परिमित अंतर गुणांक

गणित में, किसी व्युत्पन्न को त्रुटिहीनता के अनैतिक क्रम में अनुमानित करने के लिए, परिमित अंतर का उपयोग करना संभव होता है। एक सीमित अंतर केंद्रीय, अग्रिम या पश्चवर्ती हो सकता है।

केंद्रीय परिमित अंतर

इस तालिका में त्रुटिहीनता के कई आदेशों और समान ग्रिड रिक्ति के साथ केंद्रीय अंतर के गुणांक सम्मिलित होते हैं:

व्युत्पन्न	त्रुटिहीनता	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम की त्रुटिहीनता वाला तीसरा व्युत्पन्न निम्न प्रकार है

$f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),$

जहाँ $h_{x}$ प्रत्येक परिमित अंतर अंतराल के मध्य एक समान ग्रिड रिक्ति और $x_{n}=x_{0}+nh_{x}$ का प्रतिनिधित्व करता है।

$m$-वें त्रुटिहीनता के साथ व्युत्पन्न $n$ के लिए, जहाँ $2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n$ केंद्रीय गुणांक $a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}$ होता है। ये रैखिक समीकरण प्रणाली के समाधान निम्न प्रकार दिए गए हैं

${\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},$

जहां दाहिनी ओर एकमात्र गैर-शून्य मान $(m+1)$-वीं पंक्ति में होते है।

एक आयाम में अनैतिक व्युत्पन्न और त्रुटिहीनता क्रम के परिमित अंतर गुणांक की गणना के लिए एक विवृत स्रोत कार्यान्वयन उपलब्ध होता है।

लैग्रेंज बहुपद का सिद्धांत परिमित अंतर गुणांक के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है। पहले छह डेरिवेटिव के लिए हमारे पास निम्नलिखित हैं:

व्युत्पन्न	$a_{0}$	$a_{p}(p\neq 0)$
1	$0$	${\frac {(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p(n-p)!(n+p)!}}$
2	$-2H_{n,2}$	${\frac {2(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{2}(n-p)!(n+p)!}}$
3	$0$	${\frac {6(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{3}(n-p)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})$
4	$12(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})$	${\frac {24(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{4}(n-p)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})$
5	$0$	${\frac {120(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{5}(n-p)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)$
6	$-120H_{n,2}^{3}+360H_{n,2}H_{n,4}-120H_{n,6}$	${\frac {720(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{6}(n-p)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)$

कहाँ $H_{n,m}$ हार्मोनिक संख्या होती हैं।

अग्रिम परिमित अंतर

इस तालिका में त्रुटिहीनता के कई आदेशों और समान ग्रिड रिक्ति के साथ अग्रिम के अंतर के गुणांक सम्मलित होता हैं:

व्युत्पन्न	त्रुटिहीनता	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

उदाहरण के लिए, पहला व्युत्पन्न तीसरे क्रम की त्रुटिहीनता के साथ और दूसरा व्युत्पन्न दूसरे क्रम की त्रुटिहीनता के साथ होता है

$\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),$

$\displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),$

जबकि संबंधित पिछड़े(बैकवर्ड) सन्निकटन निम्न प्रकार दिए गए हैं

$\displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),$

$\displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),$

बैकवर्ड परिमित अंतर

अग्रिम वाले अनुमानों से पश्चवर्ती सन्निकटन के गुणांक प्राप्त करने के लिए, पश्चवर्ती अनुभाग में तालिका में सूचीबद्ध सभी विषम व्युत्पन्नों को विपरीत चिह्न दें, जबकि सम व्युत्पन्नों के लिए चिह्न समान रहते हैं।

निम्न तालिका इसे निम्न प्रकार प्रदर्शित करती है:

व्युत्पन्न	त्रुटिहीनता	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
	3						−1/3	3/2	−3	11/6
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

अनैतिक स्टेंसिल बिंदु

किसी दिए गए अनैतिक स्टेंसिल बिंदुओं के लिए $\displaystyle s$ लम्बाई का $\displaystyle N$ डेरिवेटिव के क्रम के साथ $\displaystyle d<N$रेखीय समीकरणों को हल करके परिमित अंतर गुणांक प्राप्त किया जा सकता है

${\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},$

जहाँ $\delta _{i,j}$ क्रोनकर डेल्टा है, एक के समांतर होती है यदि $i=j$ होता है, और अन्यथा शून्य होता है।

उदाहरण, के लिए $s=[-3,-2,-1,0,1]$, विभेदन का क्रम $d=4$ होता है:

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.$

सन्निकटन की त्रुटिहीनता का क्रम सामान्य रूप $O\left(h_{x}^{(N-d)}\right)$ले लेता है।

यह भी देखें

• परिमित अंतर विधि
• परिमित अंतर
• पांच-बिंदु स्टेंसिल
• संख्यात्मक विभेदन