रामीकरण (गणित)

For other uses, see Ramification.

प्रभाव का योजनाबद्ध चित्रण: नीचे Y में लगभग सभी बिंदुओं के फाइबर्स में तीन बिंदु होते हैं, Y में बिंदुओं से चिह्नित दो बिंदुओं को छोड़कर, जहां फाइबर्स में क्रमशः एक और दो बिंदु (काले रंग में चिह्नित) होते हैं। कहा जाता है कि माप f, Y के इन बिंदुओं में फैला हुआ है।

ज्यामिति में, प्रभावीकरण 'शाखाओं का बाहर निकलना' है, जिस प्रकार से जटिल संख्याओं के लिए वर्गमूल फ़ंक्शन में दो शाखाओं के चिह्न में भिन्नता देखी जा सकता है। इस शब्द का उपयोग विपरीत परिप्रेक्ष्य (शाखाओं के एक साथ आने) से भी किया जाता है, जैसे कि जब किसी स्थान के एक बिंदु पर माप अधोगमन (गणित) को कवर किया जाता है, तो मानचित्रण के फाइबर्स के कुछ निपात के साथ विकृत हो जाता है।

जटिल विश्लेषण में

See also: Branch point

वर्गमूल की रीमैन सतह का उपयोग करना

जटिल विश्लेषण में, मूल मॉडल को z → z के रूप में लिया जा सकता हैⁿजटिल तल में मानचित्रण, z=0 के निकट। यह रीमैन सतह सिद्धांत में क्रम n के प्रभाव का मानक स्थानीय चित्र है। यह उदाहरण के लिए जीनस (गणित) पर मैपिंग के प्रभाव के लिए रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र में होता है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में

एक कवरिंग माप में यूलर-पोंकारे विशेषता को शीटों की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए; इसलिए उसमें से कुछ गिरावट से प्रभाव का पता लगाया जा सकता है। z → zⁿ मैपिंग इसे एक स्थानीय पैटर्न के रूप में दिखाती है: यदि हम 0 को बाहर करते हैं, तो 0 को देखते हुए < |z| <1 कहते हैं, हमारे पास (समरूप दृष्टिकोण से) एन-वें पावर मैप (यूलर-पोंकारे विशेषता 0) द्वारा खुद को मैप किया गया घेरा है, लेकिन संपूर्ण डिस्क (गणित) के साथ यूलर-पोंकारे विशेषता 1 है, n – 1 'खोए हुए' अंक हैं क्योंकि n शीट z = 0 पर एक साथ आते हैं।

ज्यामितीय शब्दों में, प्रभाव कुछ ऐसा है जो कोडिमेंशन दो में होता है (जैसे गाँठ सिद्धांत, और मोनोड्रोमी); चूंकि वास्तविक कोडिमेंशन दो जटिल कोडिमेंशन एक है, स्थानीय जटिल उदाहरण उच्च-आयामी जटिल मैनिफोल्ड्स के लिए पैटर्न सेट करता है। जटिल विश्लेषण में, शीट को केवल एक रेखा (एक चर) के साथ मोड़ा नहीं जा सकता है, या सामान्य मामले में एक उप-स्थान को कोडित नहीं किया जा सकता है। रेमिफिकेशन सेट (आधार पर शाखा स्थान, ऊपर दोहरा बिंदु सेट) परिवेश के कई गुना से कम दो वास्तविक आयाम होंगे, और इसलिए इसे दो 'पक्षों' में अलग नहीं किया जाएगा, स्थानीय रूप से - ऐसे पथ होंगे जो शाखा स्थान के चारों ओर घूमते हैं , जैसा कि उदाहरण में है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर बीजगणितीय ज्यामिति में, सादृश्य द्वारा, यह बीजगणितीय संहिता एक में भी होता है।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में

परिमेय संख्याओं के बीजगणितीय विस्तार में

See also: Splitting of prime ideals in Galois extensions

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में रामीकरण का अर्थ है किसी विस्तार में एक अभाज्य आदर्श गुणनखंडन ताकि कुछ दोहराए गए अभाज्य आदर्श गुणनखंड दिए जा सकें। अर्थात्, चलो ${\mathcal {O}}_{K}$ एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय बनें $K$, और ${\mathfrak {p}}$ का एक प्रमुख आदर्श ${\mathcal {O}}_{K}$. फ़ील्ड एक्सटेंशन के लिए $L/K$ हम इस पर विचार कर सकते हैं पूर्णांकों की अंगूठी ${\mathcal {O}}_{L}$ (जो कि अभिन्न समापन है ${\mathcal {O}}_{K}$ में $L$), और आदर्श ${\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$ का ${\mathcal {O}}_{L}$. यह आदर्श प्रधान हो भी सकता है और नहीं भी, लेकिन सीमित हो सकता है $[L:K]$, इसका प्रमुख आदर्शों में एक कारककरण है:

${\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}$

जहां ${\mathfrak {p}}_{i}$ के विशिष्ट प्रमुख आदर्श हैं ${\mathcal {O}}_{L}$. तब ${\mathfrak {p}}$ कहा जाता है कि इसमें प्रभाव पड़ता है $L$ अगर $e_{i}>1$ कुछ के लिए $i$; अन्यथा यह हैunramified. दूसरे शब्दों में, ${\mathfrak {p}}$ में प्रभाव डालता है $L$ यदि प्रभाव सूचकांक $e_{i}$ कुछ के लिए एक से बड़ा है ${\mathfrak {p}}_{i}$. एक समतुल्य शर्त यह है ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$ इसमें एक गैर-शून्य निलपोटेंट तत्व है: यह परिमित क्षेत्रों का उत्पाद नहीं है। रीमैन सतह मामले के साथ सादृश्य उन्नीसवीं सदी में रिचर्ड डेडेकाइंड और हेनरिक एम. वेबर द्वारा पहले ही बताया गया था।

प्रभाव को एन्कोड किया गया है $K$ सापेक्ष विभेदक द्वारा और में $L$ रिश्तेदार द्वारा अलग. पूर्व का एक आदर्श है ${\mathcal {O}}_{K}$ और से विभाज्य है ${\mathfrak {p}}$ यदि और केवल यदि कुछ आदर्श ${\mathfrak {p}}_{i}$ का ${\mathcal {O}}_{L}$ डिवाइडिंग ${\mathfrak {p}}$ प्रभावित है. उत्तरार्द्ध का एक आदर्श है ${\mathcal {O}}_{L}$ और प्रधान आदर्श से विभाज्य है ${\mathfrak {p}}_{i}$ का ${\mathcal {O}}_{L}$ बिल्कुल कब ${\mathfrak {p}}_{i}$ प्रभावित है.

जब प्रभाव सूचकांकों पर प्रभाव पड़ता है तो प्रभाव वश में हो जाता है $e_{i}$ सभी अवशेष विशेषता पी के लिए अपेक्षाकृत प्रमुख हैं ${\mathfrak {p}}$, अन्यथा जंगली। गैलोज़ मापांक सिद्धांत में यह स्थिति महत्वपूर्ण है। एक परिमित सामान्य रूप से étale विस्तार $B/A$ डेडेकाइंड डोमेन का वश में है यदि और केवल यदि ट्रेस $\operatorname {Tr} :B\to A$ विशेषण है.

स्थानीय क्षेत्रों में

Main article: Ramification of local fields

संख्या क्षेत्रों में प्रभाव का अधिक विस्तृत विश्लेषण पी-एडिक संख्याओं के एक्सटेंशन का उपयोग करके किया जा सकता है, क्योंकि यह एक स्थानीय प्रश्न है। उस मामले में गैलोज़ विस्तार के लिए प्रभाव का एक मात्रात्मक माप परिभाषित किया गया है, मूल रूप से यह पूछकर कि गैलोज़ समूह मीट्रिक के संबंध में फ़ील्ड तत्वों को कितनी दूर तक ले जाता है। प्रभाव समूहों का एक क्रम परिभाषित किया गया है, जो (अन्य बातों के अलावा) जंगली (गैर-वश) प्रभाव को दर्शाता है। यह ज्यामितीय एनालॉग से आगे जाता है।

बीजगणित में

Main article: Ramification theory of valuations

मूल्यांकन सिद्धांत में, मूल्यांकन का प्रभाव सिद्धांत एक क्षेत्र (गणित) K के मूल्यांकन (बीजगणित) के मूल्यांकन के विस्तार के सेट का K के विस्तार क्षेत्र तक अध्ययन करता है। यह बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, स्थानीय क्षेत्रों और में धारणाओं को सामान्य बनाता है। डेडेकाइंड डोमेन.

बीजगणितीय ज्यामिति में

बीजगणितीय ज्यामिति में योजना सिद्धांत #असंबद्ध की शब्दावली की संगत धारणा भी है। यह ईटेल आकारिकी को परिभाषित करने का कार्य करता है।

होने देना $f:X\to Y$ योजनाओं का एक रूप बनें। क्वासिकोहेरेंट शीफ का समर्थन $\Omega _{X/Y}$ का प्रभाव स्थान कहा जाता है $f$ और प्रभाव स्थान की छवि, $f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)$, का शाखा स्थान कहलाता है $f$. अगर $\Omega _{X/Y}=0$ हम ऐसा कहते हैं $f$ औपचारिक रूप से असंबद्ध है और यदि $f$ यह स्थानीय रूप से सीमित प्रस्तुति का भी है जिसे हम कहते हैं $f$ असंबद्ध रूपवाद है (देखें)। Vakil 2017).

यह भी देखें

• आइज़ेंस्टीन बहुपद
• न्यूटन बहुभुज
• पुइसेक्स विस्तार
• शाखित आवरण

संदर्भ

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Vakil, Ravi (18 November 2017). The Rising Sea: Foundations of algebraic geometry (PDF). Retrieved 5 June 2019.

बाहरी संबंध

• "Splitting and ramification in number fields and Galois extensions". PlanetMath.