संवर्त विसर्जन

For विभेदक ज्यामिति में अवधारणा, see विसर्जन (गणित).

बीजगणितीय ज्यामिति में, स्कीम का एक संवर्त विसर्जन स्कीम का एक रूपवाद $f:Z\to X$ है जो Z को X के एक संवर्त उपसमूह के रूप में पहचानता है जिससे स्थानीय रूप से, Z पर नियमित कार्यों को X तक बढ़ाया जा सकता है। इसके पश्चात की स्थिति को यह कहकर औपचारिक रूप दिया जा सकता है कि $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}$ विशेषण है।

एक उदाहरण विहित मानचित्र $R\to R/I$ द्वारा प्रेरित समावेशन मानचित्र $\operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)$ है।

अन्य लक्षण

निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $f:Z\to X$ एक संवर्त विसर्जन है.
2. प्रत्येक विवर्त संबंध के लिए $U=\operatorname {Spec} (R)\subset X$, वहाँ एक आदर्श उपस्थित है $I\subset R$ ऐसा है कि $f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)$ यू पर स्कीम के रूप में
3. वहाँ एक विवर्त एफ़िन आवरण उपस्थित है $X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}$ और प्रत्येक j के लिए एक आदर्श उपस्थित है $I_{j}\subset R_{j}$ ऐसा है कि $f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})$ जैसे योजनाएं ख़त्म हो गईं $U_{j}$.
4. आदर्शों का एक अर्ध-सुसंगत शीफ है ${\mathcal {I}}$ X पर ऐसा कि $f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ और f समाकृतिकता पर Z का एक समरूपता है ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ X से अधिक है

स्थानीय रूप से वलय स्थानों के लिए परिभाषा

स्थानीय रूप से वलय स्थानों के स्थिति में $i:Z\to X$ एक रूपवाद एक संवर्त विसर्जन है यदि मानदंडों की एक समान सूची संतुष्ट है

1. मानचित्र $i$ इसकी छवि पर $Z$ का एक समरूपता है
2. संबद्ध शीफ़ मानचित्र ${\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ कर्नेल ${\mathcal {I}}$ के साथ विशेषण है।
3. कर्नेल ${\mathcal {I}}$ स्थानीय रूप से अनुभागों द्वारा ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल के रूप में उत्पन्न होता है

एकमात्र बदलती स्थिति तीसरी है। यह एक प्रति-उदाहरण को देखने के लिए शिक्षाप्रद है जिससे यह अनुभव किया जा सकता है कि एक मानचित्र को देखकर तीसरी स्थिति क्या उत्पन्न करती है जो एक संवर्त विसर्जन $i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}$ नहीं है।

$\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])$

यदि हम $i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}$ के स्टाल्क को $0\in \mathbb {A} ^{1}$ पर देखें तो कोई खंड नहीं हैं। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी विवर्त उपयोजना $U\subset \mathbb {A} ^{1}$ जिसमें $0$ सम्मिलित है, के लिए शीफ में कोई अनुभाग नहीं है। यह तीसरी नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि $\mathbb {A} ^{1}$ को आवरण करने वाली कम से कम एक विवर्त उपयोजना $U$ में $0$ है।

गुण

एक संवर्त विसर्जन परिमित रूपवाद और रेडियल रूपवाद (सार्वभौमिक रूप से इंजेक्शन) है। विशेष रूप से, एक संवर्त विसर्जन सार्वभौमिक रूप से संवर्त है। आधार परिवर्तन और संरचना के अनुसार एक संवर्त विसर्जन स्थिर होता है। संवर्त विसर्जन की धारणा इस अर्थ में स्थानीय है कि f एक संवर्त विसर्जन है यदि और केवल यदि कुछ (समान रूप से प्रत्येक) विवर्त आवरण के लिए $X=\bigcup U_{j}$ प्रेरित मानचित्र $f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}$ एक संवर्त विसर्जन है.

यदि रचना $Z\to Y\to X$ एक संवर्त विसर्जन है और $Y\to X$ तो अलग किया गया रूपवाद है जो की $Z\to Y$ का एक संवर्त विसर्जन है. यदि X एक अलग एस-योजना है, तो X का प्रत्येक s-खंड एक संवर्त विसर्जन है।

यदि $i:Z\to X$ एक संवर्त विसर्जन है और ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}$ Z को काटने वाले आदर्शों का अर्ध-सुसंगत शीफ़ है, फिर प्रत्यक्ष छवि $i_{*}$ Z के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी से लेकर X के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी तक ${\mathcal {G}}$ से युक्त आवश्यक छवि के साथ स्पष्ट पूरी तरह से विश्वासी है ऐसा है कि ${\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0$.

परिमित प्रस्तुति का एक समतल संवर्त विसर्जन एक विवर्त संवर्त उपयोजना का विवर्त विसर्जन है।

यह भी देखें

• सेग्रे एम्बेडिंग
• नियमित एम्बेडिंग

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• The Stacks Project
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157