सामान्य विस्तार

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बीजगणित में सामान्य विस्तार' के लिए बीजगणितीय विस्तार को L/K के द्वारा प्रदर्शित करते है, जिसके लिए K के ऊपर प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद जिसका मूल L होता है, तथा यहाँ पर 'L में रैखिक कारकों में विभाजित हो जाता है। इस प्रकार 'L के लिए बीजगणितीय विस्तारों के गैलोज़ विस्तार होने की शर्तों में से प्रमुख हैं। इसके आधार पर निकोलस बॉर्बकी ने ऐसे विस्तार को अर्ध-गैलोइस विस्तार कहा हैं।

परिभाषा

$L/K$ के लिए बीजगणितीय विस्तार अर्थात् L, K का बीजगणितीय विस्तार है, जैसे कि $L\subseteq {\overline {K}}$ अर्थात् L, K के बीजगणितीय समापन में समाहित होता है। इसी प्रकार निम्नलिखित स्थितियाँ जिनमें से किसी को भी सामान्य विस्तार की परिभाषा के रूप में माना जा सकता है, इसके समतुल्य हैं:

• L के प्रत्येक एंबेडिंग (क्षेत्र सिद्धांत) को प्रदर्शित करती हैं। इस प्रकार ${\overline {K}}$ एल की ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है।
• L बहुपदों के परिवार का विभाजन क्षेत्र $K\left[X\right]$ है।
• प्रत्येक अघुलनशील बहुपद $K\left[X\right]$ जिसका मूल L है, वह L में रैखिक गुणनखंडों में विभाजित हो जाता है।

अन्य गुण

मान लीजिए L क्षेत्र K का विस्तार है। तब:

• यदि L, K का सामान्य विस्तार है और यदि E मध्यवर्ती विस्तार है अर्थात्, L ⊃ E ⊃ K है तो L, E का सामान्य विस्तार को प्रेरित करता है।
• यदि E और F L में निहित के के सामान्य विस्तार हैं, तो संयुक्त EAF और E ∩ F भी के के सामान्य विस्तार को प्रेरित करता हैं।

सामान्यता के लिए समतुल्य शर्तें

$L/K$ बीजगणितीय के लिए क्षेत्र L 'सामान्य' एक्सटेंशन को प्रकट करता है, इसी प्रकार यदि नीचे दी गई समतुल्य शर्तों में से कोई भी मान्य हो।

• L में प्रत्येक तत्व का K पर न्यूनतम बहुपद L में विभाजित होता है,
• इसका एक सेट $S\subseteq K[x]$ है, जो बहुपदों के लिए L पर विभाजित होता है, जैसे कि यदि $K\subseteq F\subsetneq L$ क्षेत्र हैं, तो S के पास बहुपद है जो F में विभाजित नहीं होता है;
• सभी समरूपताएँ $L\to {\bar {K}}$ ही प्रतिबिंब को प्रकट करता है,
• ऑटोमोर्फिज्म का समूह, ${\text{Aut}}(L/K),$ L का जो K के तत्वों को स्थिर करता है, समरूपता के समुच्चय पर सकर्मक रूप $L\to {\bar {K}}.$ से कार्य करता है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ का सामान्य विस्तार $\mathbb {Q} ,$ है, इस प्रकार चूँकि यह $x^{2}-2.$ का विभाजक क्षेत्र है, जहाँ दूसरी ओर, $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ का सामान्य विस्तार नहीं है, इस प्रकार $\mathbb {Q}$ अघुलनशील बहुपद के बाद से $x^{3}-2$ में मूल अर्थात्, ${\sqrt[{3}]{2}}$ को प्रकट करता है, अपितु सभी नहीं इसमें 2 की गैर-वास्तविक घन मूल नहीं हैं। यहां पर ध्यान रखे कि यह क्षेत्र ${\overline {\mathbb {Q} }}$ बीजगणितीय संख्याओं का बीजगणितीय समापन $\mathbb {Q} ,$ के समान है, अर्ताथ इसमें $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ सम्मिलित है, इस प्रकार हमें उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं,

$$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}$$

और यदि $\omega$ एकीकरण के लिए उक्त घनमूल है, जिसे इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं-

$${\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}$$

$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ का एम्बेडिंग ${\overline {\mathbb {Q} }}$ को प्रतिबंध करता हैं और साथ ही $\mathbb {Q}$ की पहचान करता है, चूंकि इस प्रकार $\sigma$ का स्वप्रतिरूपण $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ नहीं है, इस प्रकार किसी भी प्राइम $p,$ के लिए विस्तृति $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ डिग्री $p(p-1).$ सामान्य है, जिसका विभाजक क्षेत्र $x^{p}-2.$ है, यहाँ $\zeta _{p}$ मुख्य रूप से $p$ को भी दर्शाता है, जहाँ एकीकरण के लिए मूल क्षेत्र $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ का सामान्य समापन $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ है।

सामान्य समापन

यदि K क्षेत्र है, और L, K का बीजगणितीय विस्तार है, तो L का कुछ बीजगणितीय विस्तार M है, जैसे कि M, K का सामान्य विस्तार है। इसके अतिरिक्त, समरूपता तक केवल ही ऐसा विस्तार है, जो न्यूनतम है, इस प्रकार M का एकमात्र उपक्षेत्र जिसमें L सम्मिलित है, और जो K का सामान्य विस्तार है, जहाँ इस प्रकार यह मान M के द्वारा प्रकट होता है। इस विस्तार को K के विस्तार L का 'सामान्य समापन' कहा जाता है।

यदि L, K का सीमित विस्तार है, तो इसका सामान्य समापन भी सीमित विस्तार है।

यह भी देखें

• गैलोइस एक्सटेंशन
• सामान्य आधार

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787