डेविड प्रमेय का सितारा: Difference between revisions

Latest revision as of 12:08, 31 July 2023

डेविड स्टार प्रमेय (पास्कल त्रिकोण की पंक्तियों को यहां स्तंभ के रूप में दिखाया गया है)।

डेविड स्टार प्रमेय मुख्य रूप से द्विपद गुणांक के अंकगणितीय गुणों पर प्राप्त होने वाला गणितीय परिणाम है। इसकी खोज हेनरी डब्ल्यू गोल्ड ने सन् 1972 में की थी।

कथन

पास्कल के त्रिभुज में डेविड स्टार आकार के दो त्रिभुजों में से प्रत्येक को बनाने वाले द्विपद गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के समान हैं:

{\begin{aligned}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k-1}},{\binom {n}{k+1}},{\binom {n+1}{k}}\right\}\\[8pt]={}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k}},{\binom {n}{k-1}},{\binom {n+1}{k+1}}\right\}.\end{aligned}}

उदाहरण

पास्कल के त्रिभुज की पंक्तियाँ 8, 9, और 10 में उपस्थित हैं।

		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

n=9, k=3 या n=9, k=6 के लिए उपयोग किए जाने वाले तत्वों में 84 क्रमों में तत्वों की संख्या 28, 56, 126, 210, 120, 36 से घिरा रहता है। इस प्रकार वैकल्पिक मान का उपयोग करते हुए, हमारे पास gcd(28) मान प्राप्त होता है, इस प्रकार 126, 120) = 2 = जीसीडी(56, 210, 36) के समान हैं।

प्राप्त होने वाले तत्वों में 36 अनुक्रमों में 8, 28, 84, 120, 45, 9 तत्वों से घिरा रहता है, और वैकल्पिक मान लेने पर हमारे पास gcd(8, 84, 45) = 1 = gcd(28, 120, 9) मान प्राप्त होता है।

सामान्यीकरण

उपरोक्त मानों में सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी $\gcd \left({n-1 \choose k-2},{n-1 \choose k-1},{n-1 \choose k},{n-1 \choose k+1}\right).$ के समान होता है,^[1] इस प्रकार उपरोक्त उदाहरण में तत्व 84 इसके सबसे दाहिने स्वरूप के लिए, हमारे पास gcd(70, 56, 28, 8) = 2 भी है। इसके अतिरिक्त इस परिणाम में और भी सामान्यीकरण किया जाता हैं।

यह भी देखें

तथ्यात्मक और द्विपद विषयों की सूची

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Star of David Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html

H. W. Gould, "A New Greatest Common Divisor Property of The Binomial Coefficients", Fibonacci Quarterly 10 (1972), 579–584.
Star of David theorem, from MathForum.
Star of David theorem, blog post.

बाहरी संबंध

Demonstration of the Star of David theorem, in Mathematica.

[Weisstein-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Star of David Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Mathematical result on arithmetic properties of binomial coefficients}}
 [[File:Star-of-david-thm.svg|thumb|डेविड स्टार प्रमेय (पास्कल त्रिकोण की पंक्तियों को यहां स्तंभ के रूप में दिखाया गया है)।]]
-<!--[[File:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|Pascal's triangle, rows 0 through 7. The Star of David theorem says, for instance, that if we consider the two numbers above the given number 20, the two numbers beside it, and the two numbers below it, the greatest common divisor of the first, third, and fifth of these in clockwise order (gcd(10,&nbsp;15,&nbsp;35)&nbsp;=&nbsp;5) equals the greatest common divisor of the second, fourth, and sixth of them (gcd(10,&nbsp;35,&nbsp;15)&nbsp;=&nbsp;5). --> <!-- That's a really lousy example because it's the same set of three numbers in both cases. But the only examples in this truncated triangle that avoid that symmetry have gcd=1. Likewise, taking the six numbers surrounding either appearance of&nbsp;15, gcd(5,&nbsp;20,&nbsp;21)&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;gcd(10,&nbsp;35,&nbsp;6).]]-->
-डेविड स्टार प्रमेय [[द्विपद गुणांक]] के [[अंकगणित]]ीय गुणों पर एक गणितीय परिणाम है। इसकी खोज हेनरी डब्ल्यू गोल्ड ने 1972 में की थी।
+'''डेविड स्टार प्रमेय''' मुख्य रूप से [[द्विपद गुणांक]] के [[अंकगणित|अंकगणितीय]] गुणों पर प्राप्त होने वाला गणितीय परिणाम है। इसकी खोज हेनरी डब्ल्यू गोल्ड ने सन् 1972 में की थी।
 == कथन ==
-पास्कल के त्रिभुज में डेविड स्टार आकार के दो त्रिभुजों में से प्रत्येक को बनाने वाले द्विपद गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक बराबर हैं:
+पास्कल के त्रिभुज में डेविड स्टार आकार के दो त्रिभुजों में से प्रत्येक को बनाने वाले द्विपद गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के समान हैं:
 :<math>
@@ Line 13: / Line 13: @@
 \end{align}
 </math>
 ==उदाहरण==
-पास्कल के त्रिभुज की पंक्तियाँ 8, 9, और 10 हैं
+पास्कल के त्रिभुज की पंक्तियाँ 8, 9, और 10 में उपस्थित हैं।
 :{|
@@ Line 27: / Line 25: @@
 | ||1|| ||10|| ||45|| ||120|| ||210|| ||252|| ||210|| ||120|| ||45|| ||10|| ||1||
 |}
-n=9, k=3 या n=9, k=6 के लिए, तत्व 84 क्रम से तत्वों 28, 56, 126, 210, 120, 36 से घिरा हुआ है। वैकल्पिक मान लेते हुए, हमारे पास gcd(28) है , 126, 120) = 2 = जीसीडी(56, 210, 36)।
+n=9, k=3 या n=9, k=6 के लिए उपयोग किए जाने वाले तत्वों में 84 क्रमों में तत्वों की संख्या 28, 56, 126, 210, 120, 36 से घिरा रहता है। इस प्रकार वैकल्पिक मान का उपयोग करते हुए, हमारे पास gcd(28) मान प्राप्त होता है, इस प्रकार 126, 120) = 2 = जीसीडी(56, 210, 36) के समान हैं।
-तत्व 36 अनुक्रम 8, 28, 84, 120, 45, 9 से घिरा हुआ है, और वैकल्पिक मान लेने पर हमारे पास gcd(8, 84, 45) = 1 = gcd(28, 120, 9) है।
+प्राप्त होने वाले तत्वों में 36 अनुक्रमों में 8, 28, 84, 120, 45, 9 तत्वों से घिरा रहता है, और वैकल्पिक मान लेने पर हमारे पास gcd(8, 84, 45) = 1 = gcd(28, 120, 9) मान प्राप्त होता है।
 ==सामान्यीकरण==
-उपरोक्त सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी बराबर होता है <math>\gcd \left({n-1 \choose k-2}, {n-1 \choose k-1}, {n-1 \choose k}, {n-1 \choose k+1}\right). </math><ref name=Weisstein>Weisstein, Eric W. "Star of David Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html</ref> इस प्रकार उपरोक्त उदाहरण में तत्व 84 (इसके सबसे दाहिने स्वरूप में) के लिए, हमारे पास gcd(70, 56, 28, 8) = 2 भी है। बदले में इस परिणाम में और भी सामान्यीकरण हैं।
+उपरोक्त मानों में सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी <math>\gcd \left({n-1 \choose k-2}, {n-1 \choose k-1}, {n-1 \choose k}, {n-1 \choose k+1}\right). </math> के समान होता है,<ref name=Weisstein>Weisstein, Eric W. "Star of David Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html</ref> इस प्रकार उपरोक्त उदाहरण में तत्व 84 इसके सबसे दाहिने स्वरूप के लिए, हमारे पास gcd(70, 56, 28, 8) = 2 भी है। इसके अतिरिक्त इस परिणाम में और भी सामान्यीकरण किया जाता हैं।
 ==संबंधित परिणाम==
-तीन संख्याओं के दो सेट जिनके बारे में स्टार ऑफ डेविड प्रमेय कहता है कि उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक समान हैं, उनके उत्पाद भी समान हैं।<ref name=Weisstein/>उदाहरण के लिए, फिर से यह देखते हुए कि तत्व 84 क्रम से तत्वों 28, 56, 126, 210, 120, 36 से घिरा हुआ है, और फिर से वैकल्पिक मान लेते हुए, हमारे पास 28×126×120 = 2 है<sup>6</sup>×3<sup>3</sup>×5×7<sup>2</sup>=56×210×36. इस परिणाम की पुष्टि प्रत्येक द्विपद गुणांक को भाज्य रूप में लिखकर, उपयोग करके की जा सकती है
+तीन संख्याओं के दो समुच्चयों मे जिनके बारे में स्टार ऑफ डेविड प्रमेय कहता है कि उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक समान हैं, उनके उत्पाद भी समान हैं।<ref name=Weisstein/> यहाँ पर उदाहरण के लिए, फिर से यह देखते हुए कि तत्व 84 क्रम से तत्वों 28, 56, 126, 210, 120, 36 से घिरा रहता है, और पुनः वैकल्पिक मान का उपयोग करते हुए हमारे पास 28×126×120 = 2<sup>6</sup>×3<sup>3</sup>×5×7<sup>2</sup>=56×210×36 मान प्राप्त होता है, इस परिणाम की पुष्टि प्रत्येक द्विपद गुणांक को भाज्य रूप में लिखकर इसका उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है,
 :<math>{a \choose b}=\frac{a!}{(a-b)!b!}.</math>
 == यह भी देखें ==
 * तथ्यात्मक और द्विपद विषयों की सूची
@@ Line 48: / Line 44: @@
 * [http://mathforum.org/wagon/fall07/p1088.html Star of David theorem], from ''MathForum''.
 * [http://threesixty360.wordpress.com/2008/12/21/star-of-david-theorem/ Star of David theorem], blog post.
 == बाहरी संबंध ==
 * [http://demonstrations.wolfram.com/StarOfDavidTheorem/ Demonstration of the Star of David theorem], in ''[[Mathematica]]''.
-[[Category: असतत गणित में प्रमेय]] [[Category: साहचर्य]] [[Category: भाज्य और द्विपद विषय]]
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