सहसंयोजन विधि

गणित में, सहसंयोजन विधि मुख्य रूप से साधारण अंतर वाले समीकरणों के लिए आंशिक अंतर समीकरणों और अभिन्न समीकरणों के संख्यात्मक विश्लेषण को हल के लिए उपयोग की जाने वाली प्रमुख विधि है। यहाँ पर विचार किया गया हैं कि कोई उम्मीदवार इसे हल करने के लिए इसके परिमित-आयामी स्थान को सामान्यतः निश्चित डिग्री तक बहुपद और डोमेन में कई बिंदु जिन्हें कोलोकेशन पॉइंट कहा जाता है, इसके द्वारा चुनता है, और उस समाधान का चयन करना है, जो कोलोकेशन बिंदुओं पर दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।

साधारण अवकल समीकरण

मान लीजिए कि साधारण अवकल समीकरण

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},$

जिसका अंतराल $[t_{0},t_{0}+c_{k}h]$ पर हल किया जाना है, इसके लिए $c_{k}$ 0 ≤ c t₁< c₂< … < c_n ≤ 1 को चुनते हैं।

संगत (बहुपद) संयोजन विधि डिग्री n के बहुपद p द्वारा समाधान y का अनुमान लगाती है, जो प्रारंभिक स्थिति $p(t_{0})=y_{0}$ को संतुष्ट करती है, और विभेदक समीकरण $p'(t_{k})=f(t_{k},p(t_{k}))$ के लिए सभी सहसंयोजन बिंदुओं पर $t_{k}=t_{0}+c_{k}h$ के लिए $k=1,\ldots ,n$ पर n + 1 स्थितियाँ देती है, जो डिग्री n के बहुपद को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक n + 1 मापदंडों से मेल खाता है।

ये सभी संयोजन विधियाँ वास्तव में अंतर्निहित रंज-कुट्टा विधियाँ हैं। इसके गुणांकों के लिए C_k रनगे पद्धति के इस प्रारूप में सहसंयोजन बिंदु का उपयोग करता हैं। चूंकि यहाँ पर सभी अंतर्निहित रंज विधियाँ सह-संयोजन विधियाँ नहीं हैं।

उदाहरण: समलम्बाकार नियम

उदाहरण के लिए, दो सहसंयोजन बिंदु c₁ = 0 और c₂ = 1, इसलिए n = 2 के लिए सहसंयोजन स्थितियाँ इस प्रकार हैं-

$p(t_{0})=y_{0},\,$

$p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),\,$

$p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h)).\,$

यहाँ पर ये प्रमुख तीन शर्तें हैं, इसलिए p को घात 2 का बहुपद होना चाहिए। इसके लिए फॉर्म में p लिखें-

$p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,$

गणनाओं को सरल बनाने के लिए. फिर गुणांक देने के लिए संयोजन स्थितियों को हल किया जा सकता है, जो इस प्रकार हैं-

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}{\Big (}f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0})){\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}$

संयोजन विधि अब स्पष्ट रूप से इस समीकरण द्वारा दी गई है-

$y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){\Big )},\,$

जहाँ q₁ = p(t₀+ h) t = t₁ = t₀+ h पर अनुमानित समाधान है।

इस विधि को अंतर समीकरणों के लिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम के आधार पर अंतर समीकरण के रूप में जाना जाता है। इसके आधार पर इस विधि को अंतर समीकरण को दोबारा लिखकर भी प्राप्त किया जा सकता है,

$y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,{\textrm {d}}\tau ,\,$

और अभिन्नों के लिए समलम्बाकार नियम द्वारा दाहिनी ओर अभिन्न का अनुमानित मान प्राप्त किया जाता हैं।

अन्य उदाहरण

गॉस-लीजेंडर विधियां गॉस-लीजेंडर के अनुसार चतुर्भुज के चारों बिंदुओं को सहसंयोजन बिंदु के रूप में उपयोग करती हैं। इस प्रकार s बिंदुओं पर आधारित गॉस-लीजेंडर विधि का क्रम 2s है। इस प्रकार सभी गॉस-लीजेंडर विधियाँ ए-स्थिरता या ए-स्थिर हैं।

वास्तव में कोई यह दिखा सकता है कि सहसंयोजन विधि का क्रम चतुर्भुज नियम के क्रम से मेल खाता है, जो कि सहसंयोजन बिंदुओं को भार के रूप में उपयोग करने से प्राप्त होगा।

ऑर्थोगोनल संयोजन विधि

प्रत्यक्ष संयोजन विधि में, हम अनिवार्य रूप से टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों जैसे कि ट्रैपेज़ॉइडल नियम में, या घन कार्यों, या अन्य टुकड़े-टुकड़े बहुपद कार्यों के परिमित-आयामी उप-स्थान के साथ परिवर्तनीय कैलकुलस का प्रदर्शन कर रहे हैं। इस प्रकार ऑर्थोगोनल कोलोकेशन विधि में, हम इसके अतिरिक्त कुछ ऑर्थोगोनल बहुपदों के आधार पर पहले एन वैक्टर द्वारा प्रसारित किए गए परिमित-आयामी उप-स्थान का उपयोग करते हैं, जैसे कि लीजेंड्रे बहुपद इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

संदर्भ

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "A rational spectral collocation method for solving a class of parameterized singular perturbation problems", Journal of Computational and Applied Mathematics, 233 (10): 2652–2660, doi:10.1016/j.cam.2009.11.011.