दोहरा (श्रेणी सिद्धांत): Difference between revisions

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[[श्रेणी सिद्धांत]] में, गणित की शाखा, द्वंद्व श्रेणी ''सी'' के गुणों और [[विपरीत श्रेणी]] ''सी'' के दोहरे गुणों के मध्य पत्राचार है।<sup>सेशन</sup>. श्रेणी सी के संबंध में कथन दिया गया है, फलन के डोमेन और प्रत्येक रूपवाद के [[कोडोमेन]] को आपस में बदलने के साथ-साथ फलन संरचना के क्रम को दो रूपवादों में बदलने से, विपरीत श्रेणी सी के संबंध में संबंधित दोहरा कथन प्राप्त होता है।<sup>सेशन</sup>. द्वंद्व, इस तरह, यह प्रामाणित है कि कथनों पर इस ऑपरेशन के अनुसार सत्य अपरिवर्तनीय है। दूसरे शब्दों में, यदि कोई कथन C के बारे में सत्य है, तब उसका दोहरा कथन C के बारे में सत्य है<sup>सेशन</sup>. साथ ही, यदि कोई कथन C के बारे में गलत है, तब उसका द्वैत C के बारे में गलत होना चाहिए<sup>सेशन</sup>.
[[श्रेणी सिद्धांत]] में, गणित की शाखा, '''द्वंद्व श्रेणी''' सी के गुणों और [[विपरीत श्रेणी]] सी<sup>ओपी</sup> के दोहरे गुणों के मध्य पत्राचार होता है। इस प्रकार श्रेणी सी के संबंध में कथन दिया गया है, अतः प्रत्येक रूपवाद के स्रोत और लक्ष्य को आपस में परिवर्तित करके साथ-साथ दो रूपवादों की रचना के क्रम को आपस में परिवर्तित, विपरीत श्रेणी सी<sup>ओपी</sup> के संबंध में संबंधित दोहरा कथन प्राप्त होता है। सामान्यतः द्वंद्व, इस प्रकार, यह प्रामाणित होता है कि कथनों पर इस ऑपरेशन के अनुसार सत्य अपरिवर्तनीय होता है। चूँकि दूसरे शब्दों में, यदि कोई कथन सी के बारे में सत्य होता है, तब उसका दोहरा कथन सी<sup>ओपी</sup> के बारे में सत्य होता है। अतः साथ ही, यदि कोई कथन सी के बारे में गलत होता है, तब उसका द्वैत सी<sup>ओपी</sup> के बारे में गलत होता है।


एक [[ठोस श्रेणी]] सी को देखते हुए, अधिकांशतः यह मामला होता है कि विपरीत श्रेणी सी<sup>op</sup> वास्तव में अमूर्त है। सी<sup>op</sup> को गणितीय अभ्यास से उत्पन्न होने वाली श्रेणी होने की आवश्यकता नहीं है। इस स्थितियों में, अन्य श्रेणी डी को भी सी के साथ द्वंद्व में कहा जाता है यदि डी और सी<sup>op</sup>श्रेणियों की समतुल्यता है।
सामान्यतः [[ठोस श्रेणी]] सी को देखते हुए, अधिकांशतः यह स्थिति होती है कि विपरीत श्रेणी सी<sup>ओपी</sup> वास्तव में अमूर्त होती है। इस प्रकार सी<sup>ओपी</sup> को गणितीय अभ्यास से उत्पन्न होने वाली श्रेणी होने की आवश्यकता नहीं होती है। इस स्थितियों में, अन्य श्रेणी डी को भी सी के साथ द्वंद्व में कहा जाता है यदि डी और सी<sup>ओपी</sup> श्रेणियों की समतुल्यता होती है।


उस स्थिति में जब C और उसके विपरीत C<sup>op</sup>समतुल्य हैं, ऐसी श्रेणी स्व-द्वैत है।<ref name="AdamekRosicky1994">{{cite book|author1=Jiří Adámek|author2=J. Rosicky|title=स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य और सुलभ श्रेणियाँ|url=https://books.google.com/books?id=iXh6rOd7of0C&pg=PA62|year=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-42261-1|page=62}}</ref>
उस स्थिति में जब सी और उसके विपरीत सी<sup>ओपी</sup> समतुल्य हैं, ऐसी श्रेणी स्व-द्वैत होती है।<ref name="AdamekRosicky1994">{{cite book|author1=Jiří Adámek|author2=J. Rosicky|title=स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य और सुलभ श्रेणियाँ|url=https://books.google.com/books?id=iXh6rOd7of0C&pg=PA62|year=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-42261-1|page=62}}</ref>
==औपचारिक परिभाषा==
==औपचारिक परिभाषा==


हम श्रेणी सिद्धांत की प्रारंभिक भाषा को वस्तुओं और रूपवादों के साथ दो-क्रमबद्ध [[प्रथम क्रम की भाषा]] के रूप में परिभाषित करते हैं, साथ ही वस्तु के संबंध रूपवाद का स्रोत या लक्ष्य और दो रूपवादों की रचना के लिए प्रतीक के रूप में परिभाषित करते हैं।
हम श्रेणी सिद्धांत की प्रारंभिक भाषा को वस्तुओं और रूपवादों के साथ दो-क्रमबद्ध [[प्रथम क्रम की भाषा]] के रूप में परिभाषित करते हैं, अतः साथ ही वस्तु के संबंध रूपवाद का स्रोत या लक्ष्य और दो रूपवादों की रचना के लिए प्रतीक के रूप में परिभाषित करते हैं।


मान लीजिए σ इस भाषा में कोई कथन है। हम दोहरी σ बनाते हैं<sup>op</sup> इस प्रकार है:
मान लीजिए कि σ इस भाषा में कोई कथन होता है। इस प्रकार हम दोहरी σ<sup>ओपी</sup> बनाते हैं, जो इस प्रकार होते है:
# σ में स्रोत की प्रत्येक घटना को लक्ष्य के साथ बदलें।
# σ में स्रोत की प्रत्येक घटना को लक्ष्य के साथ परिवर्तित करते है।
# आकृतियों की रचना के क्रम को बदलें। अर्थात्, प्रत्येक घटना को प्रतिस्थापित करें <math>g \circ f</math> साथ <math>f \circ g</math>
# आकृतियों की रचना के क्रम को परिवर्तित करते है। अर्थात्, प्रत्येक घटना को <math>g \circ f</math> और <math>f \circ g</math> के साथ प्रतिस्थापित करते है।
अनौपचारिक रूप से, यह स्थितियाँ बताती हैं कि किसी कथन का द्वैत रूपवाद और कार्य संरचना को उलट कर बनता है।
अनौपचारिक रूप से, यह स्थितियाँ बताती हैं कि किसी कथन का द्वैत रूपवाद और कार्य संरचना को उलट कर बनता है।


द्वंद्व यह अवलोकन है कि σ कुछ श्रेणी सी के लिए सत्य है यदि और केवल यदि σ<sup>op</sup> C के लिए सत्य है<sup>ऊपर</sup>.{{sfn|Mac Lane|1978|p=33}}{{sfn|Awodey|2010|p=53-55}}
द्वंद्व यह अवलोकन होता है कि σ कुछ श्रेणी सी के लिए सत्य है और यदि σ<sup>ओपी</sup> ,सी<sup>ओपी</sup> के लिए सत्य होता है।{{sfn|Mac Lane|1978|p=33}}{{sfn|Awodey|2010|p=53-55}}


==उदाहरण==
==उदाहरण==


* एक रूपवाद <math>f\colon A \to B</math> यदि [[एकरूपता]] है <math>f \circ g = f \circ h</math> तात्पर्य <math>g=h</math>. दोहरा ऑपरेशन करने पर हमें यह कथन मिलता है कि <math>g \circ f = h \circ f</math> तात्पर्य <math>g=h.</math> रूपवाद के लिए <math>f\colon B \to A</math>, एफ के लिए [[एपिमोर्फिज्म]] होने का ठीक यही कारण है। संक्षेप में, एकरूपता होने की संपत्ति एपिमोर्फिज्म होने की संपत्ति से दोहरी है।
* रूपवाद <math>f\colon A \to B</math> यदि [[एकरूपता]] है <math>f \circ g = f \circ h</math> तात्पर्य <math>g=h</math>. दोहरा ऑपरेशन करने पर हमें यह कथन मिलता है कि <math>g \circ f = h \circ f</math> जिसका तात्पर्य <math>g=h.</math> होता है। इस प्रकार रूपवाद के लिए <math>f\colon B \to A</math>, एफ के लिए [[एपिमोर्फिज्म]] होने का ठीक यही कारण होता है। अतः संक्षेप में, एकरूपता होने की संपत्ति एपिमोर्फिज्म होने की संपत्ति से दोहरी होती है।


द्वंद्व को क्रियान्वित करने पर, इसका कारण यह है कि कुछ श्रेणी सी में रूपवाद मोनोमोर्फिज्म है यदि और केवल यदि विपरीत श्रेणी सी में विपरीत रूपवाद है<sup>op</sup> प्रतीकवाद है।
द्वंद्व को क्रियान्वित करने पर, इसका कारण यह होता है कि कुछ श्रेणी सी में रूपवाद मोनोमोर्फिज्म है और यदि विपरीत श्रेणी सी<sup>ओपी</sup> में विपरीत रूपवाद और प्रतीकवाद होता है।


* असमानताओं की दिशा को आंशिक क्रम में उलटने से उदाहरण मिलता है। इसलिए यदि X समुच्चय (गणित) है और ≤ आंशिक क्रम संबंध है, तब हम नया आंशिक क्रम संबंध परिभाषित कर सकते हैं ≤<sub>new</sub> द्वारा
* असमानताओं की दिशा को आंशिक क्रम में उलटने से उदाहरण मिलता है। इसलिए यदि X समुच्चय (गणित) है और ≤ आंशिक क्रम संबंध होता है, तब हम नया आंशिक क्रम संबंध परिभाषित कर सकते हैं ≤<sub>नये</sub> द्वारा


:: x ≤<sub>new</sub> y यदि और केवल यदि y ≤ x.
:: x ≤<sub>new</sub> y और यदि y ≤ x.


ऑर्डर पर यह उदाहरण विशेष मामला है, क्योंकि आंशिक ऑर्डर निश्चित प्रकार की श्रेणी से मेल खाते हैं जिसमें होम (ए, बी) में अधिकतम तत्व हो सकता है। तर्क के अनुप्रयोगों में, यह निषेध का बहुत ही सामान्य विवरण जैसा दिखता है (अर्थात, प्रमाण विपरीत दिशा में चलते हैं)। उदाहरण के लिए, यदि हम [[जाली सिद्धांत]] के विपरीत लेते हैं, तब हम पाएंगे कि मिलने और जुड़ने की भूमिकाएं आपस में बदल जाती हैं। यह डी मॉर्गन के नियमों या जालकों पर क्रियान्वित [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] का अमूर्त रूप है।
ऑर्डर पर यह उदाहरण विशेष स्थिति होती है, जिससे कि आंशिक ऑर्डर निश्चित प्रकार की श्रेणी से मेल खाते हैं जिसमें होम (ए, बी) में अधिकतम तत्व हो सकता है। इस प्रकार तर्क के अनुप्रयोगों में, यह निषेध का बहुत ही सामान्य विवरण जैसा दिखता है (अर्थात्, प्रमाण विपरीत दिशा में चलते हैं)। उदाहरण के लिए, यदि हम [[जाली सिद्धांत]] के विपरीत लेते हैं, तब हम पाते है कि मिलने और जुड़ने की भूमिकाएं आपस में परिवर्तित हो जाती हैं। यह डी मॉर्गन के नियमों या जालकों पर क्रियान्वित [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] का अमूर्त रूप होता है।


* [[सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] और सीमा (श्रेणी सिद्धांत) दोहरी धारणाएं हैं।
* [[सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] और सीमा (श्रेणी सिद्धांत) दोहरी धारणाएं होती हैं।
* [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] और होमोटोपी सिद्धांत में [[कंपन]] और सह-फ़िब्रेशन दोहरी धारणाओं के उदाहरण हैं। इस संदर्भ में, द्वैत को अधिकांशतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।
* [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] और होमोटोपी सिद्धांत में [[कंपन]] और सह-फ़िब्रेशन दोहरी धारणाओं के उदाहरण हैं। इस संदर्भ में, द्वैत को अधिकांशतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।


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* {{Cite book|title=कार्यरत गणितज्ञ के लिए श्रेणियाँ|last=मैक लेन|first=सॉन्डर्स|date=1978|publisher=स्प्रिंगर न्यूयॉर्क|isbn=1441931236|edition=द्वितीय|location=न्यूयॉर्क, एनवाई|pages=33|oclc=851741862}}
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Latest revision as of 12:35, 28 July 2023

For गणित में द्वैत की सामान्य धारणाएँ, see द्वैत (गणित).

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की शाखा, द्वंद्व श्रेणी सी के गुणों और विपरीत श्रेणी सीओपी के दोहरे गुणों के मध्य पत्राचार होता है। इस प्रकार श्रेणी सी के संबंध में कथन दिया गया है, अतः प्रत्येक रूपवाद के स्रोत और लक्ष्य को आपस में परिवर्तित करके साथ-साथ दो रूपवादों की रचना के क्रम को आपस में परिवर्तित, विपरीत श्रेणी सीओपी के संबंध में संबंधित दोहरा कथन प्राप्त होता है। सामान्यतः द्वंद्व, इस प्रकार, यह प्रामाणित होता है कि कथनों पर इस ऑपरेशन के अनुसार सत्य अपरिवर्तनीय होता है। चूँकि दूसरे शब्दों में, यदि कोई कथन सी के बारे में सत्य होता है, तब उसका दोहरा कथन सीओपी के बारे में सत्य होता है। अतः साथ ही, यदि कोई कथन सी के बारे में गलत होता है, तब उसका द्वैत सीओपी के बारे में गलत होता है।

सामान्यतः ठोस श्रेणी सी को देखते हुए, अधिकांशतः यह स्थिति होती है कि विपरीत श्रेणी सीओपी वास्तव में अमूर्त होती है। इस प्रकार सीओपी को गणितीय अभ्यास से उत्पन्न होने वाली श्रेणी होने की आवश्यकता नहीं होती है। इस स्थितियों में, अन्य श्रेणी डी को भी सी के साथ द्वंद्व में कहा जाता है यदि डी और सीओपी श्रेणियों की समतुल्यता होती है।

उस स्थिति में जब सी और उसके विपरीत सीओपी समतुल्य हैं, ऐसी श्रेणी स्व-द्वैत होती है।[1]

औपचारिक परिभाषा

हम श्रेणी सिद्धांत की प्रारंभिक भाषा को वस्तुओं और रूपवादों के साथ दो-क्रमबद्ध प्रथम क्रम की भाषा के रूप में परिभाषित करते हैं, अतः साथ ही वस्तु के संबंध रूपवाद का स्रोत या लक्ष्य और दो रूपवादों की रचना के लिए प्रतीक के रूप में परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए कि σ इस भाषा में कोई कथन होता है। इस प्रकार हम दोहरी σओपी बनाते हैं, जो इस प्रकार होते है:

  1. σ में स्रोत की प्रत्येक घटना को लक्ष्य के साथ परिवर्तित करते है।
  2. आकृतियों की रचना के क्रम को परिवर्तित करते है। अर्थात्, प्रत्येक घटना को और के साथ प्रतिस्थापित करते है।

अनौपचारिक रूप से, यह स्थितियाँ बताती हैं कि किसी कथन का द्वैत रूपवाद और कार्य संरचना को उलट कर बनता है।

द्वंद्व यह अवलोकन होता है कि σ कुछ श्रेणी सी के लिए सत्य है और यदि σओपी ,सीओपी के लिए सत्य होता है।[2][3]

उदाहरण

  • रूपवाद यदि एकरूपता है तात्पर्य . दोहरा ऑपरेशन करने पर हमें यह कथन मिलता है कि जिसका तात्पर्य होता है। इस प्रकार रूपवाद के लिए , एफ के लिए एपिमोर्फिज्म होने का ठीक यही कारण होता है। अतः संक्षेप में, एकरूपता होने की संपत्ति एपिमोर्फिज्म होने की संपत्ति से दोहरी होती है।

द्वंद्व को क्रियान्वित करने पर, इसका कारण यह होता है कि कुछ श्रेणी सी में रूपवाद मोनोमोर्फिज्म है और यदि विपरीत श्रेणी सीओपी में विपरीत रूपवाद और प्रतीकवाद होता है।

  • असमानताओं की दिशा को आंशिक क्रम में उलटने से उदाहरण मिलता है। इसलिए यदि X समुच्चय (गणित) है और ≤ आंशिक क्रम संबंध होता है, तब हम नया आंशिक क्रम संबंध परिभाषित कर सकते हैं ≤नये द्वारा
x ≤new y और यदि y ≤ x.

ऑर्डर पर यह उदाहरण विशेष स्थिति होती है, जिससे कि आंशिक ऑर्डर निश्चित प्रकार की श्रेणी से मेल खाते हैं जिसमें होम (ए, बी) में अधिकतम तत्व हो सकता है। इस प्रकार तर्क के अनुप्रयोगों में, यह निषेध का बहुत ही सामान्य विवरण जैसा दिखता है (अर्थात्, प्रमाण विपरीत दिशा में चलते हैं)। उदाहरण के लिए, यदि हम जाली सिद्धांत के विपरीत लेते हैं, तब हम पाते है कि मिलने और जुड़ने की भूमिकाएं आपस में परिवर्तित हो जाती हैं। यह डी मॉर्गन के नियमों या जालकों पर क्रियान्वित द्वैत (आदेश सिद्धांत) का अमूर्त रूप होता है।

  • सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और सीमा (श्रेणी सिद्धांत) दोहरी धारणाएं होती हैं।
  • बीजगणितीय टोपोलॉजी और होमोटोपी सिद्धांत में कंपन और सह-फ़िब्रेशन दोहरी धारणाओं के उदाहरण हैं। इस संदर्भ में, द्वैत को अधिकांशतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Jiří Adámek; J. Rosicky (1994). स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य और सुलभ श्रेणियाँ. Cambridge University Press. p. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
  2. ↑ Mac Lane 1978, p. 33.
  3. ↑ Awodey 2010, p. 53-55.
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