रिंग लेम्मा

वलय लेम्मा के लिए टाइट बाउंड को दर्शाने वाला निर्माण

यूक्लिडियन तल में वृत्त पैकिंग प्रमेय की ज्यामिति में, वलय लेम्मा वृत्त पैकिंग में आसन्न वृत्त के आकार पर निचली सीमा देता है।

कथन

लेम्मा कहता है: मान लीजिये $n$ तीन से बड़ा या उसके समान कोई भी पूर्णांक हो। मान लीजिए कि इकाई वृत्त वलय से घिरा हुआ है $n$ आंतरिक-असंयुक्त वृत्त, सभी इसके स्पर्शरेखा, वलय में निरंतर वृत्त दूसरे के स्पर्शरेखा के साथ वलय में किसी भी वृत्त की न्यूनतम त्रिज्या कम से कम इकाई भाग होती है:

$${\frac {1}{F_{2n-3}-1}}$$

जहाँ $F_{i}$वें फाइबोनैचि संख्या है:

न्यूनतम त्रिज्या का क्रम, $n=3$, से प्रारंभ करना:

${\textstyle \displaystyle 1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{12}},{\frac {1}{33}},{\frac {1}{88}},{\frac {1}{232}},\dots }$ (sequence A027941 in the OEIS)

त्रि-आयामी तल के सामान्यीकरण भी ज्ञात हैं।

निर्माण

वृत्तों का अनंत क्रम बनाया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक के लिए वलय $n$ हों यह वलय लेम्मा की सीमा से मिलता है, यह दर्शाता है कि यह जटिल है। निर्माण अर्ध-तलों (ज्यामिति) को अनंत त्रिज्या वाले विकृत वृत्तों के रूप में मानने की अनुमति देता है, और लेम्मा के कथन में आवश्यक से परे वृत्तों के मध्य अतिरिक्त स्पर्शरेखाएं सम्मिलित करता है। इसका प्रारंभ इकाई वृत्त को दो समानांतर अर्ध तलों के मध्य सैंडविच करने से होती है; वृत्तों ज्यामिति में, इन्हें अनंत बिंदु पर एक दूसरे की स्पर्शरेखा माना जाता है। इन पहले दो के पश्चात प्रत्येक क्रमिक वृत्त केंद्रीय इकाई वृत्त और दो वर्तमान में जोड़े गए वृत्तों की स्पर्शरेखा है; इस प्रकार निर्मित पहले छह वृत्तों (दो अर्धतलों सहित) का चित्रण देखें। प्रथम इस निर्माण के $n$ वृत्त वलय बनाते हैं, जिसकी न्यूनतम त्रिज्या की गणना डेसकार्टेस के प्रमेय द्वारा वलय लेम्मा में निर्दिष्ट त्रिज्या के समान की जा सकती है। इस निर्माण को वलय तक चिन्नित किया जा सकता है परिमित वृत्त $n$ बिना किसी अतिरिक्त स्पर्शरेखाओं के जिनकी न्यूनतम त्रिज्या रूप से इस सीमा के निकट है।

इतिहास

सीमा के साथ वलय लेम्मा का संस्करण सर्वप्रथम विलियम थर्स्टन के अनुमान के प्रमाण के भाग के रूप में बर्टन रोडिन और डेनिस सुलिवान द्वारा सिद्ध किया गया था कि वृत्त पैकिंग का उपयोग लगभग अनुरूप मानचित्रों के लिए किया जा सकता है। लोवेल हेन्सन ने सबसे जटिल संभव निचली सीमा के लिए पुनरावृत्ति संबंध दिया, और डोव अहरोनोव को उसी सीमा के लिए विवृत-रूप अभिव्यक्ति मिली।

अनुप्रयोग

अनुरूप मानचित्रण के लिए इसके मूल अनुप्रयोग से परे, वृत्त पैकिंग प्रमेय और वलय लेम्मा केस्ज़ेघ, पच और पाल्वोल्गी के प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं कि परिबद्ध डिग्री के समतलीय ग्राफ को परिबद्ध ढलान संख्या के साथ खींचे जा सकते हैं।