गणनीय रूप से सघन समिष्ट: Difference between revisions
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प्रत्येक <math>x\in X</math> एक संवृत निकट है <math>O_x</math> ऐसा है कि <math>O_x\cap A</math> परिमित (संभवतः खाली) है, क्योंकि x एक ω-संचय बिंदु नहीं है। A के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय F के लिए परिभाषित करें <math>O_F = \cup\{O_x: O_x\cap A=F\}</math>. प्रत्येक <math>O_x</math> में से एक का उपसमुच्चय है <math>O_F</math>, इतना <math>O_F</math> कवर एक्स। चूंकि उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए <math>O_F</math> X का एक गणनीय | प्रत्येक <math>x\in X</math> एक संवृत निकट है <math>O_x</math> ऐसा है कि <math>O_x\cap A</math> परिमित (संभवतः खाली) है, क्योंकि x एक ω-संचय बिंदु नहीं है। A के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय F के लिए परिभाषित करें <math>O_F = \cup\{O_x: O_x\cap A=F\}</math>. प्रत्येक <math>O_x</math> में से एक का उपसमुच्चय है <math>O_F</math>, इतना <math>O_F</math> कवर एक्स। चूंकि उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए <math>O_F</math> X का एक गणनीय संवृत आवरण बनाएँ। किन्तु प्रत्येक <math>O_F</math> A को एक परिमित उपसमुच्चय (अर्थात् F) में प्रतिच्छेद करता है, इसलिए उनमें से बहुत से A को आवरण नहीं कर सकते, X को तो छोड़ ही दें। यह विरोधाभास सिद्ध होता है (2)। | ||
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'(3) <math>\Rightarrow</math> (1): मान लीजिए (3) धारण करता है और <math>\{O_n: n\in\mathbb N\}</math> एक परिमित उपकवर के बिना एक गणनीय संवृत आवरण है। फिर प्रत्येक के लिए <math>n</math> हम एक बिंदु चुन सकते हैं <math>x_n\in X</math> वह अंदर नहीं है <math>\cup_{i=1}^n O_i</math>. क्रम <math>(x_n)_n</math> एक संचय बिंदु x है और वह x कुछ में है <math>O_k</math>. परन्तु फिर <math>O_k</math> x का एक वर्ग है जिसमें इनमें से कुछ भी सम्मिलित नहीं है <math>x_n</math> साथ <math>n>k</math>, तो आख़िरकार x अनुक्रम का संचय बिंदु नहीं है। यह विरोधाभास (1) सिद्ध करता है। | '(3) <math>\Rightarrow</math> (1): मान लीजिए (3) धारण करता है और <math>\{O_n: n\in\mathbb N\}</math> एक परिमित उपकवर के बिना एक गणनीय संवृत आवरण है। फिर प्रत्येक के लिए <math>n</math> हम एक बिंदु चुन सकते हैं <math>x_n\in X</math> वह अंदर नहीं है <math>\cup_{i=1}^n O_i</math>. क्रम <math>(x_n)_n</math> एक संचय बिंदु x है और वह x कुछ में है <math>O_k</math>. परन्तु फिर <math>O_k</math> x का एक वर्ग है जिसमें इनमें से कुछ भी सम्मिलित नहीं है <math>x_n</math> साथ <math>n>k</math>, तो आख़िरकार x अनुक्रम का संचय बिंदु नहीं है। यह विरोधाभास (1) सिद्ध करता है। | ||
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Latest revision as of 10:44, 27 July 2023
गणित में टोपोलॉजिकल समिष्ट को गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि प्रत्येक गणनीय संवृत आवरण में परिमित आवरण होता है।
समतुल्य परिभाषाएँ
एक टोपोलॉजिकल समिष्ट X को काउंटेबल कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमो में से किसी एक को संतुष्ट करता है:[1][2]
- (1) X के प्रत्येक गणनीय संवृत आवरण में सीमित उपआवरण होता है।
- (2) X में प्रत्येक अनंत समुच्चय ए में X में ω-संचय बिंदु है।
- (3) X में प्रत्येक अनुक्रम में X में संचय बिंदु (अनुक्रम) होता है।
- (4) रिक्त प्रतिच्छेदन के साथ X के विवृत उपसमुच्चय के प्रत्येक गणनीय वर्ग में रिक्त प्रतिच्छेदन के साथ परिमित वर्ग होता है।
| style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | तुल्यता का प्रमाण
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(1) (2): मान लीजिए (1) धारण करता है और ए बिना एक्स का एक अनंत उपसमुच्चय है -संचय बिंदु. यदि आवश्यक हो तो A का उपसमुच्चय लेकर, हम मान सकते हैं कि A गणनीय है। प्रत्येक एक संवृत निकट है ऐसा है कि परिमित (संभवतः खाली) है, क्योंकि x एक ω-संचय बिंदु नहीं है। A के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय F के लिए परिभाषित करें . प्रत्येक में से एक का उपसमुच्चय है , इतना कवर एक्स। चूंकि उनमें से बहुत सारे हैं, इसलिए X का एक गणनीय संवृत आवरण बनाएँ। किन्तु प्रत्येक A को एक परिमित उपसमुच्चय (अर्थात् F) में प्रतिच्छेद करता है, इसलिए उनमें से बहुत से A को आवरण नहीं कर सकते, X को तो छोड़ ही दें। यह विरोधाभास सिद्ध होता है (2)। '(2) (3): मान लीजिए (2) रखता है, और रहने देता है X में एक अनुक्रम हो। यदि अनुक्रम का मान x है जो अनंत बार आता है, तो वह मान अनुक्रम का एक संचय बिंदु (अनुक्रम) है। अन्यथा, अनुक्रम में प्रत्येक मान केवल सीमित रूप से कई बार और समुच्च्य में होता है अनंत है और इसलिए इसका एक ω-संचय बिंदु x भी है। वह x तब अनुक्रम का एक संचय बिंदु है, जैसा कि सरलता से जांचा जा सकता है। '(3) (1): मान लीजिए (3) धारण करता है और एक परिमित उपकवर के बिना एक गणनीय संवृत आवरण है। फिर प्रत्येक के लिए हम एक बिंदु चुन सकते हैं वह अंदर नहीं है . क्रम एक संचय बिंदु x है और वह x कुछ में है . परन्तु फिर x का एक वर्ग है जिसमें इनमें से कुछ भी सम्मिलित नहीं है साथ , तो आख़िरकार x अनुक्रम का संचय बिंदु नहीं है। यह विरोधाभास (1) सिद्ध करता है। '(4) (1): पूरक लेने पर स्थितियाँ (1) और (4) सरलता से समतुल्य दिखाई देती हैं। |
उदाहरण
- पहला असंख्य ऑर्डिनल (ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ) गणनीय कॉम्पैक्ट समिष्ट का उदाहरण है जो कॉम्पैक्ट नहीं है।[3]
गुण
- प्रत्येक कॉम्पैक्ट समिष्ट अधिक कॉम्पैक्ट होता है।
- एक गणनीय रूप से सघन समिष्ट सघन होता है यदि और केवल तभी जब वह लिंडेलॉफ समिष्ट होता है।
- प्रत्येक गणनीय रूप से सघन समिष्ट सीमा बिंदु सघन है।
- T1 रिक्त समिष्ट के लिए, गणनीय सघनता और सीमा बिंदु सघनता समतुल्य हैं।
- प्रत्येक क्रमिक रूप से सघन समिष्ट गणनीय रूप से सघन होता है।[4] उदाहरण के लिए, सातत्य की कार्डिनैलिटी का गुणनफल-कई विवृत अंतराल उत्पाद टोपोलॉजी के साथ कॉम्पैक्ट है और इसलिए अधिक कॉम्पैक्ट है; किन्तु यह क्रमिक रूप से सघन नहीं है.[5]
- प्रथम-गणनीय रिक्त समिष्ट के लिए, गणनीय सघनता और अनुक्रमिक सघनता समतुल्य हैं।[6]
- मेट्रिज़ेबल समिष्ट के लिए, गणनीय सघनता, अनुक्रमिक सघनता, सीमा बिंदु सघनता और सघनता सभी समतुल्य हैं।
- मानक टोपोलॉजी के साथ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का उदाहरण दिखाता है कि न तो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समिष्ट और न सघन समिष्ट σ-कॉम्पैक्टनेस और न ही पैराकॉम्पैक्ट समिष्ट गणनीय कॉम्पैक्टनेस का संकेत देता है।
- एक गणनीय रूप से सघन समिष्ट के विवृत उपस्थान गणनीय रूप से सघन होते हैं।[7]
- एक गणनीय रूप से सघन समिष्ट की सतत छवि गणनीय रूप से सघन होती है।[8]
- प्रत्येक गणनीय रूप से सघन समिष्ट छद्मकॉम्पैक्ट है।
- एक गणनीय सघन समिष्ट में, गैर-रिक्त उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय परिमित वर्ग परिमित होता है।[9]
- प्रत्येक गणनीय रूप से कॉम्पैक्ट पैराकॉम्पैक्ट समिष्ट कॉम्पैक्ट है।[9]
- प्रत्येक गणनीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ समिष्ट प्रथम-गणनीय समिष्ट नियमित समिष्ट है।[10][11]
- प्रत्येक सामान्य गणनीय रूप से सघन समिष्ट संग्रहवार सामान्य है।
- एक सघन समिष्ट और गणनीय रूप से सघन समिष्ट का उत्पाद गणनीय रूप से सघन होता है।[12][13]
- दो गणनीय रूप से सघन समिष्ट के उत्पाद को गणनीय रूप से सघन होने की आवश्यकता नहीं है।[14]
यह भी देखें
- क्रमिक रूप से संकुचित समिष्ट
- संक्षिप्त समिष्ट
- सीमा बिंदु सघन
- लिंडेलोफ़ समिष्ट
टिप्पणियाँ
- ↑ Steen & Seebach, p. 19
- ↑ "General topology - Does sequential compactness imply countable compactness?".
- ↑ Steen & Seebach 1995, example 42, p. 68.
- ↑ Steen & Seebach, p. 20
- ↑ Steen & Seebach, Example 105, p, 125
- ↑ Willard, problem 17G, p. 125
- ↑ Willard, problem 17F, p. 125
- ↑ Willard, problem 17F, p. 125
- ↑ 9.0 9.1 "General topology - Countably compact paracompact space is compact".
- ↑ Steen & Seebach, Figure 7, p. 25
- ↑ "General topology - Prove that a countably compact, first countable T2 space is regular".
- ↑ Willard, problem 17F, p. 125
- ↑ "General topology - is the Product of a Compact Space and a Countably Compact Space Countably Compact?".
- ↑ Engelking, example 3.10.19, p. 205
संदर्भ
- Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
- James Munkres (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3.
- Willard, Stephen (2004) [1970], General Topology (Dover reprint of 1970 ed.), Addison-Wesley
