लिफ्टिंग थ्योरी: Difference between revisions

Revision as of 13:22, 17 July 2023

गणित में, भारोत्तोलन (लिफ्टिंग) सिद्धांत को पहली बार 1931 के एक अग्रणी पेपर में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिसमें उन्होंने अल्फ्रेड हार द्वारा उठाए गए प्रश्न का उत्तर दिया था।^[1] इस सिद्धांत को डोरोथी महरम (1958),^[2] एलेक्जेंड्रा बोलो और कैसियस इओनेस्कु-तुलसीया (1961) द्वारा आगे विकसित किया गया था।^[3] भारोत्तोलन सिद्धांत काफी हद तक इसके प्रभावशाली अनुप्रयोगों से प्रेरित था। 1969 तक इसके विकास का वर्णन इओनेस्कु तुलसीज़ के मोनोग्राफ में किया गया था।^[4] तब से लिफ्टिंग सिद्धांत का विकास जारी रहा, जिससे नए परिणाम और अनुप्रयोग प्राप्त हुए है।

परिभाषाएँ

माप रेखांतर पर भारोत्तोलन $(X,\Sigma ,\mu )$ एक रैखिक और गुणक संचालिका है

T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

जो भागफल मानचित्र का दायाँ व्युत्क्रम फलन है

{\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}

जहाँ

{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

सेमीनोर्म्ड L^p मापने योग्य फलन के रेखांतर है और

L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

इसका सामान्य मानक भागफल है। दूसरे शब्दों में, एक लिफ्टिंग प्रत्येक समतुल्य वर्ग परिबद्ध मापन योग्य फलन

[f]

का मॉड्यूलो नगण्य फलन है - जो अब

T([f])

या

T[f]

या केवल

Tf

- इस तरह से कि

T[1]=1

और सभी के लिए

p\in X

और सभी

r,s\in \mathbb {R}

से लिखा गया है।

T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),

T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p).

लिफ्टिंग का उपयोग विघटन प्रमेय का उत्पादन करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए निरंतर यादृच्छिक चर दिए गए सशर्त संभाव्यता वितरण, और किसी फलन के स्तर सेट पर लेबेसेग माप के फ़िब्रेशन है।

लिफ्टिंग का अस्तित्व

प्रमेय मान लीजिए $(X,\Sigma ,\mu )$ पूर्ण है।^[5] तब $(X,\Sigma ,\mu )$ यदि और केवल तभी एक लिफ्टिंग को स्वीकार किया जाता है, जब परस्पर असंबद्ध अभिन्न सेटों का संग्रह $\Sigma$ उपस्थित हो जिसका सम्मिलन $X$ है। विशेषकर, यदि $(X,\Sigma ,\mu )$ σ-परिमिति का पूरा होना है^[6] माप या रेखांतरीय रूप से संक्षिप्त रेखांतर पर मापन $(X,\Sigma ,\mu )$ एक आंतरिक नियमित बोरल माप के पूरा होने के लिए है।

प्रमाण में एक लिफ्टिंग को बड़े उप-σ-बीजगणित तक लिफ्टिंग का विस्तार करने में सम्मिलित है, जो डोब के मार्टिंगल अभिसरण प्रमेय को लागू करता है यदि प्रक्रिया में एक गिनती योग्य श्रृंखला है।

विशिष्ट संख्या लिफ्टिंग

कल्पना करना $(X,\Sigma ,\mu )$ पूर्ण है और $X$ पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी से सुसज्जित है $\tau \subseteq \Sigma$ जैसे कि नगण्य खुले सेटों के किसी भी संग्रह का संघ फिर से नगण्य है - यही स्थिति है $(X,\Sigma ,\mu )$ σ-परिमित है या रेडॉन माप से आता है। फिर का सहारा $\mu ,$ $\operatorname {Supp} (\mu ),$ इसे सबसे बड़े नगण्य खुले उपसमुच्चय और संग्रह के पूरक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $C_{b}(X,\tau )$ परिबद्ध सतत फलन का संबंध है ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ).$ के लिए एक मजबूत उठान $(X,\Sigma ,\mu )$ एक उठाव है

T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

ऐसा है कि

T\varphi =\varphi

पर

\operatorname {Supp} (\mu )

सभी के लिए

\varphi

में

C_{b}(X,\tau ).

यह उसकी आवश्यकता के समान ही है^[7]

TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))

सभी खुले सेटों के लिए

U

में

\tau .

<ब्लॉककोट>प्रमेय। अगर

(\Sigma ,\mu )

σ-परिमित और पूर्ण है

\tau

तो इसका एक गणनीय आधार है

(X,\Sigma ,\mu )

एक मजबूत उठान स्वीकार करता है।

सबूत। होने देना $T_{0}$ के लिए एक भारोत्तोलन हो $(X,\Sigma ,\mu )$ और $U_{1},U_{2},\ldots$ के लिए एक गणनीय आधार $\tau .$ किसी भी बिंदु के लिए $p$ नगण्य सेट में

N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \operatorname {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}

होने देना

T_{p}

कोई भी पात्र हो^[8] पर

L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

जो चरित्र का विस्तार करता है

\phi \mapsto \phi (p)

का

C_{b}(X,\tau ).

फिर के लिए

p

में

X

और

[f]

में

L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

परिभाषित करना:

(T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N.\end{cases}}

T

वांछित मजबूत उठान है.

आवेदन: एक माप का विघटन

कल्पना करना $(X,\Sigma ,\mu )$ और $(Y,\Phi ,\nu )$ σ-परिमित माप रेखांतर हैं ( $\mu ,\mu$ सकारात्मक) और $\pi :X\to Y$ एक मापने योग्य मानचित्र है. का एक विघटन $\mu$ साथ में $\pi$ इसके संबंध में $\nu$ एक निहत है $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ सकारात्मक σ-योगात्मक उपायों पर $(\Sigma ,\mu )$ ऐसा है कि

$\lambda _{y}$ फाइबर द्वारा ले जाया जाता है $\pi ^{-1}(\{y\})$ का $\pi$ ऊपर $y$ , अर्थात। $\{y\}\in \Phi$ और $\lambda _{y}\left((X\setminus \pi ^{-1}(\{y\})\right)=0$ लगभग सभी के लिए $y\in Y$
हरएक के लिए $\mu$ -अभिन्न फलन $f,$ $\int _{X}f(p)\;\mu (dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)$ इस अर्थ में कि, के लिए $\nu$ -लगभग सभी $y$ में $Y,$ $f$ है $\lambda _{y}$ -अभिन्न, फलन $y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)$ है $\nu$ -अभिन्न, और प्रदर्शित समानता $(*)$ धारण करता है.

विघटन प्रमेय विभिन्न परिस्थितियों में उपस्थित है, प्रमाण अलग-अलग हैं लेकिन लगभग सभी मजबूत लिफ्टिंग का उपयोग करते हैं। यहाँ एक सामान्य परिणाम है. इसका संक्षिप्त प्रमाण सामान्य स्वाद देता है।

<ब्लॉककोट>प्रमेय। कल्पना करना $X$ एक पोलिश रेखांतर है^[9] और $Y$ एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ़ रेखांतर, दोनों अपने बोरेल σ-बीजगणित से सुसज्जित हैं। होने देना $\mu$ एक σ-परिमित बोरेल माप हो $X$ और $\pi :X\to Y$ a $\Sigma ,\Phi -$ मापने योग्य मानचित्र. फिर एक σ-परिमित बोरेल माप उपस्थित है $\nu$ पर $Y$ और एक विघटन (*)।

अगर $\mu$ परिमित है, $\nu$ आगे बढ़ने वाला माना जा सकता है^[10] $\pi _{*}\mu ,$ और फिर $\lambda _{y}$ सम्भावनाएँ हैं.

सबूत। की पॉलिश प्रकृति के कारण $X$ के सघन उपसमुच्चय का एक क्रम है $X$ जो परस्पर विच्छेदित हैं, जिनके मिलन का पूरक नगण्य है और जिस पर $\pi$ सतत है. यह अवलोकन दोनों के मामले में समस्या को कम करता है $X$ और $Y$ कॉम्पैक्ट हैं और $\pi$ निरंतर है, और $\nu =\pi _{*}\mu .$ पूरा $\Phi$ अंतर्गत $\nu$ और एक मजबूत उठाने को ठीक करें $T$ के लिए $(Y,\Phi ,\nu ).$ एक सीमा दी गई $\mu$ -मापने योग्य फलन $f,$ होने देना $\lfloor f\rfloor$ इसके अंतर्गत सशर्त अपेक्षा को निरूपित करें $\pi ,$ अर्थात्, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न^[11] $\pi _{*}(f\mu )$ इसके संबंध में $\pi _{*}\mu .$ फिर प्रत्येक के लिए सेट करें $y$ में $Y,$ $\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ यह दिखाने के लिए कि यह विघटन को परिभाषित करता है, बहीखाता पद्धति और एक उपयुक्त फ़ुबिनी प्रमेय का मामला है। यह देखने के लिए कि उठाने की ताकत कैसे प्रवेश करती है, उस पर ध्यान दें

\lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )

और अनंत को सर्व सकारात्मक के ऊपर ले लो

\varphi

में

C_{b}(Y)

साथ

\varphi (y)=1;

यह स्पष्ट हो जाता है कि का समर्थन

\lambda _{y}

ऊपर फाइबर में निहित है

y.

संदर्भ

↑ von Neumann, John (1931). "Algebraische Repräsentanten der Funktionen "bis auf eine Menge vom Maße Null"". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch). 1931 (165): 109–115. doi:10.1515/crll.1931.165.109. MR 1581278.
↑ Maharam, Dorothy (1958). "वॉन न्यूमैन के एक प्रमेय पर". Proceedings of the American Mathematical Society. 9 (6): 987–994. doi:10.2307/2033342. JSTOR 2033342. MR 0105479.
↑ Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1961). "संपत्ति उठाने पर. मैं।". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 3 (3): 537–546. doi:10.1016/0022-247X(61)90075-0. MR 0150256.
↑ Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1969). उठाने के सिद्धांत में विषय. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 48. New York: Springer-Verlag. MR 0276438. OCLC 851370324.
↑ A subset $N\subseteq X$ is locally negligible if it intersects every integrable set in $\Sigma$ in a subset of a negligible set of $\Sigma .$ $(X,\Sigma ,\mu )$ is complete if every locally negligible set is negligible and belongs to $\Sigma .$
↑ i.e., there exists a countable collection of integrable sets – sets of finite measure in $\Sigma$ – that covers the underlying set $X.$
↑ $U,$ $\operatorname {Supp} (\mu )$ are identified with their indicator functions.
↑ A character on a unital algebra is a multiplicative linear functional with values in the coefficient field that maps the unit to 1.
↑ A separable space is Polish if its topology comes from a complete metric. In the present situation it would be sufficient to require that $X$ is Suslin, that is, is the continuous Hausdorff image of a Polish space.
↑ The pushforward $\pi _{*}\mu$ of $\mu$ under $\pi ,$ also called the image of $\mu$ under $\pi$ and denoted $\pi (\mu ),$ is the measure $\nu$ on $\Phi$ defined by $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ for $A$ in $\Phi$ .
↑ $f\mu$ is the measure that has density $f$ with respect to $\mu$

[1] von Neumann, John (1931). "Algebraische Repräsentanten der Funktionen "bis auf eine Menge vom Maße Null"". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch). 1931 (165): 109–115. doi:10.1515/crll.1931.165.109. MR 1581278.

[2] Maharam, Dorothy (1958). "वॉन न्यूमैन के एक प्रमेय पर". Proceedings of the American Mathematical Society. 9 (6): 987–994. doi:10.2307/2033342. JSTOR 2033342. MR 0105479.

[3] Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1961). "संपत्ति उठाने पर. मैं।". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 3 (3): 537–546. doi:10.1016/0022-247X(61)90075-0. MR 0150256.

[4] Ionescu Tulcea, Alexandra; Ionescu Tulcea, Cassius (1969). उठाने के सिद्धांत में विषय. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 48. New York: Springer-Verlag. MR 0276438. OCLC 851370324.

[5] A subset $N\subseteq X$ is locally negligible if it intersects every integrable set in $\Sigma$ in a subset of a negligible set of $\Sigma .$ $(X,\Sigma ,\mu )$ is complete if every locally negligible set is negligible and belongs to $\Sigma .$

[6] .e., there exists a countable collection of integrable sets – sets of finite measure in $\Sigma$ – that covers the underlying set $X.$

[7] $U,$ $\operatorname {Supp} (\mu )$ are identified with their indicator functions.

[character-8] A character on a unital algebra is a multiplicative linear functional with values in the coefficient field that maps the unit to 1.

[9] A separable space is Polish if its topology comes from a complete metric. In the present situation it would be sufficient to require that $X$ is Suslin, that is, is the continuous Hausdorff image of a Polish space.

[10] The pushforward $\pi _{*}\mu$ of $\mu$ under $\pi ,$ also called the image of $\mu$ under $\pi$ and denoted $\pi (\mu ),$ is the measure $\nu$ on $\Phi$ defined by $\nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)$ for $A$ in $\Phi$ .

[11] $f\mu$ is the measure that has density $f$ with respect to $\mu$

[1]

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[10]

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 {{Short description|Notion in measure theory}}
-गणित में, लिफ्टिंग सिद्धांत को पहली बार 1931 के एक अग्रणी पेपर में [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा पेश किया गया था, जिसमें उन्होंने अल्फ्रेड हार द्वारा उठाए गए एक प्रश्न का उत्तर दिया था।<ref>
+गणित में, '''भारोत्तोलन (लिफ्टिंग) सिद्धांत''' को पहली बार 1931 के एक अग्रणी पेपर में [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिसमें उन्होंने अल्फ्रेड हार द्वारा उठाए गए प्रश्न का उत्तर दिया था।<ref>
-{{Cite journal|year=1931|first=John|last=von Neumann|authorlink=John von Neumann|title=Algebraische Repräsentanten der Funktionen "bis auf eine Menge vom Maße Null"| url=http://www.degruyter.com/view/j/crll.1931.1931.issue-165/crll.1931.165.109/crll.1931.165.109.xml|journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|language=de|volume=1931|issue=165|pages=109–115|doi=10.1515/crll.1931.165.109|mr=1581278}}</ref> इस सिद्धांत को [[डोरोथी महरम]] (1958) द्वारा आगे विकसित किया गया था।<ref>{{Cite journal|last=Maharam|first=Dorothy|authorlink=Dorothy Maharam|year=1958|title=वॉन न्यूमैन के एक प्रमेय पर|url=https://www.ams.org/jourcgi/jour-getitem?pii=S0002-9939-1958-0105479-6|journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|volume=9|issue=6|pages=987–994|doi=10.2307/2033342|jstor=2033342|mr=0105479|doi-access=free}}</ref> और [[एलेक्जेंड्रा बोलो]] और [[कैसियस इओनेस्कु-तुलसीया]] (1961) द्वारा।<ref>{{Cite journal|last1= Ionescu Tulcea|first1=Alexandra|author1-link=Alexandra Bellow|last2=Ionescu Tulcea|first2=Cassius|author2-link=Cassius Ionescu-Tulcea|year=1961|title=संपत्ति उठाने पर. मैं।|journal=[[Journal of Mathematical Analysis and Applications]]|volume=3|issue=3|pages=537–546|doi=10.1016/0022-247X(61)90075-0|mr=0150256|doi-access=free}}</ref> भारोत्तोलन सिद्धांत काफी हद तक इसके प्रभावशाली अनुप्रयोगों से प्रेरित था। 1969 तक इसके विकास का वर्णन इओनेस्कु तुलसीज़ के एक मोनोग्राफ में किया गया था।<ref>{{cite book|last1= Ionescu Tulcea|first1=Alexandra|author1-link=Alexandra Bellow|last2=Ionescu Tulcea|first2=Cassius|author2-link=Cassius Ionescu-Tulcea|year=1969|title=उठाने के सिद्धांत में विषय|series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]|volume=48|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|location= New York|oclc=851370324|mr=0276438}}</ref> तब से लिफ्टिंग सिद्धांत का विकास जारी रहा, जिससे नए परिणाम और अनुप्रयोग प्राप्त हुए।
+{{Cite journal|year=1931|first=John|last=von Neumann|authorlink=John von Neumann|title=Algebraische Repräsentanten der Funktionen "bis auf eine Menge vom Maße Null"| url=http://www.degruyter.com/view/j/crll.1931.1931.issue-165/crll.1931.165.109/crll.1931.165.109.xml|journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|language=de|volume=1931|issue=165|pages=109–115|doi=10.1515/crll.1931.165.109|mr=1581278}}</ref> इस सिद्धांत को [[डोरोथी महरम]] (1958),<ref>{{Cite journal|last=Maharam|first=Dorothy|authorlink=Dorothy Maharam|year=1958|title=वॉन न्यूमैन के एक प्रमेय पर|url=https://www.ams.org/jourcgi/jour-getitem?pii=S0002-9939-1958-0105479-6|journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|volume=9|issue=6|pages=987–994|doi=10.2307/2033342|jstor=2033342|mr=0105479|doi-access=free}}</ref> [[एलेक्जेंड्रा बोलो]] और [[कैसियस इओनेस्कु-तुलसीया]] (1961) द्वारा आगे विकसित किया गया था।<ref>{{Cite journal|last1= Ionescu Tulcea|first1=Alexandra|author1-link=Alexandra Bellow|last2=Ionescu Tulcea|first2=Cassius|author2-link=Cassius Ionescu-Tulcea|year=1961|title=संपत्ति उठाने पर. मैं।|journal=[[Journal of Mathematical Analysis and Applications]]|volume=3|issue=3|pages=537–546|doi=10.1016/0022-247X(61)90075-0|mr=0150256|doi-access=free}}</ref> भारोत्तोलन सिद्धांत काफी हद तक इसके प्रभावशाली अनुप्रयोगों से प्रेरित था। 1969 तक इसके विकास का वर्णन इओनेस्कु तुलसीज़ के मोनोग्राफ में किया गया था।<ref>{{cite book|last1= Ionescu Tulcea|first1=Alexandra|author1-link=Alexandra Bellow|last2=Ionescu Tulcea|first2=Cassius|author2-link=Cassius Ionescu-Tulcea|year=1969|title=उठाने के सिद्धांत में विषय|series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]|volume=48|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|location= New York|oclc=851370324|mr=0276438}}</ref> तब से लिफ्टिंग सिद्धांत का विकास जारी रहा, जिससे नए परिणाम और अनुप्रयोग प्राप्त हुए है।
 ==परिभाषाएँ==
-माप स्थान पर एक भारोत्तोलन <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक रैखिक और गुणक संचालिका है
+माप रेखांतर पर भारोत्तोलन <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक रैखिक और गुणक संचालिका है
 <math display=block>T : L^\infty(X, \Sigma, \mu) \to \mathcal{L}^\infty(X, \Sigma, \mu)</math>
-जो एक व्युत्क्रम फलन है#भागफल मानचित्र का दायाँ व्युत्क्रम
+जो भागफल मानचित्र का दायाँ व्युत्क्रम फलन है
 <math display=block>\begin{cases}
 \mathcal L^\infty(X,\Sigma,\mu) \to L^\infty(X,\Sigma,\mu) \\
 f \mapsto [f]
 \end{cases}</math>
-कहाँ <math>\mathcal{L}^\infty(X,\Sigma,\mu)</math> सेमीनोर्म्ड एलपी स्पेस है|एल<sup>पी</sup>मापने योग्य कार्यों का स्थान और <math>L^\infty(X, \Sigma, \mu)</math> इसका सामान्य मानक भागफल है। दूसरे शब्दों में, एक लिफ्टिंग प्रत्येक समतुल्य वर्ग से चुनती है <math>[f]</math> परिबद्ध मापन योग्य कार्यों का मॉड्यूलो नगण्य कार्य एक प्रतिनिधि है - जो अब से लिखा गया है <math>T([f])</math> या <math>T[f]</math> या केवल <math>Tf</math> - इस तरह से कि <math>T[1] = 1</math> और सभी के लिए <math>p \in X</math> और सभी <math>r, s \in \Reals,</math>
+जहाँ <math>\mathcal{L}^\infty(X,\Sigma,\mu)</math> सेमीनोर्म्ड  L<sup>p</sup>  मापने योग्य फलन के रेखांतर है और <math>L^\infty(X, \Sigma, \mu)</math> इसका सामान्य मानक भागफल है। दूसरे शब्दों में, एक लिफ्टिंग प्रत्येक समतुल्य वर्ग परिबद्ध मापन योग्य फलन <math>[f]</math> का मॉड्यूलो नगण्य फलन है - जो अब <math>T([f])</math> या <math>T[f]</math> या केवल <math>Tf</math> - इस तरह से कि <math>T[1] = 1</math> और सभी के लिए <math>p \in X</math> और सभी <math>r, s \in \Reals</math> से लिखा गया है।
-<math display=block>T(r[f]+s[g])(p) = rT[f](p) + sT[g](p),</math>
+<math display=block>T(r[f]+s[g])(p) = rT[f](p) + sT[g](p),</math><math display=block>T([f]\times[g])(p) = T[f](p) \times T[g](p).</math>
-<math display=block>T([f]\times[g])(p) = T[f](p) \times T[g](p).</math>
+लिफ्टिंग का उपयोग [[विघटन प्रमेय]] का उत्पादन करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए निरंतर यादृच्छिक चर दिए गए [[सशर्त संभाव्यता वितरण]], और किसी फलन के स्तर सेट पर लेबेसेग माप के फ़िब्रेशन है।
-लिफ्टिंग का उपयोग [[विघटन प्रमेय]] का उत्पादन करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए निरंतर यादृच्छिक चर दिए गए [[सशर्त संभाव्यता वितरण]], और किसी फ़ंक्शन के स्तर सेट पर लेबेसेग माप के फ़िब्रेशन।
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-==Properties of liftings==
-A lifting is necessarily positive:
-<math display=block>[f]\ge0\implies T[f]\ge0 \mathrm{\ (since\ } [f] \mathrm{\ is\ a\ square)} </math>
-and an isometry:<ref>The ''essential supremum'' of a class [''f''] of ''μ''-measurable functions is the smallest number α for which the set [''f'' > α] is ''μ''-negligible.</ref>
-<math display=block>\big\Vert T[f]\big\Vert_\infty:= \sup_{p\in X}\,\big|T[f](p)\big|=\mathrm{ess.sup}\,\big|[f]\big|.</math>
-For every point ''p'' in ''X'', the map <math>[f]\mapsto T_pf:= T[f](p)</math> is a character<ref name=character> A ''character'' on a unital algebra is a multiplicative linear functional with values in the coefficient field that maps the unit to 1.</ref> of <math>L^\infty(X, \Sigma, \mu).</math>
--->
+==लिफ्टिंग का अस्तित्व==
-==उठानों का अस्तित्व==
+प्रमेय मान लीजिए <math>(X, \Sigma, \mu)</math> पूर्ण है।<ref>A subset <math>N \subseteq X</math> is locally negligible if it intersects every integrable set in <math>\Sigma</math> in a subset of a negligible set of <math>\Sigma.</math> <math>(X, \Sigma, \mu)</math> is ''complete'' if every locally negligible set is negligible and belongs to <math>\Sigma.</math></ref> तब <math>(X, \Sigma, \mu)</math> यदि और केवल तभी एक लिफ्टिंग को स्वीकार किया जाता है, जब परस्पर असंबद्ध अभिन्न सेटों का संग्रह  <math>\Sigma</math> उपस्थित हो जिसका सम्मिलन <math>X</math> है।
+विशेषकर, यदि <math>(X, \Sigma, \mu)</math> σ-परिमिति का पूरा होना है<ref>i.e., there exists a countable collection of integrable sets &ndash; sets of finite measure in <math>\Sigma</math> &ndash; that covers the underlying set <math>X.</math></ref> माप या रेखांतरीय रूप से संक्षिप्त रेखांतर पर मापन <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक आंतरिक नियमित बोरल माप के पूरा होने के लिए है।
-<ब्लॉककोट>प्रमेय। कल्पना करना <math>(X, \Sigma, \mu)</math> तैयार है।<ref>A subset <math>N \subseteq X</math> is locally negligible if it intersects every integrable set in <math>\Sigma</math> in a subset of a negligible set of <math>\Sigma.</math> <math>(X, \Sigma, \mu)</math> is ''complete'' if every locally negligible set is negligible and belongs to <math>\Sigma.</math></ref> तब <math>(X, \Sigma, \mu)</math> यदि और केवल तभी एक लिफ्टिंग को स्वीकार किया जाता है, जब परस्पर असंबद्ध अभिन्न सेटों का संग्रह मौजूद हो <math>\Sigma</math> जिसका संघ है <math>X.</math>
+प्रमाण में एक लिफ्टिंग को बड़े उप-σ-बीजगणित तक लिफ्टिंग का विस्तार करने में सम्मिलित है, जो डोब के मार्टिंगल अभिसरण प्रमेय को लागू करता है यदि प्रक्रिया में एक गिनती योग्य श्रृंखला है।
-विशेषकर, यदि <math>(X, \Sigma, \mu)</math> σ-परिमिति का पूरा होना है<ref>i.e., there exists a countable collection of integrable sets &ndash; sets of finite measure in <math>\Sigma</math> &ndash; that covers the underlying set <math>X.</math></ref> माप या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर आंतरिक नियमित बोरेल माप <math>(X, \Sigma, \mu)</math> उठाना स्वीकार करता है।</blockquote>
-प्रमाण में एक लिफ्टिंग को बड़े उप-σ-बीजगणित तक विस्तारित करना, डूब के मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय को लागू करना शामिल है | यदि कोई प्रक्रिया में एक गणनीय श्रृंखला का सामना करता है तो डूब के मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय को लागू करना शामिल है।
-<!--
-Here are the details. Henceforth write ''Tf'' := ''T''[''f''] = ''T''([''f'']). <math>(\Sigma, \mu)</math> is ''σ''-finite if there exists a countable collection of sets of finite measure in <math>\Sigma</math> whose union has negligible complement. This permits a reduction to the case that the measure <math>\mu</math> is finite, in fact, it may be taken to be a probability. The proof uses [[Zorn's lemma]] together with the following order on pairs <math>(\mathfrak A,T_{\mathfrak A})</math> of sub-''σ''-algebras <math>\mathfrak A</math> of <math>\Sigma</math> and liftings <math>T_{\mathfrak A}</math> for them: <math> (\mathfrak A,T_{\mathfrak A})\le(\mathfrak B,T_{\mathfrak B}) </math> if <math>\mathfrak A\subseteq\mathfrak B</math> and <math>T_{\mathfrak A}</math> is the restriction of <math>T_{\mathfrak B}</math> to <math>L^\infty(X,\mathfrak A,\mu)</math>. It is to be shown that a chain <math>\mathfrak C</math> of such pairs has an upper bound, and that a maximal pair, which then exists by Zorn's lemma, has <math>\Sigma</math> for its first entry.
-If <math>\mathfrak C</math> has no countable [[Cofinal (mathematics)|cofinal]] subset, then the union <math>\mathfrak U := \bigcup\{\mathfrak A:\,(\mathfrak A,T_{\mathfrak A}) \in \mathfrak C\}</math> is a ''σ''-algebra and there is an obvious lifting <math>T_{\mathfrak U}</math> for it that restricts to the liftings of the chain; <math>(\mathfrak U,T_{\mathfrak U})</math> is the sought upper bound of the chain.
-The argument is more complicated when the chain <math> \mathfrak C</math> has a countable cofinal subset <math>\left\{(\mathfrak A_n,T_{\mathfrak A_n}), n = 1, 2, \ldots\right\}</math>. In this case let <math>\mathfrak U</math> be the  [[Sigma-algebra|''σ''-algebra generated]] by the union <math>\bigcup\{\mathfrak A_n: \, n = 1, 2, \ldots\},</math> which is generally only an [[Field of sets|algebra of sets]]. For the construction of <math>T_{\mathfrak U}</math> it is convenient to identify a set <math>A \subseteq X</math> with its indicator function and to write <math>TA := TI_A=T[I_A].</math> For <math>A \in \mathfrak U</math> let <math>A_n</math> denote the [[conditional expectation]] of <math>A</math> under <math>\mathfrak A_n</math>. By [[Doob's martingale convergence theorems|Doob's martingale convergence theorem]] the set <math>\theta(A)</math> of points where <math>A_n</math> converges to 1 differs negligibly from&nbsp;''A''.
+==विशिष्ट संख्या लिफ्टिंग==
-Here are a few facts that are straightforward to check (some use the completeness and finiteness of <math>(X, \mathfrak U, \mu)</math>):
+कल्पना करना <math>(X, \Sigma, \mu)</math> पूर्ण है और <math>X</math> पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी से सुसज्जित है <math>\tau \subseteq \Sigma</math> जैसे कि नगण्य खुले सेटों के किसी भी संग्रह का संघ फिर से नगण्य है - यही स्थिति है <math>(X, \Sigma, \mu)</math> σ-परिमित है या [[रेडॉन माप]] से आता है। फिर का सहारा <math>\mu,</math> <math>\operatorname{Supp}(\mu),</math> इसे सबसे बड़े नगण्य खुले उपसमुच्चय और संग्रह के पूरक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>C_b(X, \tau)</math> परिबद्ध सतत फलन का संबंध है <math> \mathcal L^\infty(X, \Sigma, \mu).</math>
-<math display=block>\tau := \{\theta(A)\setminus N \ : \ A\in\mathfrak U, \mu(N) = 0\}\subset\mathfrak U</math>
-is a topology whose only negligible open set is the empty set and such that every <math> A=I_A\in\mathfrak U</math> is almost everywhere continuous, to wit, on <math> A\cap\theta(A)</math> and on <math> A^c\cap\theta(A^c)</math>. Then every <math>f \in\mathcal L^\infty(X,\mathfrak U,\mu)</math>, being the uniform limit of a sequence of step functions over <math>\mathfrak U</math>, is almost everywhere continuous in this topology. For <math>p</math> in <math>X</math>
-<math display=block>I_p:=\{[f]: f \text{ is continuous at } p \text{ and }f(p) = 0\}.</math>
-is a proper ideal of <math> L^\infty(X,\mathfrak U,\mu)</math>, contained (by another application of Zorn's lemma) in some maximal proper ideal <math>J_p\subset L^\infty(X, \mathfrak U, \mu),</math> which has codimension 1. The quotient map <math>L^\infty(X, \mathfrak U, \mu) \to L^\infty(X, \mathfrak U,\mu) / J_p</math> can be viewed as a character<ref name=character/>''T''<sub>''p''</sub>. Defining
-<math display=block>\left(T_{\mathfrak U}[f]\right)(p):=T_p[f]\;\;,\;\;\;\;\;\;p\in E,</math>
-provides the upper bound <math>(\mathfrak U,T_{\mathfrak U})</math> for the chain <math>\mathfrak C</math>.
-In either case the chain <math> \mathfrak C</math> therefore has an upper bound. By Zorn's lemma there is a maximal pair <math>(\mathfrak U,T_{\mathfrak U})</math>,
-and a small additional calculation shows that <math> \mathfrak U=\mathfrak F</math>. END OF DETAILED PROOF-->
-==मजबूत उठान==
-कल्पना करना <math>(X, \Sigma, \mu)</math> पूर्ण है और <math>X</math> पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी से सुसज्जित है <math>\tau \subseteq \Sigma</math> जैसे कि नगण्य खुले सेटों के किसी भी संग्रह का संघ फिर से नगण्य है - यही स्थिति है <math>(X, \Sigma, \mu)</math> σ-परिमित है या [[रेडॉन माप]] से आता है। फिर का सहारा <math>\mu,</math> <math>\operatorname{Supp}(\mu),</math> इसे सबसे बड़े नगण्य खुले उपसमुच्चय और संग्रह के पूरक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>C_b(X, \tau)</math> परिबद्ध सतत कार्यों का संबंध है <math> \mathcal L^\infty(X, \Sigma, \mu).</math>
 के लिए एक मजबूत उठान <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक उठाव है
- <math display=block>T : L^\infty(X, \Sigma, \mu) \to \mathcal{L}^\infty(X, \Sigma, \mu)</math> ऐसा है कि <math>T\varphi = \varphi</math> पर <math>\operatorname{Supp}(\mu)</math> सभी के लिए <math>\varphi</math> में <math>C_b(X, \tau).</math> यह उसकी आवश्यकता के समान ही है<ref><math>U,</math> <math>\operatorname{Supp}(\mu)</math> are identified with their indicator functions.</ref> <math>T U \geq (U \cap \operatorname{Supp}(\mu))</math> सभी खुले सेटों के लिए <math>U</math> में <math>\tau.</math>
+<math display=block>T : L^\infty(X, \Sigma, \mu) \to \mathcal{L}^\infty(X, \Sigma, \mu)</math> ऐसा है कि <math>T\varphi = \varphi</math> पर <math>\operatorname{Supp}(\mu)</math> सभी के लिए <math>\varphi</math> में <math>C_b(X, \tau).</math> यह उसकी आवश्यकता के समान ही है<ref><math>U,</math> <math>\operatorname{Supp}(\mu)</math> are identified with their indicator functions.</ref> <math>T U \geq (U \cap \operatorname{Supp}(\mu))</math> सभी खुले सेटों के लिए <math>U</math> में <math>\tau.</math>
-<ब्लॉककोट>प्रमेय। अगर <math>(\Sigma, \mu)</math> σ-परिमित और पूर्ण है <math>\tau</math> तो इसका एक गणनीय आधार है <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक मजबूत उठान स्वीकार करता है।</blockquote>
+<ब्लॉककोट>प्रमेय। अगर <math>(\Sigma, \mu)</math> σ-परिमित और पूर्ण है <math>\tau</math> तो इसका एक गणनीय आधार है <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक मजबूत उठान स्वीकार करता है।
 सबूत। होने देना <math>T_0</math> के लिए एक भारोत्तोलन हो <math>(X, \Sigma, \mu)</math> और <math>U_1, U_2, \ldots</math> के लिए एक गणनीय आधार <math>\tau.</math> किसी भी बिंदु के लिए <math>p</math> नगण्य सेट में
@@ Line 69: / Line 44: @@
 ==आवेदन: एक माप का विघटन==
-कल्पना करना <math>(X, \Sigma, \mu)</math> और <math>(Y, \Phi, \nu)</math> σ-परिमित माप स्थान हैं (<math>\mu, \mu</math> सकारात्मक) और <math>\pi : X \to Y</math> एक मापने योग्य मानचित्र है. का एक विघटन <math>\mu</math> साथ में <math>\pi</math> इसके संबंध में <math>\nu</math>एक निहत है <math>Y \ni y \mapsto \lambda_y</math> सकारात्मक σ-योगात्मक उपायों पर <math>(\Sigma, \mu)</math> ऐसा है कि
+कल्पना करना <math>(X, \Sigma, \mu)</math> और <math>(Y, \Phi, \nu)</math> σ-परिमित माप रेखांतर हैं (<math>\mu, \mu</math> सकारात्मक) और <math>\pi : X \to Y</math> एक मापने योग्य मानचित्र है. का एक विघटन <math>\mu</math> साथ में <math>\pi</math> इसके संबंध में <math>\nu</math>एक निहत है <math>Y \ni y \mapsto \lambda_y</math> सकारात्मक σ-योगात्मक उपायों पर <math>(\Sigma, \mu)</math> ऐसा है कि
 #<math>\lambda_y</math> फाइबर द्वारा ले जाया जाता है <math>\pi^{-1}(\{y\})</math> का <math>\pi</math> ऊपर <math>y</math>, अर्थात। <math> \{y\} \in \Phi </math> और <math> \lambda_y\left((X\setminus \pi^{-1}(\{y\})\right) = 0 </math> लगभग सभी के लिए <math> y \in Y </math>
-#हरएक के लिए <math>\mu</math>-अभिन्न कार्य <math>f,</math><math display=block>\int_X f(p)\;\mu(dp)= \int_Y \left(\int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp)\right) \nu(dy) \qquad (*)</math> इस अर्थ में कि, के लिए <math>\nu</math>-लगभग सभी <math>y</math> में <math>Y,</math> <math>f</math> है <math>\lambda_y</math>-अभिन्न, कार्य <math display=block>y \mapsto \int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp) </math> है <math>\nu</math>-अभिन्न, और प्रदर्शित समानता <math>(*)</math> धारण करता है.
+#हरएक के लिए <math>\mu</math>-अभिन्न फलन <math>f,</math><math display=block>\int_X f(p)\;\mu(dp)= \int_Y \left(\int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp)\right) \nu(dy) \qquad (*)</math> इस अर्थ में कि, के लिए <math>\nu</math>-लगभग सभी <math>y</math> में <math>Y,</math> <math>f</math> है <math>\lambda_y</math>-अभिन्न, फलन <math display=block>y \mapsto \int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp) </math> है <math>\nu</math>-अभिन्न, और प्रदर्शित समानता <math>(*)</math> धारण करता है.
-विघटन प्रमेय विभिन्न परिस्थितियों में मौजूद है, प्रमाण अलग-अलग हैं लेकिन लगभग सभी मजबूत लिफ्टिंग का उपयोग करते हैं। यहाँ एक सामान्य परिणाम है. इसका संक्षिप्त प्रमाण सामान्य स्वाद देता है।
+विघटन प्रमेय विभिन्न परिस्थितियों में उपस्थित है, प्रमाण अलग-अलग हैं लेकिन लगभग सभी मजबूत लिफ्टिंग का उपयोग करते हैं। यहाँ एक सामान्य परिणाम है. इसका संक्षिप्त प्रमाण सामान्य स्वाद देता है।
-<ब्लॉककोट>प्रमेय। कल्पना करना <math>X</math> एक [[पोलिश स्थान]] है<ref>A separable space is ''Polish'' if its topology comes from a complete metric. In the present situation it would be sufficient to require that <math>X</math> is ''Suslin'', that is, is the continuous Hausdorff image of a Polish space.</ref> और <math>Y</math> एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ़ स्थान, दोनों अपने बोरेल σ-बीजगणित से सुसज्जित हैं। होने देना <math>\mu</math> एक σ-परिमित बोरेल माप हो <math>X</math> और <math>\pi : X \to Y</math> a <math>\Sigma, \Phi-</math>मापने योग्य मानचित्र. फिर एक σ-परिमित बोरेल माप मौजूद है <math>\nu</math> पर <math>Y</math> और एक विघटन (*)।
+<ब्लॉककोट>प्रमेय। कल्पना करना <math>X</math> एक [[पोलिश स्थान|पोलिश रेखांतर]] है<ref>A separable space is ''Polish'' if its topology comes from a complete metric. In the present situation it would be sufficient to require that <math>X</math> is ''Suslin'', that is, is the continuous Hausdorff image of a Polish space.</ref> और <math>Y</math> एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ़ रेखांतर, दोनों अपने बोरेल σ-बीजगणित से सुसज्जित हैं। होने देना <math>\mu</math> एक σ-परिमित बोरेल माप हो <math>X</math> और <math>\pi : X \to Y</math> a <math>\Sigma, \Phi-</math>मापने योग्य मानचित्र. फिर एक σ-परिमित बोरेल माप उपस्थित है <math>\nu</math> पर <math>Y</math> और एक विघटन (*)।
-अगर <math>\mu</math> परिमित है, <math>\nu</math> आगे बढ़ने वाला माना जा सकता है<ref>The ''pushforward'' <math>\pi_* \mu</math> of <math>\mu</math> under <math>\pi,</math> also called the image of <math>\mu</math> under <math>\pi</math> and denoted <math>\pi(\mu),</math> is the measure <math>\nu</math> on <math>\Phi</math> defined by <math>\nu(A) := \mu\left(\pi^{-1}(A)\right)</math> for <math>A</math> in <math>\Phi</math>.</ref> <math>\pi_* \mu,</math> और फिर <math>\lambda_y</math> सम्भावनाएँ हैं.</blockquote>
+अगर <math>\mu</math> परिमित है, <math>\nu</math> आगे बढ़ने वाला माना जा सकता है<ref>The ''pushforward'' <math>\pi_* \mu</math> of <math>\mu</math> under <math>\pi,</math> also called the image of <math>\mu</math> under <math>\pi</math> and denoted <math>\pi(\mu),</math> is the measure <math>\nu</math> on <math>\Phi</math> defined by <math>\nu(A) := \mu\left(\pi^{-1}(A)\right)</math> for <math>A</math> in <math>\Phi</math>.</ref> <math>\pi_* \mu,</math> और फिर <math>\lambda_y</math> सम्भावनाएँ हैं.
-सबूत। की पॉलिश प्रकृति के कारण <math>X</math> के सघन उपसमुच्चय का एक क्रम है <math>X</math> जो परस्पर विच्छेदित हैं, जिनके मिलन का पूरक नगण्य है और जिस पर <math>\pi</math> सतत है. यह अवलोकन दोनों के मामले में समस्या को कम करता है <math>X</math> और <math>Y</math> कॉम्पैक्ट हैं और <math>\pi</math> निरंतर है, और <math>\nu = \pi_* \mu.</math> पूरा <math>\Phi</math> अंतर्गत <math>\nu</math> और एक मजबूत उठाने को ठीक करें <math>T</math> के लिए <math>(Y, \Phi, \nu).</math> एक सीमा दी गई <math>\mu</math>-मापने योग्य कार्य <math>f,</math> होने देना <small><math>\lfloor f\rfloor</math></small> इसके अंतर्गत सशर्त अपेक्षा को निरूपित करें <math>\pi,</math> अर्थात्, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न<ref><math>f \mu</math> is the measure that has density <math>f</math> with respect to <math>\mu</math></ref> <math>\pi_*(f \mu)</math> इसके संबंध में <math>\pi_* \mu.</math> फिर प्रत्येक के लिए सेट करें <math>y</math> में <math>Y,</math> <math>\lambda_y(f) := T(\lfloor f\rfloor)(y).</math> यह दिखाने के लिए कि यह विघटन को परिभाषित करता है, बहीखाता पद्धति और एक उपयुक्त फ़ुबिनी प्रमेय का मामला है। यह देखने के लिए कि उठाने की ताकत कैसे प्रवेश करती है, उस पर ध्यान दें
+सबूत। की पॉलिश प्रकृति के कारण <math>X</math> के सघन उपसमुच्चय का एक क्रम है <math>X</math> जो परस्पर विच्छेदित हैं, जिनके मिलन का पूरक नगण्य है और जिस पर <math>\pi</math> सतत है. यह अवलोकन दोनों के मामले में समस्या को कम करता है <math>X</math> और <math>Y</math> कॉम्पैक्ट हैं और <math>\pi</math> निरंतर है, और <math>\nu = \pi_* \mu.</math> पूरा <math>\Phi</math> अंतर्गत <math>\nu</math> और एक मजबूत उठाने को ठीक करें <math>T</math> के लिए <math>(Y, \Phi, \nu).</math> एक सीमा दी गई <math>\mu</math>-मापने योग्य फलन <math>f,</math> होने देना <small><math>\lfloor f\rfloor</math></small> इसके अंतर्गत सशर्त अपेक्षा को निरूपित करें <math>\pi,</math> अर्थात्, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न<ref><math>f \mu</math> is the measure that has density <math>f</math> with respect to <math>\mu</math></ref> <math>\pi_*(f \mu)</math> इसके संबंध में <math>\pi_* \mu.</math> फिर प्रत्येक के लिए सेट करें <math>y</math> में <math>Y,</math> <math>\lambda_y(f) := T(\lfloor f\rfloor)(y).</math> यह दिखाने के लिए कि यह विघटन को परिभाषित करता है, बहीखाता पद्धति और एक उपयुक्त फ़ुबिनी प्रमेय का मामला है। यह देखने के लिए कि उठाने की ताकत कैसे प्रवेश करती है, उस पर ध्यान दें
 <math display=block>\lambda_y(f \cdot \varphi \circ \pi) = \varphi(y) \lambda_y(f) \qquad \forall y\in Y, \varphi \in C_b(Y), f \in L^\infty(X, \Sigma, \mu)</math>
 और अनंत को सर्व सकारात्मक के ऊपर ले लो <math>\varphi</math> में <math>C_b(Y)</math> साथ <math>\varphi(y) = 1;</math> यह स्पष्ट हो जाता है कि का समर्थन <math>\lambda_y</math> ऊपर फाइबर में निहित है <math>y.</math>

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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