बेलनाकार बीजगणित

गणित में, अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा आविष्कृत बेलनाकार बीजगणित की धारणा, समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क के बीजगणितीय तर्क में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। यह प्रस्तावात्मक तर्क के लिए बूलियन बीजगणित (संरचना) की भूमिका के तुलनीय है। इस प्रकार बेलनाकार बीजगणित बूलियन बीजगणित हैं जो अतिरिक्त बेलनाकारीकरण संचालन से सुसज्जित हैं जो परिमाणीकरण (तर्क) और समानता (गणित) को मॉडल करते हैं। वे बहुपद बीजगणित से इस माध्यम में भिन्न हैं कि उत्तरार्द्ध समानता का मॉडल नहीं बनाते हैं।

बेलनाकार बीजगणित की परिभाषा

आयाम का बेलनाकार बीजगणित $\alpha$ (जहाँ $\alpha$ कोई क्रमिक संख्या है) बीजगणितीय संरचना $(A,+,\cdot ,-,0,1,c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }$ है ऐसा है कि $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ बूलियन बीजगणित (संरचना) है, $c_{\kappa }$ यूनरी ऑपरेटर प्रारंभ है $A$ प्रत्येक के लिए $\kappa$ (सिलिंड्रिफिकेशन कहा जाता है), और $d_{\kappa \lambda }$ का विशिष्ट तत्व $A$ प्रत्येक के लिए $\kappa$ और $\lambda$ (एक विकर्ण कहा जाता है), जैसे कि निम्नलिखित संदर्भित है:

(C1) $c_{\kappa }0=0$

(C2) $x\leq c_{\kappa }x$

(C3) 3 $c_{\kappa }(x\cdot c_{\kappa }y)=c_{\kappa }x\cdot c_{\kappa }y$

(C4) 4 $c_{\kappa }c_{\lambda }x=c_{\lambda }c_{\kappa }x$

(C5) $d_{\kappa \kappa }=1$

(C6) यदि $\kappa \notin \{\lambda ,\mu \}$, तब $d_{\lambda \mu }=c_{\kappa }(d_{\lambda \kappa }\cdot d_{\kappa \mu })$

(C7) यदि $\kappa \neq \lambda$, तब $c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot x)\cdot c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot -x)=0$

फ़ंक्शन प्रतीकों के बिना प्रथम-क्रम तर्क की प्रस्तुति को मानते हुए, ऑपरेटर $c_{\kappa }x$ सूत्र $x$ में वेरिएबल $\kappa$ पर अस्तित्व संबंधी मात्रा का मॉडल तैयार करता है, जबकि ऑपरेटर $d_{\kappa \lambda }$ वेरिएबल $\kappa$ और $\lambda$ की समानता को मॉडल करता है। इसलिए, मानक तार्किक नोटेशन का उपयोग करके पुन: तैयार किया गया, सिद्धांतों को इस प्रकार पढ़ा जाता है

(C1) $\exists \kappa .{\mathit {false}}\iff {\mathit {false}}$

(C2) $x\implies \exists \kappa .x$

(C3) 3 $\exists \kappa .(x\wedge \exists \kappa .y)\iff (\exists \kappa .x)\wedge (\exists \kappa .y)$

(C4) 4 $\exists \kappa \exists \lambda .x\iff \exists \lambda \exists \kappa .x$

(C5) $\kappa =\kappa \iff {\mathit {true}}$

(C6) यदि $\kappa$ दोनों से भिन्न चर है $\lambda$ और $\mu$, तब $\lambda =\mu \iff \exists \kappa .(\lambda =\kappa \wedge \kappa =\mu )$

(C7) यदि $\kappa$ और $\lambda$ तो फिर ये अलग-अलग चर हैं $\exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge x)\wedge \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge \neg x)\iff {\mathit {false}}$

बेलनाकार समुच्चय बीजगणित

आयाम $\alpha$ का एक बेलनाकार सेट बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना $(A,\cup ,\cap ,-,\emptyset ,X^{\alpha },c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }$ है जैसे कि $\langle X^{\alpha },A\rangle$ सेट का एक क्षेत्र है,जो $c_{\kappa }S$ को $\{y\in X^{\alpha }\mid \exists x\in S\ \forall \beta \neq \kappa \ y(\beta )=x(\beta )\}$ द्वारा दिया जाता है, और $d_{\kappa \lambda }$ को $\{x\in X^{\alpha }\mid x(\kappa )=x(\lambda )\}$ द्वारा दिया जाता है यह आवश्यक रूप से एक बेलनाकार बीजगणित के स्वयंसिद्ध C1-C7 को मान्य करता है, जिसमें $+$के अतिरिक्त $\cup$, $\cdot$ के अतिरिक्त $\cap$, पूरक के लिए पूरक सेट, 0 के रूप में खाली सेट, इकाई के रूप में $X^{\alpha }$, और $\subseteq$ के अतिरिक्त $\leq$ समुच्चय X को आधार कहा जाता है।

एक बेलनाकार बीजगणित का प्रतिनिधित्व उस बीजगणित से बेलनाकार समुच्चय बीजगणित तक समरूपता है। प्रत्येक बेलनाकार बीजगणित का बेलनाकार समुच्चय बीजगणित के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं होता है। प्रथम-क्रम विधेय तर्क के शब्दार्थ को बेलनाकार समुच्चय बीजगणित के साथ जोड़ना सरल है। (अधिक जानकारी के लिए देखें § अग्रिम पठन.)

सामान्यीकरण

बेलनाकार बीजगणित को कई-क्रमबद्ध तर्क (कैलेइरो और गोंकाल्वेस 2006) के स्थिति में सामान्यीकृत किया गया है, जो प्रथम-क्रम सूत्रों और शब्दों के बीच द्वंद्व के उत्तम मॉडलिंग की अनुमति देता है।

मोनैडिक बूलियन बीजगणित से संबंध

जब $\alpha =1$ और $\kappa ,\lambda$ फिर, केवल 0 होने तक ही सीमित हैं तो $c_{\kappa }$ $\exists$ बन जाता है इस प्रकार विकर्णों को हटाया जा सकता है, और बेलनाकार बीजगणित का निम्नलिखित प्रमेय (पिंटर 1973) है:

$c_{\kappa }(x+y)=c_{\kappa }x+c_{\kappa }y$

स्वयंसिद्ध में परिवर्तित हो जाता है

$\exists (x+y)=\exists x+\exists y$

मोनैडिक बूलियन बीजगणित का स्वयंसिद्ध (C4) समाप्त हो जाता है (एक टॉटोलॉजी बन जाता है)। इस प्रकार मोनैडिक बूलियन बीजगणित को चर स्थिति में बेलनाकार बीजगणित के प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें

• एब्स्ट्रेक्ट बीजगणितीय तर्क
• लैम्ब्डा कैलकुलस और संयोजनात्मक तर्क मॉडलिंग परिमाणीकरण और चर को खत्म करने के अन्य दृष्टिकोण
• हाइपरडोक्ट्रिन बेलनाकार बीजगणित का श्रेणी सिद्धांत सूत्रीकरण है
• संबंध बीजगणित (आरए)
• पॉलीडिक बीजगणित
• बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन

संदर्भ

• Charles Pinter (1973). "A Simple Algebra of First Order Logic". Notre Dame Journal of Formal Logic. XIV: 361–366.
• Leon Henkin, J. Donald Monk, and Alfred Tarski (1971) Cylindric Algebras, Part I. North-Holland. ISBN 978-0-7204-2043-2.
• Leon Henkin, J. Donald Monk, and Alfred Tarski (1985) Cylindric Algebras, Part II. North-Holland.
• Robin Hirsch and Ian Hodkinson (2002) Relation algebras by games Studies in logic and the foundations of mathematics, North-Holland
• Carlos Caleiro, Ricardo Gonçalves (2006). "On the algebraization of many-sorted logics" (PDF). In J. Fiadeiro and P.-Y. Schobbens (ed.). Proc. 18th int. conf. on Recent trends in algebraic development techniques (WADT). LNCS. Vol. 4409. Springer. pp. 21–36. ISBN 978-3-540-71997-7.

अग्रिम पठन

• Imieliński, T.; Lipski, W. (1984). "The relational model of data and cylindric algebras". Journal of Computer and System Sciences. 28: 80–102. doi:10.1016/0022-0000(84)90077-1.

बाहरी संबंध

• example of cylindrical algebra by CWoo on planetmath.org