आयाम अवमंदन प्रणाली

परिमाण संचार के सिद्धांत में, आयाम अवमंदन प्रणाली एक परिमाण प्रणाली है जो सहज उत्सर्जन जैसी भौतिक प्रक्रियाओं को प्रतिमान करता है। प्राकृतिक प्रक्रिया जिसके द्वारा यह प्रणाली घटित हो सकता है वह एक चक्रण श्रृंखला है जिसके माध्यम से एक समय स्वतंत्र हैमिल्टनियन द्वारा युग्मित कई चक्रण स्थितियों का उपयोग परिमाण स्थिति को एक स्थान से दूसरे स्थान पर भेजने के लिए किया जा सकता है। परिणामी परिमाण प्रणाली एक आयाम अवमंदन प्रणाली के समान होता है, जिसके लिए परिमाण क्षमता, प्रतिष्ठित क्षमता और परिमाण प्रणाली की उलझाव सहायता प्राप्त प्रतिष्ठित क्षमता का मूल्यांकन किया जा सकता है।

क्यूबिट प्रणाली

आयाम अवमंदन प्रणाली द्वारा परिभाषित किया गया है:

1. |0⟩ स्थिति में निविष्ट क्यूबिट को दूसरे क्यूबिट से युग्मित करना।
2. एकात्मक क्रिया करना $|{00}\rangle \rightarrow |{00}\rangle$, $|{10}\rangle \rightarrow {\sqrt {1-p}}|{10}\rangle +{\sqrt {p}}|{01}\rangle$.
3. अतिरिक्त क्यूबिट का पता लगाना।

आयाम-अवमंदन प्रणाली उत्तेजित अवस्था से जमीनी अवस्था तक ऊर्जा विश्राम को प्रतिमान करता है। क्षय की संभावना के साथ द्वि-आयामी प्रणाली या क्यूबिट पर $\gamma$, घनत्व आव्यूह पर प्रणाली की क्रिया $\rho$ द्वारा दिया गया है

${\cal {N}}_{\gamma }(\rho )=K_{0}\rho K_{0}^{\dagger }+K_{1}\rho K_{1}^{\dagger }\;,$

जहाँ $K_{0},K_{1}$ संकर संक्रियक द्वारा दिए गए हैं

$K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {1-\gamma }}\end{pmatrix}},\;K_{1}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {\gamma }}\\0&0\end{pmatrix}}\;.$

इस प्रकार

${\cal {N}}_{\gamma }\left[{\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}\rho _{00}+\gamma \rho _{11}&{\sqrt {1-\gamma }}\rho _{01}\\{\sqrt {1-\gamma }}\rho _{10}&(1-\gamma )\rho _{11}\end{pmatrix}}\;.$

चक्रण शृंखला परिमाण प्रणाली के लिए प्रतिमान

चक्रण श्रृंखला सहसंबंधों के आधार पर परिमाण प्रणाली का मुख्य निर्माण N युग्मित चक्रण का संग्रह है। परिमाण प्रणाली के दोनों ओर, चक्रण के दो समूह हैं और हम इन्हें परिमाण पंजिका, A और B के रूप में संदर्भित करते हैं। संदेश भेजने वाले को पंजिका A पर कुछ जानकारी कोड करके एक संदेश भेजा जाता है, और फिर, इसे कुछ समय तक प्रचारित करने के बाद, प्राप्तकर्ता द्वारा बाद में इसे B से पुनर्प्राप्त किया जाता है। $\rho _{A}$ पहले A पर चक्रणों को श्रृंखला के शेष भाग से अलग करके A पर तैयार किया जाता है। तैयारी के बाद, $\rho _{A}$ श्रृंखला के शेष भाग पर स्थिति के साथ बातचीत करने की अनुमति है, जिसमें प्रारंभ में स्थिति है $\sigma _{0}$ समय बढ़ने के साथ चक्रण श्रृंखला की स्थिति का वर्णन किया जा सकता है $R(t)=U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)$ इस संबंध से हम श्रृंखला के अन्य सभी स्थितियों का पता लगाकर पंजिका B से संबंधित चक्रण की स्थिति प्राप्त कर सकते हैं।

$\rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]$

यह नीचे प्रतिचित्रण देता है, जो बताता है कि A पर स्थिति समय के एक फलन के रूप में कैसे बदल जाती है क्योंकि यह परिमाण प्रणाली पर B प्रसारित होती है। U (t) केवल कुछ एकात्मक आव्यूह है जो एक फलन के रूप में प्रणाली के विकास का वर्णन करता है समय की।

$\rho _{A}\rightarrow {\mathcal {M}}(\rho _{A})\equiv \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]$

यद्यपि, परिमाण प्रणाली के इस विवरण के साथ कुछ उद्देश्य हैं। ऐसे प्रणाली का उपयोग करने से जुड़ी धारणाओं में से एक यह है कि हम उम्मीद करते हैं कि श्रृंखला की स्थिति में गड़बड़ी नहीं होगी। यद्यपि श्रृंखला को परेशान किए बिना किसी स्थिति को A पर सांकेतिक शब्दों में बदलना किया जाना संभव हो सकता है, लेकिन B से स्थिति की अध्ययन बाकी चक्रण श्रृंखला की स्थितियों को प्रभावित करेगी। इस प्रकार, पंजिका A और B के किसी भी बार-बार परिवर्तन से परिमाण प्रणाली पर एक अज्ञात प्रभाव पड़ेगा। इस तथ्य को देखते हुए, इस प्रतिचित्रण की क्षमताओं को हल करना सामान्यतः उपयोगी नहीं होगा, क्योंकि यह केवल तभी लागू होगा जब श्रृंखला की कई प्रतियां समानांतर में काम कर रही हों। इन क्षमताओं के लिए सार्थक मूल्यों की गणना करने के लिए, नीचे दिया गया सरल प्रतिमान क्षमताओं को सटीक रूप से हल करने की अनुमति देता है।

समाधानयोग्य प्रतिमान

एक चक्रण श्रृंखला, जो लौह-चुंबकीय हाइजेनबर्ग परस्पर क्रिया के माध्यम से युग्मित चक्रण 1/2 के साथ कणों की एक श्रृंखला से बनी होती है, का उपयोग किया जाता है, और हैमिल्टनियन द्वारा इसका वर्णन किया गया है:$H=-\sum _{\langle i,j\rangle }\hbar J_{ij}\left({\sigma }_{x}^{i}{\sigma }_{x}^{j}+{\sigma }_{y}^{i}{\sigma }_{y}^{j}+\gamma {\sigma }_{z}^{i}{\sigma }_{z}^{j}\right)-\sum _{i=1}^{N}\hbar B_{i}\sigma _{z}^{i}$

यह माना जाता है कि निविष्ट पंजिका, A और उत्पाद पंजिका B श्रृंखला के साथ पहले k और अंतिम k चक्रण पर कब्जा कर लेते हैं, और श्रृंखला के साथ सभी चक्रण z दिशा में चक्रण नीचे स्थिति में होने के लिए तैयार हैं। फिर दलों एक एकल क्यूबिट को सांकेतिक शब्दों में बदलना/कूटवचन करने के लिए अपने सभी चक्रण स्थितियों का उपयोग करती हैं। इस पद्धति के लिए प्रेरणा यह है कि यदि सभी k चक्रणों का उपयोग करने की अनुमति दी गई, तो हमारे पास एक k-क्यूबिट परिमाण प्रणाली होगा, जो पूरी तरह से विश्लेषण करने के लिए बहुत जटिल होगा। स्पष्ट रूप से, एक अधिक प्रभावी प्रणाली सभी k चक्रणों का उपयोग करेगा, लेकिन इस अक्षम पद्धति का उपयोग करके, परिणामी मानचित्रों को विश्लेषणात्मक रूप से देखना संभव है।

K उपलब्ध बिट्स का उपयोग करके एकल बिट की सांकेतिक शब्दों में करने के लिए, एक-चक्रण ऊपर वेक्टर $|j\rangle$ को परिभाषित किया गया है , जिसमें J-वें एक को छोड़कर सभी चक्रण चक्रण नीचे अवस्था में हैं, जो चक्रण ऊपर अवस्था में है।

$|{j}\rangle \equiv \left|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \downarrow \right\rangle$

प्रेषक अपने k निविष्ट चक्रण का समूह इस प्रकार तैयार करता है:

$|\Psi \rangle _{A}\equiv \alpha \left|\Downarrow \right\rangle _{A}+\beta |\phi _{1}\rangle _{A}$

जहां $\left|\Downarrow \right\rangle$ वह अवस्था है जहां सभी स्थितियां नीचे की ओर घूमती हैं, और, और $|\phi _{1}\rangle$ सभी संभावित एक-चक्रण ऊपर अवस्थाओं का उत्तमस्थिति है। इस निविष्ट का उपयोग करके, एक ऐसी स्थिति खोजना संभव है जो किसी दिए गए समय T पर पूरी श्रृंखला का वर्णन करती है। ऐसी स्थिति से, आदाता से संबंधित N-K चक्रण का पता लगाना, जैसा कि हमने पहले प्रतिमान के साथ किया होगा, स्थिति को B पर छोड़ देता है:

$\rho _{B}(t)=(|\alpha |^{2}+(1-\eta )|\beta |^{2})\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|+\eta |\beta |^{2}|\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha \beta ^{*}\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha ^{*}\beta |\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|$

जहां $\eta$ परिमाण प्रणाली की दक्षता को परिभाषित करने वाला एक स्थिरांक है। यदि हम उन स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनमें $|1\rangle$ एक चक्रण होना है और वे $|0\rangle$ जहां सभी चक्रण नीचे हैं ,${\mathcal {D}}_{n}$ यह आयाम अवमंदन प्रणाली को लागू करने के परिणाम के रूप में पहचानने योग्य हो जाता है , निम्नलिखित संकर संक्रियकों द्वारा विशेषता:

$A_{0}=|0\rangle \langle 0|+{\sqrt {\eta }}|1\rangle \langle 1|$; $A_{1}={\sqrt {1-\eta }}|0\rangle \langle 1|$

स्पष्ट, तथ्य यह है कि एक आयाम अवमंदन प्रणाली चक्रण श्रृंखला में परिमाण स्थितियों के संचरण का वर्णन करता है, इस तथ्य से उपजा है कि प्रणाली का हैमिल्टनियन ऊर्जा का संरक्षण करता है। जबकि ऊर्जा को फैलाया जा सकता है क्योंकि वन-चक्रण ऊपर अवस्था को श्रृंखला के साथ स्थानांतरित किया जाता है, नीचे की अवस्था में चक्रण के लिए अचानक ऊर्जा प्राप्त करना और चक्रण ऊपर अवस्था में बदलना संभव नहीं है।

आयाम अवमंदन प्रणाली की क्षमता

चक्रण-शृंखला को एक आयाम अवमंदन प्रणाली के रूप में वर्णित करके, प्रणाली से जुड़ी विभिन्न क्षमताओं की गणना करना संभव है। इस प्रणाली की एक उपयोगी संपत्ति, जिसका उपयोग इन क्षमताओं को खोजने के लिए किया जाता है, यह तथ्य है कि क्षमता वाले दो आयाम वाले अवमंदन प्रणाली $\eta$ और $\eta '$ को संयोजित किया जा सकता है. इस तरह का संयोजन दक्षता का एक नया प्रणाली $\eta$$\eta '$ देता है .

परिमाण क्षमता

परिमाण क्षमता की गणना करने के लिए, मानचित्र ${\mathcal {D}}_{\eta }$ को इस प्रकार दर्शाया गया है:

${\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\equiv {\mbox{Tr}}_{C}[V\left(\rho \otimes |0\rangle _{C}\langle 0|\right)V^{\dagger }]\;.$

मानचित्र का यह प्रतिनिधित्व एक सहायक हिल्बर्ट स्थान जोड़कर प्राप्त किया जाता है ${\mathcal {H}}_{C}$ उसके वहां के लिए ${\mathcal {H}}_{A}$ और एक संक्रियक V का परिचय दिया गया जो A और C पर संचालित होता है। एक पूरक प्रणाली, ${\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }$ को भी परिभाषित किया गया है, जहां C पर ट्रेस करने के स्थान, हम A पर ट्रेस करते हैं। एक अदला-बदली संचालन S जो A को C में बदल देता है, परिभाषित किया गया है। इस संचालन का उपयोग करते हुए, साथ ही आयाम अवमंदन प्रणालीों के संयोजन के नियम के लिए, $\eta \geqslant 0.5$ दिखाया गया है

${\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }(\rho )=S{\mathcal {D}}_{(1-\eta )/\eta }\left({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\right)\;.$

यह संबंध दर्शाता है कि प्रणाली अवक्रमणीय है, जो आश्वासन देता है कि प्रणाली की सुसंगत जानकारी योगात्मक है। इसका तात्पर्य यह है कि परिमाण क्षमता एकल प्रणाली उपयोग के लिए प्राप्त की गई है।

एक आयाम अवमन्‍दक प्रतिचित्रण को सामान्य निविष्ट स्थिति पर लागू किया जाता है, और इस प्रतिचित्रण से, उत्पाद की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी(उस ऊर्जा का परिमाण जो यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित नहीं हो सकती) इस प्रकार पाई जाती है:

$S({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}\right)/2)\;,$

जहाँ $p\in [0,1]$ स्थिति के साथ $|1\rangle$ और $|\gamma |\leqslant {\sqrt {(1-p)p}}$ एक सुसंगति शब्द है. अवस्था की शुद्धि को देखने से पता चलता है कि:

$S(({\mathcal {D}}_{\eta }\otimes 1_{anc})(\Phi ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,(1-\eta )\,p)^{2}+4\,(1-\eta )\,|\gamma |^{2}}}\right)/2)$

परिमाण क्षमता को अधिकतम करने के लिए, हम उसे चुनते हैं $\gamma =0$ (एन्ट्रापी के अवतल कार्य के कारण, जो परिमाण क्षमता के रूप में निम्नलिखित उत्पन्न करता है:

$Q\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;$

के लिए परिमाण क्षमता ढूँढना $\eta <0.5$ यह सीधा है, क्योंकि नो-क्लोनिंग प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में परिमाण क्षमता गायब हो जाती है। तथ्य यह है कि प्रणालीों को इस तरह से बनाया जा सकता है कि प्रणाली $\eta$ की परिमाण क्षमता एक फलन के रूप में बढ़नी चाहिए .

उलझाव सहायता प्राप्त प्रतिष्ठित क्षमता

उलझाव सहायता क्षमता की गणना करने के लिए हमें परिमाण पारस्परिक जानकारी को अधिकतम करना होगा। इसे पिछले अनुभाग में प्राप्त सुसंगत जानकारी में संदेश की निविष्ट एन्ट्रापी जोड़कर पाया जाता है। इसे फिर से अधिकतम किया गया है $\gamma =0$. इस प्रकार, उलझाव की सहायता से प्रतिष्ठित क्षमता पाई जाती है

$C_{E}\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(p)+H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;$

प्रतिष्ठित क्षमता

अब हम C1 की गणना करते हैं, जो प्रतिष्ठित जानकारी की अधिकतम मात्रा है जिसे समानांतर प्रणाली उपयोग पर अतिरिक्त-उलझी सांकेतिक शब्दों में बदलनािंग द्वारा प्रसारित किया जा सकता है। यह मात्रा प्रतिष्ठित क्षमता, C के लिए निचली सीमा के रूप में कार्य करती है। C1 को खोजने के लिए, प्रतिष्ठित क्षमता को n=1 के लिए अधिकतम किया जाता है। हम संदेशों के समूह पर विचार करते हैं, जिनमें से प्रत्येक की संभावना है $\xi _{k}$. होलेवो जानकारी यह पाई गई है:

$\chi \equiv H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}}{2}}\right)-\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\;$

इस अभिव्यक्ति में, $p_{k}$ और $\gamma _{k}$ जनसंख्या और एक सुसंगति शब्द हैं, जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है, और $p$ और $\gamma$ इनके औसत मूल्य हैं।

C1 को खोजने के लिए, पहले C1 के लिए एक ऊपरी सीमा पाई जाती है, और फिर एक समूह $p_{k},\gamma _{k},\xi _{k}$ ऐसे पाए जाते हैं जो इस बाध्यता को संतुष्ट करते हैं। पहले जैसा, $\gamma$ होलेवो जानकारी के पहले पद को अधिकतम करने के लिए 0 पर समूह किया गया है। यहां से हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि बाइनरी एन्ट्रापी $H_{2}(z)$ के सापेक्ष कम हो रहा है $|1/2+z|$ साथ ही यह तथ्य भी $H_{2}(1+{\sqrt {1-z^{2}}}/2)$ निम्नलिखित असमानता को खोजने के लिए z के संबंध में उत्तल कार्य है:

$\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\geqslant H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )(\sum _{k}\xi _{k}p_{k})^{2}}}}{2}}\right)$

P के सभी विकल्पों को अधिकतम करके, C1 के लिए निम्नलिखित ऊपरी सीमा पाई जाती है:

$C_{1}\leqslant \max _{p\in [0,1]}{\Big \{}H_{2}\left(\eta \,p\right)-H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )\,p^{2}}}}{2}}\right){\Big \}}\;$

यह ऊपरी सीमा C1 के लिए मान पाई जाती है, और प्राचल जो इस सीमा का अनुभूति कराते हैं $\xi _{k}=1/d\,\!$,$p_{k}=p\,\!$, और $\gamma _{k}=e^{2\pi ik/d}{\sqrt {(1-p)p}}$.

क्षमताओं का संख्यात्मक विश्लेषण

विभिन्न क्षमताओं के भावों से उन पर संख्यात्मक विश्लेषण करना संभव है। एक के लिए $\eta$ 1 में से, तीन क्षमताओं को अधिकतम किया जाता है, जिससे परिमाण और प्रतिष्ठित क्षमताएं दोनों 1 हो जाती हैं, और एंटैंगलमेंट सहायता प्राप्त प्रतिष्ठित क्षमता 2 हो जाती है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है,किसी के लिए परिमाण क्षमता 0 है $\eta$ 0.5 से कम, जबकि प्रतिष्ठित क्षमता और उलझाव सहायता प्राप्त प्रतिष्ठित क्षमता 0 तक पहुंचती है $\eta$ का 0. कब $\eta$ 0.5 से कम है, तो प्राप्तकर्ता पक्ष को भेजी जाने वाली परिमाण जानकारी के लिए बहुत अधिक जानकारी पर्यावरण में खो जाती है।

परिमाण संचार प्रणाली के रूप में चक्रण-शृंखला की प्रभावशीलता

प्रणाली की दक्षता के एक फलन के रूप में आयाम अवमंदन प्रणाली की क्षमताओं की गणना करने के बाद, सांकेतिक शब्दों में बदलनािंग साइट और डिकोडिंग साइट के बीच की दूरी के एक फलन के रूप में ऐसे प्रणाली की प्रभावशीलता का विश्लेषण करना संभव है। बोस ने प्रदर्शित किया कि कार्यकुशलता एक कार्य के रूप में गिरती है $|r-s|^{-2/3}$, जहां r कूटवचन की स्थिति है और s सांकेतिक शब्दों में बदलना की स्थिति है। इस तथ्य के कारण कि परिमाण क्षमता अदृश्य हो जाती है 0.5 से कम, इसका तात्पर्य है कि किसी भी परिमाण सूचना को प्रसारित करने के लिए प्रेषक और प्राप्तकर्ता के बीच की दूरी बहुत कम होनी चाहिए। इसलिए, लंबी चक्रण श्रृंखलाएं परिमाण जानकारी प्रसारित करने के लिए उपयुक्त नहीं हैं।

भविष्य का अध्ययन

इस क्षेत्र में भविष्य के अध्ययन की संभावनाओं में ऐसे तरीके सम्मिलित होंगे जिनसे चक्रण-शृंखला परस्पर क्रिया को अधिक प्रभावी प्रणाली के रूप में उपयोग किया जा सकता है। इसमें के मूल्यों का अनुकूलन सम्मिलित होगा $\eta$ चक्रण के बीच की अंतःक्रिया को अधिक बारीकी से देखकर, और उन अंतःक्रियाओं को चुनकर जिनका दक्षता पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है। ऐसा अनुकूलन दूरी पर परिमाण डेटा के अधिक प्रभावी प्रसारण की अनुमति दे सकता है। इसका एक विकल्प श्रृंखला को छोटे खंडों में विभाजित करना और परिमाण डेटा संचारित करने के लिए बड़ी संख्या में चक्रण श्रृंखलाओं का उपयोग करना होगा। यह प्रभावी होगा क्योंकि चक्रण शृंखला स्वयं परिमाण डेटा को कम दूरी तक प्रसारित करने में अच्छी हैं। इसके शीर्ष पर, प्रेषक और आदाता के बीच मुफ्त दो-तरफ़ा प्रतिष्ठित संचार की अनुमति देकर और परिमाण टेलीपोर्टेशन जैसे परिमाण प्रभावों का उपयोग करके परिमाण क्षमता को बढ़ाना संभव होगा। अध्ययन के अन्य क्षेत्रों में सांकेतिक शब्दों में बदलने के लिए एक विश्लेषण सम्मिलित होगा जो पंजीको के पूर्ण k चक्रण का उपयोग करता है, क्योंकि इससे एक समय में अधिक जानकारी संप्रेषित करने की अनुमति मिलेगी।

बाहरी संबंध

• Giovannetti, V.; Fazio, R. (2005). "Information capacity description of spin-chain correlations". Physical Review A. 71 (3): 032314. arXiv:quant-ph/0405110. Bibcode:2005PhRvA..71c2314G. doi:10.1103/PhysRevA.71.032314. S2CID 118903641.
• Bose, S. (2003). "Quantum Communication through an Unmodulated spin Chain". Physical Review Letters. 91 (20): 207901. arXiv:quant-ph/0212041. Bibcode:2003PhRvL..91t7901B. doi:10.1103/PhysRevLett.91.207901. PMID 14683398. S2CID 31739795.
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information"
• Wilde, Mark M. (2017), Quantum Information Theory, Cambridge University Press, arXiv:1106.1445, Bibcode:2011arXiv1106.1445W, doi:10.1017/9781316809976.001, S2CID 2515538