मल्टीमॉडल वितरण: Difference between revisions

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चित्र 1. सरल द्विमोडल वितरण, इस स्थिति में समान विचरण यघपि भिन्न-भिन्न साधनों के साथ दो सामान्य वितरण का मिश्रण वितरण होता है। यह आंकड़ा संभाव्यता घनत्व फलन (पी.डी.एफ.) दिखाता है, जो दो सामान्य वितरणों के घंटी के आकार के पी.डी.एफ. का समान रूप से भारित औसत होता है। यदि भार समान नहीं थे, तो परिणामी वितरण अभी भी द्वि-मोडल हो सकता है, यघपि विभिन्न ऊंचाइयों की चोटियों के साथ।

चित्र 2. द्विमोडल वितरण।

चित्र 3. द्विचर, बहुविध वितरण

सांख्यिकी में, मल्टीमॉडल वितरण एक से अधिक मोड (सांख्यिकी) वाला संभाव्यता वितरण होता है। ये संभाव्यता घनत्व फलन में भिन्न-भिन्न शिखरों (स्थानीय मैक्सिमा) के रूप में दिखाई देते हैं, जैसा कि चित्र 1और 2 में दिखाया गया है। श्रेणीबद्ध, सतत और असतत डेटा सभी मल्टीमॉडल वितरण बना सकते हैं। अविभाज्य विश्लेषणों में, मल्टीमॉडल वितरण सामान्यतः द्विमोडल होते हैं।

शब्दावली

जब दो मोड असमान होते हैं तो बड़े मोड को प्रमुख मोड और दूसरे को लघु मोड के रूप में जाना जाता है। मोड के मध्य सबसे कम बारंबार मान को प्रतिमोड के रूप में जाना जाता है। प्रमुख और लघु मोड के मध्य के अंतर को आयाम के रूप में जाना जाता है। समय श्रृंखला में प्रमुख मोड को एक्रोफ़ेज़ और प्रतिमोड को बैटीफ़ेज़ कहा जाता है।

गाल्टुंग का वर्गीकरण

गाल्टुंग ने वितरण के लिए वर्गीकरण प्रणाली (एजेयूएस) प्रारम्भ की थी:^[1]

ए: यूनिमॉडल वितरण - मध्य में शिखर
जे: यूनिमॉडल - दोनों छोर पर शिखर
यू: बिमोडल - दोनों सिरों पर शिखर
एस: बिमॉडल या मल्टीमॉडल - एकाधिक शिखर

इस वर्गीकरण को तब से लेकर अब तक थोड़ा संशोधित किया गया है:

जे: (संशोधित) - दाईं ओर शिखर
एल: यूनिमॉडल - बाईं ओर शिखर
एफ: कोई शिखर नहीं (समतल)

इस वर्गीकरण के तहत द्विमोडल वितरण को प्रकार एस या यू के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

उदाहरण

गणित और प्राकृतिक विज्ञान दोनों में द्विमोडल वितरण होते हैं।

संभावना वितरण

महत्वपूर्ण द्विमोडल वितरणों में आर्क्साइन वितरण और बीटा वितरण सम्मलित होता हैं (यदि दोनों पैरामीटर ए और बी 1 से कम होते हैं)। अन्य में यू-द्विघात वितरण सम्मलित होता है।

दो सामान्य वितरणों का अनुपात भी द्विमासिक रूप से वितरित किया जाता है।

R={\frac {a+x}{b+y}}

जहाँ a और b स्थिर हैं और x और y को 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ सामान्य चर के रूप में वितरित किया जाता है। यह R में ज्ञात घनत्व है जिसे संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।^[2]

वितरित यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का वितरण द्विमोडल होता है जब स्वतंत्रता की डिग्री से अधिक होती है। इसी प्रकार सामान्य रूप से वितरित चर का व्युत्क्रम भी द्विमासिक रूप से वितरित होता है।

कॉची वितरण से प्राप्त डेटा समुच्चय से उत्पन्न आँकड़ा द्वि-मोडल होता है।^[3]

प्रकृति में घटनाएँ

बिमोडल वितरण वाले चर के उदाहरणों में कुछ गीजर के विस्फोटों के मध्य का समय, आकाशगंगाओं रंग-परिमाण आरेख, श्रमिक वेवर चींटियों का आकार, हॉजकिन के लिंफोमा की घटना की उम्र, अमेरिकी वयस्कों में दवा आइसोनियाज़िड की निष्क्रियता की गति, पूर्ण परिमाण सम्मलित होता हैं। नोवा,और उन सांध्य जानवरों के सर्कैडियन लय पैटर्न जो सुबह और शाम गोधूलि दोनों में सक्रिय होते है। मत्स्य विज्ञान में मल्टीमॉडल लंबाई वितरण विभिन्न वर्ष वर्गों को प्रदर्शित करता हैं और इस प्रकार मछली की आपश्चात्क आयु वितरण और वृद्धि प्राक्लन के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।^[4] तलछट सामान्यतः द्वि-मोडल विधि से वितरित होते हैं। जब होस्ट चट्टान और खनिजयुक्त शिराओं को पार करते हुए खनन दीर्घाओं का प्रतिरूप लिया जाता है, तो भू-रासायनिक चर का वितरण द्वि-मोडल प्राप्त होता है। ट्रैफिक विश्लेषण में बिमॉडल वितरण भी देखा जाता है, जहाँ सुबह के व्यस्त समय के अवधि और फिर अपराह्न के व्यस्त समय के अवधि ट्रैफिक चरम पर होता है। यह घटना दैनिक जल वितरण में भी देखी जाती है, क्योंकि वर्षा, खाना पकाने और शौचालय के उपयोग के रूप में पानी की मांग सामान्यतः सुबह और शाम के समय चरम पर होती है।

अर्थमिति

अर्थमितीय मॉडल में, पैरामीटरों को द्वि-मॉडल रूप से वितरित किया जा सकता है।^[5]

उत्पत्ति

गणितीय

द्विमोडल वितरण सामान्यतः दो भिन्न-भिन्न यूनिमोडल वितरणों (अर्थात् मात्र मोड वाले वितरण) के मिश्रण के रूप में उत्पन्न होता है। दूसरे शब्दों में, द्विविध रूप से वितरित यादृच्छिक चर X को $Y$ संभाव्यता के साथ $\alpha$ या $Z$ संभाव्यता के साथ $(1-\alpha )$ इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहाँ Y और Z एक-मॉडल यादृच्छिक चर और $0<\alpha <1$ मिश्रण गुणांक होते है।

दो भिन्न-भिन्न घटकों वाले मिश्रणों को द्वि-मॉडल होने की आवश्यकता नहीं होती है और यूनिमॉडल घटक घनत्व वाले दो घटक मिश्रणों में दो से अधिक मोड हो सकते हैं। मिश्रण में घटकों की संख्या और परिणामी घनत्व के विधियो की संख्या के मध्य कोई तत्क्षण संबंध नहीं होते है।

विशेष वितरण

डेटा समुच्चय में बार-बार होने के पश्चात् भी, बिमोडल वितरण का अध्ययन संभवतया ही कभी किया जाता है। ऐसा फ़्रीक्वेंटिस्ट या बायेसियन विधियों से उनके मापदंडों का प्राक्लन लगाने में आने वाली कठिनाइयों के कारण हो सकता है। उनमें से जिनका अध्ययन किया गया है वह निम्न प्रकार है

द्विमोडल घातीय वितरण।^[6]
अल्फा-परोक्ष-सामान्य वितरण।^[7]
बिमोडल परोक्ष-सममित सामान्य वितरण।^[8]
कॉनवे-मैक्सवेल-पॉइसन वितरण का मिश्रण बिमोडल गणना डेटा में स्थापित किया गया है।^[9]

चरम आपदा वितरण में जैव विविधता भी स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है।

जीवविज्ञान

जीव विज्ञान में जनसंख्या आकार के द्वि-मोडल वितरण में योगदान देने के लिए पांच कारकों को जाना जाता है:

व्यक्तिगत आकारों का प्रारंभिक वितरण
व्यक्तियों के मध्य विकास दर का वितरण
प्रत्येक व्यक्ति की विकास दर का आकार और समय पर निर्भरता
मृत्यु दर जो प्रत्येक आकार वर्ग को भिन्न-भिन्न प्रभावित कर सकती है
मानव और चूहे जीनोम में डीएनए मिथाइलेशन।

वेवर चींटी श्रमिकों के आकार का द्वि-मोडल वितरण श्रमिकों के दो भिन्न-भिन्न वर्गों, अर्थात् प्रमुख श्रमिकों और छोटे श्रमिकों के अस्तित्व के कारण उत्पन्न होता है।^[10] दोनों संपूर्ण जीनोम के लिए उत्परिवर्तन के फिटनेस प्रभावों का वितरण^[11]^[12] और व्यक्तिगत जीन^[13] यह अधिकांशतः द्वि-मोडल भी पाया जाता है, अधिकांश उत्परिवर्तन या तो तटस्थ या घातक होते हैं और अपेक्षाकृत कुछ का मध्यवर्ती प्रभाव होता है।

सामान्य गुण

भिन्न-भिन्न साधनों वाले दो एकमोडल वितरणों का मिश्रण आवश्यक रूप से द्विमोडल नहीं होता है। पुरुषों और महिलाओं की ऊंचाई के संयुक्त वितरण को कभी-कभी द्वि-मॉडल वितरण के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है, यघपि वास्तव में पुरुषों और महिलाओं की औसत ऊंचाई में अंतर उनके मानक विचलन के सापेक्ष बहुत छोटा होता है, जब दो वितरण वक्र संयुक्त होते हैं तो द्वि-मॉडलिटी उत्पन्न होती है।^[14]

बिमोडल वितरण में एक विचित्र गुण होता है - यूनिमॉडल वितरण के विपरीत - माध्य माध्यिका की तुलना में अधिक सशक्त प्रतिरूप प्राक्लनक हो सकता है।^[15] यह स्पष्ट रूप से एक स्थिति होती है जब वितरण आर्कसाइन वितरण के समरूप यू आकार का होता है। यह तब तक सत्य नहीं हो सकता जब तक वितरण में या अधिक लंबी पूँछें उपस्थित हों।

मिश्रण के क्षण

मान लीजिये

f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)\,

जहाँ g_i संभाव्यता वितरण और p मिश्रण पैरामीटर होता है।

f(x) के क्षण निम्न प्रकार होता हैं^[16]

\mu =p\mu _{1}+(1-p)\mu _{2}

\nu _{2}=p[\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{2}]+(1-p)[\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{2}]

\nu _{3}=p[S_{1}\sigma _{1}^{3}+3\delta _{1}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{3}]+(1-p)[S_{2}\sigma _{2}^{3}+3\delta _{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{3}]

\nu _{4}=p[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\delta _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{4}]+(1-p)[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3}+6\delta _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{4}]

जहाँ

\mu =\int xf(x)\,dx

\delta _{i}=\mu _{i}-\mu

\nu _{r}=\int (x-\mu )^{r}f(x)\,dx

और S_i और K_i विषमता और कुर्टोसिस का i^th वितरण होता है।

दो सामान्य वितरणों का मिश्रण

ऐसी स्थितियों का सामना करना असामान्य नहीं होता है जहाँ अन्वेषक का मानना है कि डेटा दो सामान्य वितरणों के मिश्रण से आता है। इस कारण इस मिश्रण का कुछ विस्तार से अध्ययन किया गया है।^[17]

दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में प्राक्लन लगाने के लिए पांच पैरामीटर होते हैं: दो साधन, दो भिन्नताएं और मिश्रण पैरामीटर। समान मानक विचलन वाले दो सामान्य वितरणों का मिश्रण मात्र तभी द्विमोडल होता है, जब उनके माध्य सामान्य मानक विचलन से कम से कम दोगुने से भिन्न हों।^[14]यदि भिन्नताओं को समान माना जा सकता है (समलैंगिकता केस) तो मापदंडों का प्राक्लन सरल हो जाता है।

यदि दो सामान्य वितरणों के साधन समान्तर होती हैं, तो संयुक्त वितरण एकमोडल होता है। इस प्रकार संयुक्त वितरण की एकरूपता के लिए उदेश्य ईसेनबर्गर द्वारा निकाली गई थीं।^[18] सामान्य वितरणों के मिश्रण के द्वि-मोडल होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियों की पहचान रे और लिंडसे द्वारा की गई थी।^[19]न्यूनाधिक समान द्रव्यमान वाले दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में नकारात्मक कर्टोसिस होता है क्योंकि द्रव्यमान के केंद्र के दोनों ओर के दो मोड प्रभावी रूप से वितरण की पूंछ को कम कर देते हैं।

अत्यधिक असमान द्रव्यमान वाले दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में सकारात्मक कर्टोसिस होता है क्योंकि छोटा वितरण अधिक प्रभावी सामान्य वितरण की अंतिम भाग को लंबा कर देता है।

अन्य वितरणों के मिश्रण का प्राक्लन लगाने के लिए अतिरिक्त मापदंडों की आवश्यकता होती है।

एकरूपता के लिए परीक्षण

जब मिश्रण के घटकों में समान भिन्नताएं हों तो मिश्रण एक-मोडल होता है यदि और मात्र यदि^[20]

d\leq 1

या

\left\vert \log(1-p)-\log(p)\right\vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},

जहाँ p मिश्रण पैरामीटर होता है और

d={\frac {\left\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right\vert }{2\sigma }},

जहाँ μ₁ और μ₂ दो सामान्य वितरणों के साधन और σ उनका मानक विचलन होता है।

केस p = 1/2 के लिए निम्नलिखित परीक्षण का वर्णन शिलिंग एट अल द्वारा किया गया था।^[14]मान लीजिये

r={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.

जहाँ पृथक्करण कारक (S) होता है

S={\frac {\sqrt {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2(1-r+r^{2})^{1.5}}}{{\sqrt {r}}(1+{\sqrt {r}})}}.

यदि प्रसरण समान हैं तो S = 1 होता है। मिश्रण घनत्व एकमापक होता है यदि और मात्र यदि

|\mu _{1}-\mu _{2}|<S|\sigma _{1}+\sigma _{2}|.

एकरूपता के लिए पर्याप्त नियम होता है^[21]

|\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\min(\sigma _{1},\sigma _{2}).

यदि दो सामान्य वितरणों में समान मानक विचलन $\sigma$ होता हैं तो एकरूपता के लिए पर्याप्त नियम होता है^[21]

|\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\sigma {\sqrt {1+{\frac {|\log p-\ln(1-p)|}{2}}}}.

सारांश आँकड़े

बिमोडल वितरण इस बात का सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला उदाहरण होता है कि किसी अनैतिक वितरण पर उपयोग किए जाने पर माध्य, माध्यिका और मानक विचलन जैसे सारांश आँकड़े कैसे भ्रामक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 1 में वितरण में, माध्य और मध्यिका न्यूनाधिक शून्य होगी, तथापि शून्य विशिष्ट मान नहीं होते है। मानक विचलन भी प्रत्येक सामान्य वितरण के विचलन से बड़ा होता है।

यघपि कई सुझाव दिए गए हैं, सामान्य द्विमोडल वितरण के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए वर्तमान में कोई सामान्यतः सहमत सारांश आँकड़ा (या आँकड़ों का समुच्चय) नहीं होता है। दो सामान्य वितरणों के मिश्रण के लिए मिश्रण पैरामीटर (संयोजन के लिए वजन) के साथ-साथ साधन और मानक विचलन का सामान्यतः उपयोग किया जाता है - कुल पांच पैरामीटर।

अशमन का D

आँकड़ा जो उपयोगी हो सकता है वह है एशमैन का D होता है:^[22]

D=(2^{\frac {1}{2}}){\frac {\left|\mu _{1}-\mu _{2}\right|}{\sqrt {(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}

जहाँ μ₁, μ₂ साधन और σ₁, σ₂ मानक विचलन होते हैं।

दो सामान्य वितरणों के मिश्रण के लिए वितरणों के स्वच्छ पृथक्करण के लिए D > 2 की आवश्यकता होती है।

वैन डेर ईज्क का A

यह माप आवृत्ति वितरण की सहमति की डिग्री का भारित औसत होता है।^[23] A की सीमा -1 (पूर्ण द्विरूपता) से +1 (पूर्ण एकरूपता) तक होती है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

A=U(1-{\frac {S-1}{K-1}})

जहाँ U वितरण की एकरूपता होती है, S उन श्रेणियों की संख्या है जिनमें शून्येतर आवृत्तियाँ और K श्रेणियों की कुल संख्या होती है।

यदि वितरण में निम्नलिखित तीन विशेषताओं में से कोई एक होती है तो U का मान 1 होता है:

सभी प्रतिक्रियाएँ एक ही श्रेणी में होती हैं
प्रतिक्रियाएं सभी श्रेणियों के मध्य समान रूप से वितरित की जाती हैं
प्रतिक्रियाएं दो या दो से अधिक सन्निहित श्रेणियों के मध्य समान रूप से वितरित की जाती हैं, अन्य श्रेणियों में शून्य प्रतिक्रियाएं होती हैं

इनके अतिरिक्त अन्य वितरणों के साथ डेटा को 'परतों' में विभाजित किया जाना चाहिए। इस प्रकार परत के भीतर प्रतिक्रियाएँ या तो समान्तर या शून्य होती हैं। श्रेणियों को सन्निहित होना आवश्यक नहीं होता है। प्रत्येक परत(A_i) के लिए A के मान की गणना की जाती है और वितरण के लिए भारित औसत निर्धारित किया जाता है। वज़न (w_i) प्रत्येक परत के लिए उस परत में प्रतिक्रियाओं की संख्या होती है। प्रतीकों में

A_{overall}=\sum w_{i}A_{i}

समान वितरण (असतत) में A = 0 होता है: जब सभी प्रतिक्रियाएँ श्रेणी A = +1 में आती हैं।

इस सूचकांक के साथ सैद्धांतिक समस्या यह है कि यह मानता है कि अंतराल समान दूरी पर होते हैं। इससे इसकी प्रयोज्यता सीमित हो सकती है।

बिमोडल पृथक्करण

यह सूचकांक मानता है कि वितरण माध्य (μ1 और μ2) और मानक विचलन (σ1 और σ2) के साथ दो सामान्य वितरण का मिश्रण होता है।:^[24]

S={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{2(\sigma _{1}+\sigma _{2})}}

द्विविधता गुणांक

सरले का द्विविधता गुणांक b होता है^[25]

\beta ={\frac {\gamma ^{2}+1}{\kappa }}

जहाँ γ विषमता होती है और κ कर्टोसिस होता है। यहां कर्टोसिस को माध्य के आसपास मानकीकृत चौथे क्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है। b का मान 0 और 1 के मध्य होता है।^[26] इस गुणांक के पीछे तर्क यह होता है कि हल्की पूंछ वाले द्वि-मोडल वितरण में बहुत कम कर्टोसिस, असममित चरित्र, या दोनों होंगे - जो सभी इस गुणांक को बढ़ाते हैं।

परिमित प्रतिरूप का सूत्र निम्न प्रकार होता है^[27]

b={\frac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}

जहाँ n प्रतिरूप में वस्तुओं की संख्या है, g प्रतिरूप विषमता और k नमूना अतिरिक्त कर्टोसिस होता है।

समान वितरण (निरंतर) के लिए b का मान 5/9 होता है। यह घातीय वितरण के लिए इसका मूल्य भी होता है। 5/9 से अधिक मान द्विमॉडल या मल्टीमॉडल वितरण का संकेत दे सकते हैं, यघपि संबंधित मान भारी विषम यूनिमॉडल वितरण का परिणाम भी हो सकते हैं।^[28] अधिकतम मूल्य (1.0) मात्र बर्नौली वितरण द्वारा मात्र दो भिन्न-भिन्न मूल्यों या दो भिन्न-भिन्न डिराक डेल्टा फलन (द्वि-डेल्टा वितरण) के योग के साथ पहुंचता है।

इस आँकड़े का वितरण अज्ञात है। यह पियर्सन द्वारा पहले प्रस्तावित आँकड़े से संबंधित होता है - कर्टोसिस और परोक्षपन के वर्ग के मध्य का अंतर (इन्फ्रा के माध्यम से) होता है।

द्विविधता आयाम

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है^[24]

A_{B}={\frac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}

जहाँ A₁ छोटे शिखर का आयाम और A_an एंटीमोड का आयाम होता है।

A_B सदैव <1 होता है। बड़े मान अधिक विशिष्ट शिखर प्रदर्शित करता हैं।

बिमोडल अनुपात

यह बाएँ और दाएँ शिखर का अनुपात होता है।^[24]गणितीय

R={\frac {A_{r}}{A_{l}}}

जहाँ A_l और A_r क्रमशः बाएँ और दाएँ शिखर के आयाम होते हैं।

द्विमोडैलिटी पैरामीटर

यह पैरामीटर (B) विलकॉक के कारण होता है।^[29]

B={\sqrt {\frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum P_{i}

जहाँ A_l और A_r क्रमशः बाएँ और दाएँ शिखर के आयाम होते हैं और P_i iवें अंतराल मे वितरण के अनुपात के आधार 2 पर लिया गया लघुगणक होता है। ΣP का अधिकतम मान 1 होता है यघपि B का मान इससे अधिक हो सकता है।

इस सूचकांक का उपयोग करने के लिए, मानों का लॉग लिया जाता है। फिर डेटा को चौड़ाई के अंतराल में विभाजित किया जाता है जिसका मान लॉग 2 होता है। चोटियों की चौड़ाई उनके अधिकतम मूल्यों पर केंद्रित चार गुना 1/4Φ मानी जाती है।

द्विविधता सूचकांक

वांग का सूचकांक

वांग एट अल द्वारा प्रस्तावित द्विविधता सूचकांक मानता है कि वितरण समान भिन्नताओं यघपि भिन्न-भिन्न साधनों के साथ दो सामान्य वितरणों का योग होता है।^[30] इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\delta ={\frac {|\mu _{1}-\mu _{2}|}{\sigma }}

जहाँ μ₁, μ₂ साधन और σ सामान्य मानक विचलन होता है।

BI=\delta {\sqrt {p(1-p)}}

जहाँ p मिश्रण पैरामीटर होता है।

स्टुर्रोक का सूचकांक

स्टुर्रोक द्वारा अलग जैव-मॉडलिटी सूचकांक प्रस्तावित किया गया है।^[31]

इस सूचकांक (B) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

B={\frac {1}{N}}\left[\left(\sum _{1}^{N}\cos(2\pi m\gamma )\right)^{2}+\left(\sum _{1}^{N}\sin(2\pi m\gamma )\right)^{2}\right]

जब m = 2 और γ को समान रूप से वितरित किया जाता है, तो B को चरघातांकीय रूप से वितरित किया जाता है।^[32]

यह आँकड़ा आवर्त सारणी का रूप होता है। यह आँकड़ों के इस रूप में आम प्राक्लन और वर्णक्रमीय रिसाव की सामान्य समस्याओं से ग्रस्त होता है।

डी मिशेल और एकाटिनो का सूचकांक

डी मिशेल और एकाटिनो द्वारा और जैव-मॉडलिटी सूचकांक प्रस्तावित किया जाता है।^[33] इनका सूचकांक (B) होता है

B=|\mu -\mu _{M}|

जहाँ μ प्रतिरूप का अंकगणितीय माध्य होता है और

\mu _{M}={\frac {\sum _{i=1}^{L}m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{L}m_{i}}}

जहाँ m_i i^th बिन में डेटा बिंदुओं की संख्या है, x_{i \} i^th बिन का केंद्र होता L बिन की संख्या होती है।

लेखकों ने बाइमोडल (बी > 0.1) और यूनिमॉडल (बी <0.1) वितरण के मध्य अंतर करने के लिए बी के लिए 0.1 के कट-ऑफ मान का सुझाव दिया जाता है। इस मूल्य के लिए कोई सांख्यिकीय औचित्य प्रस्तुत नहीं किया गया है।

सैमब्रूक स्मिथ का सूचकांक

सैम्ब्रुक स्मिथ एट अल द्वारा और सूचकांक (B) प्रस्तावित किया गया है^[34]

$B=|\phi _{2}-\phi _{1}|{\frac {p_{2}}{p_{1}}}$

जहाँ p₁ और p₂ प्राथमिक (अधिक आयाम वाले) और द्वितीयक (कम आयाम वाले) मोड और φ में निहित अनुपात φ₁ और φ₂ प्राथमिक और द्वितीयक मोड के φ-आकार होते हैं। φ-आकार को आधार 2 पर लिए गए डेटा आकार के लॉग के गुना से कम के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस परिवर्तन का उपयोग सामान्यतः तलछट के अध्ययन में किया जाता है।

लेखकों ने 1.5 के कट-ऑफ मान की विनती की, जिसमें B द्वि-मॉडल वितरण के लिए 1.5 से अधिक और यूनिमॉडल वितरण के लिए 1.5 से कम होता है। इस मूल्य के लिए कोई सांख्यिकीय औचित्य नहीं दिया जाता है।

ओत्सु की विधि

दो मोड के मध्य पृथक्करण की सीमा अन्वेषण के लिए ओत्सु की विधि मात्रा को कम करने पर निर्भर करती है

{\frac {n_{1}\sigma _{1}^{2}+n_{2}\sigma _{2}^{2}}{m\sigma ^{2}}}

जहाँ n_i i^th उप-जनसंख्या में डेटा बिंदुओं की संख्या है, σ_i² i^th उप-जनसंख्या का विचरण है, m प्रतिरूप का कुल आकार होता है और σ² नमूना विचरण होता है। कुछ शोधकर्ताओं (विशेष रूप से डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग के क्षेत्र में) ने इस मात्रा को द्विरूपता का पता लगाने के लिए सूचकांक के रूप में अधिक व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है, जिसमें छोटा मान अधिक द्विमोडल वितरण का संकेत देता है।^[35]

सांख्यिकीय परीक्षण

यह निर्धारित करने के लिए कई परीक्षण उपलब्ध होता हैं कि डेटा समुच्चय को द्विमॉडल (या मल्टीमॉडल) फैशन में वितरित किया गया है या नहीं।

ग्राफ़िकल विधियाँ

तलछट के अध्ययन में, कण का आकार अधिकांशतः द्वि-मोडल होता है। अनुभवजन्य रूप से, कणों के लॉग (आकार) के विरुद्ध आवृत्ति को प्लॉट करना उपयोगी पाया गया है।^[36]^[37] इस प्रकार यह सामान्यतः कणों को द्विमोडल वितरण में स्पष्ट पृथक्करण देता है। भूवैज्ञानिक अनुप्रयोगों में लघुगणक को सामान्यतःआधार 2 पर ले जाया जाता है। लॉग रूपांतरित मानों को फाई (Φ) इकाइयों के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रणाली को अनाज के आकार (या फाई) पैमाने के रूप में जाना जाता है।

वैकल्पिक विधि संचयी आवृत्ति के विरुद्ध कण आकार के लॉग को प्लॉट करता है। इस ग्राफ़ में सामान्यतः एंटीमोड के अनुरूप कनेक्टिंग लाइन के साथ दो उचित सीधी रेखाएं सम्मलित होती है।

सांख्यिकी

कई आँकड़ों के लिए प्राक्लनित मान ग्राफ़िक प्लॉट से प्राप्त किए जा सकते हैं।^[36]

{\mathit {Mean}}={\frac {\phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84}}{3}}

{\mathit {StdDev}}={\frac {\phi _{84}-\phi _{16}}{4}}+{\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{6.6}}

{\mathit {Skew}}={\frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}

{\mathit {Kurt}}={\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25})}}

जहाँ माध्य माध्य होता है, मानक विचलन होता है, परोक्ष परोक्षपन होता है, कर्ट कर्टोसिस होता है और φ_x x पर चर φ का मान होता है। ^.

यूनिमॉडल बनाम बाइमोडल वितरण

1894 में पियर्सन पहले व्यक्ति थे जिन्होंने यह परीक्षण करने के लिए प्रक्रिया तैयार की कि क्या वितरण को दो सामान्य वितरणों में हल किया जा सकता है।^[38] इस विधि के लिए नौवें क्रम के बहुपद के समाधान की आवश्यकता होती है। पश्चात् के पेपर में पियर्सन ने बताया कि किसी भी वितरण विषमता ² + 1 के लिए <कर्टोसिस होता है। ^[26]पश्चात् में पियर्सन ने यह सिद्ध भी किया था।^[39]

b_{2}-b_{1}\geq 1

जहाँ b₂ कुर्टोसिस है और b₁ परोक्षपन का वर्ग होता है। समानता मात्र दो बिंदु बर्नौली वितरण या दो भिन्न-भिन्न डिराक डेल्टा कार्यों के योग के लिए होता है। ये द्विरूपता के संभावित सबसे चरम स्थिति होती है । इन दोनों स्थितियों में कर्टोसिस 1 होती है। चूंकि वे दोनों सममित होते हैं, इसलिए उनकी विषमता 0 है और अंतर 1 होता है।

बेकर ने बाइमॉडल को यूनिमॉडल वितरण में बदलने के लिए परिवर्तन का प्रस्ताव रखा था।^[40]

एकरूपता विरूद्ध द्विरूपता के कई परीक्षण प्रस्तावित किए गए हैं: हाल्डेन ने दूसरे केंद्रीय अंतर के आधार पर का सुझाव दिया।^[41] लार्किन ने पश्चात् में एफ परीक्षण पर आधारित परीक्षण प्रस्तुत किया था;^[42] बेनेट ने जी-टेस्ट|फिशर के जेड टेस्ट के आधार पर इसको बनाया था।^[43] टोकेशी ने चौथे परीक्षण का प्रस्ताव रखा है।^[44]^[45] होल्ज़मैन और वोल्मर द्वारा संभावना अनुपात पर आधारित परीक्षण प्रस्तावित किया गया है।^[20]

स्कोर और वाल्ड परीक्षणों पर आधारित विधि प्रस्तावित की गई है।^[46] अंतर्निहित वितरण ज्ञात होने पर यह विधि यूनिमॉडल और बाइमोडल वितरण के मध्य अंतर कर सकती है।

एंटीमोड परीक्षण

एंटीमोड के लिए सांख्यिकीय परीक्षण ज्ञात होता हैं।^[47]

ओत्सु की विधि

दो वितरणों के मध्य श्रेष्ट पृथक्करण निर्धारित करने के लिए ओट्सू की विधि सामान्यतः कंप्यूटर ग्राफिक्स में नियोजित की जाती है।

सामान्य परीक्षण

यह जांचने के लिए कि क्या कोई वितरण यूनिमॉडल के अतिरिक्त है, कई अतिरिक्त परीक्षण तैयार किए गए हैं: बैंडविड्थ परीक्षण (मल्टीमॉडल),^[48]डिप परीक्षण,^[49] अतिरिक्त द्रव्यमान परीक्षण,^[50] एमएपी परीक्षण,^[51] मोड अस्तित्व परीक्षण, रन परीक्षण,^[52] स्पैन परीक्षण,^[53] और सैडल परीक्षण।

आर (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए डिप टेस्ट का कार्यान्वयन उपलब्ध होता है।^[54] डिप स्टेटिस्टिक मानों के लिए p-मान 0 और 1 के मध्य होते हैं। 0.05 से कम p-मान महत्वपूर्ण मल्टीमोडैलिटी को प्रदर्शित करते हैं और 0.05 से अधिक यघपि 0.10 से कम p-वैल्यू सीमांत महत्व के साथ मल्टीमोडैलिटी का संकेत देते हैं।^[55]

सिल्वरमैन का परीक्षण

सिल्वरमैन ने मोड की संख्या के लिए बूटस्ट्रैप विधि प्रस्तुत की थी।^[48] परीक्षण निश्चित बैंडविड्थ का उपयोग करता है जो परीक्षण की शक्ति और इसकी व्याख्या को कम कर देता है। सुचारू घनत्व के तहत अत्यधिक संख्या में मोड हो सकते हैं जिनकी बूटस्ट्रैपिंग के अवधि गिनती अस्थिर होती है।

बज्गीर-अग्रवाल परीक्षण

बाजगीर और अग्रवाल ने वितरण के कुर्टोसिस के आधार पर परीक्षण का प्रस्ताव दिया है।^[56]

विशेष स्थति

कई विशेष स्थिति के लिए अतिरिक्त परीक्षण उपलब्ध होते हैं:

दो सामान्य वितरणों का मिश्रण

दो सामान्य वितरण डेटा के मिश्रण घनत्व के अध्ययन में पाया गया कि दो सामान्य वितरणों में पृथक्करण तब तक कठिन था जब तक कि साधन 4-6 मानक विचलन से अलग न हो जाएं।^[57]खगोल विज्ञान में कर्नेल माध्य मिलान एल्गोरिथ्म का उपयोग यह तय करने के लिए किया जाता है कि डेटा समुच्चय एकल सामान्य वितरण से संबंधित है या दो सामान्य वितरणों के मिश्रण से भी संबंधित होता है।

बीटा-सामान्य वितरण

यह वितरण पैरामीटर के कुछ मानों के लिए द्वि-मोडल होता है। इन मूल्यों के लिए परीक्षण का वर्णन किया जाता है।^[58]

पैरामीटर प्राक्लन और फिटिंग वक्र

यह मानते हुए कि वितरण को द्वि-मोडल के रूप में जाना जाता है या उपरोक्त या अधिक परीक्षणों द्वारा द्वि-मोडल दिखाया गया है, डेटा में वक्र फिट करना अधिकांशतः वांछनीय होता है। ये कठिन हो सकता है।

कठिन स्थितियों में बायेसियन विधियाँ उपयोगी हो सकती हैं।

सॉफ़्टवेयर

दो सामान्य वितरण

द्विविधता के परीक्षण के लिए आर (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए पैकेज उपलब्ध है।^[59] इस प्रकार यह पैकेज मानता है कि डेटा को दो सामान्य वितरणों के योग के रूप में वितरित किया जाता है। यदि यह धारणा सही नहीं है तो परिणाम विश्वसनीय नहीं हो सकते हैं। इसमें डेटा में दो सामान्य वितरणों के योग को स्थापित करने के कार्य भी सम्मलित होता हैं।

यह मानते हुए कि वितरण दो सामान्य वितरणों का मिश्रण है तो पैरामीटर निर्धारित करने के लिए अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है। इसके लिए क्लस्टर सहित कई कार्यक्रम जैसे ^[60] और आर पैकेज नॉर1मिक्स उपलब्ध होता हैं।।^[61]

अन्य वितरण

R के लिए उपलब्ध मिक्सटूल पैकेज कई भिन्न-भिन्न वितरणों के मापदंडों का परीक्षण और प्राक्लन लगा सकता है।^[62] दो दाएँ-पुच्छ गामा वितरणों के मिश्रण के लिए पैकेज उपलब्ध होता है।^[63]

मिश्रण मॉडल में स्थापित होने के लिए आर के लिए कई अन्य पैकेज उपलब्ध होते हैं; इनमें फ्लेक्समिक्स,^[64] मैकक्लस्ट,^[65] एजीआरएमटी,^[66] और मिक्सडिस्ट सम्मलित होते है।^[67]सांख्यिकीय प्रोग्रामिंग भाषा एसएएस भाषा पीआरओसी एफआरईक्यू प्रक्रिया के साथ विभिन्न प्रकार के मिश्रित वितरणों को भी स्थापित कर सकती है।

द्विमोडल संभाव्यता वितरण में दिन के समय के अनुसार पार्क में जॉगर्स की संख्या (घंटे में X)।

उदाहरण सॉफ़्टवेयर एप्लिकेशन

द कमफ़्रेकए ^[68] डेटा समुच्चय (X) में समग्र संभाव्यता वितरण के स्थापन के लिए प्रोग्राम समुच्चय को भिन्न-भिन्न वितरण के साथ दो भागों में विभाजित कर सकता है। यह आंकड़ा संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) समीकरणों के साथ वितरण स्थापन के रूप में दोहरे सामान्यीकृत प्रतिबिंबित गम्बेल वितरण का उदाहरण दिखाता है:

X < 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(0.092X^0.01+935)}]
X > 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(-0.0039X^2.79+1.05)}]

यह भी देखें

अति प्रसारित

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-{{short description|Probability distribution whose density has two or more distinct local maxima}}
+{{short description|Probability distribution whose density has two or more distinct local maxima}}[[Image:Bimodal.png|thumb|चित्र 1. सरल द्विमोडल वितरण, इस स्थिति में समान विचरण यघपि भिन्न-भिन्न साधनों के साथ दो [[सामान्य वितरण]] का [[मिश्रण वितरण]] होता है। यह आंकड़ा संभाव्यता घनत्व फलन (पी.डी.एफ.) दिखाता है, जो दो सामान्य वितरणों के घंटी के आकार के पी.डी.एफ. का समान रूप से भारित औसत होता है। यदि भार समान नहीं थे, तो परिणामी वितरण अभी भी द्वि-मोडल हो सकता है, यघपि विभिन्न ऊंचाइयों की चोटियों के साथ।]]
-{{redirect|बिमॉडल|संगीत की अवधारणा|द्विरूपता}}
+[[File:Bimodal geological.PNG|thumb|चित्र 2. द्विमोडल वितरण।]]
+[[Image:Bimodal-bivariate-small.png|thumb|चित्र 3. द्विचर, बहुविध वितरण]]
-[[Image:Bimodal.png|thumb|चित्र 1. एक सरल द्विमोडल वितरण, इस मामले में समान विचरण लेकिन अलग-अलग साधनों के साथ दो [[सामान्य वितरण]]ों का [[मिश्रण वितरण]]। यह आंकड़ा संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पी.डी.एफ.) दिखाता है, जो दो सामान्य वितरणों के घंटी के आकार के पी.डी.एफ. का समान रूप से भारित औसत है। यदि भार समान नहीं थे, तो परिणामी वितरण अभी भी द्वि-मोडल हो सकता है, लेकिन विभिन्न ऊंचाइयों की चोटियों के साथ।]]
+[[File:Unimodal Nonmonotonic Distribution.png|thumb|alt=A 3D plot of a probability distribution. यह मूल से दूर तरंगित और सर्पिल होता है, मूल के पास केवल एक स्थानीय अधिकतम होता है।]]सांख्यिकी में, '''मल्टीमॉडल वितरण''' एक से अधिक [[मोड (सांख्यिकी)]] वाला संभाव्यता वितरण होता है। ये संभाव्यता घनत्व फलन में भिन्न-भिन्न शिखरों (स्थानीय मैक्सिमा) के रूप में दिखाई देते हैं, जैसा कि चित्र 1और 2 में दिखाया गया है। श्रेणीबद्ध, सतत और असतत डेटा सभी मल्टीमॉडल वितरण बना सकते हैं। अविभाज्य विश्लेषणों में, मल्टीमॉडल वितरण सामान्यतः द्विमोडल होते हैं।
-[[File:Bimodal geological.PNG|thumb|चित्र 2. एक द्विमोडल वितरण।]]
-[[Image:Bimodal-bivariate-small.png|thumb|चित्र 3. एक द्विचर, बहुविध वितरण]]
-[[File:Unimodal Nonmonotonic Distribution.png|thumb|alt=A 3D plot of a probability distribution. यह मूल से दूर तरंगित और सर्पिल होता है, मूल के पास केवल एक स्थानीय अधिकतम होता है।]]सांख्यिकी में, मल्टीमॉडल वितरण एक से अधिक [[मोड (सांख्यिकी)]] वाला संभाव्यता वितरण है। ये संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन में अलग-अलग चोटियों (स्थानीय मैक्सिमा) के रूप में दिखाई देते हैं, जैसा कि चित्र 1 और 2 में दिखाया गया है। श्रेणीबद्ध, सतत और असतत डेटा सभी मल्टीमॉडल वितरण बना सकते हैं। अविभाज्य विश्लेषणों में, मल्टीमॉडल वितरण आमतौर पर द्विमोडल होते हैं।{{Citation needed|date=July 2022}}
 ==शब्दावली==
-जब दो मोड असमान होते हैं तो बड़े मोड को प्रमुख मोड और दूसरे को लघु मोड के रूप में जाना जाता है। मोड के बीच सबसे कम बारंबार मान को [[एंटीमोड]] के रूप में जाना जाता है। प्रमुख और लघु मोड के बीच के अंतर को [[आयाम]] के रूप में जाना जाता है। समय श्रृंखला में प्रमुख मोड को [[एक्रोफ़ेज़]] और एंटीमोड को बैटीफ़ेज़ कहा जाता है।{{citation needed|date=May 2017}}
+जब दो मोड असमान होते हैं तो बड़े मोड को प्रमुख मोड और दूसरे को लघु मोड के रूप में जाना जाता है। मोड के मध्य सबसे कम बारंबार मान को [[एंटीमोड|प्रतिमोड]] के रूप में जाना जाता है। प्रमुख और लघु मोड के मध्य के अंतर को [[आयाम]] के रूप में जाना जाता है। समय श्रृंखला में प्रमुख मोड को [[एक्रोफ़ेज़]] और प्रतिमोड को बैटीफ़ेज़ कहा जाता है।
 ==गाल्टुंग का वर्गीकरण==
-गाल्टुंग ने वितरण के लिए एक वर्गीकरण प्रणाली (एजेयूएस) शुरू की:<ref name=Galtung1969>{{cite book |last=Galtung |first=J. |year=1969 |title=सामाजिक अनुसंधान के सिद्धांत और तरीके|publisher=Universitetsforlaget |location=Oslo |isbn=0-04-300017-7 }}</ref>
+गाल्टुंग ने वितरण के लिए वर्गीकरण प्रणाली (एजेयूएस) प्रारम्भ की थी:<ref name=Galtung1969>{{cite book |last=Galtung |first=J. |year=1969 |title=सामाजिक अनुसंधान के सिद्धांत और तरीके|publisher=Universitetsforlaget |location=Oslo |isbn=0-04-300017-7 }}</ref>
-*ए: यूनिमॉडल वितरण - बीच में शिखर
+*ए: यूनिमॉडल वितरण - मध्य में शिखर
 *जे: यूनिमॉडल - दोनों छोर पर शिखर
-*यू: बिमोडल - दोनों सिरों पर चोटियाँ
+*यू: बिमोडल - दोनों सिरों पर शिखर
 *एस: बिमॉडल या मल्टीमॉडल - एकाधिक शिखर
-इस वर्गीकरण को तब से थोड़ा संशोधित किया गया है:
+इस वर्गीकरण को तब से लेकर अब तक थोड़ा संशोधित किया गया है:
 *जे: (संशोधित) - दाईं ओर शिखर
 *एल: यूनिमॉडल - बाईं ओर शिखर
-*एफ: कोई शिखर नहीं (सपाट)
+*एफ: कोई शिखर नहीं (समतल)
-इस वर्गीकरण के तहत द्विमोडल वितरण को प्रकार एस या यू के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
+इस वर्गीकरण के तहत द्विमोडल वितरण को प्रकार एस या यू के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
 ==उदाहरण==
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 ===संभावना वितरण===
-महत्वपूर्ण द्विमोडल वितरणों में [[आर्क्साइन वितरण]] और [[बीटा वितरण]] शामिल हैं (यदि दोनों पैरामीटर ए और बी 1 से कम हैं)। अन्य में [[यू-द्विघात वितरण]] शामिल है।
+महत्वपूर्ण द्विमोडल वितरणों में [[आर्क्साइन वितरण]] और [[बीटा वितरण]] सम्मलित होता हैं (यदि दोनों पैरामीटर ए और बी 1 से कम होते हैं)। अन्य में [[यू-द्विघात वितरण]] सम्मलित होता है।
 दो सामान्य वितरणों का अनुपात भी द्विमासिक रूप से वितरित किया जाता है।
 : <math> R = \frac{ a + x }{ b + y } </math>
-जहां a और b स्थिर हैं और x और y को 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ सामान्य चर के रूप में वितरित किया जाता है। ''R'' में एक ज्ञात घनत्व है जिसे एक संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=Fieller1932>{{cite journal |author=Fieller E |date=1932 |title=सामान्य द्विचर जनसंख्या में सूचकांक का वितरण|journal=Biometrika |volume=24 |issue=3–4 |pages=428–440 |doi=10.1093/biomet/24.3-4.428}}</ref>
+जहाँ a और b स्थिर हैं और x और y को 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ सामान्य चर के रूप में वितरित किया जाता है। यह ''R'' में ज्ञात घनत्व है जिसे संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=Fieller1932>{{cite journal |author=Fieller E |date=1932 |title=सामान्य द्विचर जनसंख्या में सूचकांक का वितरण|journal=Biometrika |volume=24 |issue=3–4 |pages=428–440 |doi=10.1093/biomet/24.3-4.428}}</ref>
-वितरित यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का वितरण द्विमोडल होता है जब स्वतंत्रता की डिग्री एक से अधिक होती है। इसी प्रकार सामान्य रूप से वितरित चर का व्युत्क्रम भी द्विमासिक रूप से वितरित होता है।
+वितरित यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का वितरण द्विमोडल होता है जब स्वतंत्रता की डिग्री से अधिक होती है। इसी प्रकार सामान्य रूप से वितरित चर का व्युत्क्रम भी द्विमासिक रूप से वितरित होता है।
-[[कॉची वितरण]] से प्राप्त डेटा सेट से उत्पन्न आँकड़ा द्वि-मोडल है।<ref name=Fiorio2010>{{cite journal | last1 = Fiorio | first1 = CV | last2 = HajivassILiou | first2 = VA | last3 = Phillips | first3 = PCB | year = 2010 | title = Bimodal t-ratios: the impact of thick tails on inference | url = https://ink.library.smu.edu.sg/soe_research/1817| journal = The Econometrics Journal | volume = 13 | issue = 2| pages = 271–289 | doi = 10.1111/j.1368-423X.2010.00315.x | s2cid = 363740 }}</ref>
+[[कॉची वितरण]] से प्राप्त डेटा समुच्चय से उत्पन्न आँकड़ा द्वि-मोडल होता है।<ref name=Fiorio2010>{{cite journal | last1 = Fiorio | first1 = CV | last2 = HajivassILiou | first2 = VA | last3 = Phillips | first3 = PCB | year = 2010 | title = Bimodal t-ratios: the impact of thick tails on inference | url = https://ink.library.smu.edu.sg/soe_research/1817| journal = The Econometrics Journal | volume = 13 | issue = 2| pages = 271–289 | doi = 10.1111/j.1368-423X.2010.00315.x | s2cid = 363740 }}</ref>
 ===प्रकृति में घटनाएँ===
-बिमोडल वितरण वाले चर के उदाहरणों में कुछ [[ गरम पानी का झरना ]] के विस्फोटों के बीच का समय, आकाशगंगाओं रंग-परिमाण आरेख, श्रमिक बुनकर चींटियों का आकार, हॉजकिन के लिंफोमा की घटना की उम्र, अमेरिकी वयस्कों में दवा [[आइसोनियाज़िड]] की निष्क्रियता की गति, पूर्ण परिमाण शामिल हैं। [[ नया |नोवा]],और उन सांध्य जानवरों के [[सर्कैडियन लय]] पैटर्न जो सुबह और शाम गोधूलि दोनों में सक्रिय होते है। मत्स्य विज्ञान में मल्टीमॉडल लंबाई वितरण विभिन्न वर्ष वर्गों को दर्शाते हैं और इस प्रकार मछली की आबादी के आयु वितरण और वृद्धि अनुमान के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।<ref>[http://www.fao.org/docrep/W5449E/w5449e05.htm.|FAO: Introduction to tropical fish stock assessment]</ref> तलछट आमतौर पर द्वि-मोडल तरीके से वितरित होते हैं। जब मेजबान चट्टान और खनिजयुक्त शिराओं को पार करते हुए खनन दीर्घाओं का नमूना लिया जाता है, तो भू-रासायनिक चर का वितरण द्वि-मोडल होगा। ट्रैफिक विश्लेषण में बिमॉडल वितरण भी देखा जाता है, जहां सुबह के व्यस्त समय के दौरान और फिर अपराह्न के व्यस्त समय के दौरान ट्रैफिक चरम पर होता है। यह घटना दैनिक जल वितरण में भी देखी जाती है, क्योंकि वर्षा, खाना पकाने और शौचालय के उपयोग के रूप में पानी की मांग आमतौर पर सुबह और शाम के समय चरम पर होती है।
+बिमोडल वितरण वाले चर के उदाहरणों में कुछ [[ गरम पानी का झरना |गीजर]] के विस्फोटों के मध्य का समय, आकाशगंगाओं रंग-परिमाण आरेख, श्रमिक वेवर चींटियों का आकार, हॉजकिन के लिंफोमा की घटना की उम्र, अमेरिकी वयस्कों में दवा [[आइसोनियाज़िड]] की निष्क्रियता की गति, पूर्ण परिमाण सम्मलित होता हैं। [[ नया |नोवा]],और उन सांध्य जानवरों के [[सर्कैडियन लय]] पैटर्न जो सुबह और शाम गोधूलि दोनों में सक्रिय होते है। मत्स्य विज्ञान में मल्टीमॉडल लंबाई वितरण विभिन्न वर्ष वर्गों को प्रदर्शित करता हैं और इस प्रकार मछली की आपश्चात्क आयु वितरण और वृद्धि प्राक्लन के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।<ref>[http://www.fao.org/docrep/W5449E/w5449e05.htm.|FAO: Introduction to tropical fish stock assessment]</ref> तलछट सामान्यतः द्वि-मोडल विधि से वितरित होते हैं। जब होस्ट चट्टान और खनिजयुक्त शिराओं को पार करते हुए खनन दीर्घाओं का प्रतिरूप लिया जाता है, तो भू-रासायनिक चर का वितरण द्वि-मोडल प्राप्त होता है। ट्रैफिक विश्लेषण में बिमॉडल वितरण भी देखा जाता है, जहाँ सुबह के व्यस्त समय के अवधि और फिर अपराह्न के व्यस्त समय के अवधि ट्रैफिक चरम पर होता है। यह घटना दैनिक जल वितरण में भी देखी जाती है, क्योंकि वर्षा, खाना पकाने और शौचालय के उपयोग के रूप में पानी की मांग सामान्यतः सुबह और शाम के समय चरम पर होती है।
 ===[[अर्थमिति]]===
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 ===गणितीय===
-एक द्विमोडल वितरण आमतौर पर दो अलग-अलग यूनिमोडल वितरणों (यानी केवल एक मोड वाले वितरण) के मिश्रण के रूप में उत्पन्न होता है। दूसरे शब्दों में, द्विविध रूप से वितरित यादृच्छिक चर X को इस प्रकार परिभाषित किया गया है <math> Y </math> संभाव्यता के साथ <math> \alpha </math> या <math> Z </math> संभाव्यता के साथ <math> (1-\alpha), </math> जहां Y और Z एक-मॉडल यादृच्छिक चर हैं और <math>0 < \alpha < 1</math> मिश्रण गुणांक है।.
+द्विमोडल वितरण सामान्यतः दो भिन्न-भिन्न यूनिमोडल वितरणों (अर्थात् मात्र मोड वाले वितरण) के मिश्रण के रूप में उत्पन्न होता है। दूसरे शब्दों में, द्विविध रूप से वितरित यादृच्छिक चर X को <math> Y </math> संभाव्यता के साथ <math> \alpha </math> या <math> Z </math> संभाव्यता के साथ <math> (1-\alpha) </math> इस प्रकार परिभाषित किया जाता है जहाँ Y और Z एक-मॉडल यादृच्छिक चर और <math>0 < \alpha < 1</math> मिश्रण गुणांक होते है।
-दो अलग-अलग घटकों वाले मिश्रणों को द्वि-मॉडल होने की आवश्यकता नहीं है और यूनिमॉडल घटक घनत्व वाले दो घटक मिश्रणों में दो से अधिक मोड हो सकते हैं। मिश्रण में घटकों की संख्या और परिणामी घनत्व के तरीकों की संख्या के बीच कोई तत्काल संबंध नहीं है।
+दो भिन्न-भिन्न घटकों वाले मिश्रणों को द्वि-मॉडल होने की आवश्यकता नहीं होती है और यूनिमॉडल घटक घनत्व वाले दो घटक मिश्रणों में दो से अधिक मोड हो सकते हैं। मिश्रण में घटकों की संख्या और परिणामी घनत्व के विधियो की संख्या के मध्य कोई तत्क्षण संबंध नहीं होते है।
 ===विशेष वितरण===
-डेटा सेट में बार-बार होने के बावजूद, बिमोडल वितरण का अध्ययन शायद ही कभी किया गया है{{citation needed|date=March 2019}}. ऐसा फ़्रीक्वेंटिस्ट या बायेसियन तरीकों से उनके मापदंडों का अनुमान लगाने में आने वाली कठिनाइयों के कारण हो सकता है। उनमें से जिनका अध्ययन किया गया है
+डेटा समुच्चय में बार-बार होने के पश्चात् भी, बिमोडल वितरण का अध्ययन संभवतया ही कभी किया जाता है। ऐसा फ़्रीक्वेंटिस्ट या बायेसियन विधियों से उनके मापदंडों का प्राक्लन लगाने में आने वाली कठिनाइयों के कारण हो सकता है। उनमें से जिनका अध्ययन किया गया है वह निम्न प्रकार है
 * द्विमोडल घातीय वितरण।<ref name=Hassan2010>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = MY | last2 = Hijazi | first2 = RH | year = 2010 | title = एक द्विमोडल घातांकीय विद्युत वितरण| journal = Pakistan Journal of Statistics | volume = 26 | issue = 2| pages = 379–396 }}</ref>
-* अल्फा-तिरछा-सामान्य वितरण।<ref name=Elal-Olivero2010>{{cite journal | last1 = Elal-Olivero | first1 = D | year = 2010 | title = अल्फा-तिरछा-सामान्य वितरण| journal = Proyecciones Journal of Mathematics | volume = 29 | issue = 3| pages = 224–240 | doi=10.4067/s0716-09172010000300006| doi-access = free }}</ref>
+* अल्फा-परोक्ष-सामान्य वितरण।<ref name=Elal-Olivero2010>{{cite journal | last1 = Elal-Olivero | first1 = D | year = 2010 | title = अल्फा-तिरछा-सामान्य वितरण| journal = Proyecciones Journal of Mathematics | volume = 29 | issue = 3| pages = 224–240 | doi=10.4067/s0716-09172010000300006| doi-access = free }}</ref>
-* बिमोडल तिरछा-सममित सामान्य वितरण।<ref name=Hassan2013>{{cite journal |last1=Hassan |first1=M. Y. |last2=El-Bassiouni |first2=M. Y. |year=2016 |title=बिमोडल तिरछा-सममित सामान्य वितरण|journal=Communications in Statistics - Theory and Methods |volume=45 |issue=5 |pages=1527–1541 |doi=10.1080/03610926.2014.882950 |s2cid=124087015 }}</ref>
+* बिमोडल परोक्ष-सममित सामान्य वितरण।<ref name=Hassan2013>{{cite journal |last1=Hassan |first1=M. Y. |last2=El-Bassiouni |first2=M. Y. |year=2016 |title=बिमोडल तिरछा-सममित सामान्य वितरण|journal=Communications in Statistics - Theory and Methods |volume=45 |issue=5 |pages=1527–1541 |doi=10.1080/03610926.2014.882950 |s2cid=124087015 }}</ref>
-* [[कॉनवे-मैक्सवेल-पॉइसन वितरण]] का मिश्रण बिमोडल गणना डेटा में फिट किया गया है।<ref name=Bosea2013>{{cite book |last1=Bosea |first1=S. |last2=Shmuelib |first2=G. |last3=Sura |first3=P. |last4=Dubey |first4=P. |year=2013 |chapter=Fitting Com-Poisson mixtures to bimodal count data |title=Proceedings of the 2013 International Conference on Information, Operations Management and Statistics (ICIOMS2013), Kuala Lumpur, Malaysia |pages=1–8 |chapter-url=https://www.galitshmueli.com/system/files/ICIOMS%202013%20Malaysia%20Paper%20ID%2028.pdf }}</ref>
+* [[कॉनवे-मैक्सवेल-पॉइसन वितरण]] का मिश्रण बिमोडल गणना डेटा में स्थापित किया गया है।<ref name=Bosea2013>{{cite book |last1=Bosea |first1=S. |last2=Shmuelib |first2=G. |last3=Sura |first3=P. |last4=Dubey |first4=P. |year=2013 |chapter=Fitting Com-Poisson mixtures to bimodal count data |title=Proceedings of the 2013 International Conference on Information, Operations Management and Statistics (ICIOMS2013), Kuala Lumpur, Malaysia |pages=1–8 |chapter-url=https://www.galitshmueli.com/system/files/ICIOMS%202013%20Malaysia%20Paper%20ID%2028.pdf }}</ref>
-आपदा सिद्धांत#Cusp आपदा में द्विरूपता भी स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है।
+चरम आपदा वितरण में जैव विविधता भी स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है।
 ===जीवविज्ञान===
-जीव विज्ञान में जनसंख्या आकार के द्वि-मोडल वितरण में योगदान देने के लिए पांच कारकों को जाना जाता है{{citation needed|date=March 2019}}:
+जीव विज्ञान में जनसंख्या आकार के द्वि-मोडल वितरण में योगदान देने के लिए पांच कारकों को जाना जाता है:
 *व्यक्तिगत आकारों का प्रारंभिक वितरण
-*व्यक्तियों के बीच विकास दर का वितरण
+*व्यक्तियों के मध्य विकास दर का वितरण
 *प्रत्येक व्यक्ति की विकास दर का आकार और समय पर निर्भरता
-* मृत्यु दर जो प्रत्येक आकार वर्ग को अलग-अलग प्रभावित कर सकती है
+* मृत्यु दर जो प्रत्येक आकार वर्ग को भिन्न-भिन्न प्रभावित कर सकती है
 *मानव और चूहे जीनोम में डीएनए मिथाइलेशन।
-[[बुनकर चींटी]] श्रमिकों के आकार का द्वि-मोडल वितरण श्रमिकों के दो अलग-अलग वर्गों, अर्थात् प्रमुख श्रमिकों और छोटे श्रमिकों के अस्तित्व के कारण उत्पन्न होता है।<ref name="Weber1946">{{cite journal|author=Weber, NA|year=1946| title=Dimorphism in the African ''Oecophylla'' worker and an anomaly (Hym.: Formicidae)| journal=Annals of the Entomological Society of America| volume=39| pages=7–10| url=http://antbase.org/ants/publications/10434/10434.pdf| doi=10.1093/aesa/39.1.7}}</ref> दोनों संपूर्ण [[जीनोम]]ों के लिए उत्परिवर्तन के [[फिटनेस प्रभावों का वितरण]]<ref>{{cite journal|last=Sanjuán|first=R|title=Mutational fitness effects in RNA and single-stranded DNA viruses: common patterns revealed by site-directed mutagenesis studies.|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London B: Biological Sciences|date=Jun 27, 2010|volume=365|issue=1548|pages=1975–82|pmid=20478892|doi=10.1098/rstb.2010.0063|pmc=2880115}}</ref><ref>{{cite journal|last=Eyre-Walker|first=A|author2=Keightley, PD|title=नए उत्परिवर्तनों के फिटनेस प्रभावों का वितरण।|journal=Nature Reviews Genetics|date=Aug 2007|volume=8|issue=8|pages=610–8|pmid=17637733|doi=10.1038/nrg2146|s2cid=10868777}}</ref> और व्यक्तिगत [[जीन]]<ref>{{cite journal|last=Hietpas|first=RT|author2=Jensen, JD |author3=Bolon, DN |title=फिटनेस परिदृश्य की प्रायोगिक रोशनी।|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|date=May 10, 2011|volume=108|issue=19|pages=7896–901|pmid=21464309|doi=10.1073/pnas.1016024108|pmc=3093508|bibcode = 2011PNAS..108.7896H |doi-access=free}}</ref> यह अक्सर द्वि-मोडल भी पाया जाता है, अधिकांश [[उत्परिवर्तन]] या तो तटस्थ या घातक होते हैं और अपेक्षाकृत कुछ का मध्यवर्ती प्रभाव होता है।
+[[बुनकर चींटी|वेवर चींटी]] श्रमिकों के आकार का द्वि-मोडल वितरण श्रमिकों के दो भिन्न-भिन्न वर्गों, अर्थात् प्रमुख श्रमिकों और छोटे श्रमिकों के अस्तित्व के कारण उत्पन्न होता है।<ref name="Weber1946">{{cite journal|author=Weber, NA|year=1946| title=Dimorphism in the African ''Oecophylla'' worker and an anomaly (Hym.: Formicidae)| journal=Annals of the Entomological Society of America| volume=39| pages=7–10| url=http://antbase.org/ants/publications/10434/10434.pdf| doi=10.1093/aesa/39.1.7}}</ref> दोनों संपूर्ण [[जीनोम]] के लिए उत्परिवर्तन के [[फिटनेस प्रभावों का वितरण]]<ref>{{cite journal|last=Sanjuán|first=R|title=Mutational fitness effects in RNA and single-stranded DNA viruses: common patterns revealed by site-directed mutagenesis studies.|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London B: Biological Sciences|date=Jun 27, 2010|volume=365|issue=1548|pages=1975–82|pmid=20478892|doi=10.1098/rstb.2010.0063|pmc=2880115}}</ref><ref>{{cite journal|last=Eyre-Walker|first=A|author2=Keightley, PD|title=नए उत्परिवर्तनों के फिटनेस प्रभावों का वितरण।|journal=Nature Reviews Genetics|date=Aug 2007|volume=8|issue=8|pages=610–8|pmid=17637733|doi=10.1038/nrg2146|s2cid=10868777}}</ref> और व्यक्तिगत [[जीन]]<ref>{{cite journal|last=Hietpas|first=RT|author2=Jensen, JD |author3=Bolon, DN |title=फिटनेस परिदृश्य की प्रायोगिक रोशनी।|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|date=May 10, 2011|volume=108|issue=19|pages=7896–901|pmid=21464309|doi=10.1073/pnas.1016024108|pmc=3093508|bibcode = 2011PNAS..108.7896H |doi-access=free}}</ref> यह अधिकांशतः द्वि-मोडल भी पाया जाता है, अधिकांश [[उत्परिवर्तन]] या तो तटस्थ या घातक होते हैं और अपेक्षाकृत कुछ का मध्यवर्ती प्रभाव होता है।
 ==सामान्य गुण==
-भिन्न-भिन्न साधनों वाले दो एकमोडल वितरणों का मिश्रण आवश्यक रूप से द्विमोडल नहीं होता है। पुरुषों और महिलाओं की ऊंचाई के संयुक्त वितरण को कभी-कभी द्वि-मॉडल वितरण के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है, लेकिन वास्तव में पुरुषों और महिलाओं की औसत ऊंचाई में अंतर उनके [[मानक विचलन]] के सापेक्ष बहुत छोटा होता है, जब दो वितरण वक्र संयुक्त होते हैं तो द्वि-मॉडलिटी उत्पन्न होती है। .<ref name="Schilling2002">{{Cite journal|title=Is Human Height Bimodal?|first1=Mark F. |last1=Schilling |first2= Ann E.| last2=Watkins | author2-link = Ann E. Watkins |first3=William |last3=Watkins| journal=[[The American Statistician]]| doi=10.1198/00031300265 |volume=56 |year=2002| pages=223–229 |issue=3|s2cid=53495657 }}</ref>
+भिन्न-भिन्न साधनों वाले दो एकमोडल वितरणों का मिश्रण आवश्यक रूप से द्विमोडल नहीं होता है। पुरुषों और महिलाओं की ऊंचाई के संयुक्त वितरण को कभी-कभी द्वि-मॉडल वितरण के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है, यघपि वास्तव में पुरुषों और महिलाओं की औसत ऊंचाई में अंतर उनके [[मानक विचलन]] के सापेक्ष बहुत छोटा होता है, जब दो वितरण वक्र संयुक्त होते हैं तो द्वि-मॉडलिटी उत्पन्न होती है।<ref name="Schilling2002">{{Cite journal|title=Is Human Height Bimodal?|first1=Mark F. |last1=Schilling |first2= Ann E.| last2=Watkins | author2-link = Ann E. Watkins |first3=William |last3=Watkins| journal=[[The American Statistician]]| doi=10.1198/00031300265 |volume=56 |year=2002| pages=223–229 |issue=3|s2cid=53495657 }}</ref>
-बिमोडल वितरण में अनोखी संपत्ति होती है - यूनिमॉडल वितरण के विपरीत - माध्य माध्यिका की तुलना में अधिक मजबूत नमूना अनुमानक हो सकता है।<ref name=Mosteller1977>{{cite book |last1=Mosteller |first1=F. |last2=Tukey |first2=J. W. |year=1977 |title=Data Analysis and Regression: A Second Course in Statistics |location=Reading, Mass |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-04854-X }}</ref> यह स्पष्ट रूप से मामला है जब वितरण आर्कसाइन वितरण की तरह यू आकार का होता है। यह तब सत्य नहीं हो सकता जब वितरण में एक या अधिक लंबी पूँछें हों।
+बिमोडल वितरण में एक विचित्र गुण होता है - यूनिमॉडल वितरण के विपरीत - माध्य माध्यिका की तुलना में अधिक सशक्त प्रतिरूप प्राक्लनक हो सकता है।<ref name="Mosteller1977">{{cite book |last1=Mosteller |first1=F. |last2=Tukey |first2=J. W. |year=1977 |title=Data Analysis and Regression: A Second Course in Statistics |location=Reading, Mass |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-04854-X }}</ref> यह स्पष्ट रूप से एक स्थिति होती है जब वितरण आर्कसाइन वितरण के समरूप यू आकार का होता है। यह तब तक सत्य नहीं हो सकता जब तक वितरण में या अधिक लंबी पूँछें उपस्थित हों।
 ===मिश्रण के क्षण===
-होने देना
+मान लीजिये
 : <math> f( x ) = p g_1( x ) + ( 1 - p ) g_2( x ) \, </math>
-कहाँ जी<sub>''i''</sub> एक संभाव्यता वितरण है और p मिश्रण पैरामीटर है।
+जहाँ ''g<sub>i</sub>'' संभाव्यता वितरण और p मिश्रण पैरामीटर होता है।
-f(x) के क्षण हैं<ref name=Kim2003>{{cite document |last1=Kim |first1=T.-H. |last2=White |first2=H. |author-link2=Halbert White |year=2003 |url=https://escholarship.org/uc/item/7b52v07p |title=On more robust estimation of skewness and kurtosis: Simulation and application to the S & P 500 index }}</ref>
+f(x) के क्षण निम्न प्रकार होता हैं<ref name=Kim2003>{{cite document |last1=Kim |first1=T.-H. |last2=White |first2=H. |author-link2=Halbert White |year=2003 |url=https://escholarship.org/uc/item/7b52v07p |title=On more robust estimation of skewness and kurtosis: Simulation and application to the S & P 500 index }}</ref>
 : <math> \mu = p \mu_1 + ( 1 - p ) \mu_2 </math>
 : <math> \nu_2 = p[ \sigma_1^2 + \delta_1^2 ] + ( 1 - p )[ \sigma_2^2 + \delta_2^2 ]</math>
 : <math> \nu_3 = p [ S_1 \sigma_1^3 + 3 \delta_1 \sigma_1^2 + \delta_1^3 ] + ( 1 - p )[ S_2 \sigma_2^3 + 3 \delta_2 \sigma_2^2 + \delta_2^3 ] </math>
 : <math> \nu_4 = p[ K_1 \sigma_1^4 + 4 S_1 \delta_1 \sigma_1^3 + 6 \delta_1^2 \sigma_1^2 + \delta_1^4 ] + ( 1 - p )[ K_2 \sigma_2^4 + 4 S_2 \delta_2 \sigma_2^3 + 6 \delta_2^2 \sigma_2^2 + \delta_2^4 ]</math>
-कहाँ
+जहाँ
 : <math> \mu = \int x f( x ) \, dx </math>
 : <math> \delta_i = \mu_i - \mu </math>
 : <math> \nu_r = \int ( x - \mu )^r f( x ) \, dx </math>
-और एस<sub>''i''</sub> और के<sub>''i''</sub> i का [[तिरछापन]] और [[कुकुदता]] हैं<sup>वें</sup>वितरण.
+और ''S<sub>i</sub>'' और ''K<sub>i</sub>'' [[तिरछापन|विषमता]] और [[कुकुदता|कुर्टोसिस]] का ''i''<sup>th</sup> वितरण होता है।
 ==दो सामान्य वितरणों का मिश्रण==
-ऐसी स्थितियों का सामना करना असामान्य नहीं है जहां एक अन्वेषक का मानना है कि डेटा दो सामान्य वितरणों के मिश्रण से आता है। इस कारण इस मिश्रण का कुछ विस्तार से अध्ययन किया गया है।<ref name=Robertson1969>{{cite journal | last1 = Robertson | first1 = CA | last2 = Fryer | first2 = JG | year = 1969 | title = सामान्य मिश्रण के कुछ वर्णनात्मक गुण| journal = Skandinavisk Aktuarietidskrift | volume = 69 | issue = 3–4| pages = 137–146 |doi=10.1080/03461238.1969.10404590}}</ref>
+ऐसी स्थितियों का सामना करना असामान्य नहीं होता है जहाँ अन्वेषक का मानना है कि डेटा दो सामान्य वितरणों के मिश्रण से आता है। इस कारण इस मिश्रण का कुछ विस्तार से अध्ययन किया गया है।<ref name=Robertson1969>{{cite journal | last1 = Robertson | first1 = CA | last2 = Fryer | first2 = JG | year = 1969 | title = सामान्य मिश्रण के कुछ वर्णनात्मक गुण| journal = Skandinavisk Aktuarietidskrift | volume = 69 | issue = 3–4| pages = 137–146 |doi=10.1080/03461238.1969.10404590}}</ref>
-दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में अनुमान लगाने के लिए पांच पैरामीटर होते हैं: दो साधन, दो भिन्नताएं और मिश्रण पैरामीटर। समान मानक विचलन वाले दो सामान्य वितरणों का मिश्रण केवल तभी द्विमोडल होता है, जब उनके माध्य सामान्य मानक विचलन से कम से कम दोगुने से भिन्न हों।<ref name="Schilling2002"/>यदि भिन्नताओं को समान माना जा सकता है ([[समलैंगिकता]] केस) तो मापदंडों का अनुमान सरल हो जाता है।
+दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में प्राक्लन लगाने के लिए पांच पैरामीटर होते हैं: दो साधन, दो भिन्नताएं और मिश्रण पैरामीटर। समान मानक विचलन वाले दो सामान्य वितरणों का मिश्रण मात्र तभी द्विमोडल होता है, जब उनके माध्य सामान्य मानक विचलन से कम से कम दोगुने से भिन्न हों।<ref name="Schilling2002" />यदि भिन्नताओं को समान माना जा सकता है ([[समलैंगिकता]] केस) तो मापदंडों का प्राक्लन सरल हो जाता है।
-यदि दो सामान्य वितरणों के साधन बराबर हैं, तो संयुक्त वितरण एकमोडल होता है। संयुक्त वितरण की [[एकरूपता]] के लिए शर्तें ईसेनबर्गर द्वारा निकाली गई थीं।<ref name=Eisenberger1964>{{cite journal | last1 = Eisenberger | first1 = I | year = 1964 | title = द्विमोडल वितरण की उत्पत्ति| journal = Technometrics | volume = 6 | issue = 4| pages = 357–363 | doi=10.1080/00401706.1964.10490199}}</ref> सामान्य वितरणों के मिश्रण के द्वि-मोडल होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियों की पहचान रे और लिंडसे द्वारा की गई है।<ref name=Ray2005>{{cite journal | last1 = Ray | first1 = S | last2 = Lindsay | first2 = BG | year = 2005 | title = बहुभिन्नरूपी सामान्य मिश्रण की स्थलाकृति| journal = Annals of Statistics | volume = 33 | issue = 5| pages = 2042–2065 | doi=10.1214/009053605000000417| arxiv = math/0602238 | s2cid = 36234163 }}</ref>
+यदि दो सामान्य वितरणों के साधन समान्तर होती हैं, तो संयुक्त वितरण एकमोडल होता है। इस प्रकार संयुक्त वितरण की [[एकरूपता]] के लिए उदेश्य ईसेनबर्गर द्वारा निकाली गई थीं।<ref name="Eisenberger1964">{{cite journal | last1 = Eisenberger | first1 = I | year = 1964 | title = द्विमोडल वितरण की उत्पत्ति| journal = Technometrics | volume = 6 | issue = 4| pages = 357–363 | doi=10.1080/00401706.1964.10490199}}</ref> सामान्य वितरणों के मिश्रण के द्वि-मोडल होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियों की पहचान रे और लिंडसे द्वारा की गई थी।<ref name="Ray2005">{{cite journal | last1 = Ray | first1 = S | last2 = Lindsay | first2 = BG | year = 2005 | title = बहुभिन्नरूपी सामान्य मिश्रण की स्थलाकृति| journal = Annals of Statistics | volume = 33 | issue = 5| pages = 2042–2065 | doi=10.1214/009053605000000417| arxiv = math/0602238 | s2cid = 36234163 }}</ref>न्यूनाधिक समान द्रव्यमान वाले दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में नकारात्मक कर्टोसिस होता है क्योंकि द्रव्यमान के केंद्र के दोनों ओर के दो मोड प्रभावी रूप से वितरण की पूंछ को कम कर देते हैं।
-लगभग समान द्रव्यमान वाले दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में नकारात्मक कर्टोसिस होता है क्योंकि द्रव्यमान के केंद्र के दोनों ओर के दो मोड प्रभावी रूप से वितरण की पूंछ को कम कर देते हैं।
-अत्यधिक असमान द्रव्यमान वाले दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में सकारात्मक कर्टोसिस होता है क्योंकि छोटा वितरण अधिक प्रभावी सामान्य वितरण की पूंछ को लंबा कर देता है।
+अत्यधिक असमान द्रव्यमान वाले दो सामान्य वितरणों के मिश्रण में सकारात्मक कर्टोसिस होता है क्योंकि छोटा वितरण अधिक प्रभावी सामान्य वितरण की अंतिम भाग को लंबा कर देता है।
-अन्य वितरणों के मिश्रण का अनुमान लगाने के लिए अतिरिक्त मापदंडों की आवश्यकता होती है।
+अन्य वितरणों के मिश्रण का प्राक्लन लगाने के लिए अतिरिक्त मापदंडों की आवश्यकता होती है।
 ===एकरूपता के लिए परीक्षण===
-*जब मिश्रण के घटकों में समान भिन्नताएं हों तो मिश्रण एक-मोडल होता है यदि और केवल यदि<ref name=Holzmann2008>{{cite journal | last1 = Holzmann | first1 = Hajo | last2 = Vollmer | first2 = Sebastian | year = 2008 | title = यूरोपीय संघ में क्षेत्रीय आय वितरण के लिए आवेदन के साथ दो-घटक मिश्रण में जैव-विविधता के लिए एक संभावना अनुपात परीक्षण| journal = AStA Advances in Statistical Analysis | volume = 2 | issue = 1| pages = 57–69 | doi=10.1007/s10182-008-0057-2 | s2cid = 14470055 | url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?gs-1/8526 }}</ref>
+*जब मिश्रण के घटकों में समान भिन्नताएं हों तो मिश्रण एक-मोडल होता है यदि और मात्र यदि<ref name=Holzmann2008>{{cite journal | last1 = Holzmann | first1 = Hajo | last2 = Vollmer | first2 = Sebastian | year = 2008 | title = यूरोपीय संघ में क्षेत्रीय आय वितरण के लिए आवेदन के साथ दो-घटक मिश्रण में जैव-विविधता के लिए एक संभावना अनुपात परीक्षण| journal = AStA Advances in Statistical Analysis | volume = 2 | issue = 1| pages = 57–69 | doi=10.1007/s10182-008-0057-2 | s2cid = 14470055 | url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?gs-1/8526 }}</ref>
 : <math> d \le 1 </math>
 या
 : <math> \left\vert \log( 1 - p ) - \log( p ) \right\vert \ge 2 \log( d - \sqrt{ d^2 - 1 } ) + 2d \sqrt{ d^2 - 1 } ,</math>
-जहां पी मिश्रण पैरामीटर है और
+जहाँ ''p'' मिश्रण पैरामीटर होता है और
 : <math> d = \frac{ \left\vert \mu_1 - \mu_2 \right\vert }{ 2 \sigma }, </math>
-और कहाँ μ<sub>1</sub> और μ<sub>2</sub> दो सामान्य वितरणों के साधन हैं और σ उनका मानक विचलन है।
+जहाँ μ<sub>1</sub> और μ<sub>2</sub> दो सामान्य वितरणों के साधन और σ उनका मानक विचलन होता है।
-*केस पी = 1/2 के लिए निम्नलिखित परीक्षण का वर्णन शिलिंग एट अल द्वारा किया गया था।<ref name=Schilling2002/>होने देना
+*केस ''p'' = 1/2 के लिए निम्नलिखित परीक्षण का वर्णन शिलिंग एट अल द्वारा किया गया था।<ref name=Schilling2002/>मान लीजिये
 :<math> r = \frac{ \sigma_1^2 }{ \sigma_2^2 } .</math>
-पृथक्करण कारक (S) है
+जहाँ पृथक्करण कारक (S) होता है
 :<math> S = \frac{ \sqrt{ -2 + 3r + 3r^2 - 2r^3 + 2( 1 - r + r^2 )^{ 1.5 } } }{ \sqrt{ r }( 1 + \sqrt{ r } ) } .</math>
-यदि प्रसरण समान हैं तो S = 1. मिश्रण घनत्व एकमापक है यदि और केवल यदि
+यदि प्रसरण समान हैं तो S = 1 होता है। मिश्रण घनत्व एकमापक होता है यदि और मात्र यदि
 :<math> | \mu_1 - \mu_2 | < S | \sigma_1 + \sigma_2 | .</math>
-*एकरूपता के लिए पर्याप्त शर्त है<ref name=Behboodian1970>{{cite journal | last1 = Behboodian | first1 = J | year = 1970 | title = दो सामान्य वितरणों के मिश्रण के तरीकों पर| journal = Technometrics | volume = 12 | issue = 1| pages = 131–139 | doi=10.2307/1267357| jstor = 1267357 }}</ref>
+*एकरूपता के लिए पर्याप्त नियम होता है<ref name=Behboodian1970>{{cite journal | last1 = Behboodian | first1 = J | year = 1970 | title = दो सामान्य वितरणों के मिश्रण के तरीकों पर| journal = Technometrics | volume = 12 | issue = 1| pages = 131–139 | doi=10.2307/1267357| jstor = 1267357 }}</ref>
 :<math>|\mu_1-\mu_2| \le2\min (\sigma_1,\sigma_2).</math>
-*यदि दो सामान्य वितरणों में समान मानक विचलन हैं <math>\sigma,</math> एकरूपता के लिए पर्याप्त शर्त है<ref name=Behboodian1970/>
+*यदि दो सामान्य वितरणों में समान मानक विचलन <math>\sigma</math> होता हैं तो एकरूपता के लिए पर्याप्त नियम होता है<ref name=Behboodian1970/>
 :<math>|\mu _1-\mu_2|\le 2\sigma \sqrt{1+\frac{|\log p-\ln (1-p)|}{2}}.</math>
+== सारांश आँकड़े ==
+बिमोडल वितरण इस बात का सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला उदाहरण होता है कि किसी अनैतिक वितरण पर उपयोग किए जाने पर माध्य, माध्यिका और मानक विचलन जैसे सारांश आँकड़े कैसे भ्रामक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 1 में वितरण में, माध्य और मध्यिका न्यूनाधिक शून्य होगी, तथापि शून्य विशिष्ट मान नहीं होते है। मानक विचलन भी प्रत्येक सामान्य वितरण के विचलन से बड़ा होता है।
-==सारांश आँकड़े==
+यघपि कई सुझाव दिए गए हैं, सामान्य द्विमोडल वितरण के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए वर्तमान में कोई सामान्यतः सहमत सारांश आँकड़ा (या आँकड़ों का समुच्चय) नहीं होता है। दो सामान्य वितरणों के मिश्रण के लिए मिश्रण पैरामीटर (संयोजन के लिए वजन) के साथ-साथ साधन और मानक विचलन का सामान्यतः उपयोग किया जाता है - कुल पांच पैरामीटर।
-बिमोडल वितरण इस बात का आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला उदाहरण है कि किसी मनमाने वितरण पर उपयोग किए जाने पर माध्य, माध्यिका और मानक विचलन जैसे सारांश आँकड़े कैसे भ्रामक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, चित्र 1 में वितरण में, माध्य और मध्यिका लगभग शून्य होगी, भले ही शून्य एक विशिष्ट मान नहीं है। मानक विचलन भी प्रत्येक सामान्य वितरण के विचलन से बड़ा होता है।
-हालाँकि कई सुझाव दिए गए हैं, सामान्य द्विमोडल वितरण के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए वर्तमान में कोई आम तौर पर सहमत सारांश आँकड़ा (या आँकड़ों का सेट) नहीं है। दो सामान्य वितरणों के मिश्रण के लिए मिश्रण पैरामीटर (संयोजन के लिए वजन) के साथ-साथ साधन और मानक विचलन का आमतौर पर उपयोग किया जाता है - कुल पांच पैरामीटर।
+===अशमन का D===
-===अशमन का डी===
+आँकड़ा जो उपयोगी हो सकता है वह है एशमैन का D होता है:<ref name=Ashman1994>{{cite journal |author1=Ashman KM |author2=Bird CM |author3=Zepf SE |date=1994 |title=खगोलीय डेटासेट में द्विरूपता का पता लगाना|journal=The Astronomical Journal |volume=108 |pages=2348–2361 |arxiv=astro-ph/9408030 |doi=10.1086/117248 |bibcode=1994AJ....108.2348A|s2cid=13464256 }}</ref>
-एक आँकड़ा जो उपयोगी हो सकता है वह है एशमैन का डी:<ref name=Ashman1994>{{cite journal |author1=Ashman KM |author2=Bird CM |author3=Zepf SE |date=1994 |title=खगोलीय डेटासेट में द्विरूपता का पता लगाना|journal=The Astronomical Journal |volume=108 |pages=2348–2361 |arxiv=astro-ph/9408030 |doi=10.1086/117248 |bibcode=1994AJ....108.2348A|s2cid=13464256 }}</ref>
 : <math> D = (2^\frac{ 1 }{ 2 }) \frac{ \left| \mu_1 - \mu_2 \right| }{ \sqrt{ ( \sigma_1^2 + \sigma_2^2 ) } } </math>
-कहां μ<sub>1</sub>, एम<sub>2</sub> साधन और σ हैं<sub>1</sub>, पी<sub>2</sub> मानक विचलन हैं.
+जहाँ μ<sub>1</sub>, ''μ''<sub>2</sub> साधन और σ<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub> मानक विचलन होते हैं।
 दो सामान्य वितरणों के मिश्रण के लिए वितरणों के स्वच्छ पृथक्करण के लिए D > 2 की आवश्यकता होती है।
-===वैन डेर ईज्क का ए===
+===वैन डेर ईज्क का A ===
-यह माप आवृत्ति वितरण की सहमति की डिग्री का भारित औसत है।<ref name=Van_der_Eijk2001>{{cite journal | last1 = Van der Eijk | first1 = C | year = 2001 | title = आदेशित रेटिंग पैमानों में सहमति को मापना| journal = Quality & Quantity | volume = 35 | issue = 3| pages = 325–341 | doi=10.1023/a:1010374114305| s2cid = 189822180 }}</ref> A की सीमा -1 (पूर्ण द्विरूपता) से +1 (पूर्ण एकरूपता) तक होती है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
+यह माप आवृत्ति वितरण की सहमति की डिग्री का भारित औसत होता है।<ref name=Van_der_Eijk2001>{{cite journal | last1 = Van der Eijk | first1 = C | year = 2001 | title = आदेशित रेटिंग पैमानों में सहमति को मापना| journal = Quality & Quantity | volume = 35 | issue = 3| pages = 325–341 | doi=10.1023/a:1010374114305| s2cid = 189822180 }}</ref> A की सीमा -1 (पूर्ण द्विरूपता) से +1 (पूर्ण एकरूपता) तक होती है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
 : <math> A = U ( 1 - \frac{ S - 1 }{ K - 1 } ) </math>
-जहाँ U वितरण की एकरूपता है, S उन श्रेणियों की संख्या है जिनमें शून्येतर आवृत्तियाँ हैं और K श्रेणियों की कुल संख्या है।
+जहाँ U वितरण की एकरूपता होती है, S उन श्रेणियों की संख्या है जिनमें शून्येतर आवृत्तियाँ और K श्रेणियों की कुल संख्या होती है।
-यदि वितरण में निम्नलिखित तीन विशेषताओं में से कोई एक है तो U का मान 1 है:
+यदि वितरण में निम्नलिखित तीन विशेषताओं में से कोई एक होती है तो U का मान 1 होता है:
-* सभी प्रतिक्रियाएँ एक ही श्रेणी में हैं
+* सभी प्रतिक्रियाएँ एक ही श्रेणी में होती हैं
-* प्रतिक्रियाएं सभी श्रेणियों के बीच समान रूप से वितरित की जाती हैं
+* प्रतिक्रियाएं सभी श्रेणियों के मध्य समान रूप से वितरित की जाती हैं
-* प्रतिक्रियाएं दो या दो से अधिक सन्निहित श्रेणियों के बीच समान रूप से वितरित की जाती हैं, अन्य श्रेणियों में शून्य प्रतिक्रियाएं होती हैं
+* प्रतिक्रियाएं दो या दो से अधिक सन्निहित श्रेणियों के मध्य समान रूप से वितरित की जाती हैं, अन्य श्रेणियों में शून्य प्रतिक्रियाएं होती हैं
-इनके अलावा अन्य वितरणों के साथ डेटा को 'परतों' में विभाजित किया जाना चाहिए। एक परत के भीतर प्रतिक्रियाएँ या तो बराबर या शून्य होती हैं। श्रेणियों को सन्निहित होना आवश्यक नहीं है. प्रत्येक परत के लिए A का मान (A<sub>i</sub>) की गणना की जाती है और वितरण के लिए एक भारित औसत निर्धारित किया जाता है। वज़न (w<sub>i</sub>) प्रत्येक परत के लिए उस परत में प्रतिक्रियाओं की संख्या होती है। प्रतीकों में
+इनके अतिरिक्त अन्य वितरणों के साथ डेटा को 'परतों' में विभाजित किया जाना चाहिए। इस प्रकार परत के भीतर प्रतिक्रियाएँ या तो समान्तर या शून्य होती हैं। श्रेणियों को सन्निहित होना आवश्यक नहीं होता है। प्रत्येक परत(''A''<sub>i</sub>) के लिए A के मान की गणना की जाती है और वितरण के लिए भारित औसत निर्धारित किया जाता है। वज़न (w<sub>i</sub>) प्रत्येक परत के लिए उस परत में प्रतिक्रियाओं की संख्या होती है। प्रतीकों में
 :<math> A_{overall} = \sum w_i A_i </math>
-एक समान वितरण (असतत) में A = 0 होता है: जब सभी प्रतिक्रियाएँ एक श्रेणी A = +1 में आती हैं।
+समान वितरण (असतत) में A = 0 होता है: जब सभी प्रतिक्रियाएँ श्रेणी A = +1 में आती हैं।
-इस सूचकांक के साथ एक सैद्धांतिक समस्या यह है कि यह मानता है कि अंतराल समान दूरी पर हैं। इससे इसकी प्रयोज्यता सीमित हो सकती है.
+इस सूचकांक के साथ सैद्धांतिक समस्या यह है कि यह मानता है कि अंतराल समान दूरी पर होते हैं। इससे इसकी प्रयोज्यता सीमित हो सकती है।
 ===बिमोडल पृथक्करण===
-यह सूचकांक मानता है कि वितरण माध्य (μ) के साथ दो सामान्य वितरणों का मिश्रण है<sub>1</sub> और μ<sub>2</sub>) और मानक विचलन (σ<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub>):<ref name=Zhang2003>{{cite journal | last1 = Zhang | first1 = C | last2 = Mapes | first2 = BE | last3 = Soden | first3 = BJ | year = 2003 | title = उष्णकटिबंधीय जलवाष्प में जैव विविधता| journal = Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society | volume = 129 | issue = 594| pages = 2847–2866 | doi =  10.1256/qj.02.166| bibcode = 2003QJRMS.129.2847Z | s2cid = 17153773 }}</ref>
+यह सूचकांक मानता है कि वितरण माध्य (μ1 और μ2) और मानक विचलन (σ1 और σ2) के साथ दो सामान्य वितरण का मिश्रण होता है।:<ref name=Zhang2003>{{cite journal | last1 = Zhang | first1 = C | last2 = Mapes | first2 = BE | last3 = Soden | first3 = BJ | year = 2003 | title = उष्णकटिबंधीय जलवाष्प में जैव विविधता| journal = Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society | volume = 129 | issue = 594| pages = 2847–2866 | doi =  10.1256/qj.02.166| bibcode = 2003QJRMS.129.2847Z | s2cid = 17153773 }}</ref>
 : <math> S = \frac{ \mu_1 - \mu_2 }{ 2( \sigma_1 +\sigma_2 ) } </math>
+=== द्विविधता गुणांक ===
-===द्विविधता गुणांक===
+सरले का द्विविधता गुणांक b होता है<ref name=Ellison1987>{{cite journal | last1 = Ellison | first1 = AM | year = 1987 | title = ''एट्रिप्लेक्स ट्राइएंगुलरिस'' (चेनोपोडियासी) की प्रयोगात्मक आबादी की घनत्व-निर्भर गतिशीलता पर बीज द्विरूपता का प्रभाव| journal = American Journal of Botany | volume = 74 | issue = 8| pages = 1280–1288 | doi=10.2307/2444163| jstor = 2444163 }}</ref>
-सरले का द्विविधता गुणांक b है<ref name=Ellison1987>{{cite journal | last1 = Ellison | first1 = AM | year = 1987 | title = ''एट्रिप्लेक्स ट्राइएंगुलरिस'' (चेनोपोडियासी) की प्रयोगात्मक आबादी की घनत्व-निर्भर गतिशीलता पर बीज द्विरूपता का प्रभाव| journal = American Journal of Botany | volume = 74 | issue = 8| pages = 1280–1288 | doi=10.2307/2444163| jstor = 2444163 }}</ref>
 : <math> \beta = \frac{ \gamma^2 + 1 }{ \kappa }  </math>
-जहां γ तिरछापन है और κ कर्टोसिस है। यहां कर्टोसिस को माध्य के आसपास मानकीकृत चौथे क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है। b का मान 0 और 1 के बीच है।<ref name=Pearson1916>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = K | year = 1916 | title = Mathematical contributions to the theory of evolution, XIX: Second supplement to a memoir on skew variation | journal = Philosophical Transactions of the Royal Society A | volume = 216 | issue = 538–548| pages = 429–457 | doi = 10.1098/rsta.1916.0009 | jstor = 91092 | bibcode =   1916RSPTA.216..429P| doi-access = free }}</ref> इस गुणांक के पीछे तर्क यह है कि हल्की पूंछ वाले द्वि-मोडल वितरण में बहुत कम कर्टोसिस, एक असममित चरित्र, या दोनों होंगे - जो सभी इस गुणांक को बढ़ाते हैं।
+जहाँ γ विषमता होती है और κ कर्टोसिस होता है। यहां कर्टोसिस को माध्य के आसपास मानकीकृत चौथे क्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है। b का मान 0 और 1 के मध्य होता है।<ref name=Pearson1916>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = K | year = 1916 | title = Mathematical contributions to the theory of evolution, XIX: Second supplement to a memoir on skew variation | journal = Philosophical Transactions of the Royal Society A | volume = 216 | issue = 538–548| pages = 429–457 | doi = 10.1098/rsta.1916.0009 | jstor = 91092 | bibcode =   1916RSPTA.216..429P| doi-access = free }}</ref> इस गुणांक के पीछे तर्क यह होता है कि हल्की पूंछ वाले द्वि-मोडल वितरण में बहुत कम कर्टोसिस, असममित चरित्र, या दोनों होंगे - जो सभी इस गुणांक को बढ़ाते हैं।
-एक परिमित नमूने का सूत्र है<ref name=SASInst2012>SAS Institute Inc. (2012). SAS/STAT 12.1 user’s guide. Cary, NC: Author.</ref>
+परिमित प्रतिरूप का सूत्र निम्न प्रकार होता है<ref name=SASInst2012>SAS Institute Inc. (2012). SAS/STAT 12.1 user’s guide. Cary, NC: Author.</ref>
 : <math> b = \frac{ g^2 + 1 }{ k + \frac{ 3( n - 1 )^2 }{ ( n - 2 )( n - 3 ) } } </math>
-जहां n नमूने में वस्तुओं की संख्या है, g नमूना विषमता है और k नमूना अतिरिक्त कर्टोसिस है।
+जहाँ n प्रतिरूप में वस्तुओं की संख्या है, g प्रतिरूप विषमता और k नमूना अतिरिक्त कर्टोसिस होता है।
-[[समान वितरण (निरंतर)]] के लिए b का मान 5/9 है। यह घातीय वितरण के लिए इसका मूल्य भी है। 5/9 से अधिक मान एक द्विमॉडल या मल्टीमॉडल वितरण का संकेत दे सकते हैं, हालांकि संबंधित मान भारी विषम यूनिमॉडल वितरण का परिणाम भी हो सकते हैं।<ref>{{cite journal | last1 = Pfister | first1 = R | last2 = Schwarz | first2 = KA | last3 = Janczyk | first3 = M. | last4 = Dale | first4 = R | last5 = Freeman | first5 = JB | year = 2013 | title = Good things peak in pairs: A note on the bimodality coefficient | journal =  Frontiers in Psychology| volume = 4 | pages = 700 | doi = 10.3389/fpsyg.2013.00700| pmid = 24109465 | pmc = 3791391 | doi-access = free }}</ref> अधिकतम मूल्य (1.0) केवल [[बर्नौली वितरण]] द्वारा केवल दो अलग-अलग मूल्यों या दो अलग-अलग [[डिराक डेल्टा फ़ंक्शन]] (एक द्वि-डेल्टा वितरण) के योग के साथ पहुंचता है।
+[[समान वितरण (निरंतर)]] के लिए b का मान 5/9 होता है। यह घातीय वितरण के लिए इसका मूल्य भी होता है। 5/9 से अधिक मान द्विमॉडल या मल्टीमॉडल वितरण का संकेत दे सकते हैं, यघपि संबंधित मान भारी विषम यूनिमॉडल वितरण का परिणाम भी हो सकते हैं।<ref>{{cite journal | last1 = Pfister | first1 = R | last2 = Schwarz | first2 = KA | last3 = Janczyk | first3 = M. | last4 = Dale | first4 = R | last5 = Freeman | first5 = JB | year = 2013 | title = Good things peak in pairs: A note on the bimodality coefficient | journal =  Frontiers in Psychology| volume = 4 | pages = 700 | doi = 10.3389/fpsyg.2013.00700| pmid = 24109465 | pmc = 3791391 | doi-access = free }}</ref> अधिकतम मूल्य (1.0) मात्र [[बर्नौली वितरण]] द्वारा मात्र दो भिन्न-भिन्न मूल्यों या दो भिन्न-भिन्न [[डिराक डेल्टा फ़ंक्शन|डिराक डेल्टा फलन]] (द्वि-डेल्टा वितरण) के योग के साथ पहुंचता है।
-इस आँकड़े का वितरण अज्ञात है। यह पियर्सन द्वारा पहले प्रस्तावित एक आँकड़े से संबंधित है - कर्टोसिस और तिरछापन के वर्ग के बीच का अंतर (इन्फ्रा के माध्यम से)।
+इस आँकड़े का वितरण अज्ञात है। यह पियर्सन द्वारा पहले प्रस्तावित आँकड़े से संबंधित होता है - कर्टोसिस और परोक्षपन के वर्ग के मध्य का अंतर (इन्फ्रा के माध्यम से) होता है।
 ===द्विविधता आयाम===
@@ Line 203: / Line 197: @@
 : <math> A_B = \frac{A_1 - A_{ an } }{ A_1 } </math>
-जहाँ एक<sub>1</sub> छोटे शिखर का आयाम है और A<sub>an</sub> एंटीमोड का आयाम है।
+जहाँ ''A''<sub>1</sub> छोटे शिखर का आयाम और A<sub>an</sub> एंटीमोड का आयाम होता है।
-ए<sub>B</sub> हमेशा <1 होता है। बड़े मान अधिक विशिष्ट शिखर दर्शाते हैं।
+''A''<sub>B</sub> सदैव <1 होता है। बड़े मान अधिक विशिष्ट शिखर प्रदर्शित करता हैं।
 ===बिमोडल अनुपात===
-यह बाएँ और दाएँ शिखर का अनुपात है।<ref name=Zhang2003/>गणितीय
+यह बाएँ और दाएँ शिखर का अनुपात होता है।<ref name=Zhang2003/>गणितीय
 : <math> R = \frac{ A_r }{ A_l } </math>
-जहाँ एक<sub>l</sub> और ए<sub>r</sub> क्रमशः बाएँ और दाएँ शिखर के आयाम हैं।
+जहाँ ''A''<sub>l</sub> और ''A''<sub>r</sub> क्रमशः बाएँ और दाएँ शिखर के आयाम होते हैं।
 ===द्विमोडैलिटी पैरामीटर===
-यह पैरामीटर (बी) विलकॉक के कारण है।<ref name=Wilcock1993>{{cite journal | last1 = Wilcock | first1 = PR | year = 1993 | title = प्राकृतिक तलछट का महत्वपूर्ण कतरनी तनाव| journal = Journal of Hydraulic Engineering | volume = 119 | issue = 4| pages = 491–505 | doi=10.1061/(asce)0733-9429(1993)119:4(491)}}</ref>
+यह पैरामीटर (''B'') विलकॉक के कारण होता है।<ref name=Wilcock1993>{{cite journal | last1 = Wilcock | first1 = PR | year = 1993 | title = प्राकृतिक तलछट का महत्वपूर्ण कतरनी तनाव| journal = Journal of Hydraulic Engineering | volume = 119 | issue = 4| pages = 491–505 | doi=10.1061/(asce)0733-9429(1993)119:4(491)}}</ref>
 : <math> B = \sqrt{ \frac{ A_r }{ A_l } } \sum P_i </math>
-जहाँ एक<sub>l</sub> और ए<sub>r</sub> क्रमशः बाएँ और दाएँ शिखर के आयाम हैं और P<sub>''i''</sub> i में वितरण के अनुपात के आधार 2 पर लिया गया लघुगणक है<sup>वें</sup>अंतराल. ΣP का अधिकतम मान 1 है लेकिन B का मान इससे अधिक हो सकता है।
+जहाँ ''A''<sub>l</sub> और ''A''<sub>r</sub> क्रमशः बाएँ और दाएँ शिखर के आयाम होते हैं और P<sub>''i''</sub> iवें अंतराल मे वितरण के अनुपात के आधार 2 पर लिया गया लघुगणक होता है। ΣP का अधिकतम मान 1 होता है यघपि B का मान इससे अधिक हो सकता है।
-इस सूचकांक का उपयोग करने के लिए, मानों का लॉग लिया जाता है। फिर डेटा को चौड़ाई के अंतराल में विभाजित किया जाता है जिसका मान लॉग 2 है। चोटियों की चौड़ाई उनके अधिकतम मूल्यों पर केंद्रित चार गुना 1/4Φ मानी जाती है।
+इस सूचकांक का उपयोग करने के लिए, मानों का लॉग लिया जाता है। फिर डेटा को चौड़ाई के अंतराल में विभाजित किया जाता है जिसका मान लॉग 2 होता है। चोटियों की चौड़ाई उनके अधिकतम मूल्यों पर केंद्रित चार गुना 1/4Φ मानी जाती है।
 ===द्विविधता सूचकांक===
@@ Line 226: / Line 220: @@
 ;वांग का सूचकांक
-वांग एट अल द्वारा प्रस्तावित द्विविधता सूचकांक मानता है कि वितरण समान भिन्नताओं लेकिन अलग-अलग साधनों के साथ दो सामान्य वितरणों का योग है।<ref name=Wang2009>{{cite journal | last1 = Wang | first1 = J | last2 = Wen | first2 = S | last3 = Symmans | first3 = WF | last4 = Pusztai | first4 = L | last5 = Coombes | first5 = KR | year = 2009 | title = The bimodality index: a criterion for discovering and ranking bimodal signatures from cancer gene expression profiling data | journal = Cancer Informatics | volume = 7 | pages = 199–216 |doi=10.4137/CIN.S2846| pmid = 19718451 | pmc = 2730180 }}</ref> इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+वांग एट अल द्वारा प्रस्तावित द्विविधता सूचकांक मानता है कि वितरण समान भिन्नताओं यघपि भिन्न-भिन्न साधनों के साथ दो सामान्य वितरणों का योग होता है।<ref name=Wang2009>{{cite journal | last1 = Wang | first1 = J | last2 = Wen | first2 = S | last3 = Symmans | first3 = WF | last4 = Pusztai | first4 = L | last5 = Coombes | first5 = KR | year = 2009 | title = The bimodality index: a criterion for discovering and ranking bimodal signatures from cancer gene expression profiling data | journal = Cancer Informatics | volume = 7 | pages = 199–216 |doi=10.4137/CIN.S2846| pmid = 19718451 | pmc = 2730180 }}</ref> इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 : <math> \delta = \frac{ | \mu_1 - \mu_2 |}{ \sigma } </math>
-कहां μ<sub>1</sub>, एम<sub>2</sub> साधन हैं और σ सामान्य मानक विचलन है।
+जहाँ μ<sub>1</sub>, ''μ''<sub>2</sub> साधन और σ सामान्य मानक विचलन होता है।
 : <math> BI = \delta \sqrt{ p( 1 - p ) } </math>
-जहाँ p मिश्रण पैरामीटर है।
+जहाँ p मिश्रण पैरामीटर होता है।
 ;स्टुर्रोक का सूचकांक
-स्टुर्रोक द्वारा एक अलग जैव-मॉडलिटी सूचकांक प्रस्तावित किया गया है।<ref name=Sturrock2008>{{cite journal | last1 = Sturrock | first1 = P | year = 2008 | title = गैलेक्स और जीएनओ सौर न्यूट्रिनो डेटा से बने हिस्टोग्राम में द्विरूपता का विश्लेषण| journal = Solar Physics | volume = 249 | issue = 1| pages = 1–10 | doi=10.1007/s11207-008-9170-3|arxiv = 0711.0216 |bibcode = 2008SoPh..249....1S | s2cid = 118389173 }}</ref>
+स्टुर्रोक द्वारा अलग जैव-मॉडलिटी सूचकांक प्रस्तावित किया गया है।<ref name=Sturrock2008>{{cite journal | last1 = Sturrock | first1 = P | year = 2008 | title = गैलेक्स और जीएनओ सौर न्यूट्रिनो डेटा से बने हिस्टोग्राम में द्विरूपता का विश्लेषण| journal = Solar Physics | volume = 249 | issue = 1| pages = 1–10 | doi=10.1007/s11207-008-9170-3|arxiv = 0711.0216 |bibcode = 2008SoPh..249....1S | s2cid = 118389173 }}</ref>
-इस सूचकांक (बी) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
+इस सूचकांक (''B'') को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
 : <math> B = \frac{ 1 }{ N } \left[ \left( \sum_1^N \cos ( 2 \pi m \gamma ) \right)^2 +  \left( \sum_1^N \sin ( 2 \pi m \gamma ) \right)^2 \right] </math>
-जब m = 2 और γ को समान रूप से वितरित किया जाता है, तो B को चरघातांकीय रूप से वितरित किया जाता है।<ref name=Scargle1082>{{cite journal | last1 = Scargle | first1 = JD | year = 1982 | title = Studies in astronomical time series analysis. II – Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data | journal = The Astrophysical Journal | volume = 263 | issue = 1| pages = 835–853 | doi=10.1086/160554 | bibcode=1982ApJ...263..835S}}</ref>
+जब m = 2 और γ को समान रूप से वितरित किया जाता है, तो B को चरघातांकीय रूप से वितरित किया जाता है।<ref name="Scargle1082">{{cite journal | last1 = Scargle | first1 = JD | year = 1982 | title = Studies in astronomical time series analysis. II – Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data | journal = The Astrophysical Journal | volume = 263 | issue = 1| pages = 835–853 | doi=10.1086/160554 | bibcode=1982ApJ...263..835S}}</ref>
-यह आँकड़ा आवर्त सारणी का एक रूप है। यह आँकड़ों के इस रूप में आम अनुमान और वर्णक्रमीय रिसाव की सामान्य समस्याओं से ग्रस्त है।
+यह आँकड़ा आवर्त सारणी का रूप होता है। यह आँकड़ों के इस रूप में आम प्राक्लन और वर्णक्रमीय रिसाव की सामान्य समस्याओं से ग्रस्त होता है।
 ;डी मिशेल और एकाटिनो का सूचकांक
-डी मिशेल और एकाटिनो द्वारा एक और जैव-मॉडलिटी सूचकांक प्रस्तावित किया गया है।<ref name=deMichele2014>{{cite journal | last1 = De Michele | first1 = C | last2 = Accatino | first2 = F | year = 2014 | title = सवाना और जंगलों में वृक्ष आवरण जैव-विविधता दो अग्नि गतिकी के बीच स्विचिंग से उभर रही है| journal = PLOS ONE | volume =  9| issue = 3| pages =  e91195| doi = 10.1371/journal.pone.0091195 |bibcode = 2014PLoSO...991195D | pmid=24663432 | pmc=3963849| doi-access = free }}</ref> इनका सूचकांक (बी) है
+डी मिशेल और एकाटिनो द्वारा और जैव-मॉडलिटी सूचकांक प्रस्तावित किया जाता है।<ref name=deMichele2014>{{cite journal | last1 = De Michele | first1 = C | last2 = Accatino | first2 = F | year = 2014 | title = सवाना और जंगलों में वृक्ष आवरण जैव-विविधता दो अग्नि गतिकी के बीच स्विचिंग से उभर रही है| journal = PLOS ONE | volume =  9| issue = 3| pages =  e91195| doi = 10.1371/journal.pone.0091195 |bibcode = 2014PLoSO...991195D | pmid=24663432 | pmc=3963849| doi-access = free }}</ref> इनका सूचकांक (B) होता है
 : <math> B = | \mu - \mu_M | </math>
-जहां μ नमूने का अंकगणितीय माध्य है और
+जहाँ μ प्रतिरूप का अंकगणितीय माध्य होता है और
 : <math> \mu_M = \frac{ \sum_{ i = 1 }^L m_i x_i }{ \sum_{ i = 1 }^L m_i } </math>
-कहाँ एम<sub>''i''</sub> i में डेटा बिंदुओं की संख्या है<sup>वें</sup>बिन, एक्स<sub>''i''</sub> का केंद्र है I<sup>वें</sup>बिन और एल डिब्बे की संख्या है।
+जहाँ ''m<sub>i</sub>'' ''i''<sup>th</sup> बिन में डेटा बिंदुओं की संख्या है, ''x<sub>i \</sub>'' ''i''<sup>th</sup> बिन का केंद्र होता L बिन की संख्या होती है।
-लेखकों ने बाइमोडल (बी > 0.1) और यूनिमॉडल (बी <0.1) वितरण के बीच अंतर करने के लिए बी के लिए 0.1 के कट-ऑफ मान का सुझाव दिया। इस मूल्य के लिए कोई सांख्यिकीय औचित्य प्रस्तुत नहीं किया गया।
+लेखकों ने बाइमोडल (बी > 0.1) और यूनिमॉडल (बी <0.1) वितरण के मध्य अंतर करने के लिए बी के लिए 0.1 के कट-ऑफ मान का सुझाव दिया जाता है। इस मूल्य के लिए कोई सांख्यिकीय औचित्य प्रस्तुत नहीं किया गया है।
 ;सैमब्रूक स्मिथ का सूचकांक
-सैम्ब्रुक स्मिथ एट अल द्वारा एक और सूचकांक (बी) प्रस्तावित किया गया है<ref name=SambrookSmith1997>{{cite journal | last1 = Sambrook Smith | first1 = GH | last2 = Nicholas | first2 = AP | last3 = Ferguson | first3 = RI | year = 1997 | title = Measuring and defining bimodal sediments: Problems and implications | journal = Water Resources Research | volume = 33 | issue = 5| pages = 1179–1185 | doi=10.1029/97wr00365 | bibcode=1997WRR....33.1179S| doi-access = free }}</ref>
+सैम्ब्रुक स्मिथ एट अल द्वारा और सूचकांक (''B'') प्रस्तावित किया गया है<ref name=SambrookSmith1997>{{cite journal | last1 = Sambrook Smith | first1 = GH | last2 = Nicholas | first2 = AP | last3 = Ferguson | first3 = RI | year = 1997 | title = Measuring and defining bimodal sediments: Problems and implications | journal = Water Resources Research | volume = 33 | issue = 5| pages = 1179–1185 | doi=10.1029/97wr00365 | bibcode=1997WRR....33.1179S| doi-access = free }}</ref>
 <math> B = | \phi_2 - \phi_1 | \frac{ p_2 }{ p_1 } </math>
-जहां पी<sub>1</sub> और पी<sub>2</sub> प्राथमिक (अधिक आयाम वाले) और द्वितीयक (कम आयाम वाले) मोड और φ में निहित अनुपात हैं<sub>1</sub> और φ<sub>2</sub> प्राथमिक और द्वितीयक मोड के φ-आकार हैं। φ-आकार को आधार 2 पर लिए गए डेटा आकार के लॉग के एक गुना से कम के रूप में परिभाषित किया गया है। इस परिवर्तन का उपयोग आमतौर पर तलछट के अध्ययन में किया जाता है।
-लेखकों ने 1.5 के कट-ऑफ मान की सिफारिश की, जिसमें बी एक द्वि-मॉडल वितरण के लिए 1.5 से अधिक और एक यूनिमॉडल वितरण के लिए 1.5 से कम है। इस मूल्य के लिए कोई सांख्यिकीय औचित्य नहीं दिया गया।
+जहाँ ''p''<sub>1</sub> और ''p''<sub>2</sub> प्राथमिक (अधिक आयाम वाले) और द्वितीयक (कम आयाम वाले) मोड और φ में निहित अनुपात ''φ''<sub>1</sub> और φ<sub>2</sub> प्राथमिक और द्वितीयक मोड के φ-आकार होते हैं। φ-आकार को आधार 2 पर लिए गए डेटा आकार के लॉग के गुना से कम के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस परिवर्तन का उपयोग सामान्यतः तलछट के अध्ययन में किया जाता है।
+लेखकों ने 1.5 के कट-ऑफ मान की विनती की, जिसमें ''B'' द्वि-मॉडल वितरण के लिए 1.5 से अधिक और यूनिमॉडल वितरण के लिए 1.5 से कम होता है। इस मूल्य के लिए कोई सांख्यिकीय औचित्य नहीं दिया जाता है।
 ;ओत्सु की विधि
-दो मोड के बीच पृथक्करण की सीमा खोजने के लिए ओत्सु की विधि मात्रा को कम करने पर निर्भर करती है
+दो मोड के मध्य पृथक्करण की सीमा अन्वेषण के लिए ओत्सु की विधि मात्रा को कम करने पर निर्भर करती है
-<math display=block> \frac{ n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2 }{ m \sigma^2 } </math>
+<math display=block> \frac{ n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2 }{ m \sigma^2 } </math>जहाँ ''n<sub>i</sub>'' ''i''<sup>th</sup> उप-जनसंख्या में डेटा बिंदुओं की संख्या है, σ<sub>''i''</sub><sup>2</sup> ''i''<sup>th</sup> उप-जनसंख्या का विचरण है, ''m प्रतिरूप'' का कुल आकार होता है और σ<sup>2</sup> नमूना विचरण होता है। कुछ शोधकर्ताओं (विशेष रूप से [[डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग]] के क्षेत्र में) ने इस मात्रा को द्विरूपता का पता लगाने के लिए सूचकांक के रूप में अधिक व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है, जिसमें छोटा मान अधिक द्विमोडल वितरण का संकेत देता है।<ref name="Chaudhuri2010">{{cite journal | last1 = Chaudhuri | first1 = D | last2 = Agrawal | first2 = A | year = 2010 | title = बिमोडालिटी डिटेक्शन दृष्टिकोण का उपयोग करके छवि विभाजन के लिए स्प्लिट-एंड-मर्ज प्रक्रिया| journal = Defence Science Journal | volume = 60 | issue = 3| pages = 290–301 | doi=10.14429/dsj.60.356| doi-access = free }}</ref>
-कहां एन<sub>''i''</sub> i में डेटा बिंदुओं की संख्या है<sup>वें</sup>उपजनसंख्या, σ<sub>''i''</sub><sup>2</sup>i का प्रसरण है<sup>वें</sup>उपजनसंख्या, मी नमूने का कुल आकार है और σ है<sup>2</sup>नमूना विचरण है। कुछ शोधकर्ताओं (विशेष रूप से [[डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग]] के क्षेत्र में) ने इस मात्रा को द्विरूपता का पता लगाने के लिए एक सूचकांक के रूप में अधिक व्यापक रूप से लागू किया है, जिसमें एक छोटा मान अधिक द्विमोडल वितरण का संकेत देता है।<ref name=Chaudhuri2010>{{cite journal | last1 = Chaudhuri | first1 = D | last2 = Agrawal | first2 = A | year = 2010 | title = बिमोडालिटी डिटेक्शन दृष्टिकोण का उपयोग करके छवि विभाजन के लिए स्प्लिट-एंड-मर्ज प्रक्रिया| journal = Defence Science Journal | volume = 60 | issue = 3| pages = 290–301 | doi=10.14429/dsj.60.356| doi-access = free }}</ref>
-==सांख्यिकीय परीक्षण==
-यह निर्धारित करने के लिए कई परीक्षण उपलब्ध हैं कि डेटा सेट को द्विमॉडल (या मल्टीमॉडल) फैशन में वितरित किया गया है या नहीं।
+== सांख्यिकीय परीक्षण ==
+यह निर्धारित करने के लिए कई परीक्षण उपलब्ध होता हैं कि डेटा समुच्चय को द्विमॉडल (या मल्टीमॉडल) फैशन में वितरित किया गया है या नहीं।
 ===ग्राफ़िकल विधियाँ===
-तलछट के अध्ययन में, कण का आकार अक्सर द्वि-मोडल होता है। अनुभवजन्य रूप से, कणों के लॉग (आकार) के विरुद्ध आवृत्ति को प्लॉट करना उपयोगी पाया गया है।<ref name=Folk1957>{{cite journal | last1 = Folk | first1 = RL | last2 = Ward | first2 = WC | year = 1957 | title = Brazos River bar: a study in the significance of grain size parameters | url = https://doi.pangaea.de/10.1594/PANGAEA.896129| journal = Journal of Sedimentary Research | volume = 27 | issue = 1| pages = 3–26 | doi=10.1306/74d70646-2b21-11d7-8648000102c1865d|bibcode = 1957JSedR..27....3F }}</ref><ref name=Dyer1970>{{cite journal | last1 = Dyer | first1 = KR | year = 1970 | title = रेतीली बजरी के लिए अनाज के आकार के पैरामीटर| journal = Journal of Sedimentary Research | volume = 40 | issue = 2| pages = 616–620 |doi=10.1306/74D71FE6-2B21-11D7-8648000102C1865D}}</ref> यह आमतौर पर कणों को द्विमोडल वितरण में स्पष्ट पृथक्करण देता है। भूवैज्ञानिक अनुप्रयोगों में लघुगणक को आम तौर पर आधार 2 पर ले जाया जाता है। लॉग रूपांतरित मानों को फाई (Φ) इकाइयों के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रणाली को अनाज के आकार (या फाई) पैमाने के रूप में जाना जाता है।
+तलछट के अध्ययन में, कण का आकार अधिकांशतः द्वि-मोडल होता है। अनुभवजन्य रूप से, कणों के लॉग (आकार) के विरुद्ध आवृत्ति को प्लॉट करना उपयोगी पाया गया है।<ref name=Folk1957>{{cite journal | last1 = Folk | first1 = RL | last2 = Ward | first2 = WC | year = 1957 | title = Brazos River bar: a study in the significance of grain size parameters | url = https://doi.pangaea.de/10.1594/PANGAEA.896129| journal = Journal of Sedimentary Research | volume = 27 | issue = 1| pages = 3–26 | doi=10.1306/74d70646-2b21-11d7-8648000102c1865d|bibcode = 1957JSedR..27....3F }}</ref><ref name=Dyer1970>{{cite journal | last1 = Dyer | first1 = KR | year = 1970 | title = रेतीली बजरी के लिए अनाज के आकार के पैरामीटर| journal = Journal of Sedimentary Research | volume = 40 | issue = 2| pages = 616–620 |doi=10.1306/74D71FE6-2B21-11D7-8648000102C1865D}}</ref> इस प्रकार यह सामान्यतः कणों को द्विमोडल वितरण में स्पष्ट पृथक्करण देता है। भूवैज्ञानिक अनुप्रयोगों में लघुगणक को सामान्यतःआधार 2 पर ले जाया जाता है। लॉग रूपांतरित मानों को फाई (Φ) इकाइयों के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रणाली को अनाज के आकार (या फाई) पैमाने के रूप में जाना जाता है।
-एक वैकल्पिक विधि संचयी आवृत्ति के विरुद्ध कण आकार के लॉग को प्लॉट करना है। इस ग्राफ़ में आम तौर पर एंटीमोड के अनुरूप कनेक्टिंग लाइन के साथ दो उचित सीधी रेखाएं शामिल होंगी।
+वैकल्पिक विधि संचयी आवृत्ति के विरुद्ध कण आकार के लॉग को प्लॉट करता है। इस ग्राफ़ में सामान्यतः एंटीमोड के अनुरूप कनेक्टिंग लाइन के साथ दो उचित सीधी रेखाएं सम्मलित होती है।
 ;सांख्यिकी
-कई आँकड़ों के लिए अनुमानित मान ग्राफ़िक प्लॉट से प्राप्त किए जा सकते हैं।<ref name=Folk1957/>
+कई आँकड़ों के लिए प्राक्लनित मान ग्राफ़िक प्लॉट से प्राप्त किए जा सकते हैं।<ref name=Folk1957/>
 : <math>\mathit{Mean} = \frac{ \phi_{ 16 } + \phi_{ 50 } + \phi_{ 84 } }{ 3 }</math>
@@ Line 289: / Line 283: @@
 : <math>\mathit{Skew} = \frac{ \phi_{ 84 } +  \phi_{ 16 } - 2  \phi_{ 50 } }{ 2 ( \phi_{ 84 } -  \phi_{ 16 } ) } + \frac{ \phi_{ 95 } +  \phi_{ 5 } -  2 \phi_{ 50 } }{ 2( \phi_{ 95 } - \phi_{ 5 } ) } </math>
 : <math>\mathit{Kurt} = \frac{ \phi_{ 95 } - \phi_{ 5 } }{ 2.44 ( \phi_{ 75 } - \phi_{ 25 } ) }</math>
-जहां माध्य माध्य है, StdDev मानक विचलन है, तिरछा तिरछापन है, कर्ट कर्टोसिस है और φ<sub>x</sub> x पर चर φ का मान है<sup>वितरण का प्रतिशत.
+जहाँ माध्य माध्य होता है, मानक विचलन होता है, परोक्ष परोक्षपन होता है, कर्ट कर्टोसिस होता है और φ<sub>x</sub> x पर चर φ का मान होता है। <sup>.
 ===यूनिमॉडल बनाम बाइमोडल वितरण===
-में पियर्सन पहले व्यक्ति थे जिन्होंने यह परीक्षण करने के लिए एक प्रक्रिया तैयार की कि क्या एक वितरण को दो सामान्य वितरणों में हल किया जा सकता है।<ref name=Pearson1894>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = K | year = 1894 | title = Contributions to the mathematical theory of evolution: On the dissection of asymmetrical frequency-curves | journal = Philosophical Transactions of the Royal Society A | volume = 185 | pages = 71–90 | doi=10.1098/rsta.1894.0003| bibcode = 1894RSPTA.185...71P| doi-access = free }}</ref> इस विधि के लिए नौवें क्रम के [[बहुपद]] के समाधान की आवश्यकता होती है। बाद के एक पेपर में पियर्सन ने बताया कि किसी भी वितरण विषमता के लिए<sup>2</sup> + 1 <कर्टोसिस.<ref name=Pearson1916/>बाद में पियर्सन ने वह दिखाया<ref name=Pearson1929>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = K | year = 1929 | title = संपादकीय नोट| journal = Biometrika | volume = 21 | pages = 370–375 }}</ref>
+में पियर्सन पहले व्यक्ति थे जिन्होंने यह परीक्षण करने के लिए प्रक्रिया तैयार की कि क्या वितरण को दो सामान्य वितरणों में हल किया जा सकता है।<ref name=Pearson1894>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = K | year = 1894 | title = Contributions to the mathematical theory of evolution: On the dissection of asymmetrical frequency-curves | journal = Philosophical Transactions of the Royal Society A | volume = 185 | pages = 71–90 | doi=10.1098/rsta.1894.0003| bibcode = 1894RSPTA.185...71P| doi-access = free }}</ref> इस विधि के लिए नौवें क्रम के [[बहुपद]] के समाधान की आवश्यकता होती है। पश्चात् के पेपर में पियर्सन ने बताया कि किसी भी वितरण विषमता <sup>2</sup> + 1 के लिए <कर्टोसिस होता है। <ref name=Pearson1916/>पश्चात् में पियर्सन ने यह सिद्ध भी किया था।<ref name=Pearson1929>{{cite journal | last1 = Pearson | first1 = K | year = 1929 | title = संपादकीय नोट| journal = Biometrika | volume = 21 | pages = 370–375 }}</ref>
 : <math> b_2 - b_1 \ge 1 </math>
-कहां बी<sub>2</sub> कुर्टोसिस है और बी<sub>1</sub> तिरछापन का वर्ग है. समानता केवल दो बिंदु बर्नौली वितरण या दो अलग-अलग डिराक डेल्टा कार्यों के योग के लिए है। ये द्विरूपता के संभावित सबसे चरम मामले हैं। इन दोनों मामलों में कर्टोसिस 1 है। चूंकि वे दोनों सममित हैं, इसलिए उनकी विषमता 0 है और अंतर 1 है।
+जहाँ ''b''<sub>2</sub> कुर्टोसिस है और b<sub>1</sub> परोक्षपन का वर्ग होता है। समानता मात्र दो बिंदु बर्नौली वितरण या दो भिन्न-भिन्न डिराक डेल्टा कार्यों के योग के लिए होता है। ये द्विरूपता के संभावित सबसे चरम स्थिति होती है । इन दोनों स्थितियों में कर्टोसिस 1 होती है। चूंकि वे दोनों सममित होते हैं, इसलिए उनकी विषमता 0 है और अंतर 1 होता है।
-बेकर ने बाइमॉडल को यूनिमॉडल वितरण में बदलने के लिए एक परिवर्तन का प्रस्ताव रखा।<ref name=Baker1930>{{cite journal | last1 = Baker | first1 = GA | year = 1930 | title = द्विमोडल वितरण का परिवर्तन| journal = Annals of Mathematical Statistics | volume = 1 | issue = 4| pages = 334–344 | doi=10.1214/aoms/1177733063| doi-access = free }}</ref>
+बेकर ने बाइमॉडल को यूनिमॉडल वितरण में बदलने के लिए परिवर्तन का प्रस्ताव रखा था।<ref name=Baker1930>{{cite journal | last1 = Baker | first1 = GA | year = 1930 | title = द्विमोडल वितरण का परिवर्तन| journal = Annals of Mathematical Statistics | volume = 1 | issue = 4| pages = 334–344 | doi=10.1214/aoms/1177733063| doi-access = free }}</ref>
-एकरूपता बनाम द्विरूपता के कई परीक्षण प्रस्तावित किए गए हैं: हाल्डेन ने दूसरे केंद्रीय अंतर के आधार पर एक का सुझाव दिया।<ref name=Haldane1951>{{cite journal | last1 = Haldane | first1 = JBS | year = 1951 | title = द्वि-मॉडलिटी और बिटैंजेंशियलिटी के लिए सरल परीक्षण| journal = Annals of Eugenics  | volume = 16 | issue = 1| pages = 359–364 | doi = 10.1111/j.1469-1809.1951.tb02488.x | pmid = 14953132 }}</ref> लार्किन ने बाद में एफ परीक्षण पर आधारित एक परीक्षण पेश किया;<ref name=Larkin1979>{{cite journal | last1 = Larkin | first1 = RP | year = 1979 | title = एक अविभाज्य वितरण में द्विरूपता बनाम एकरूपता का आकलन करने के लिए एक एल्गोरिदम| journal = Behavior Research Methods & Instrumentation | volume = 11 | issue = 4| pages = 467–468 | doi = 10.3758/BF03205709 | doi-access = free }}</ref> बेनेट ने जी-टेस्ट|फिशर के जेड टेस्ट के आधार पर एक बनाया।<ref name=Bennett1992>{{cite journal | last1 = Bennett | first1 = SC | year = 1992 | title = कपाल शिखरों पर टिप्पणियों के साथ ''पेरानोडोन'' और अन्य टेरोसॉर का यौन द्विरूपता| journal = Journal of Vertebrate Paleontology | volume = 12 | issue = 4| pages = 422–434 | doi=10.1080/02724634.1992.10011472}}</ref> टोकेशी ने चौथे परीक्षण का प्रस्ताव रखा है।<ref name=Tokeshi1992>{{cite journal | last1 = Tokeshi | first1 = M | year = 1992 | title = Dynamics and distribution in animal communities; theory and analysis | journal = Researches on Population Ecology | volume = 34 | issue = 2| pages = 249–273 | doi=10.1007/bf02514796| s2cid = 22912914 }}</ref><ref name=Barreto2003>{{cite journal | last1 = Barreto | first1 = S | last2 = Borges | first2 = PAV | last3 = Guo | first3 = Q | year = 2003 | title = टोकेशी के द्विरूपता परीक्षण में एक टाइपिंग त्रुटि| journal = Global Ecology and Biogeography | volume = 12 | issue = 2| pages = 173–174 | doi=10.1046/j.1466-822x.2003.00018.x| hdl = 10400.3/1408 | hdl-access = free }}</ref> होल्ज़मैन और वोल्मर द्वारा संभावना अनुपात पर आधारित एक परीक्षण प्रस्तावित किया गया है।<ref name=Holzmann2008/>
-स्कोर और वाल्ड परीक्षणों पर आधारित एक विधि प्रस्तावित की गई है।<ref name=Carolan2001>{{cite journal | last1 = Carolan | first1 = AM | last2 = Rayner | first2 = JCW | year = 2001 | title = एक नमूना गैर-सामान्य डेटा के मोड के स्थान का परीक्षण करता है| journal =  Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences| volume = 5 | issue = 1| pages = 1–19 | doi=10.1155/s1173912601000013| citeseerx = 10.1.1.504.4999 | doi-access = free }}</ref> अंतर्निहित वितरण ज्ञात होने पर यह विधि यूनिमॉडल और बाइमोडल वितरण के बीच अंतर कर सकती है।
+एकरूपता विरूद्ध द्विरूपता के कई परीक्षण प्रस्तावित किए गए हैं: हाल्डेन ने दूसरे केंद्रीय अंतर के आधार पर का सुझाव दिया।<ref name="Haldane1951">{{cite journal | last1 = Haldane | first1 = JBS | year = 1951 | title = द्वि-मॉडलिटी और बिटैंजेंशियलिटी के लिए सरल परीक्षण| journal = Annals of Eugenics  | volume = 16 | issue = 1| pages = 359–364 | doi = 10.1111/j.1469-1809.1951.tb02488.x | pmid = 14953132 }}</ref> लार्किन ने पश्चात् में एफ परीक्षण पर आधारित परीक्षण प्रस्तुत किया था;<ref name="Larkin1979">{{cite journal | last1 = Larkin | first1 = RP | year = 1979 | title = एक अविभाज्य वितरण में द्विरूपता बनाम एकरूपता का आकलन करने के लिए एक एल्गोरिदम| journal = Behavior Research Methods & Instrumentation | volume = 11 | issue = 4| pages = 467–468 | doi = 10.3758/BF03205709 | doi-access = free }}</ref> बेनेट ने जी-टेस्ट|फिशर के जेड टेस्ट के आधार पर इसको बनाया था।<ref name="Bennett1992">{{cite journal | last1 = Bennett | first1 = SC | year = 1992 | title = कपाल शिखरों पर टिप्पणियों के साथ ''पेरानोडोन'' और अन्य टेरोसॉर का यौन द्विरूपता| journal = Journal of Vertebrate Paleontology | volume = 12 | issue = 4| pages = 422–434 | doi=10.1080/02724634.1992.10011472}}</ref> टोकेशी ने चौथे परीक्षण का प्रस्ताव रखा है।<ref name="Tokeshi1992">{{cite journal | last1 = Tokeshi | first1 = M | year = 1992 | title = Dynamics and distribution in animal communities; theory and analysis | journal = Researches on Population Ecology | volume = 34 | issue = 2| pages = 249–273 | doi=10.1007/bf02514796| s2cid = 22912914 }}</ref><ref name="Barreto2003">{{cite journal | last1 = Barreto | first1 = S | last2 = Borges | first2 = PAV | last3 = Guo | first3 = Q | year = 2003 | title = टोकेशी के द्विरूपता परीक्षण में एक टाइपिंग त्रुटि| journal = Global Ecology and Biogeography | volume = 12 | issue = 2| pages = 173–174 | doi=10.1046/j.1466-822x.2003.00018.x| hdl = 10400.3/1408 | hdl-access = free }}</ref> होल्ज़मैन और वोल्मर द्वारा संभावना अनुपात पर आधारित परीक्षण प्रस्तावित किया गया है।<ref name="Holzmann2008" />
+स्कोर और वाल्ड परीक्षणों पर आधारित विधि प्रस्तावित की गई है।<ref name=Carolan2001>{{cite journal | last1 = Carolan | first1 = AM | last2 = Rayner | first2 = JCW | year = 2001 | title = एक नमूना गैर-सामान्य डेटा के मोड के स्थान का परीक्षण करता है| journal =  Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences| volume = 5 | issue = 1| pages = 1–19 | doi=10.1155/s1173912601000013| citeseerx = 10.1.1.504.4999 | doi-access = free }}</ref> अंतर्निहित वितरण ज्ञात होने पर यह विधि यूनिमॉडल और बाइमोडल वितरण के मध्य अंतर कर सकती है।
 ===एंटीमोड परीक्षण===
-एंटीमोड के लिए सांख्यिकीय परीक्षण ज्ञात हैं।<ref name=Hartigan2000>{{cite book |last=Hartigan |first=J. A. |date=2000 |chapter=Testing for Antimodes |editor1=Gaul W |editor2=Opitz O |editor3=Schader M |title=डेटा विश्लेषण|series=Studies in Classification, Data Analysis, and Knowledge Organization |publisher=Springer |pages=169–181 |isbn=3-540-67731-3 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=WVDmCAAAQBAJ&pg=PA169 }}</ref>
+एंटीमोड के लिए सांख्यिकीय परीक्षण ज्ञात होता हैं।<ref name=Hartigan2000>{{cite book |last=Hartigan |first=J. A. |date=2000 |chapter=Testing for Antimodes |editor1=Gaul W |editor2=Opitz O |editor3=Schader M |title=डेटा विश्लेषण|series=Studies in Classification, Data Analysis, and Knowledge Organization |publisher=Springer |pages=169–181 |isbn=3-540-67731-3 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=WVDmCAAAQBAJ&pg=PA169 }}</ref>
 ;ओत्सु की विधि
-दो वितरणों के बीच इष्टतम पृथक्करण निर्धारित करने के लिए ओट्सू की विधि आमतौर पर कंप्यूटर ग्राफिक्स में नियोजित की जाती है।
+दो वितरणों के मध्य श्रेष्ट पृथक्करण निर्धारित करने के लिए ओट्सू की विधि सामान्यतः कंप्यूटर ग्राफिक्स में नियोजित की जाती है।
 ===सामान्य परीक्षण===
-यह जांचने के लिए कि क्या कोई वितरण यूनिमॉडल के अलावा अन्य है, कई अतिरिक्त परीक्षण तैयार किए गए हैं: [[बैंडविड्थ परीक्षण (मल्टीमॉडल)]],<ref name=Silverman1981/>[[डुबकी परीक्षण]],<ref name=Hartigan1985>{{cite journal | last1 = Hartigan | first1 = JA | last2 = Hartigan | first2 = PM | year = 1985 | title = एकरूपता का डुबकी परीक्षण| journal = Annals of Statistics | volume = 13 | issue = 1| pages = 70–84 | doi=10.1214/aos/1176346577| doi-access = free }}</ref> [[अतिरिक्त द्रव्यमान परीक्षण]],<ref name=Mueller1991>{{cite journal | last1 = Mueller | first1 = DW | last2 = Sawitzki | first2 = G | year = 1991 | title = मल्टीमोडैलिटी के लिए अतिरिक्त द्रव्यमान अनुमान और परीक्षण| journal = Journal of the American Statistical Association | volume = 86 | issue = 415| pages = 738–746 |jstor=2290406 | doi=10.1080/01621459.1991.10475103}}</ref> एमएपी परीक्षण,<ref name="Rozál1994">{{cite journal | last1 = Rozál | first1 = GPM Hartigan JA | year = 1994 | title = मल्टीमोडैलिटी के लिए एमएपी परीक्षण| journal = Journal of Classification | volume = 11 | issue = 1| pages = 5–36 | doi = 10.1007/BF01201021 | s2cid = 118500771 }}</ref> [[मोड अस्तित्व परीक्षण]], रेफरी नाम=मिन्नोटे1997>{{cite journal | last1 = Minnotte | first1 = MC | year = 1997 | title = मोड के अस्तित्व का गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण| journal = Annals of Statistics | volume = 25 | issue = 4| pages = 1646–1660 | doi=10.1214/aos/1031594735| doi-access = free }}</ref> [[चालू परीक्षण]], रेफरी नाम = हार्टिगन1992>{{cite journal | last1 = Hartigan | first1 = JA | last2 = Mohanty | first2 = S | year = 1992 | title = बहुविधता के लिए RUNT परीक्षण| journal = Journal of Classification | volume = 9 | pages = 63–70 | doi=10.1007/bf02618468| s2cid = 121960832 }}</ref><ref name=Andrushkiw2008>{{cite journal |author1=Andrushkiw RI |author2=Klyushin DD |author3=Petunin YI |date=2008 |title=एकरूपता के लिए एक नई परीक्षा|journal=Theory of Stochastic Processes |volume=14 |issue=1 |pages=1–6}}</ref> स्पैन परीक्षण,<ref name=Hartigan1988>{{cite book |last=Hartigan |first=J. A. |year=1988 |chapter=The Span Test of Multimodality |title=डेटा विश्लेषण का वर्गीकरण और संबंधित तरीके|editor-first=H. H. |editor-last=Bock |publisher=North-Holland |location=Amsterdam |pages=229–236 |isbn=0-444-70404-3 }}</ref> और [[काठी परीक्षण]].
+यह जांचने के लिए कि क्या कोई वितरण यूनिमॉडल के अतिरिक्त  है, कई अतिरिक्त परीक्षण तैयार किए गए हैं: [[बैंडविड्थ परीक्षण (मल्टीमॉडल)]],<ref name=Silverman1981/>[[डुबकी परीक्षण|डिप परीक्षण]],<ref name=Hartigan1985>{{cite journal | last1 = Hartigan | first1 = JA | last2 = Hartigan | first2 = PM | year = 1985 | title = एकरूपता का डुबकी परीक्षण| journal = Annals of Statistics | volume = 13 | issue = 1| pages = 70–84 | doi=10.1214/aos/1176346577| doi-access = free }}</ref> [[अतिरिक्त द्रव्यमान परीक्षण]],<ref name=Mueller1991>{{cite journal | last1 = Mueller | first1 = DW | last2 = Sawitzki | first2 = G | year = 1991 | title = मल्टीमोडैलिटी के लिए अतिरिक्त द्रव्यमान अनुमान और परीक्षण| journal = Journal of the American Statistical Association | volume = 86 | issue = 415| pages = 738–746 |jstor=2290406 | doi=10.1080/01621459.1991.10475103}}</ref> एमएपी परीक्षण,<ref name="Rozál1994">{{cite journal | last1 = Rozál | first1 = GPM Hartigan JA | year = 1994 | title = मल्टीमोडैलिटी के लिए एमएपी परीक्षण| journal = Journal of Classification | volume = 11 | issue = 1| pages = 5–36 | doi = 10.1007/BF01201021 | s2cid = 118500771 }}</ref> [[मोड अस्तित्व परीक्षण]], [[चालू परीक्षण|रन परीक्षण]],<ref name=Andrushkiw2008>{{cite journal |author1=Andrushkiw RI |author2=Klyushin DD |author3=Petunin YI |date=2008 |title=एकरूपता के लिए एक नई परीक्षा|journal=Theory of Stochastic Processes |volume=14 |issue=1 |pages=1–6}}</ref> स्पैन परीक्षण,<ref name=Hartigan1988>{{cite book |last=Hartigan |first=J. A. |year=1988 |chapter=The Span Test of Multimodality |title=डेटा विश्लेषण का वर्गीकरण और संबंधित तरीके|editor-first=H. H. |editor-last=Bock |publisher=North-Holland |location=Amsterdam |pages=229–236 |isbn=0-444-70404-3 }}</ref> और [[काठी परीक्षण|सैडल परीक्षण]]।
-[[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)]] के लिए डिप टेस्ट का कार्यान्वयन उपलब्ध है।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/diptest/index.html|title=diptest: Hartigan's Dip Test Statistic for Unimodality - Corrected|first1=Martin Maechler (originally from Fortran and S.-plus by Dario|last1=Ringach|last2=NYU.edu)|date=5 December 2016|via=R-Packages}}</ref> डिप स्टेटिस्टिक मानों के लिए पी-मान 0 और 1 के बीच होते हैं। 0.05 से कम पी-मान महत्वपूर्ण मल्टीमोडैलिटी को दर्शाते हैं और 0.05 से अधिक लेकिन 0.10 से कम पी-वैल्यू सीमांत महत्व के साथ मल्टीमोडैलिटी का संकेत देते हैं।<ref name=FreemanDale2012>{{cite journal | last1 = Freeman | last2 = Dale | year = 2012 | title = दोहरी संज्ञानात्मक प्रक्रिया की उपस्थिति का पता लगाने के लिए द्विरूपता का आकलन करना| journal = Behavior Research Methods | volume = 45 | issue = 1 | pages = 83–97 | doi = 10.3758/s13428-012-0225-x | pmid = 22806703 | s2cid = 14500508 | url = http://psych.nyu.edu/freemanlab/pubs/2012_BRM.pdf| doi-access = free }}</ref>
-===सिल्वरमैन का परीक्षण===
+[[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)]] के लिए डिप टेस्ट का कार्यान्वयन उपलब्ध होता है।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/diptest/index.html|title=diptest: Hartigan's Dip Test Statistic for Unimodality - Corrected|first1=Martin Maechler (originally from Fortran and S.-plus by Dario|last1=Ringach|last2=NYU.edu)|date=5 December 2016|via=R-Packages}}</ref> डिप स्टेटिस्टिक मानों के लिए p-मान 0 और 1 के मध्य होते हैं। 0.05 से कम p-मान महत्वपूर्ण मल्टीमोडैलिटी को प्रदर्शित करते हैं और 0.05 से अधिक यघपि 0.10 से कम p-वैल्यू सीमांत महत्व के साथ मल्टीमोडैलिटी का संकेत देते हैं।<ref name=FreemanDale2012>{{cite journal | last1 = Freeman | last2 = Dale | year = 2012 | title = दोहरी संज्ञानात्मक प्रक्रिया की उपस्थिति का पता लगाने के लिए द्विरूपता का आकलन करना| journal = Behavior Research Methods | volume = 45 | issue = 1 | pages = 83–97 | doi = 10.3758/s13428-012-0225-x | pmid = 22806703 | s2cid = 14500508 | url = http://psych.nyu.edu/freemanlab/pubs/2012_BRM.pdf| doi-access = free }}</ref>
-सिल्वरमैन ने मोड की संख्या के लिए एक बूटस्ट्रैप विधि पेश की।<ref name=Silverman1981>{{cite journal | last1 = Silverman | first1 = B. W. | year = 1981 | title = मल्टीमॉडलिटी की जांच के लिए कर्नेल घनत्व अनुमान का उपयोग करना| journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series B | volume = 43 | issue = 1| pages = 97–99 |jstor=2985156| bibcode = 1981JRSSB..43...97S | doi=10.1111/j.2517-6161.1981.tb01155.x}}</ref> परीक्षण एक निश्चित बैंडविड्थ का उपयोग करता है जो परीक्षण की शक्ति और इसकी व्याख्या को कम कर देता है। सुचारू घनत्व के तहत अत्यधिक संख्या में मोड हो सकते हैं जिनकी बूटस्ट्रैपिंग के दौरान गिनती अस्थिर होती है।
+=== सिल्वरमैन का परीक्षण ===
+सिल्वरमैन ने मोड की संख्या के लिए बूटस्ट्रैप विधि प्रस्तुत की थी।<ref name=Silverman1981>{{cite journal | last1 = Silverman | first1 = B. W. | year = 1981 | title = मल्टीमॉडलिटी की जांच के लिए कर्नेल घनत्व अनुमान का उपयोग करना| journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series B | volume = 43 | issue = 1| pages = 97–99 |jstor=2985156| bibcode = 1981JRSSB..43...97S | doi=10.1111/j.2517-6161.1981.tb01155.x}}</ref> परीक्षण निश्चित बैंडविड्थ का उपयोग करता है जो परीक्षण की शक्ति और इसकी व्याख्या को कम कर देता है। सुचारू घनत्व के तहत अत्यधिक संख्या में मोड हो सकते हैं जिनकी बूटस्ट्रैपिंग के अवधि गिनती अस्थिर होती है।
 ===बज्गीर-अग्रवाल परीक्षण===
-बाजगीर और अग्रवाल ने वितरण के कुर्टोसिस के आधार पर एक परीक्षण का प्रस्ताव दिया है।<ref name=Bajgier1991>{{cite journal |author1=Bajgier SM |author2=Aggarwal LK |date=1991 |title=संतुलित मिश्रित सामान्य वितरण का पता लगाने में फिट परीक्षण की शक्तियाँ|journal=Educational and Psychological Measurement |volume=51 |issue=2 |pages=253–269 |doi=10.1177/0013164491512001|s2cid=121113601 }}</ref>
+बाजगीर और अग्रवाल ने वितरण के कुर्टोसिस के आधार पर परीक्षण का प्रस्ताव दिया है।<ref name=Bajgier1991>{{cite journal |author1=Bajgier SM |author2=Aggarwal LK |date=1991 |title=संतुलित मिश्रित सामान्य वितरण का पता लगाने में फिट परीक्षण की शक्तियाँ|journal=Educational and Psychological Measurement |volume=51 |issue=2 |pages=253–269 |doi=10.1177/0013164491512001|s2cid=121113601 }}</ref>
+=== विशेष स्थति ===
-===विशेष मामले===
+कई विशेष स्थिति के लिए अतिरिक्त परीक्षण उपलब्ध होते हैं:
-कई विशेष मामलों के लिए अतिरिक्त परीक्षण उपलब्ध हैं:
 ;दो सामान्य वितरणों का मिश्रण
-दो सामान्य वितरण डेटा के मिश्रण घनत्व के एक अध्ययन में पाया गया कि दो सामान्य वितरणों में पृथक्करण तब तक मुश्किल था जब तक कि साधन 4-6 मानक विचलन से अलग न हो जाएं।<ref name=Jackson1898>{{cite journal | last1 = Jackson | first1 = PR | last2 = Tucker | first2 = GT | last3 = Woods | first3 = HF | year = 1989 | title = दवा चयापचय के बहुरूपता का सुझाव देने वाले डेटा की आवृत्ति वितरण में द्विरूपता के लिए परीक्षण - परिकल्पना परीक्षण| journal = British Journal of Clinical Pharmacology | volume = 28 | issue = 6| pages = 655–662 | doi=10.1111/j.1365-2125.1989.tb03558.x| pmid = 2611088 | pmc = 1380036 }}</ref>
+दो सामान्य वितरण डेटा के मिश्रण घनत्व के अध्ययन में पाया गया कि दो सामान्य वितरणों में पृथक्करण तब तक कठिन था जब तक कि साधन 4-6 मानक विचलन से अलग न हो जाएं।<ref name=Jackson1898>{{cite journal | last1 = Jackson | first1 = PR | last2 = Tucker | first2 = GT | last3 = Woods | first3 = HF | year = 1989 | title = दवा चयापचय के बहुरूपता का सुझाव देने वाले डेटा की आवृत्ति वितरण में द्विरूपता के लिए परीक्षण - परिकल्पना परीक्षण| journal = British Journal of Clinical Pharmacology | volume = 28 | issue = 6| pages = 655–662 | doi=10.1111/j.1365-2125.1989.tb03558.x| pmid = 2611088 | pmc = 1380036 }}</ref>[[खगोल]] विज्ञान में कर्नेल माध्य मिलान एल्गोरिथ्म का उपयोग यह तय करने के लिए किया जाता है कि डेटा समुच्चय एकल सामान्य वितरण से संबंधित है या दो सामान्य वितरणों के मिश्रण से भी संबंधित होता है।
-[[खगोल]] विज्ञान में कर्नेल माध्य मिलान एल्गोरिथ्म का उपयोग यह तय करने के लिए किया जाता है कि डेटा सेट एकल सामान्य वितरण से संबंधित है या दो सामान्य वितरणों के मिश्रण से।
 ;बीटा-सामान्य वितरण
-यह वितरण पैरामीटर के कुछ मानों के लिए द्वि-मोडल है। इन मूल्यों के लिए एक परीक्षण का वर्णन किया गया है।<ref>{{cite web|url=http://www.amstat.org/sections/srms/Proceedings/y2002/Files/JSM2002-000150.pdf|title=अनुभाग और रुचि समूह|first=Advanced Solutions International|last=Inc.|website=www.amstat.org}}</ref>
+यह वितरण पैरामीटर के कुछ मानों के लिए द्वि-मोडल होता है। इन मूल्यों के लिए परीक्षण का वर्णन किया जाता है।<ref>{{cite web|url=http://www.amstat.org/sections/srms/Proceedings/y2002/Files/JSM2002-000150.pdf|title=अनुभाग और रुचि समूह|first=Advanced Solutions International|last=Inc.|website=www.amstat.org}}</ref>
+== पैरामीटर प्राक्लन और फिटिंग वक्र ==
+यह मानते हुए कि वितरण को द्वि-मोडल के रूप में जाना जाता है या उपरोक्त या अधिक परीक्षणों द्वारा द्वि-मोडल दिखाया गया है, डेटा में वक्र फिट करना अधिकांशतः वांछनीय होता है। ये कठिन हो सकता है।
-==पैरामीटर अनुमान और फिटिंग वक्र==
+कठिन स्थितियों में बायेसियन विधियाँ उपयोगी हो सकती हैं।
-यह मानते हुए कि वितरण को द्वि-मोडल के रूप में जाना जाता है या उपरोक्त एक या अधिक परीक्षणों द्वारा द्वि-मोडल दिखाया गया है, डेटा में एक वक्र फिट करना अक्सर वांछनीय होता है। ये मुश्किल हो सकता है.
-कठिन मामलों में बायेसियन विधियाँ उपयोगी हो सकती हैं।
 ===सॉफ़्टवेयर===
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 ;दो सामान्य वितरण
-द्विविधता के परीक्षण के लिए आर (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए एक पैकेज उपलब्ध है।<ref>{{cite web |url=http://www.uni-marburg.de/fb12/stoch/research/rpackage/manualbimodlilitytest.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2013-11-01 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20131103100209/http://www.uni-marburg.de/fb12/stoch/research/rpackage/manualbimodlilitytest.pdf |archive-date=2013-11-03 }}</ref> यह पैकेज मानता है कि डेटा को दो सामान्य वितरणों के योग के रूप में वितरित किया जाता है। यदि यह धारणा सही नहीं है तो परिणाम विश्वसनीय नहीं हो सकते हैं। इसमें डेटा में दो सामान्य वितरणों के योग को फिट करने के कार्य भी शामिल हैं।
+द्विविधता के परीक्षण के लिए आर (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए पैकेज उपलब्ध है।<ref>{{cite web |url=http://www.uni-marburg.de/fb12/stoch/research/rpackage/manualbimodlilitytest.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2013-11-01 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20131103100209/http://www.uni-marburg.de/fb12/stoch/research/rpackage/manualbimodlilitytest.pdf |archive-date=2013-11-03 }}</ref> इस प्रकार यह पैकेज मानता है कि डेटा को दो सामान्य वितरणों के योग के रूप में वितरित किया जाता है। यदि यह धारणा सही नहीं है तो परिणाम विश्वसनीय नहीं हो सकते हैं। इसमें डेटा में दो सामान्य वितरणों के योग को स्थापित करने के कार्य भी सम्मलित होता हैं।
-यह मानते हुए कि वितरण दो सामान्य वितरणों का मिश्रण है तो पैरामीटर निर्धारित करने के लिए अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है। इसके लिए क्लस्टर सहित कई कार्यक्रम उपलब्ध हैं।<ref>{{cite web|url=https://engineering.purdue.edu/~bouman/software/cluster/|title=क्लस्टर होम पेज|website=engineering.purdue.edu}}</ref> और आर पैकेज Nor1mix।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/nor1mix/index.html|title=nor1mix: Normal (1-d) Mixture Models (S3 Classes and Methods)|first=Martin|last=Mächler|date=25 August 2016|via=R-Packages}}</ref>
+यह मानते हुए कि वितरण दो सामान्य वितरणों का मिश्रण है तो पैरामीटर निर्धारित करने के लिए अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है। इसके लिए क्लस्टर सहित कई कार्यक्रम जैसे <ref>{{cite web|url=https://engineering.purdue.edu/~bouman/software/cluster/|title=क्लस्टर होम पेज|website=engineering.purdue.edu}}</ref> और आर पैकेज नॉर1मिक्स उपलब्ध होता हैं।।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/nor1mix/index.html|title=nor1mix: Normal (1-d) Mixture Models (S3 Classes and Methods)|first=Martin|last=Mächler|date=25 August 2016|via=R-Packages}}</ref>
 ;अन्य वितरण
-आर के लिए उपलब्ध मिक्सटूल पैकेज कई अलग-अलग वितरणों के मापदंडों का परीक्षण और अनुमान लगा सकता है।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/mixtools/index.html|title=mixtools: Tools for Analyzing Finite Mixture Models|first1=Derek|last1=Young|first2=Tatiana|last2=Benaglia|first3=Didier|last3=Chauveau|first4=David|last4=Hunter|first5=Ryan|last5=Elmore|first6=Thomas|last6=Hettmansperger|first7=Hoben|last7=Thomas|first8=Fengjuan|last8=Xuan|date=10 March 2017|via=R-Packages}}</ref> दो दाएँ-पुच्छ गामा वितरणों के मिश्रण के लिए एक पैकेज उपलब्ध है।<ref>{{cite web|title=भेदभावकला|url=https://cran.r-project.org/web/packages/भेदभावकला/भेदभावकला.pdf|website=cran.r-project.org|access-date=22 March 2018}}</ref>
+R के लिए उपलब्ध मिक्सटूल पैकेज कई भिन्न-भिन्न वितरणों के मापदंडों का परीक्षण और प्राक्लन लगा सकता है।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/mixtools/index.html|title=mixtools: Tools for Analyzing Finite Mixture Models|first1=Derek|last1=Young|first2=Tatiana|last2=Benaglia|first3=Didier|last3=Chauveau|first4=David|last4=Hunter|first5=Ryan|last5=Elmore|first6=Thomas|last6=Hettmansperger|first7=Hoben|last7=Thomas|first8=Fengjuan|last8=Xuan|date=10 March 2017|via=R-Packages}}</ref> दो दाएँ-पुच्छ गामा वितरणों के मिश्रण के लिए पैकेज उपलब्ध होता है।<ref>{{cite web|title=भेदभावकला|url=https://cran.r-project.org/web/packages/भेदभावकला/भेदभावकला.pdf|website=cran.r-project.org|access-date=22 March 2018}}</ref>
-मिश्रण मॉडल में फिट होने के लिए आर के लिए कई अन्य पैकेज उपलब्ध हैं; इनमें फ्लेक्समिक्स शामिल है,<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/flexmix/index.html|title=flexmix: Flexible Mixture Modeling|first1=Bettina|last1=Gruen|first2=Friedrich|last2=Leisch|first3=Deepayan|last3=Sarkar|first4=Frederic|last4=Mortier|first5=Nicolas|last5=Picard|date=28 April 2017|via=R-Packages}}</ref> मैकक्लस्ट,<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/mclust/index.html|title=mclust: Gaussian Mixture Modelling for Model-Based Clustering, Classification, and Density Estimation|first1=Chris|last1=Fraley|first2=Adrian E.|last2=Raftery|first3=Luca|last3=Scrucca|first4=Thomas Brendan|last4=Murphy|first5=Michael|last5=Fop|date=21 May 2017|via=R-Packages}}</ref> एजीआरएमटी,<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/एजीआरएमटी/index.html|title=एजीआरएमटी|first1=Didier|last1=Ruedin|date=2 April 2016|publisher=cran.r-project.org}}</ref> और मिक्सडिस्ट।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/mixdist/index.html|title=mixdist: Finite Mixture Distribution Models|first1=Peter|last1=Macdonald|first2=with contributions from Juan|last2=Du|date=29 October 2012|via=R-Packages}}</ref>
-सांख्यिकीय प्रोग्रामिंग भाषा [[एसएएस भाषा]] PROC FREQ प्रक्रिया के साथ विभिन्न प्रकार के मिश्रित वितरणों को भी फिट कर सकती है।
+मिश्रण मॉडल में स्थापित होने के लिए आर के लिए कई अन्य पैकेज उपलब्ध होते हैं; इनमें फ्लेक्समिक्स,<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/flexmix/index.html|title=flexmix: Flexible Mixture Modeling|first1=Bettina|last1=Gruen|first2=Friedrich|last2=Leisch|first3=Deepayan|last3=Sarkar|first4=Frederic|last4=Mortier|first5=Nicolas|last5=Picard|date=28 April 2017|via=R-Packages}}</ref> मैकक्लस्ट,<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/mclust/index.html|title=mclust: Gaussian Mixture Modelling for Model-Based Clustering, Classification, and Density Estimation|first1=Chris|last1=Fraley|first2=Adrian E.|last2=Raftery|first3=Luca|last3=Scrucca|first4=Thomas Brendan|last4=Murphy|first5=Michael|last5=Fop|date=21 May 2017|via=R-Packages}}</ref> एजीआरएमटी,<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/एजीआरएमटी/index.html|title=एजीआरएमटी|first1=Didier|last1=Ruedin|date=2 April 2016|publisher=cran.r-project.org}}</ref> और मिक्सडिस्ट सम्मलित होते है।<ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/web/packages/mixdist/index.html|title=mixdist: Finite Mixture Distribution Models|first1=Peter|last1=Macdonald|first2=with contributions from Juan|last2=Du|date=29 October 2012|via=R-Packages}}</ref>सांख्यिकीय प्रोग्रामिंग भाषा [[एसएएस भाषा]] पीआरओसी एफआरईक्यू प्रक्रिया के साथ विभिन्न प्रकार के मिश्रित वितरणों को भी स्थापित कर सकती है।
 [[File:Joggers.png|thumb|द्विमोडल संभाव्यता वितरण में दिन के समय के अनुसार पार्क में जॉगर्स की संख्या (घंटे में X)।]]
 ===उदाहरण सॉफ़्टवेयर एप्लिकेशन===
-द कमफ़्रेकए <ref>CumFreq, free program for fitting of probability distributions to a data set. On line: [https://www.waterlog.info/cumfreq.htm] </ref> डेटा सेट (X) में समग्र संभाव्यता वितरण की फिटिंग के लिए प्रोग्राम सेट को अलग-अलग वितरण के साथ दो भागों में विभाजित कर सकता है। यह आंकड़ा संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) समीकरणों के साथ [[वितरण फिटिंग]] के रूप में दोहरे सामान्यीकृत प्रतिबिंबित [[गम्बेल वितरण]] का एक उदाहरण दिखाता है:
+द कमफ़्रेकए <ref>CumFreq, free program for fitting of probability distributions to a data set. On line: [https://www.waterlog.info/cumfreq.htm] </ref> डेटा समुच्चय (X) में समग्र संभाव्यता वितरण के स्थापन के लिए प्रोग्राम समुच्चय को भिन्न-भिन्न वितरण के साथ दो भागों में विभाजित कर सकता है। यह आंकड़ा संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) समीकरणों के साथ [[वितरण फिटिंग|वितरण स्थापन]] के रूप में दोहरे सामान्यीकृत प्रतिबिंबित [[गम्बेल वितरण]] का उदाहरण दिखाता है:
-  एक्स <8.10 : सीडीएफ = 1 - exp[-exp{-(0.092X<b>^</b>0.01+935)}]
+  X < 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(0.092X'''^'''0.01+935)}]
-  एक्स > 8.10 : सीडीएफ = 1 - exp[-exp{-(-0.0039X<b>^</b>2.79+1.05)}]
+  X > 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(-0.0039X'''^'''2.79+1.05)}]
 ==यह भी देखें==
-* [[अति फैलाव]]
+* [[अति फैलाव|अति प्रसारित]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 372: / Line 360: @@
 {{ProbDistributions}}
-[[Category: निरंतर वितरण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 errors]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 10/07/2023]]
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