ली बीजगणित सह-समरूपता

गणित में, ली अलजेब्रा सह-समरूपता , लाई अलजेब्रा के लिए एक कोहोमोलॉजी सिद्धांत है। इसे पहली बार 1929 में एली कार्टन द्वारा लाई बीजगणित के गुणों के साथ गेर्जेस डी. रहम की कोहोमोलॉजिकल विधियों से संबंधित करके लाई समूहों और सजातीय स्थानों की टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए प्रस्तुत किया गया था। इसे बाद में (क्लाउड शेवेल्ली & सैमुअल ईलेनबर्ग 1948) द्वारा एक मनमाना झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व में गुणांक तक विस्तारित किया गया।

प्रेरणा

अगर $G$ एक कॉम्पैक्ट बस जुड़ा हुआ स्थान लाई समूह है, तो यह इसके लाई बीजगणित द्वारा निर्धारित होता है, इसलिए लाई बीजगणित से इसकी कोहोलॉजी की गणना करना संभव होना चाहिए। इसे इस प्रकार किया जा सकता है। इसकी सह-समरूपता विभेदक रूपों के परिसर की डी राम सह-समरूपता है $G$. एक औसत प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, इस कॉम्प्लेक्स को समतुल्य विभेदक रूप |लेफ्ट-इनवेरिएंट डिफरेंशियल फॉर्म के कॉम्प्लेक्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस बीच, बाएं-अपरिवर्तनीय रूपों को पहचान पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है, ताकि बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर रूपों के स्थान को एक उपयुक्त अंतर के साथ, ली बीजगणित के बाहरी बीजगणित के साथ पहचाना जा सके।

बाहरी बीजगणित पर इस अंतर का निर्माण किसी भी लाई बीजगणित के लिए समझ में आता है, इसलिए इसका उपयोग सभी लाई बीजगणित के लिए लाई बीजगणित कोहोमोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। अधिक आम तौर पर एक मॉड्यूल में गुणांक के साथ बीजगणित कोहोलॉजी को परिभाषित करने के लिए एक समान निर्माण का उपयोग किया जाता है।

अगर $G$ एक सरल रूप से जुड़ा हुआ नॉनकॉम्पैक्ट लाई समूह है, जो संबंधित लाई बीजगणित की लाई बीजगणित सहसंरचना है। ${\mathfrak {g}}$ आवश्यक रूप से डी राम कोहोमोलॉजी को पुन: उत्पन्न नहीं करता है $G$. इसका कारण यह है कि सभी विभेदक रूपों के परिसर से वाम-अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों के परिसर तक का मार्ग एक औसत प्रक्रिया का उपयोग करता है जो केवल कॉम्पैक्ट समूहों के लिए समझ में आता है।

परिभाषा

होने देना ${\mathfrak {g}}$ सार्वभौम आवरण बीजगणित के साथ एक झूठ बीजगणित#उदाहरण_2 आर बनें $U{\mathfrak {g}}$, और मान लीजिए कि M एक झूठ बीजगणित का प्रतिनिधित्व है ${\mathfrak {g}}$ (समकक्ष, ए $U{\mathfrak {g}}$-मापांक)। आर को एक तुच्छ प्रतिनिधित्व के रूप में मानना ${\mathfrak {g}}$, एक कोहोमोलोजी समूहों को परिभाषित करता है

$\mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)$

(एक्सट की परिभाषा के लिए एक्सट ऑपरेटर देखें)। समान रूप से, ये बाएं सटीक अपरिवर्तनीय सबमॉड्यूल फ़ैक्टर के दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर हैं

$M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.$

अनुरूप रूप से, कोई लाई बीजगणित समरूपता को इस प्रकार परिभाषित कर सकता है

$\mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)$

(टोर की परिभाषा के लिए टोर काम करता है देखें), जो दाएं सटीक सहसंयोजक फ़ैक्टर के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर के बराबर है

$M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.$

लाई बीजगणित के सह-समरूपता के बारे में कुछ महत्वपूर्ण बुनियादी परिणामों में व्हाइटहेड का लेम्मा (लाई बीजगणित)|व्हाइटहेड का लेम्मा, पूर्ण रिड्यूसिबिलिटी पर वेइल का प्रमेय|वेइल का प्रमेय और लेवी अपघटन प्रमेय शामिल हैं।

चेवेल्ली-ईलेनबर्ग कॉम्प्लेक्स

होने देना ${\mathfrak {g}}$ एक क्षेत्र पर एक झूठ बीजगणित बनें $k$, पर बाईं ओर की कार्रवाई के साथ ${\mathfrak {g}}$-मापांक $M$. शेवेल्ली-ईलेनबर्ग परिसर के तत्व

$\mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)$

से कोचेन कहलाते हैं ${\mathfrak {g}}$ को $M$. एक सजातीय $n$-कोचेन से ${\mathfrak {g}}$ को $M$ इस प्रकार यह एक पर्याय है $k$-बहुरेखीय कार्य $f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M$. कब ${\mathfrak {g}}$ वेक्टर स्पेस के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, शेवेल्ली-ईलेनबर्ग कॉम्प्लेक्स टेन्सर उत्पाद के लिए कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है $M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}$, कहाँ ${\mathfrak {g}}^{*}$के दोहरे सदिश समष्टि को दर्शाता है ${\mathfrak {g}}$.

झूठ ब्रैकेट $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ पर ${\mathfrak {g}}$ एक रेखीय मानचित्र अनुप्रयोग के स्थानांतरण को प्रेरित करता है $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ द्वंद्व से. उत्तरार्द्ध व्युत्पत्ति को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है $d_{\mathfrak {g}}$ कोचेन के परिसर से ${\mathfrak {g}}$ को $k$ विस्तार करके $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}$श्रेणीबद्ध लीबनिज़ नियम के अनुसार। यह जैकोबी पहचान से चलता है $d_{\mathfrak {g}}$ संतुष्ट $d_{\mathfrak {g}}^{2}=0$ और वास्तव में यह एक अंतर है। इस सेटिंग में, $k$ एक तुच्छ चीज़ के रूप में देखा जाता है ${\mathfrak {g}}$-मॉड्यूल जबकि $k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})$ स्थिरांक के रूप में सोचा जा सकता है।

सामान्य तौर पर, चलो $\gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))$ की बायीं क्रिया को निरूपित करें ${\mathfrak {g}}$ पर $M$ और इसे एक एप्लिकेशन के रूप में मानें $d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}$. शेवेल्ली-ईलेनबर्ग अंतर $d$ तब अद्वितीय व्युत्पत्ति का विस्तार होता है $d_{\gamma }^{(0)}$ और $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}$ विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के अनुसार, निलपोटेंसी स्थिति $d^{2}=0$ ली बीजगणित समरूपता से निम्नलिखित ${\mathfrak {g}}$ को $\mathrm {End} (M)$ और जैकोबी पहचान में ${\mathfrak {g}}$.

स्पष्ट रूप से, का अंतर $n$-कोचेन $f$ है $(n+1)$-कोचेन $df$ द्वारा दिए गए:

${\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}$ जहां कैरेट उस तर्क को छोड़ने का संकेत देता है।

कब $G$ लाई बीजगणित के साथ एक वास्तविक लाई समूह है ${\mathfrak {g}}$, शेवेल्ली-ईलेनबर्ग कॉम्प्लेक्स को मूल्यों के साथ बाएं-अपरिवर्तनीय रूपों के स्थान के साथ कैनोनिक रूप से भी पहचाना जा सकता है $M$, द्वारा चिह्नित $\Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}$. शेवेल्ली-ईलेनबर्ग अंतर को तब तुच्छ फाइबर बंडल पर सहसंयोजक व्युत्पन्न के प्रतिबंध के रूप में माना जा सकता है $G\times M\rightarrow G$, समतुल्य कनेक्शन (गणित) से सुसज्जित ${\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))$ वाम क्रिया से सम्बंधित $\gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))$ का ${\mathfrak {g}}$ पर $M$. विशेष मामले में जहां $M=k=\mathbb {R}$ की तुच्छ क्रिया से सुसज्जित है ${\mathfrak {g}}$, शेवेल्ली-एलेनबर्ग अंतर डी राम कोहोमोलॉजी के प्रतिबंध के साथ मेल खाता है $\Omega ^{\bullet }(G)$ वाम-अपरिवर्तनीय अंतर रूपों के उपस्थान के लिए।

छोटे आयामों में सह-समरूपता

ज़ीरोथ कोहोमोलॉजी समूह (परिभाषा के अनुसार) मॉड्यूल पर कार्य करने वाले लाई बीजगणित के अपरिवर्तनीय हैं:

$H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.$

पहला कोहोमोलोजी समूह अंतरिक्ष है Der व्युत्पत्तियों का मॉड्यूलो स्थान Iderआंतरिक व्युत्पत्तियों का

$H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,$,

जहाँ व्युत्पत्ति एक मानचित्र है $d$ लाई बीजगणित से लेकर $M$ ऐसा है कि

$d[x,y]=xdy-ydx~$

और यदि यह द्वारा दिया गया है तो इसे आंतरिक कहा जाता है

$dx=xa~$

कुछ के लिए $a$ में $M$.

दूसरा कोहोमोलोजी समूह

$H^{2}({\mathfrak {g}};M)$

ली बीजगणित विस्तार के तुल्यता वर्गों का स्थान है

$0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0$

मॉड्यूल द्वारा झूठ बीजगणित का $M$.

इसी प्रकार, कोहोमोलोजी समूह का कोई भी तत्व $H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)$ लाई बीजगणित का विस्तार करने के तरीकों का एक तुल्यता वर्ग देता है ${\mathfrak {g}}$ एक झूठ के लिए $n$-बीजगणित के साथ ${\mathfrak {g}}$ ग्रेड शून्य में और $M$ ग्रेड में $n$. एक झूठ $n$-बीजगणित एक समरूप झूठ बीजगणित है जिसमें गैर-शून्य पद केवल 0 से डिग्री तक होते हैं $n$.

उदाहरण

तुच्छ मॉड्यूल पर कोहोलॉजी

कब $M=\mathbb {R}$, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, शेवेल्ली-ईलेनबर्ग कॉम्प्लेक्स संबंधित कॉम्पैक्ट लाई समूह के लिए डी-रैम कॉम्प्लेक्स के साथ मेल खाता है। इस मामले में $M$ की तुच्छ कार्यवाही करता है ${\mathfrak {g}}$, इसलिए $xa=0$ हरएक के लिए $x\in {\mathfrak {g}},a\in M$.

• जीरोथ कोहोमोलोजी समूह है $M$.
• प्रथम सहसंरचना: एक व्युत्पत्ति दी गई $D$, $xdy=0$ सभी के लिए $x$ और $y$, इसलिए व्युत्पत्तियाँ संतुष्ट करती हैं $D([x,y])=0$ सभी कम्यूटेटरों के लिए, इसलिए आदर्श $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ के कर्नेल में समाहित है $D$.
  • अगर $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}$, जैसा कि साधारण लाई बीजगणित के मामले में होता है $D\equiv 0$, इसलिए व्युत्पत्तियों का स्थान तुच्छ है, इसलिए पहला सहसंबद्धता तुच्छ है।
  • अगर ${\mathfrak {g}}$ एबेलियन है, अर्थात, $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=0$, फिर कोई रैखिक कार्यात्मक $D:{\mathfrak {g}}\rightarrow M$ वास्तव में एक व्युत्पत्ति है, और आंतरिक व्युत्पत्तियों का सेट तुच्छ है क्योंकि वे संतुष्ट करते हैं $Dx=xa=0$ किसी के लिए $a\in M$. फिर इस मामले में पहला कोहोमोलॉजी समूह है $M^{{\text{dim}}{\mathfrak {g}}}$. डी-रैम पत्राचार के प्रकाश में, यह कॉम्पैक्ट धारणा के महत्व को दर्शाता है, क्योंकि यह पहला कोहोमोलॉजी समूह है $n$-टोरस को एबेलियन समूह के रूप में देखा जाता है, और $\mathbb {R} ^{n}$ इसे आयाम के एबेलियन समूह के रूप में भी देखा जा सकता है $n$, लेकिन $\mathbb {R} ^{n}$ इसमें तुच्छ कोहोमोलोजी है।
• दूसरा कोहोमोलॉजी: दूसरा कोहोमोलॉजी समूह लाई बीजगणित विस्तार#सेंट्रल के समतुल्य वर्गों का स्थान है

$$0\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0.$$

परिमित आयामी, सरल झूठ बीजगणित में केवल तुच्छ केंद्रीय विस्तार होते हैं: एक प्रमाण प्रदान किया जाता है झूठ बीजगणित विस्तार#प्रमेय।

सहायक मॉड्यूल पर सह-समरूपता

कब $M={\mathfrak {g}}$, क्रिया सहायक क्रिया है, $x\cdot y=[x,y]={\text{ad}}(x)y$.

• ज़ीरोथ कोहोमोलॉजी समूह केंद्र है ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$
• प्रथम सहसंगति: आंतरिक व्युत्पत्तियाँ द्वारा दी गई हैं $Dx=xy=[x,y]=-{\text{ad}}(y)x$, तो वे बिल्कुल की छवि हैं ${\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}({\mathfrak {g}}).$ पहला कोहोमोलॉजी समूह एक लाई बीजगणित#व्युत्पन्नों के ऑटोमोर्फिज्म का स्थान है। के लिए ${\mathfrak {g}}$ परिमित-आयामी, यह तुच्छ है।

यह भी देखें

• सैद्धांतिक भौतिकी में बीआरएसटी औपचारिकता।
• गेलफैंड-फुक्स कोहोमोलॉजी

संदर्भ

• Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel (1948), "Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras", Transactions of the American Mathematical Society, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 63 (1): 85–124, doi:10.2307/1990637, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908
• Hilton, Peter J.; Stammbach, Urs (1997), A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 4 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546
• Knapp, Anthony W. (1988), Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes, vol. 34, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 0938524

बाहरी संबंध

• "An introduction to Lie algebra cohomology". Scholarpedia.