय-गणनीय समिष्ट सदैव वियोज्य होते हैं, प्रथम-गणनीय और लिंडेलोफ़ है।
-* स्थानीय रूप से पथ से जुड़े। स्थान स्थानीय रूप से [[पथ से जुड़ा हुआ]] है यदि प्रत्येक बिंदु में स्थानीय आधार है जिसमें पथ से जुड़े सेट शामिल हैं। स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा स्थान जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह पथ से जुड़ा हुआ है।
-* चाप से जुड़ा हुआ। स्पेस ''X'' चाप से जुड़ा हुआ है यदि ''X'' में प्रत्येक दो बिंदुओं ''x'', ''y'' के लिए, ''x'' से चाप ''f'' है ''y'', यानी, [[ इंजेक्शन ]] कंटीन्यूअस मैप ''f'': [0,1] → ''X'' with ''p''(0) = ''x'' and ''p'' (1) = ''य''। [[चाप जुड़ा हुआ]] स्पेस पाथ-कनेक्टेड होते हैं।
-*[[बस जुड़ा हुआ है]]। स्थान ''X'' केवल जुड़ा हुआ है यदि यह पथ से जुड़ा हुआ है और प्रत्येक निरंतर मानचित्र ''f'': S<sup>1</sup> → X स्थिर मानचित्र के लिए समरूप है।
-*'स्थानीय रूप से सरलता से जुड़ा'। स्थान X [[स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ स्थान]] है यदि X में प्रत्येक बिंदु x का पड़ोस U का स्थानीय आधार है जो बस जुड़ा हुआ है।
-*'[[अर्ध-स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है]] स्थान X अर्ध-स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ है यदि प्रत्येक बिंदु का पड़ोस U का स्थानीय आधार है जैसे कि U में प्रत्येक लूप X में अनुबंधित है। अर्ध-स्थानीय सरल कनेक्टिविटी, स्थानीय सरल कनेक्टिविटी की तुलना में सख्त कमजोर स्थिति, के लिए आवश्यक शर्त है [[सार्वभौमिक आवरण]] का अस्तित्व।
-* 'संविदात्मक'। स्थान X अनुबंधित स्थान है यदि X पर पहचान कार्य स्थिर मानचित्र के लिए [[होमोटोपिक]] है। अनुबंधित स्थान हमेशा बस जुड़े होते हैं।
-* '[[ hyperconnected ]]'। यदि कोई दो गैर-खाली खुले सेट असंयुक्त नहीं हैं, तो स्थान हाइपरकनेक्टेड है। हर हाइपरकनेक्टेड स्पेस जुड़ा हुआ है।
-* '[[अल्ट्राकनेक्टेड]]'। यदि कोई दो गैर-खाली बंद सेट अलग नहीं होते हैं तो स्थान अल्ट्राकनेक्टेड होता है। हर अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस पाथ-कनेक्टेड है।
-* 'अविवेकी' या 'तुच्छ'। स्थान अंधाधुंध स्थान है यदि केवल खुले सेट खाली सेट और स्वयं हैं। कहा जाता है कि इस तरह के स्थान में [[तुच्छ टोपोलॉजी]] होती है।
-=== कॉम्पैक्टनेस ===
+=== संबद्धता ===
-* कॉम्पैक्ट। स्पेस [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होता है अगर हर खुले कवर में परिमित ''सबकवर'' हो। कुछ लेखक इन जगहों को हॉसडॉर्फ स्पेस स्पेस के लिए क्वैसीकॉम्पैक्ट और रिजर्व कॉम्पैक्ट कहते हैं, जहां हर खुले कवर में परिमित उपकवर होता है। कॉम्पैक्ट स्पेस हमेशा लिंडेलोफ़ और [[ परा-सुसंहत ]] होते हैं। कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान इसलिए सामान्य हैं।
+* कनेक्टेड समिष्ट [[जुड़ा हुआ स्थान|संयोजित समिष्ट]] है यदि यह असंयुक्त गैर-शून्य संवृत समुच्चयों की जोड़ी का मिलन नहीं है। समतुल्य रूप से, समिष्ट संयोजित है यदि केवल [[क्लोपेन सेट|क्लोपेन समुच्चय]] शून्य समुच्चय और स्वयं हैं।
-* [[क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट]]। स्थान क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में अभिसारी क्रम होता है।
+* [[स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ|समिष्टीय रूप से संयोजित]] समिष्ट समिष्टीय रूप से संयोजित है यदि प्रत्येक बिंदु का समिष्टीय आधार है जिसमें कनेक्टेड समुच्चय सम्मिलित हैं।
-* गणनात्मक रूप से कॉम्पैक्ट। यदि प्रत्येक गणनीय खुले आवरण में परिमित उपकवर होता है, तो स्थान गणनात्मक रूप से कॉम्पैक्ट होता है।
+* [[पूरी तरह से डिस्कनेक्ट|पुर्णतः डिस्कनेक्ट]] समिष्ट पुर्णतः डिस्कनेक्ट हो जाता है यदि इसमें से अधिक बिंदुओं के साथ कोई संयोजित उपसमुच्चय नहीं है।
-* [[ pseudocompact ]]। स्थान स्यूडोकॉम्पैक्ट है यदि अंतरिक्ष पर हर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य सीमित है।
+* पथ-संयोजित समिष्ट ''X [[स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ|समिष्टीय रूप से पथ से संयोजित]] है यदि ''X'' में हर दो बिंदु ''x'', ''y'' के लिए, ''x'' से ''p'' के लिए पाथ y है , अर्थात, सतत मैप ''p'': [0,1] → ''X'' with ''p''(0) = ''x'' और ''p''( 1) = ''y है''। पथ से जुड़े समिष्ट सदैव जुड़े रहते हैं।''
-* σ-कॉम्पैक्ट। स्पेस σ-कॉम्पैक्ट स्पेस है | σ-कॉम्पैक्ट अगर यह गिनती के कई कॉम्पैक्ट सबसेट का मिलन है।
+* समिष्टीय रूप से पथ से जुड़े समिष्ट समिष्टीय रूप से [[पथ से जुड़ा हुआ|पथ से संयोजित]] है यदि प्रत्येक बिंदु में समिष्टीय आधार है जिसमें पथ से जुड़े समुच्चय सम्मिलित हैं। समिष्टीय रूप से पथ से जुड़ा समिष्ट संयोजित है यदि और केवल यदि यह पथ से संयोजित है।
-* लिंडेलोफ। स्पेस लिंडेलोफ स्पेस है | लिंडेलोफ अगर हर खुले कवर में गणनीय उपकवर होता है।
+* चाप से संयोजित समिष्ट ''X'' चाप से संयोजित है यदि ''X'' में प्रत्येक दो बिंदुओं ''x'', ''y'' के लिए, ''x'' से चाप ''f y'' है , अर्थात, [[ इंजेक्शन ]] कंटीन्यूअस मैप ''f'': [0,1] → ''X'' with ''p''(0) = ''x'' and ''p'' (1) = ''य'' [[चाप जुड़ा हुआ|चाप संयोजित]] समिष्ट पाथ-कनेक्टेड होते हैं
-* पैराकॉम्पैक्ट। स्थान पैराकॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक खुले आवरण में स्थानीय रूप से परिमित परिशोधन होता है। Paracompact हौसडॉर्फ रिक्त स्थान सामान्य हैं।
+*[[बस जुड़ा हुआ है|साधारणतः संयोजित है]]। समिष्ट ''X'' केवल संयोजित है यदि यह पथ से संयोजित है और प्रत्येक निरंतर मैप ''f'': S<sup>1</sup> → X स्थिर मैप के लिए समरूप है।
-* [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]]। स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक बिंदु में कॉम्पैक्ट पड़ोस से युक्त स्थानीय आधार होता है। थोड़ी अलग परिभाषाओं का भी उपयोग किया जाता है। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान हमेशा टाइकोनॉफ होते हैं।
+*'समिष्टीय रूप से सरलता से जुड़ा' समिष्ट X [[स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ स्थान|समिष्टीय रूप से साधारणतः संयोजित समिष्ट]] है यदि X में प्रत्येक बिंदु x का निकट U का समिष्टीय आधार है जो साधारणतः संयोजित है।
-* अल्ट्राकनेक्टेड कॉम्पैक्ट। अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस ''X'' में हर खुले कवर में ''X'' ही होना चाहिए। गैर-खाली अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस में सबसे बड़ा उचित खुला उपसमुच्चय होता है जिसे मोनोलिथ कहा जाता है।
+*'[[अर्ध-स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है|अर्ध-समिष्टीय रूप से संयोजित है]] समिष्ट X अर्ध-समिष्टीय रूप से सरल रूप से संयोजित है यदि प्रत्येक बिंदु का निकट U का समिष्टीय आधार है जैसे कि U में प्रत्येक लूप X में अनुबंधित है। अर्ध-समिष्टीय सरल कनेक्टिविटी, समिष्टीय सरल कनेक्टिविटी की तुलना में सख्त अशक्त स्थिति, के लिए आवश्यक नियम है [[सार्वभौमिक आवरण]] का अस्तित्व है।
+* 'संविदात्मक' समिष्ट X अनुबंधित समिष्ट है यदि X पर पहचान कार्य स्थिर मैप के लिए [[होमोटोपिक]] है। अनुबंधित समिष्ट सदैव साधारणतः जुड़े होते हैं।
+* '[[ hyperconnected |हाइपरकनेक्टेड]]' यदि कोई दो गैर-शून्य संवृत समुच्चय असंयुक्त नहीं हैं, तो समिष्ट हाइपरकनेक्टेड है। प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड समिष्ट संयोजित है।
+* '[[अल्ट्राकनेक्टेड]]' यदि कोई दो गैर-शून्य विवृत समुच्चय अलग नहीं होते हैं तो समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है। प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट पाथ-कनेक्टेड है।
+* 'अविवेकी' या 'सामान्य समिष्ट अंधाधुंध समिष्ट है यदि केवल संवृत समुच्चय शून्य समुच्चय और स्वयं हैं। कहा जाता है कि इस तरह के समिष्ट में [[तुच्छ टोपोलॉजी|सामान्य टोपोलॉजी]] होती है।
+=== सघनता ===
+* सघन समिष्ट [[ कॉम्पैक्ट जगह | सघन समिष्ट]]  होता है यदि प्रत्येक संवृत आवरण में परिमित ''सब आवरण'' होता है। कुछ लेखक इन समिष्टों को हॉसडॉर्फ समिष्ट समिष्ट के लिए क्वै C सघन और रिजर्व सघन कहते हैं, जहां हर संवृत आवरण में परिमित उपआवरण होता है। सघन समिष्ट सदैव लिंडेलोफ़ और [[ परा-सुसंहत | हॉसडॉर्फ़]] होते हैं। सघन हौसडॉर्फ समिष्ट इसलिए सामान्य हैं।
+* [[क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट|क्रमिक रूप से सघन]]  होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में अभिसारी क्रम होता है।
+* गणनात्मक रूप से सघन यदि प्रत्येक गणनीय संवृत आवरण में परिमित उपआवरण होता है, जिससे समिष्ट गणनात्मक रूप से सघन होता है।
+* [[ pseudocompact | स्यूडोसघन]] । समिष्ट स्यूडोसघन है यदि समिष्ट पर प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य C की कमी है।
+* σ-सघन। समिष्ट σ-सघन समिष्ट है | σ-सघन यदि यह गिनती के कई सघन ससाधारणतःमुच्चय का मिलन है।
+* लिंडेलोफ समिष्ट लिंडेलोफ समिष्ट है | लिंडेलोफ यदि हर संवृत आवरण में गणनीय उपआवरण होता है।
+* पैराकॉम्पैक्ट समिष्ट पैराकॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक संवृत आवरण में समिष्टीय रूप से परिमित परिशोधन होता है। पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ समिष्ट सामान्य हैं।
+* [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|समिष्टीय रूप से सघन]] या  समिष्ट समिष्टीय रूप से सघन होता है यदि प्रत्येक बिंदु में सघन निकट से युक्त समिष्टीय आधार होता है। थोड़ी अलग परिभाषाओं का भी उपयोग किया जाता है। समिष्टीय रूप से सघन हौसडॉर्फ समिष्ट सदैव टाइकोनॉफ होते हैं।
+* अल्ट्राकनेक्टेड सघन या  अल्ट्रा-कनेक्टेड सघन समिष्ट ''X'' में प्रत्येक संवृत आवरण में ''X'' ही होना चाहिए। गैर-शून्य अल्ट्रा-कनेक्टेड सघन समिष्ट में ससाधारणतः बड़ा उचित संवृत उपसमुच्चय होता है जिसे मोनोलिथ कहा जाता है।
 === मेट्रिज़ेबिलिटी ===
-* मेट्रिजेबल। स्थान मेट्रिक योग्य स्थान है यदि यह [[मीट्रिक स्थान]] के लिए होमोमोर्फिक है। [[मेट्रिजेबल स्पेस]] हमेशा हौसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट (और इसलिए सामान्य और टाइकोनॉफ़) होते हैं, और पहले-गिनने योग्य होते हैं। इसके अलावा, टोपोलॉजिकल स्पेस (एक्स, टी) को मेट्रिजेबल कहा जाता है अगर एक्स के लिए मीट्रिक मौजूद है जैसे कि मीट्रिक टोपोलॉजी टी (डी) टोपोलॉजी टी के समान है।
+* मेट्रिजेबल या  समिष्ट मेट्रिक योग्य समिष्ट है यदि यह [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समिष्ट]] के लिए होमोमोर्फिक है। [[मेट्रिजेबल स्पेस|मेट्रिजेबल समिष्ट]] सदैव हौसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट (और इसलिए सामान्य और टाइकोनॉफ़) होते हैं, और पहले-गिनने योग्य होते हैं। इसके अतिरिक्त, टोपोलॉजिकल समिष्ट (X, T) को मेट्रिजेबल कहा जाता है यदि X के लिए मीट्रिक उपस्थित है जैसे कि मीट्रिक टोपोलॉजी T (d) टोपोलॉजी T के समान है।
-* पोलिश। स्थान को [[पोलिश स्थान]] कहा जाता है यदि यह वियोज्य और पूर्ण मीट्रिक के साथ मेट्रिजेबल है।
+* पोलिश या  समिष्ट को [[पोलिश स्थान|पोलिश समिष्ट]] कहा जाता है यदि यह वियोज्य और पूर्ण मीट्रिक के साथ मेट्रिजेबल है।
-* स्थानीय रूप से मेट्रिजेबल। स्थान स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल है यदि प्रत्येक बिंदु में मेट्रिज़ेबल पड़ोस है।
+* समिष्टीय रूप से मेट्रिजेबल या  समिष्ट समिष्टीय रूप से मेट्रिज़ेबल है यदि प्रत्येक बिंदु में मेट्रिज़ेबल निकट है।
 === विविध ===
-* बायर स्थान। स्पेस ''X'' [[बाहर की जगह]] है अगर यह अपने आप में कम सेट नहीं है। समान रूप से, ''X'' बायर स्थान है यदि गिने-चुने घने खुले सेटों का प्रतिच्छेदन सघन है।
+* बायर समिष्ट या  समिष्ट ''X'' [[बाहर की जगह|बाहर की समिष्ट]] है यदि यह अपने आप में कम समुच्चय नहीं है। समान रूप से, ''X'' बायर समिष्ट है यदि गिने-चुने घने संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन है।
-* [[दरवाजे की जगह]]। टोपोलॉजिकल स्पेस डोर स्पेस है यदि हर सबसेट खुला या बंद (या दोनों) है।
+* [[दरवाजे की जगह|दरवाजे की समिष्ट]]। टोपोलॉजिकल समिष्ट डोर समिष्ट है यदि हर ससाधारणतःमुच्चय संवृत या विवृत (या दोनों) है।
-* टोपोलॉजिकल एकरूपता। स्पेस ''X'' (स्थलीय रूप से) [[सजातीय स्थान]] है यदि ''X'' में प्रत्येक ''x'' और ''y'' के लिए होमोमोर्फिज्म है <math>f : X \to X</math> ऐसा है कि <math>f(x) = y.</math> सहज रूप से बोलते हुए, इसका मतलब है कि अंतरिक्ष हर बिंदु पर समान दिखता है। सभी [[टोपोलॉजिकल समूह]] सजातीय हैं।
+* टोपोलॉजिकल एकरूपता। समिष्ट ''X'' (स्थलीय रूप से) [[सजातीय स्थान|सजातीय समिष्ट]] है यदि ''X'' में प्रत्येक ''x'' और ''y'' के लिए होमोमोर्फिज्म है <math>f : X \to X</math> ऐसा है कि <math>f(x) = y.</math> सहज रूप से बोलते हुए, इसका मतलब है कि समिष्ट हर बिंदु पर समान दिखता है। सभी [[टोपोलॉजिकल समूह]] सजातीय हैं।
-* अंतिम रूप से उत्पन्न या अलेक्जेंड्रोव। स्पेस ''X'' [[अलेक्जेंडर टोपोलॉजी]] है यदि ''X'' में खुले सेटों के मनमाना चौराहे खुले हैं, या समतुल्य हैं यदि बंद सेटों के मनमाना संघ बंद हैं। ये टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के सटीक रूप से जेनरेट किए गए ऑब्जेक्ट सदस्य हैं।
+* अंतिम रूप से उत्पन्न या अलेक्जेंड्रोव। समिष्ट ''X'' [[अलेक्जेंडर टोपोलॉजी]] है यदि ''X'' में संवृत समुच्चयों के मनमाना चौराहे संवृत हैं, या समतुल्य हैं यदि विवृत समुच्चयों के मनमाना संघ विवृत हैं। ये टोपोलॉजिकल समिष्ट और निरंतर मैपों की श्रेणी के स्पष्ट रूप से जेनरेट किए गए ऑब्जेक्ट सदस्य हैं।
-* [[शून्य आयामी]]। स्थान शून्य-आयामी है यदि उसके पास क्लोपेन सेट का आधार है। ये '0' के छोटे [[आगमनात्मक आयाम]] वाले स्थान हैं।
+* [[शून्य आयामी]]। समिष्ट शून्य-आयामी है यदि उसके पास क्लोपेन समुच्चय का आधार है। ये '0' के छोटे [[आगमनात्मक आयाम]] वाले समिष्ट हैं।
-* [[लगभग असतत]]। यदि प्रत्येक खुला सेट बंद है (इसलिए क्लोपेन) तो स्थान लगभग असतत है। लगभग असतत रिक्त स्थान सटीक रूप से उत्पन्न शून्य-आयामी स्थान हैं।
+* [[लगभग असतत]]। यदि प्रत्येक संवृत समुच्चय विवृत है (इसलिए क्लोपेन) तो समिष्ट लगभग असतत है। लगभग असतत समिष्ट स्पष्ट रूप से उत्पन्न शून्य-आयामी समिष्ट हैं।
-* बूलियन। स्थान बूलियन स्थान है यदि यह शून्य-आयामी, कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ (समकक्ष रूप से, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट, कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ) है। ये ठीक वे स्थान हैं जो [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] के स्टोन रिक्त स्थान के लिए होमोमोर्फिक हैं।
+* बूलियन। समिष्ट बूलियन समिष्ट है यदि यह शून्य-आयामी, सघन और हॉसडॉर्फ (समकक्ष रूप से, पुर्णतः डिस्कनेक्ट, सघन और हॉसडॉर्फ) है। ये ठीक वे समिष्ट हैं जो [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] के स्टोन समिष्ट के लिए होमोमोर्फिक हैं।
 * रिडेमिस्टर मरोड़
-*<math>\kappa</math>- हल करने योग्य। स्पेस को κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है<ref>{{cite journal|last=Juhász|first=István|author2=Soukup, Lajos |author3=Szentmiklóssy, Zoltán |title=संकल्पशीलता और मोनोटोन सामान्यता|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|year=2008|volume=166|issue=1|pages=1–16|doi=10.1007/s11856-008-1017-y|doi-access=free|issn=0021-2172|arxiv=math/0609092|s2cid=14743623}}</ref> (क्रमशः: लगभग κ-रिज़ॉल्वेबल) अगर इसमें κ सघन सेट होते हैं जो जोड़ीदार रूप से अलग होते हैं (क्रमशः: कहीं नहीं घने उपसमुच्चय के आदर्श पर लगभग अलग)। अगर जगह नहीं है <math>\kappa</math>- हल करने योग्य तो इसे कहा जाता है <math>\kappa</math>-अनिवार्य।
+*<math>\kappa</math>- हल करने योग्य। समिष्ट को κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है<ref>{{cite journal|last=Juhász|first=István|author2=Soukup, Lajos |author3=Szentmiklóssy, Zoltán |title=संकल्पशीलता और मोनोटोन सामान्यता|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|year=2008|volume=166|issue=1|pages=1–16|doi=10.1007/s11856-008-1017-y|doi-access=free|issn=0021-2172|arxiv=math/0609092|s2cid=14743623}}</ref> (क्रमशः: लगभग κ-रिज़ॉल्वेबल) यदि इसमें κ सघन समुच्चय होते हैं जो जोड़ीदार रूप से अलग होते हैं (क्रमशः: कहीं नहीं घने उपसमुच्चय के आदर्श पर लगभग अलग)। यदि समिष्ट नहीं है <math>\kappa</math>- हल करने योग्य तो इसे कहा जाता है <math>\kappa</math>-अनिवार्य।
-* अधिकतम हल करने योग्य। अंतरिक्ष <math>X</math> यदि यह है तो अधिकतम हल करने योग्य है <math>\Delta(X)</math>- हल करने योग्य, कहाँ <math>\Delta(X) =
+* अधिकतम हल करने योग्य। समिष्ट <math>X</math> यदि यह है तो अधिकतम हल करने योग्य है <math>\Delta(X)</math>- हल करने योग्य, कहाँ <math>\Delta(X) =
 \min\{|G| : G\neq \varnothing, G\mbox{ is open}\}.</math> संख्या <math>\Delta(X)</math> का फैलाव लक्षण कहलाता है <math>X.</math>
-* अत्यधिक असतत। तय करना <math>D</math> अंतरिक्ष का दृढ़ता से असतत उपसमुच्चय है <math>X</math> यदि अंक में <math>D</math> जोड़ीदार असंबद्ध पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। अंतरिक्ष <math>X</math> कहा जाता है कि यदि प्रत्येक गैर-पृथक बिंदु दृढ़ता से असतत है <math>X</math> कुछ अत्यधिक असतत सेट का [[सीमा बिंदु]] है।
+* अत्यधिक असतत। तय करना <math>D</math> समिष्ट का दृढ़ता से असतत उपसमुच्चय है <math>X</math> यदि अंक में <math>D</math> जोड़ीदार असंबद्ध निकट द्वारा अलग किया जा सकता है। समिष्ट <math>X</math> कहा जाता है कि यदि प्रत्येक गैर-पृथक बिंदु दृढ़ता से असतत है <math>X</math> कुछ अत्यधिक असतत समुच्चय का [[सीमा बिंदु|Cमा बिंदु]] है।
 == गैर-स्थलीय गुण ==
-मेट्रिक स्पेस आदि के गुणों के कई उदाहरण हैं, जो टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। संपत्ति दिखाने के लिए <math>P</math> टोपोलॉजिकल नहीं है, यह दो होमियोमॉर्फिक टोपोलॉजिकल स्पेस खोजने के लिए पर्याप्त है <math>X \cong Y</math> ऐसा है कि <math>X</math> है <math>P</math>, लेकिन <math>Y</math> नहीं है <math>P</math>.
+मेट्रिक समिष्ट आदि के गुणों के कई उदाहरण हैं, जो टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। प्रॉपर्टी दिखाने के लिए <math>P</math> टोपोलॉजिकल नहीं है, यह दो होमियोमॉर्फिक टोपोलॉजिकल समिष्ट खोजने के लिए पर्याप्त है <math>X \cong Y</math> ऐसा है कि <math>X</math> है <math>P</math>, किन्तु <math>Y</math> नहीं है <math>P</math>.
-उदाहरण के लिए, मेट्रिक स्पेस के मीट्रिक स्पेस गुण # बाउंडेड और पूरी तरह से बाउंड स्पेस और मेट्रिक स्पेस # कम्प्लीट स्पेस टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। होने देना <math>X = \R</math> और <math>Y = (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})</math> मानक मीट्रिक के साथ मीट्रिक रिक्त स्थान हो। तब, <math>X \cong Y</math> होमोमोर्फिज्म के माध्यम से <math>\operatorname{arctan}\colon X \to Y</math>. हालाँकि, <math>X</math> पूर्ण है लेकिन बाध्य नहीं है, जबकि <math>Y</math> बंधा हुआ है लेकिन पूरा नहीं है।
+उदाहरण के लिए, मेट्रिक समिष्ट के मीट्रिक समिष्ट गुण # बाउंडेड और पुर्णतः बाउंड समिष्ट और मेट्रिक समिष्ट # कम्प्लीट समिष्ट टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। होने देना <math>X = \R</math> और <math>Y = (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})</math> मानक मीट्रिक के साथ मीट्रिक समिष्ट हो। तब, <math>X \cong Y</math> होमोमोर्फिज्म के माध्यम से <math>\operatorname{arctan}\colon X \to Y</math>. हालाँकि, <math>X</math> पूर्ण है किन्तु बाध्य नहीं है, जबकि <math>Y</math> बंधा हुआ है किन्तु पूरा नहीं है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 106: / Line 107: @@
 * {{annotated link|Fixed-point property}}
 * [[सह-समरूपता]] (गणित) और कोहोलॉजी
-* [[ होमोटॉपी समूह ]] और [[कोहोमोटॉपी समूह]]
+* [[ होमोटॉपी समूह | होमोटॉP समूह]]  और [[कोहोमोटॉपी समूह|कोहोमोटॉP समूह]]
 * {{annotated link|Knot invariant}}
 * {{annotated link|Linking number}}

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सामयिक गुणों के गुण