पेरेटो वितरण

Pareto Type I

Probability density function Pareto Type I probability density functions for various $\alpha$ with $x_{\mathrm {m} }=1.$ As $\alpha \rightarrow \infty ,$ the distribution approaches $\delta (x-x_{\mathrm {m} }),$ where $\delta$ is the Dirac delta function.
Cumulative distribution function Pareto Type I cumulative distribution functions for various $\alpha$ with $x_{\mathrm {m} }=1.$
Parameters	$x_{\mathrm {m} }>0$ scale (real) $\alpha >0$ shape (real)
Support	$x\in [x_{\mathrm {m} },\infty )$
PDF	${\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$
CDF	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }$
Quantile	$x_{\mathrm {m} }{(1-p)}^{-{\frac {1}{\alpha }}}$
Mean	${\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}$
Median	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}$
Mode	$x_{\mathrm {m} }$
Variance	${\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}$
Skewness	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3$
Ex. kurtosis	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4$
Entropy	$\log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)$
MGF	does not exist
CF	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)$
Fisher information	${\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}\\-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}$ Right: ${\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha ^{2}}{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&0\\0&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}$

पेरेटो वितरण, जिसका नाम इतालवी सिविल इंजीनियर, अर्थशास्त्री और समाजशास्त्री विल्फ्रेडो पेरेटो के नाम पर रखा गया है | Italian: [paˈreːto] US: /pəˈreɪtoʊ/pə-RAY-toh), यह शक्ति-नियम संभाव्यता वितरण करती है जो कि है सामाजिक, गुणवत्ता नियंत्रण, वैज्ञानिक,भूभौतिकीय, बीमांकिक और अनेकअन्य प्रकार की अवलोकन योग्य घटनाओं के विवरण में उपयोग किया जाता है | यह सिद्धांत मूल रूप से किसी समाज में धन के वितरण का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त किया गया था, जो इस प्रवृत्ति के अनुरूप है कि धन का बड़ा भाग जनसंख्या के छोटे से भाग के पास होता है। पेरेटो सिद्धांत या "80-20 नियम" जिसमें कहा गया है कि 80% परिणाम 20% कारणों से होते हैं, और यह पेरेटो के सम्मान में निर्दिष्ट किया गया था, किन्तु अवधारणाएं अलग हैं, और केवल लॉग ₄5 ≈ 1.16 के आकार मान (α) के साथ पेरेटो वितरण इसे स्पष्ट रूप से प्रतिबिंबित करें। और अनुभवजन्य अवलोकन से पता चला है कि यह 80-20 वितरण प्राकृतिक घटनाओं और मानवीय गतिविधियों सहित स्तिथियों की विस्तृत श्रृंखला में स्पष्ट बैठता है।

परिभाषाएँ

यदि X पेरेटो (प्रकार I) वितरण के साथ यादृच्छिक चर है,तब संभावना है कि

${\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}$

जहां x_m X का (आवश्यक रूप से धनात्मक) न्यूनतम संभव मान है, और α धनात्मक मापदंड होता है। और पेरेटो टाइप वितरण की विशेषता पैमाने मापदंड x_m और आकार मापदंड α होती है, जिसे टेल इंडेक्स के रूप में जाना जाता है। जब इस वितरण का उपयोग धन के वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है,यह मापदंड α को पेरेटो सूचकांक कहा जाता है।

संचयी वितरण फलन

इया प्रकार परिभाषा से, मापदंड α और x_m के साथ पेरेटो यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फलन होता है

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

संभावना घनत्व फलन

यह इस प्रकार है कि (विभेदन द्वारा) संभाव्यता घनत्व फलन होता है |

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

जब रैखिक अक्षों पर भूभाग किया जाता है,तब वितरण परिचित J-आकार के वक्र को समझता है जो प्रत्येक ऑर्थोगोनल अक्षों पर स्पर्शोन्मुख रूप से पहुंचता है। इस प्रकार वक्र के सभी खंड समान होते हैं और यह (उचित अदिश कारकों के समान) होता हैं। और तब लॉग-लॉग भूभाग में भूभाग किया जाता है,तब वितरण को सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।

गुण

क्षण और विशेषता कार्य

• पेरेटो वितरण के पश्चात् यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य है

$\operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}$

• पेरेटो वितरण के पश्चात् यादृच्छिक चर का प्रसरण होता है |

$\operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}$

(यदि α ≤ 1,तब विचरण उपस्थित नहीं है।)

• अनिर्मित क्षण (गणित) होता हैं |

$\mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}$

• क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य केवल गैर-धनात्मक मान t ≤ 0 के लिए परिभाषित किया गया है |

$M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)$

$M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.$

इस प्रकार, चूँकि अपेक्षा $t=0$ वाले खुले अंतराल पर अभिसरण नहीं होती है, और हम कहते हैं कि क्षण उत्पन्न करने वाला फलन उपस्थित नहीं है।

• विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) द्वारा दिया गया हैं |

$\varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),$

जहां Γ(a, x) अपूर्ण गामा फलन होता है।

क्षणों की विधि (सांख्यिकी) का उपयोग करके मापदंडों कोपरिवर्तित किया जा सकता है।

सशर्त वितरण

पेरेटो-वितरित यादृच्छिक चर का सशर्त संभाव्यता वितरण, इस घटना को देखते हुए हुआ कि यह किसी विशेष संख्या $x_{1}$ $x_{\text{m}}$ से अधिक या उसके सामान्य होती है | और समान पेरेटो सूचकांक $\alpha$ के साथ पेरेटो वितरण होता है किन्तु न्यूनतम $x_{1}$ के अतिरिक्त $x_{\text{m}}$ इसका तात्पर्य है कि सशर्त अपेक्षित मूल्य (यदि यह परिमित है, अर्थात $\alpha >1$ आनुपातिक $x_{1}$ है| और यादृच्छिक चर के स्तिथियों में जो किसी वस्तु के जीवन अवधि का वर्णन करता है | इसका कारण यह है कि जीवन प्रत्याशा आनुपातिक होती है | और यह आयु बढ़ने के लिए होती हैं | और इसे लिंडी प्रभाव या लिंडी का नियम कहा जाता है।

एक लक्षण वर्णन प्रमेय

मान लीजिए $X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc$ स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर होते हैं जिनकी संभाव्यता वितरण कुछ $x_{\text{m}}>0$ के लिए अंतराल $[x_{\text{m}},\infty )$ पर समर्थित होता है। मान लीजिए कि सभी $n$ के लिए दो यादृच्छिक चर $\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ और $(X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$ स्वतंत्र होते हैं। तब सामान्य वितरण पेरेटो वितरण होता है।

ज्यामितीय माध्य

ज्यामितीय माध्य (G) होता है

$G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).$

अनुकूल माध्य

हार्मोनिक माध्य (H) होता है

$H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).$

चित्रमय प्रतिनिधित्व

रैखिक पैमाने पर भूभाग किए जाने पर विशेषता वक्र 'लॉन्ग टेल' वितरण, लॉग-लॉग ग्राफ़ पर भूभाग किए जाने पर फलन की अंतर्निहित सरलता को छुपाता है | तब यह ऋणात्मक शील्ड के साथ सीधी रेखा का रूप लेता है | यह सूत्र से अनुसरण करता है | और संभाव्यता घनत्व फलन कि x ≥ x_m के लिए होता हैं |

$\log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.$

चूँकि α धनात्मक है, तब ग्रेडिएंट -(α+1) ऋणात्मक होता है।

संबंधित वितरण

सामान्यीकृत पेरेटो वितरण

See also: सामान्यीकृत पेरेटो वितरण

पेरेटो वितरण का पदानुक्रम है जिसे पेरेटो प्रकार I, II, III, IV और फेलर-पेरेटो वितरण के रूप में जाना जाता है। पेरेटो टाइप IV में पेरेटो टाइप I-III विशेष स्तिथियों के रूप में सम्मिलित है। फेलर-पेरेटो वितरण पेरेटो प्रकार IV को सामान्यीकृत करता है।

पेरेटो प्रकार I-IV

पेरेटो वितरण पदानुक्रम को उत्तरजीविता कार्यों (पूरक सीडीएफ) की तुलना करते हुए अगली तालिका में संक्षेपित किया गया है।

जब μ = 0, पेरेटो वितरण प्रकार II को लोमैक्स वितरण के रूप में भी जाना जाता है।

इस अनुभाग में, x के न्यूनतम मान को इंगित करने के लिए पहले उपयोग किए गए प्रतीक x_m को σ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

पेरेटो वितरण

	${\overline {F}}(x)=1-F(x)$	समर्थन	पैरामीटर्स
टाइप I	$\left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \sigma$	$\sigma >0,\alpha$
टाइप II	$\left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha$
लोमैक्स	$\left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq 0$	$\sigma >0,\alpha$
टाइप III	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0$
टाइप IV	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha$

आकार मापदंड α टेल सूचकांक है, इसमें μ स्थान है, σ पैमाने है, γ असमानता मापदंड है। इस प्रकार पेरेटो प्रकार (IV) के कुछ विशेष स्तिथियों में होता है |

$P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).$

माध्य की परिमितता, और अस्तित्व और विचरण की परिमितता टेल इंडेक्स α (असमानता सूचकांक γ) पर निर्भर करती है। यह विशेष रूप से, आंशिक δ-क्षण कुछ δ > 0 के लिए सीमित हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है, जहां δ आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं है।

पेरेटो I-IV वितरण के क्षण (केस μ = 0)

	$\operatorname {E} [X]$	स्थिति	$\operatorname {E} [X^{\delta }]$	स्थिति
टाइप II	${\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}$	$\delta <\alpha$
टाइप II	${\frac {\sigma }{\alpha -1}}+\mu$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$0<\delta <\alpha$
टाइप III	$\sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )$	$-1<\gamma <1$	$\sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}$
टाइप IV	${\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-1<\gamma <\alpha$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma$

फेलर-पेरेटो वितरण

फेलर बीटा वितरण यादृच्छिक चर Y के परिवर्तन U = Y⁻¹ − 1 द्वारा पेरेटो चर को परिभाषित करता है, जिसकी संभाव्यता घनत्व फलन है |

$f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,$

जहां B( ) बीटा फलन है। यदि

$W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,$

तब W के पास फेलर-पेरेटो वितरण FP(μ, σ, γ, γ₁, γ₂) है।

यदि $U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)$ और $U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)$ स्वतंत्र गामा वितरण चर हैं,तब फेलर-पेरेटो (एफपी) चर का निर्माण होता है |

$W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }$

और हम W ~ FP(μ, σ, γ, δ₁, δ₂) लिखते हैं। फेलर-पेरेटो वितरण में यह विशेष स्तिथियों होता हैं |

$FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).$

व्युत्क्रम-पेरेटो वितरण / विद्युत वितरण

जब यादृच्छिक चर $Y$ पेरेटो वितरण का अनुसरण करता है,तब इसका व्युत्क्रम $X=1/Y$ व्युत्क्रम पेरेटो वितरण का अनुसरण करता है। व्युत्क्रम पेरेटो वितरण विद्युत वितरण (सांख्यिकी) के समतुल्य होता है |

$Y\sim \mathrm {Pa} (\alpha ,x_{m})={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{y^{\alpha +1}}}\quad (y\geq x_{m})\quad \Leftrightarrow \quad X\sim \mathrm {iPa} (\alpha ,x_{m})=\mathrm {Power} (x_{m}^{-1},\alpha )={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{(x_{m}^{-1})^{\alpha }}}\quad (0<x\leq x_{m}^{-1})$

घातांकीय वितरण से संबंध

पेरेटो वितरण घातीय वितरण से निम्नानुसार संबंधित होता है। यदि X न्यूनतम x_m और सूचकांक α के साथ पेरेटो-वितरित है, तब

$Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)$

दर मापदंड α के साथ तेजी से वितरित किया जाता है। और समान रूप से, यदि Y को दर α के साथ चरघातांकीय रूप से वितरित किया जाता है, तब

$x_{\mathrm {m} }e^{Y}$

न्यूनतम x_m और सूचकांक α के साथ पेरेटो-वितरित होता है।

इसे मानक परिवर्तन-परिवर्तन तकनीकों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है |

${\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}$

अंतिम अभिव्यक्ति दर α के साथ घातीय वितरण का संचयी वितरण फलन है।

पेरेटो वितरण का निर्माण पदानुक्रमित घातीय वितरण द्वारा किया जा सकता है। इस प्रकार $\phi |a\sim {\text{Exp}}(a)$ और $\eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )$। तब हमारे पास $p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}$ और, परिणाम स्वरूप इसमें ,$a+\eta \sim {\text{Pareto}}(a,1)$ है।

अधिक,सामान्यतः, यदि $\lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )$ (आकार-दर पैरामीट्रिजेशन) और $\eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )$, तब $\beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )$.

समान रूप से, यदि $Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,1)$ और $X\sim {\text{Exp}}(1)$, तब $x_{\text{m}}\!\left(1+{\frac {X}{Y}}\right)\sim {\text{Pareto}}(x_{\text{m}},\alpha )$. हैं |

[[लॉग-सामान्य वितरण]] से संबंध

पेरेटो वितरण और लॉग-सामान्य वितरण समान प्रकार की मात्राओं का वर्णन करने के लिए वैकल्पिक वितरण हैं। और यह दोनों के मध्य संबंध यह है कि वे दोनों अन्य सामान्य वितरणों के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर के घातांक के वितरण हैं, इस प्रकार क्रमशः घातीय वितरण और सामान्य वितरण होता है ।

सामान्यीकृत पेरेटो वितरण से संबंध

पेरेटो वितरण सामान्यीकृत पेरेटो वितरण का विशेष स्तिथि है, जो समान रूप के वितरणों का परिवार है, किन्तुइसमें अतिरिक्त मापदंड इस तरह से होता है कि वितरण का समर्थन यातब नीचे (एक परिवर्तनीय बिंदु पर) सीमित होता है, या विशेष स्तिथियों के रूप में लोमैक्स वितरण के साथ, ऊपर और नीचे (जहां दोनों परिवर्तनशील हैं) दोनों से घिरा हुआ है। इस परिवार में अस्थानांतरित और स्थानांतरित दोनों घातीय वितरण भी सम्मिलित होते हैं।

पैमाने $x_{m}$ और आकार $\alpha$ के साथ पेरेटो वितरण स्थान $\mu =x_{m}$ पैमाने $\sigma =x_{m}/\alpha$ और आकार $\xi =1/\alpha$ के साथ सामान्यीकृत पेरेटो वितरण के सामान्य होते है। इसके विपरीत कोई भी $x_{m}=\sigma /\xi$ द्वारा जीपीडी से पेरेटो वितरण प्राप्त कर सकता है और यह $\alpha =1/\xi$. होता हैं|

बंधित पेरेटो वितरण

See also: संक्षिप्त वितरण

Bounded Pareto

Parameters	$L>0$ location (real) $H>L$ location (real) $\alpha >0$ shape (real)
Support	$L\leqslant x\leqslant H$
PDF	${\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}$
CDF	${\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}$
Mean	${\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -1}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -1}}}\right),\alpha \neq 1$ ${\frac {{H}{L}}{{H}-{L}}}\ln {\frac {H}{L}},\alpha =1$
Median	$L\left(1-{\frac {1}{2}}\left(1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }\right)\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}$
Variance	${\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -2}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -2}}}\right),\alpha \neq 2$ ${\frac {2{H}^{2}{L}^{2}}{{H}^{2}-{L}^{2}}}\ln {\frac {H}{L}},\alpha =2$ (this is the second raw moment, not the variance)
Skewness	${\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot {\frac {\alpha (L^{k-\alpha }-H^{k-\alpha })}{(\alpha -k)}},\alpha \neq j$ (this is the kth raw moment, not the skewness)

परिबद्ध (या काटे गए) पेरेटो वितरण के तीन मापदंड हैं: α, L और H. जैसा कि मानक पेरेटो वितरण में α आकार निर्धारित करता है। L न्यूनतम मान को दर्शाता है, और H अधिकतम मान को दर्शाता है।

संभाव्यता घनत्व फलन है

${\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}$,

जहां L ≤ x ≤ H, और α > 0 होता हैं।

परिबद्ध पेरेटो यादृच्छिक चर उत्पन्न करना

यदि यू (0, 1) पर समान वितरण (निरंतर) है,तब व्युत्क्रम-परिवर्तन विधि प्रयुक्त करना हैं |

यदि U को समान वितरण (निरंतर) (0, 1), पर वितरित किया जाता है,तब व्युत्क्रम-परिवर्तन विधि प्रयुक्त करना होता हैं |

$U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}$

$x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}$

परिबद्ध पेरेटो-वितरित होता है।

सममित पेरेटो वितरण

सममित पेरेटो वितरण और शून्य सममित पेरेटो वितरण का उद्देश्य तीव्र संभाव्यता शिखर और सममित लॉन्ग संभाव्यता टेल के साथ कुछ विशेष सांख्यिकीय वितरण का निरीक्षण होता है। ये दोनों वितरण पेरेटो वितरण से प्राप्त हुए हैं। तब लॉन्ग संभाव्यता टेल का सामान्यतः अर्थ यह होता है कि संभाव्यता धीरे-धीरे कम होती जाती है। पेरेटो वितरण अनेक स्तिथियों में उचित कार्य करता है। किन्तु यदि वितरण में दो धीमी गति से क्षय होने वाली टेल के साथ सममित संरचना है,तब पेरेटो ऐसा नहीं कर सकता हैं। फिर इसके स्थान पर सममित पेरेटो या शून्य सममित पेरेटो वितरण प्रयुक्त किया जाता है।

सममित पेरेटो वितरण के संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है |

$F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}$

संबंधित संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) है:

$p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R$

इस वितरण के दो मापदंड हैं a और b। यह b द्वारा सममित होती है। तब गणितीय अपेक्षा b है। और इसमें निम्नलिखित प्रकार की भिन्नता होती है |

$E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={2b^{2} \over (a-2)(a-1)}$

शून्य सममित पेरेटो (जेडएसपी) वितरण के सीडीएफ को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है

$F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}$

इससे संबंधित पीडीएफ है |

$p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R$

यह वितरण शून्य से सममित है। और यह मापदंड a संभाव्यता की क्षय दर से संबंधित होती है | इस प्रकार (a/2b) संभाव्यता के चरम परिमाण का प्रतिनिधित्व करता है।

बहुभिन्नरूपी पेरेटो वितरण

अविभाज्य पेरेटो वितरण को बहुभिन्नरूपी पेरेटो वितरण तक बढ़ा दिया गया है।

सांख्यिकीय अनुमान

मापदंड का अनुमान

पेरेटो वितरण मापदंड α और x_m के लिए संभावना फलन, स्वतंत्र प्रतिरूप (सांख्यिकी) x = (x₁, x₂, ..., x_n), दिया गया है |

$L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.$

इसलिए, इसका लघुगणक संभावना फलन होता है |

$\ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.$

यह देखा जा सकता है कि $\ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })$ x_m के साथ नीरस रूप से बढ़ रहा है, उपस्थित,x_m का मान जितना अधिक होगा, संभावना फलन का मान उतना ही अधिक होगा। इसलिए, चूँकि x ≥ xm, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

${\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.$

α के लिए अनुमानक खोजने के लिए, हम संबंधित आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं और यह निर्धारित करते हैं कि यह शून्य कहां पर होता है|

${\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.$

इस प्रकार α के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक है|

${\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.$

इस प्रकार अपेक्षित सांख्यिकीय में त्रुटि होती है:

$\sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.$

प्रोपर्टी (1970) $({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})$ का स्पष्ट संयुक्त वितरण देता है। यह विशेष रूप से, ${\hat {x}}_{\mathrm {m} }$ और ${\hat {\alpha }}$ स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) होता हैं और इस प्रकार ${\hat {x}}_{\mathrm {m} }$स्केल मापदंड x_m और आकार मापदंड nα के साथ पेरेटो है, जबकि ${\hat {\alpha }}$ में आकार और स्केल मापदंड n − 1 और nα, के साथ व्युत्क्रम-गामा वितरण है ,) यह क्रमश इस प्रकर होता हैं।

घटना और अनुप्रयोग

सामान्य

विल्फ्रेडो पेरेटो ने मूल रूप से इस वितरण का उपयोग व्यक्तियों के मध्य धन के आवंटन का वर्णन करने के लिए किया था क्योंकि यह अधिक अच्छी तरह से दिखाता था कि किसी भी समाज की प्रोपर्टी का बड़ा भाग उस समाज के छोटे प्रतिशत लोगों के प्रोपर्टी में है। उन्होंने इसका उपयोग आय के वितरण का वर्णन करने के लिए भी किया था। इस विचार को कभी-कभी पेरेटो सिद्धांत या "80-20 नियम" के रूप में अधिक सरलता से व्यक्त किया जाता है जो कहता है कि 20% जनसंख्या 80% धन को नियंत्रित करती है। चूँकि, 80-20 नियम α के विशेष मूल्य से मेल खाता है, और वास्तव में, पेरेटो के कोर्ट्स डी इकोनोमी पॉलिटिक में ब्रिटिश आय करों पर डेटा इंगित करता है कि लगभग 30% जनसंख्या के पास लगभग 70% आय थी। आवश्यक] इस लेख की शुरुआत में संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) ग्राफ से पता चलता है कि जनसंख्या का "संभावना" या अंश जिसके पास प्रति व्यक्ति थोड़ी मात्रा में धन है, वह अधिक अधिक है, और फिर धन बढ़ने के साथ निरंतर घटता जाता है। (चूँकि, पेरेटो वितरण निचले तबके के लिए धन के लिए यथार्थवादी नहीं है। वास्तव में, निवल मूल्य ऋणात्मक भी हो सकता है।) यह वितरण केवल धन या आय का वर्णन करने तक ही सीमित नहीं है, किंतु अनेक स्थितियों तक होता है जिसमें संतुलन पाया जाता है | और इसमें "छोटे" से "बड़े" का वितरण होता हैं। निम्नलिखित उदाहरणों को कभी-कभी पेरेटो-वितरित के रूप में देखा जाता है|

• मानव बस्तियों का आकार (कुछ शहर, अनेकबस्तियाँ/गाँव)
• इंटरनेट ट्रैफ़िक का फ़ाइल आकार वितरण जो टीसीपी प्रोटोकॉल का उपयोग करता है और (अनेक छोटी फ़ाइलें, और कुछ बड़ी)*
• हार्ड डिस्क ड्राइव त्रुटि दर
• बोस-आइंस्टीन के समूह परम शून्य के निकट संघनित होते हैं|
• CumFreq का उपयोग करके अधिकतम दिवसीय वर्षा के लिए संचयी पेरेटो (लोमैक्स) वितरण फिटिंग करें, वितरण फिटिंग भी देखें

• तेल क्षेत्रों में तेल भंडार का मूल्य (कुछ विशाल तेल और गैस क्षेत्र, अनेक स्ट्रिपर कुएं)*
• सुपर कंप्यूटरों को सौंपे गए कार्यों में लंबाई वितरण (कुछ बड़े वाले, अनेक छोटे वाले)
• व्यक्तिगत स्टॉक पर मानकीकृत मूल्य रिटर्न *
• रेत के कणों का आकार *
• उल्कापिंड का आकार
• सामान्य दायित्व, वाणिज्यिक ऑटो और श्रमिकों के मुआवजे जैसे व्यवसाय के कुछ क्षेत्रों के लिए बड़ी हताहत (व्यक्ति) हानि की गंभीरता।
• स्टीम (सेवा) पर उपयोगकर्ता द्वारा विभिन्न गेम खेलने में कितना समय बिताया गया । (कुछ गेम बहुत खेले जाते हैं, किन्तुअधिकांश लगभग कभी नहीं खेले जाते।) [2]
• जल विज्ञान में पेरेटो वितरण को चरम घटनाओं जैसे वार्षिक अधिकतम दिवसीय वर्षा और नदी निर्वहन परप्रयुक्त किया जाता है।
• नीली तस्वीर पेरेटो वितरण को वार्षिक अधिकतम दिवसीय वर्षा के अनुसार स्पष्ट करने का उदाहरण दिखाती है, जो द्विपद वितरण के आधार पर 90% आत्मविश्वास बेल्ट भी दिखाती है। संचयी आवृत्ति विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा के आंकड़ों को प्लॉटिंग स्थितियों द्वारा दर्शाया जाता है।
• विद्युत उपयोगिता वितरण विश्वसनीयता में (किसी दिए गए वर्ष में लगभग 20% दिनों में 80% ग्राहक मिनट बाधित होते हैं)।

जिपफ के नियम से संबंध

पेरेटो वितरण सतत संभाव्यता वितरण है। जिपफ का नियम, जिसे कभी-कभी जीटा वितरण भी कहा जाता है | यह अलग वितरण है, जो मूल्यों को सरल रैंकिंग में अलग करता है। इसमें दोनों ऋणात्मक घातांक के साथ सरल शक्ति नियम होते हैं, जिसे पैमाने में किया गया है | जिससे उनका संचयी वितरण 1 के सामान्य हो सकता है। जिपफ को पेरेटो वितरण से प्राप्त किया जा सकता है यदि $x$ मान (आय) को $N$ रैंक में जोड़ दिया जाए | जिससे लोगों की संख्या प्रत्येक बिन में 1 रैंक पैटर्न का पालन किया जाता है। और वितरण को $x$ परिभाषित करके सामान्यीकृत किया जाता है जिससे $x_{m}$जहां $\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}$ सामान्यीकृत जहाँ $H(N,\alpha -1)$ हार्मोनिक संख्या होती हैं। यह Zipf के संभाव्यता घनत्व फलन को पेरेटो से व्युत्पन्न करता है।

$f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}$

जहां $s=\alpha -1$ और $x$ 1 से N तक रैंक का प्रतिनिधित्व करने वाला पूर्णांक है जहां N उच्चतम आय वर्ग है। तब किसी जनसंख्या (या भाषा, इंटरनेट, या देश) से उत्तम प्रकार से चुने गए व्यक्ति (या शब्द, वेबसाइट लिंक, या शहर) की रैंकिंग $x$ होने की संभावना $f(x)$ होती है।

पेरेटो सिद्धांत से संबंध

पेरेटो सिद्धांत में "80-20 नियम", जिसके अनुसार सभी लोगों में से 20% को सभी आय का 80% प्राप्त होता है, और सबसे समृद्ध 20% में से 20% को उस 80% का 80% प्राप्त होता है, और इसी तरह, सही तब प्रयुक्त होता है जब पेरेटो सूचकांक $\alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161$ है. यह परिणाम नीचे दिए गए लोरेंज वक्र सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, इसको निम्नलिखित गणितीय रूप से समतुल्य दिखाया गया है

• आय को पेरेटो वितरण के अनुसार सूचकांक α > 1 के अनुसार वितरित किया जाता है।
• कुछ संख्या 0 ≤ p ≤ 1/2 ऐसी है कि सभी लोगों में से 100p % को सभी आय का 100(1 − p)% प्राप्त होता है, और इसी तरह प्रत्येक वास्तविक (आवश्यक नहीं कि पूर्णांक) n > 0, के लिए, सभी लोगों में से 100pⁿ % प्राप्त होता है | और 100(1 − p)ⁿ सभी आय का प्रतिशत। α और p इससे संबंधित हैं |

$1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p)}{\ln(p)}}={\frac {\ln((1-p)^{n})}{\ln(p^{n})}}$

यह केवल आय पर ही प्रयुक्त नहीं होता है, किंतु धन, या किसी अन्य चीज़ पर भी प्रयुक्त होता है जिसे इस वितरण द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है।

इसमें पेरेटो वितरण सम्मिलित नहीं है जिसमें 0 < α ≤ 1, जैसा कि ऊपर बताया गया है, अनंत अपेक्षित मूल्य है, और इसलिए उचित रूप से आय वितरण को मॉडल नहीं कर सकता है।

मूल्य के नियम से संबंध

प्राइस के वर्गमूल नियम को कभी-कभी पेरेटो वितरण की प्रोपर्टी के रूप में या उसके समान प्रस्तुत किया जाता है। चूँकि, नियम केवल इस स्तिथियों में मानता है कि $\alpha =1$ कि इस स्तिथियों में, धन की कुल और अपेक्षित मात्रा परिभाषित नहीं की गई है, और नियम केवल यादृच्छिक उदहारणों पर स्पर्शोन्मुख रूप से प्रयुक्त होता है। ऊपर उल्लिखित विस्तारित पेरेटो सिद्धांत कहीं अधिक सामान्य नियम है।

लोरेंज़ वक्र और गिनी गुणांक

अनेकपेरेटो वितरणों के लिए लोरेन्ज़ वक्र। स्तिथि α=∞ पूर्णतया समान वितरण (G=0) से मेल खाता है और α=1 रेखा पूर्ण असमानता (G=1) से मेल खाती है।

लोरेन्ज़ वक्र का उपयोग अधिकांशतः आय और धन वितरण को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। किसी भी वितरण के लिए, लॉरेंज वक्र एल(एफ) को पीडीएफ एफ या सीडीएफ एफ के रूप में लिखा जाता है

$L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}$

जहां x(F) सीडीएफ का व्युत्क्रम है। और पेरेटो वितरण के लिए,

$x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

और लोरेन्ज़ वक्र की गणना की जाती है |

$L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},$

इस प्रकार $0<\alpha \leq 1$ के लिए प्रत्येक अनंत है, जिससे L=0 प्राप्त होता है। अनेक पेरेटो वितरणों के लिए लॉरेन्ज़ वक्र के उदाहरण दाईं ओर ग्राफ़ में दिखाए गए हैं।

ऑक्सफेम (2016) के अनुसार सबसे अमीर 62 लोगों के पास विश्व की सबसे सामान्य आधी जनसंख्या के सामान्य प्रोपर्टी है। हम पेरेटो सूचकांक का अनुमान लगा सकते हैं जो इस स्थिति पर प्रयुक्त होता हैं। और ε को सामान्यता $62/(7\times 10^{9})$ देना पर हमें प्राप्त होता है |

$L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )$

या

$1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}$

इसमें समाधान यह है कि α लगभग 1.15 के सामान्य है, और लगभग 9% प्रोपर्टी दोनों समूहों में से प्रत्येक के पास है। किन्तु वास्तव में विश्व की सबसे सामान्य 69% वयस्क जनसंख्या के पास केवल 3% प्रोपर्टी है।

गिनी गुणांक समवितरण रेखा से लोरेंज वक्र के विचलन का माप है जो [0, 0] और [1, 1] को जोड़ने वाली रेखा है, जिसे लोरेंज भूभाग में काले (α = ∞) में दिखाया गया है। सही। विशेष रूप से, गिनी गुणांक लोरेंज वक्र और समान वितरण रेखा के मध्य के क्षेत्र का दोगुना है। पेरेटो वितरण के लिए $\alpha \geq 1$ गिनी गुणांक की गणना के लिए की जाती है |

$G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}$

(एबर्ज 2005 देखें)।

यादृच्छिक भिन्न पीढ़ी

Further information: गैर-समान यादृच्छिक विविधता पीढ़ी

व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिरूपकरण का उपयोग करके यादृच्छिक उदाहरण उत्पन्न किए जा सकते हैं। और इकाई अंतराल (0,1] पर समान वितरण से निकाले गए यादृच्छिक चर U को देखते हुए, चर T द्वारा दिया गया है |

$T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}$

यह पेरेटो-वितरित होता है। यदि U को [0, 1) पर समान रूप से वितरित किया जाता है,तब इसे (1-U ) के साथ परिवर्तित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• ब्रैडफोर्ड का नियम
• गुटेनबर्ग-रिक्टर नियम
• मैथ्यू प्रभाव
• पेरेटो विश्लेषण
• पेरेटो दक्षता
• पेरेटो इंटरपोलेशन
• शक्ति नियम या शक्ति-नियम संभाव्यता वितरण
• स्टर्जन का नियम
• ट्रैफ़िक जनरेशन मॉडल
• जिपफ का नियम
• हैवी टेल वाला वितरण

टिप्पणियाँ

• M. O. Lorenz (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9 (70): 209–19. Bibcode:1905PAmSA...9..209L. doi:10.2307/2276207. JSTOR 2276207. S2CID 154048722.
• Pareto, Vilfredo (1965). Librairie Droz (ed.). Ecrits sur la courbe de la répartition de la richesse. Œuvres complètes : T. III. p. 48. ISBN 9782600040211.

• Pareto, Vilfredo (1895). "La legge della domanda". Giornale Degli Economisti. 10: 59–68.
• Pareto, Vilfredo (1896). "Cours d'économie politique". doi:10.1177/000271629700900314. S2CID 143528002. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

बाहरी संबंध

• "Pareto distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Pareto distribution". MathWorld.
• Aabergé, Rolf (May 2005). "Gini's Nuclear Family". International Conference to Honor Two Eminent Social Scientists (PDF).

• Crovella, Mark E.; Bestavros, Azer (December 1997). Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Causes (PDF). IEEE/ACM Transactions on Networking. Vol. 5. pp. 835–846. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2019-02-25.

• syntraf1.c is a C program to generate synthetic packet traffic with bounded Pareto burst size and exponential interburst time.