खंड अनुसार: Difference between revisions

Revision as of 14:08, 13 July 2023

खंड अनुसार रैखिक फलन का प्लॉट

f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.

गणित में, एक खंड अनुसार-परिभाषित फलन (जिसे खंड अनुसार फलन, एक हाइब्रिड फलन या स्थितियों द्वारा परिभाषित भी कहा जाता है) कई उप-फलनों द्वारा परिभाषित एक फलन होता है, जहां प्रत्येक उप-फलन कार्यक्षेत्र में एक अलग अंतराल पर प्रयोग होता है।^[1]^[2]^[3] खंडनुसार परिभाषा वास्तविकता में फलन की विशेषता के बजाय फलन को व्यक्त करने का एक तरीका है।

एक विशिष्ट, लेकिन संबंधित धारणा यह है कि किसी फलन की प्रकृति को खंडनुसार रखा जाता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब कार्यक्षेत्र को अंतराल में विभाजन किया जा सकता है जिस पर प्रकृति होती है। उपरोक्त धारणा के विपरीत, यह वास्तव में फलन का ही एक गुण है। एक खंड अनुसार रैखिक फलन (जो निरंतर भी होता है) को एक उदाहरण के रूप में दर्शाया गया है।

संकेतन और व्याख्या

निरपेक्ष मान फलन का ग्राफ़,

y=|x|

खंड अनुसार फलनों को सामान्य कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, जहां फलन का मुख्य भाग फलनों और संबंधित उपकार्यक्षेत्र की एक श्रृंखला है। इन उपकार्यक्षेत्र को एक साथ मिलकर किसी फलन के संपूर्ण कार्यक्षेत्र को आच्छादित करना चाहिए; प्रायः यह भी आवश्यक होता है कि वे जोड़ीवार असंयुक्त हों, यानी कार्यक्षेत्र का एक विभाजन बनाएं।^[4] समग्र फलन को ''खंड अनुसार'' कहे जाने के लिए, उपकार्यक्षेत्र को प्रायः अंतराल की आवश्यकता होती है (कुछ विकृत अंतराल हो सकते हैं, यानी एकल बिंदु या असीमित अंतराल)। परिबद्ध अंतरालों के लिए, उपकार्यक्षेत्र की संख्या सीमित होना आवश्यक होता है, असंबद्ध अंतरालों के लिए प्रायः केवल स्थानीय रूप से परिमित होना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन की खंड अनुसार परिभाषा पर विचार करें:^[2]:

|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}

शून्य से कम $x$ के सभी मानों के लिए, पहले उप-फलन ( $-x$ ) का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान के चिह्न को नकार देता है, जिससे ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक हो जाती हैं। शून्य से अधिक या उसके बराबर $x$ के सभी मानों के लिए, दूसरे उप-फलन ( $x$ ) का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान का तुच्छ मूल्यांकन करता है।

निम्न तालिका $x$ के कुछ मानों पर निरपेक्ष मान फलन का दस्तावेजीकरण करती है :

x	f(x)	Sub-function used
−3	3	$-x$
−0.1	0.1	$-x$
0	0	$x$
1/2	1/2	$x$
5	5	$x$

किसी दिए गए इनपुट मान पर खंड अनुसार-परिभाषित फलन का मूल्यांकन करने के लिए, सही उप-फलन का चयन करने और सही आउटपुट मान उत्पन्न करने के लिए उपयुक्त उपकार्यक्षेत्र को चुनने की आवश्यकता होती है।

खंड अनुसार-परिभाषित फलनों की निरंतरता और भिन्नता

खंड अनुसार-द्विघात फलन

f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.

का प्लॉट, इसकी एकमात्र असंततता

x_{0}=0.707

पर है।

यदि निम्नलिखित स्थितियां पूरी होती हैं तो एक खंड अनुसार-परिभाषित फलन अपने कार्यक्षेत्र में दिए गए अंतराल पर निरंतर होता है:

इसके उप-फलन संबंधित अंतरालों (उपकार्यक्षेत्र) पर निरंतर होते हैं,
उस अंतराल के भीतर किसी भी उपकार्यक्षेत्र के अंतिम बिंदु पर कोई असंतोष नहीं है।

उदाहरण के लिए, चित्रित फलन अपने उपकार्यक्षेत्र में खंड अनुसार-निरंतर है, लेकिन पूरे कार्यक्षेत्र पर निरंतर नहीं है, क्योंकि इसमें $x_{0}$ पर जंप असंततता सम्मिलित है। भरा हुआ वृत्त इंगित करता है कि इस स्थिति में सही उप-फलन का मान उपयोग किया गया है।

अपने कार्यक्षेत्र में किसी दिए गए अंतराल पर खंड अनुसार-परिभाषित फलन को अलग करने के लिए, उपरोक्त निरंतरता के अलावा निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करना होगा:

इसके उप-फलन संगत खुले अंतरालों पर भिन्न होते हैं,
एकतरफ़ा व्युत्पन्न सभी अंतरालों के अंतिम बिंदुओं पर निहित होते हैं,
उन बिंदुओं पर जहां दो उपअंतराल स्पर्श करते हैं, दो निकटस्थ उपअंतराल के संबंधित एकतरफा व्युत्पन्न मेल खाते हैं।

अनुप्रयोग

व्यावहारिक गणितीय विश्लेषण में, ''खंड अनुसार-नियमित'' फलनों को मानव दृश्य प्रणाली के कई मॉडलों के अनुरूप पाया गया है, जहां छवियों को पहले चरण में किनारों से अलग किए गए चिकने क्षेत्रों से युक्त माना जाता है।^[5] विशेष रूप से, 2डी और 3डी में इस मॉडल वर्ग के विरल सन्निकटन प्रदान करने के लिए शिरलेट्स का उपयोग एक प्रतिनिधित्व प्रणाली के रूप में किया गया है।

सामान्य उदाहरण

खंड अनुसार रैखिक फलन, रेखा खंडों से बना एक फलन
- चरण फ़ंक्शन, निरंतर उप-फलन से बना एक फलन
- निरपेक्ष मान^[2]
- त्रिकोणीय फलन
खंडित शक्ति नियम, शक्ति-नियम उप-फलनों से बना एक फलन
बी-पट्टी (गणित), बहुपद उप-फलनों से बना एक फलन, जिसमें उन स्थानों पर उच्च स्तर की चिकनाई होती है जहां बहुपद के खंड जुड़ते हैं
- बी-स्प्लाइन
पीडीआईएफएफ
$f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ और कुछ अन्य सामान्य बम्प फलन। ये असीम रूप से भिन्न हैं, लेकिन विश्लेषणात्मकता केवल खंडों में ही कायम रहती है।
वास्तविकताओं में निरंतर फलनों को सीमित या समान रूप से निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन वे हमेशा खंड अनुसार बंधे होते हैं और खंड अनुसार समान रूप से निरंतर होते हैं।

यह भी देखें

खंड अनुसार रैखिक निरंतरता

संदर्भ

↑ "टुकड़े-टुकड़े कार्य". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-24.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Weisstein, Eric W. "टुकड़े-टुकड़े कार्य". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-24.
↑ "टुकड़े-टुकड़े कार्य". brilliant.org. Retrieved 2020-09-29.
↑ A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.
↑ Kutyniok, Gitta; Labate, Demetrio (2012). "शिरलेट्स का परिचय" (PDF). Shearlets. Birkhäuser: 1–38. Here: p.8

[1] "टुकड़े-टुकड़े कार्य". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-24.

[:0-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Weisstein, Eric W. "टुकड़े-टुकड़े कार्य". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-24.

[3] "टुकड़े-टुकड़े कार्य". brilliant.org. Retrieved 2020-09-29.

[4] A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.

[5] Kutyniok, Gitta; Labate, Demetrio (2012). "शिरलेट्स का परिचय" (PDF). Shearlets. Birkhäuser: 1–38. Here: p.8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Function defined by multiple sub-functions}}
-{{Refimprove|date=March 2017}}
+{{Refimprove|date=मार्च 2017}}
-[[File:Piecewise linear function gnuplot.svg|thumb|280px|टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन का प्लॉट <math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} -3-x & \text{if} & x \leq -3 \\ x+3 & \text{if} & -3 \leq x \leq 0 \\ 3-2x & \text{if} & 0 \leq x \leq 3 \\ 0.5x - 4.5 & \text{if} & 3 \leq x \\ \end{array} \right.</math>]]गणित में, एक टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन (जिसे टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शन, एक हाइब्रिड फ़ंक्शन या मामलों द्वारा परिभाषा भी कहा जाता है) एक [[फ़ंक्शन (गणित)]] है जो कई उप-फ़ंक्शनों द्वारा परिभाषित होता है, जहां प्रत्येक उप-फ़ंक्शन डोमेन में एक अलग अंतराल पर लागू होता है .<ref>{{Cite web|title=टुकड़े-टुकड़े कार्य|url=https://www.mathsisfun.com/sets/functions-piecewise.html|access-date=2020-08-24|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=टुकड़े-टुकड़े कार्य|url=https://mathworld.wolfram.com/PiecewiseFunction.html|access-date=2020-08-24|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=टुकड़े-टुकड़े कार्य|url=https://brilliant.org/wiki/piecewise-functions/|access-date=2020-09-29|website=brilliant.org}}</ref> टुकड़ावार परिभाषा वास्तव में फ़ंक्शन की विशेषता के बजाय फ़ंक्शन को व्यक्त करने का एक तरीका है।
+[[File:Piecewise linear function gnuplot.svg|thumb|280px|खंड अनुसार रैखिक फलन का प्लॉट <math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} -3-x & \text{if} & x \leq -3 \\ x+3 & \text{if} & -3 \leq x \leq 0 \\ 3-2x & \text{if} & 0 \leq x \leq 3 \\ 0.5x - 4.5 & \text{if} & 3 \leq x \\ \end{array} \right.</math>]]गणित में, एक '''खंड अनुसार-परिभाषित फलन''' (जिसे '''खंड अनुसार फलन''', एक '''हाइब्रिड फलन''' या '''स्थितियों द्वारा परिभाषित''' भी कहा जाता है) कई उप-फलनों द्वारा परिभाषित एक फलन होता है, जहां प्रत्येक उप-फलन कार्यक्षेत्र में एक अलग अंतराल पर प्रयोग होता है।<ref>{{Cite web|title=टुकड़े-टुकड़े कार्य|url=https://www.mathsisfun.com/sets/functions-piecewise.html|access-date=2020-08-24|website=www.mathsisfun.com}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=टुकड़े-टुकड़े कार्य|url=https://mathworld.wolfram.com/PiecewiseFunction.html|access-date=2020-08-24|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=टुकड़े-टुकड़े कार्य|url=https://brilliant.org/wiki/piecewise-functions/|access-date=2020-09-29|website=brilliant.org}}</ref> खंडनुसार परिभाषा वास्तविकता में फलन की विशेषता के बजाय फलन को व्यक्त करने का एक तरीका है।
-एक अलग, लेकिन संबंधित धारणा यह है कि किसी फ़ंक्शन के लिए संपत्ति को टुकड़ों में रखा जाता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब डोमेन उस अंतराल का विभाजन हो सकता है जिस पर संपत्ति होती है। उपरोक्त धारणा के विपरीत, यह वास्तव में फ़ंक्शन का ही एक गुण है। एक टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन (जो निरंतर भी होता है) को एक उदाहरण के रूप में दर्शाया गया है।
+एक विशिष्ट, लेकिन संबंधित धारणा यह है कि किसी फलन की प्रकृति को खंडनुसार रखा जाता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब कार्यक्षेत्र को अंतराल में विभाजन किया जा सकता है जिस पर प्रकृति होती है। उपरोक्त धारणा के विपरीत, यह वास्तव में फलन का ही एक गुण है। एक खंड अनुसार रैखिक फलन (जो निरंतर भी होता है) को एक उदाहरण के रूप में दर्शाया गया है।
 == संकेतन और व्याख्या ==
-[[Image:Absolute value.svg|thumb|280px|right|निरपेक्ष मान फ़ंक्शन का ग्राफ़, <math>y=|x|</math>]]टुकड़े-टुकड़े फ़ंक्शंस को सामान्य कार्यात्मक नोटेशन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, जहां फ़ंक्शन का मुख्य भाग फ़ंक्शंस और संबंधित उपडोमेन की एक श्रृंखला है। इन उपडोमेन को एक साथ मिलकर किसी फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन को कवर करना चाहिए; अक्सर यह भी आवश्यक होता है कि वे जोड़ीवार असंयुक्त हों, यानी डोमेन का एक विभाजन बनाएं।<ref>A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.</ref> समग्र फ़ंक्शन को टुकड़े-टुकड़े कहा जाने के लिए, उपडोमेन को आमतौर पर अंतराल की आवश्यकता होती है (कुछ विकृत अंतराल हो सकते हैं, यानी एकल बिंदु या असीमित अंतराल)। परिबद्ध अंतरालों के लिए, उपडोमेन की संख्या सीमित होना आवश्यक है, असंबद्ध अंतरालों के लिए अक्सर केवल स्थानीय रूप से परिमित होना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन की टुकड़े-टुकड़े परिभाषा पर विचार करें:<ref name=":0" />:<math display="block">|x| = \begin{cases}
+[[Image:Absolute value.svg|thumb|280px|right|निरपेक्ष मान फलन का ग्राफ़, <math>y=|x|</math>]]खंड अनुसार फलनों को सामान्य कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, जहां फलन का मुख्य भाग फलनों और संबंधित उपकार्यक्षेत्र की एक श्रृंखला है। इन उपकार्यक्षेत्र को एक साथ मिलकर किसी फलन के संपूर्ण कार्यक्षेत्र को आच्छादित करना चाहिए; प्रायः यह भी आवश्यक होता है कि वे जोड़ीवार असंयुक्त हों, यानी कार्यक्षेत्र का एक विभाजन बनाएं।<ref>A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.</ref> समग्र फलन को <nowiki>''</nowiki>खंड अनुसार<nowiki>''</nowiki> कहे जाने के लिए, उपकार्यक्षेत्र को प्रायः अंतराल की आवश्यकता होती है (कुछ विकृत अंतराल हो सकते हैं, यानी एकल बिंदु या असीमित अंतराल)। परिबद्ध अंतरालों के लिए, उपकार्यक्षेत्र की संख्या सीमित होना आवश्यक होता है, असंबद्ध अंतरालों के लिए प्रायः केवल स्थानीय रूप से परिमित होना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन की खंड अनुसार परिभाषा पर विचार करें:<ref name=":0" />:<math display="block">|x| = \begin{cases}
    -x, & \text{if } x < 0 \\
    +x, & \text{if } x \ge 0 .
 \end{cases}
 </math>
-के सभी मूल्यों के लिए <math>x</math> शून्य से कम, पहला उप-फ़ंक्शन (<math>-x</math>) का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान के चिह्न को नकार देता है, जिससे ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक हो जाती हैं। के सभी मूल्यों के लिए <math>x</math> शून्य से अधिक या उसके बराबर, दूसरा उप-फ़ंक्शन {{nobr|(<math>x</math>)}} का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान का तुच्छ मूल्यांकन करता है।
+शून्य से कम <math>x</math> के सभी मानों के लिए, पहले उप-फलन (<math>-x</math>) का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान के चिह्न को नकार देता है, जिससे ऋणात्मक संख्याएँ धनात्मक हो जाती हैं। शून्य से अधिक या उसके बराबर <math>x</math> के सभी मानों के लिए, दूसरे उप-फलन {{nobr|(<math>x</math>)}} का उपयोग किया जाता है, जो इनपुट मान का तुच्छ मूल्यांकन करता है।
-निम्न तालिका कुछ मानों पर निरपेक्ष मान फ़ंक्शन का दस्तावेजीकरण करती है <math>x</math>:
+निम्न तालिका <math>x</math> के कुछ मानों पर निरपेक्ष मान फलन का दस्तावेजीकरण करती है :
 {|class="wikitable"
 !style="width: 3em" | ''x''
@@ Line 31: / Line 31: @@
 |-
 |}
-किसी दिए गए इनपुट मान पर टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए, सही उप-फ़ंक्शन का चयन करने और सही आउटपुट मान उत्पन्न करने के लिए उपयुक्त उपडोमेन को चुनने की आवश्यकता होती है।
+किसी दिए गए इनपुट मान पर खंड अनुसार-परिभाषित फलन का मूल्यांकन करने के लिए, सही उप-फलन का चयन करने और सही आउटपुट मान उत्पन्न करने के लिए उपयुक्त उपकार्यक्षेत्र को चुनने की आवश्यकता होती है।
-== टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित कार्यों की निरंतरता और भिन्नता ==
+== खंड अनुसार-परिभाषित फलनों की निरंतरता और भिन्नता ==
-[[Image:Upper semi.svg|thumb|280px|टुकड़े-टुकड़े-द्विघात फ़ंक्शन का प्लॉट <math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} x^2 & \text{if} & x < 0.707 \\ 1.5 - (x - 1.414)^2 & \text{if} & 0.707 \leq x \\ \end{array} \right.</math> इसका एकमात्र असंततता पर है <math>x_0 = 0.707</math>.]]यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं तो एक टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन अपने डोमेन में दिए गए अंतराल पर निरंतर फ़ंक्शन होता है:
+[[Image:Upper semi.svg|thumb|280px|खंड अनुसार-द्विघात फलन <math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} x^2 & \text{if} & x < 0.707 \\ 1.5 - (x - 1.414)^2 & \text{if} & 0.707 \leq x \\ \end{array} \right.</math>का प्लॉट, इसकी एकमात्र असंततता <math>x_0 = 0.707</math> पर है।]]यदि निम्नलिखित स्थितियां पूरी होती हैं तो एक खंड अनुसार-परिभाषित फलन अपने कार्यक्षेत्र में दिए गए अंतराल पर निरंतर  होता है:
-* इसके उप-कार्य संबंधित अंतरालों (उपडोमेन) पर निरंतर होते हैं,
+* इसके उप-फलन संबंधित अंतरालों (उपकार्यक्षेत्र) पर निरंतर होते हैं,
-* उस अंतराल के भीतर किसी भी उपडोमेन के अंतिम बिंदु पर कोई असंतोष नहीं है।
+* उस अंतराल के भीतर किसी भी उपकार्यक्षेत्र के अंतिम बिंदु पर कोई असंतोष नहीं है।
-उदाहरण के लिए, चित्रित फ़ंक्शन अपने उपडोमेन में टुकड़े-टुकड़े-निरंतर है, लेकिन पूरे डोमेन पर निरंतर नहीं है, क्योंकि इसमें जंप असंततता शामिल है <math>x_0</math>. भरा हुआ वृत्त इंगित करता है कि इस स्थिति में सही उप-फ़ंक्शन का मान उपयोग किया गया है।
+उदाहरण के लिए, चित्रित फलन अपने उपकार्यक्षेत्र में खंड अनुसार-निरंतर है, लेकिन पूरे कार्यक्षेत्र पर निरंतर नहीं है, क्योंकि इसमें <math>x_0</math> पर जंप असंततता सम्मिलित है। भरा हुआ वृत्त इंगित करता है कि इस स्थिति में सही उप-फलन का मान उपयोग किया गया है।
-अपने डोमेन में किसी दिए गए अंतराल पर टुकड़े-टुकड़े-परिभाषित फ़ंक्शन को अलग करने के लिए, उपरोक्त निरंतरता के अलावा निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
+अपने कार्यक्षेत्र में किसी दिए गए अंतराल पर खंड अनुसार-परिभाषित फलन को अलग करने के लिए, उपरोक्त निरंतरता के अलावा निम्नलिखित स्थितियों को पूरा करना होगा:
-* इसके उप-कार्य संगत खुले अंतरालों पर भिन्न होते हैं,
+* इसके उप-फलन संगत ''खुले'' अंतरालों पर भिन्न होते हैं,
-* एकतरफ़ा व्युत्पन्न सभी अंतरालों के अंतिम बिंदुओं पर मौजूद होते हैं,
+* एकतरफ़ा व्युत्पन्न सभी अंतरालों के अंतिम बिंदुओं पर निहित होते हैं,
-* उन बिंदुओं पर जहां दो उपअंतराल स्पर्श करते हैं, दो पड़ोसी उपअंतराल के संबंधित एकतरफा व्युत्पन्न मेल खाते हैं।
+* उन बिंदुओं पर जहां दो उपअंतराल स्पर्श करते हैं, दो निकटस्थ उपअंतराल के संबंधित एकतरफा व्युत्पन्न मेल खाते हैं।
 == अनुप्रयोग ==
-व्यावहारिक गणितीय विश्लेषण में, टुकड़े-टुकड़े-नियमित कार्यों को कई दृश्य धारणा #संज्ञानात्मक और कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोणों के अनुरूप पाया गया है, जहां छवियों को पहले चरण में किनारों से अलग किए गए चिकनी क्षेत्रों से युक्त माना जाता है।<ref>{{cite journal |title = शिरलेट्स का परिचय|first1 = Gitta |last1 = Kutyniok|author1-link=Gitta Kutyniok |first2 = Demetrio |last2 = Labate |journal = Shearlets |pages = 1–38 |year = 2012 |publisher = [[Birkhäuser]] |url = https://www.math.uh.edu/~dlabate/SHBookIntro.pdf }} Here: p.8</ref>
+व्यावहारिक गणितीय विश्लेषण में, <nowiki>''</nowiki>खंड अनुसार-नियमित<nowiki>''</nowiki> फलनों को मानव दृश्य प्रणाली के कई मॉडलों के अनुरूप पाया गया है, जहां छवियों को पहले चरण में किनारों से अलग किए गए चिकने क्षेत्रों से युक्त माना जाता है।<ref>{{cite journal |title = शिरलेट्स का परिचय|first1 = Gitta |last1 = Kutyniok|author1-link=Gitta Kutyniok |first2 = Demetrio |last2 = Labate |journal = Shearlets |pages = 1–38 |year = 2012 |publisher = [[Birkhäuser]] |url = https://www.math.uh.edu/~dlabate/SHBookIntro.pdf }} Here: p.8</ref> विशेष रूप से, 2डी और 3डी में इस मॉडल वर्ग के विरल सन्निकटन प्रदान करने के लिए [[शिरलेट|शिरलेट्स]] का उपयोग एक प्रतिनिधित्व प्रणाली के रूप में किया गया है।
-विशेष रूप से, 2डी और 3डी में इस मॉडल वर्ग के विरल सन्निकटन प्रदान करने के लिए [[शिरलेट]]्स का उपयोग एक प्रतिनिधित्व प्रणाली के रूप में किया गया है।
 == सामान्य उदाहरण ==
-* टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन, रेखा खंडों से बना एक फ़ंक्शन
+* खंड अनुसार रैखिक फलन, रेखा खंडों से बना एक फलन
-** [[समारोह की ओर कदम बढ़ाएं]], निरंतर उप-फ़ंक्शन से बना एक फ़ंक्शन
+** [[समारोह की ओर कदम बढ़ाएं|चरण फ़ंक्शन]], निरंतर उप-फलन से बना एक फलन
-*** [[बॉक्सकार फ़ंक्शन]],
+*** [[बॉक्सकार फ़ंक्शन|बॉक्सकार फलन]],
-*** [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन]]<ref name=":0" />*** [[साइन फ़ंक्शन]]
+*** [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन|हेविसाइड स्टेप फलन]]<ref name=":0" />
-** निरपेक्ष मूल्य<ref name=":0" />** [[त्रिकोणीय कार्य]]
+***[[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]]
-* टूटा हुआ शक्ति कानून, शक्ति-कानून उप-कार्यों से बना एक कार्य
+** निरपेक्ष मान<ref name=":0" />
-* [[बी-पट्टी]] (गणित), बहुपद उप-कार्यों से बना एक फ़ंक्शन, जिसमें उन स्थानों पर उच्च स्तर की चिकनाई होती है जहां बहुपद के टुकड़े जुड़ते हैं
+**[[त्रिकोणीय कार्य|त्रिकोणीय फलन]]
-** बी-तख़्ता
+* खंडित शक्ति नियम, शक्ति-नियम उप-फलनों से बना एक फलन
+* [[बी-पट्टी]] (गणित), बहुपद उप-फलनों से बना एक फलन, जिसमें उन स्थानों पर उच्च स्तर की चिकनाई होती है जहां बहुपद के खंड जुड़ते हैं
+** बी-स्प्लाइन
 * [[पीडीआईएफएफ]]
 * <math>f(x)= \begin{cases}
    \exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & x \in (-1,1) \\
 ,                                    & \text{otherwise}
-\end{cases}</math> और कुछ अन्य सामान्य [[बम्प फ़ंक्शन]]। ये असीम रूप से भिन्न हैं, लेकिन विश्लेषणात्मकता केवल टुकड़ों में ही कायम रहती है।
+\end{cases}</math> और कुछ अन्य सामान्य [[बम्प फ़ंक्शन|बम्प फलन]]। ये असीम रूप से भिन्न हैं, लेकिन विश्लेषणात्मकता केवल खंडों में ही कायम रहती है।
-* वास्तविकताओं में निरंतर कार्यों को सीमित या समान रूप से निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन वे हमेशा टुकड़े-टुकड़े में बंधे होते हैं और टुकड़े-टुकड़े समान रूप से निरंतर होते हैं।
+* वास्तविकताओं में निरंतर फलनों को सीमित या समान रूप से निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन वे हमेशा खंड अनुसार बंधे होते हैं और खंड अनुसार समान रूप से निरंतर होते हैं।
 == यह भी देखें ==
-* [[टुकड़े-टुकड़े रैखिक निरंतरता]]
+* [[टुकड़े-टुकड़े रैखिक निरंतरता|खंड अनुसार रैखिक निरंतरता]]
 {{Wikibooks|Gnuplot#Piecewise-defined functions}}

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खंड अनुसार-परिभाषित फलनों की निरंतरता और भिन्नता

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