बाहरी कलन पहचान: Difference between revisions
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यह आलेख बाहरी कलन में कई [[पहचान (गणित)]] का सारांश प्रस्तुत करता है।<ref>{{Cite book |last1=Crane |first1=Keenan |last2=de Goes |first2=Fernando |last3=Desbrun |first3=Mathieu |last4=Schröder |first4=Peter |title=असतत बाहरी कलन के साथ डिजिटल ज्यामिति प्रसंस्करण|journal=Proceeding SIGGRAPH '13 ACM SIGGRAPH 2013 Courses |pages=1–126 |date=21 July 2013 |doi=10.1145/2504435.2504442|isbn=9781450323390 |s2cid=168676 }}</ref><ref>{{cite book |last1=Schwarz |first1=Günter |title=Hodge Decomposition – A Method for Solving Boundary Value Problems |date=1995 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-49403-4}}</ref><ref>{{cite book |last1=Cartan |first1=Henri |title=विभेदक रूप|date=26 May 2006 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0486450100 |edition=Dover}}</ref><ref>{{cite book |last1=Bott |first1=Raoul |last2=Tu |first2=Loring W. |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी में विभेदक रूप|date=16 May 1995 |publisher=Springer |isbn=978-0387906133}}</ref><ref>{{cite book |last1=Abraham |first1=Ralph |last2=J.E. |first2=Marsden |last3=Ratiu |first3=Tudor |title=मैनिफोल्ड्स, टेंसर विश्लेषण और अनुप्रयोग|date=6 December 2012 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-1-4612-1029-0 |edition=2nd}}</ref> | यह आलेख बाहरी कलन में कई [[पहचान (गणित)|समरूपता (गणित)]] का सारांश प्रस्तुत करता है।<ref>{{Cite book |last1=Crane |first1=Keenan |last2=de Goes |first2=Fernando |last3=Desbrun |first3=Mathieu |last4=Schröder |first4=Peter |title=असतत बाहरी कलन के साथ डिजिटल ज्यामिति प्रसंस्करण|journal=Proceeding SIGGRAPH '13 ACM SIGGRAPH 2013 Courses |pages=1–126 |date=21 July 2013 |doi=10.1145/2504435.2504442|isbn=9781450323390 |s2cid=168676 }}</ref><ref>{{cite book |last1=Schwarz |first1=Günter |title=Hodge Decomposition – A Method for Solving Boundary Value Problems |date=1995 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-49403-4}}</ref><ref>{{cite book |last1=Cartan |first1=Henri |title=विभेदक रूप|date=26 May 2006 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0486450100 |edition=Dover}}</ref><ref>{{cite book |last1=Bott |first1=Raoul |last2=Tu |first2=Loring W. |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी में विभेदक रूप|date=16 May 1995 |publisher=Springer |isbn=978-0387906133}}</ref><ref>{{cite book |last1=Abraham |first1=Ralph |last2=J.E. |first2=Marsden |last3=Ratiu |first3=Tudor |title=मैनिफोल्ड्स, टेंसर विश्लेषण और अनुप्रयोग|date=6 December 2012 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-1-4612-1029-0 |edition=2nd}}</ref> | ||
== संकेतन == | == संकेतन == | ||
निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और | निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है। | ||
=== | === कई गुना === | ||
<math>M</math>, <math>N</math> | <math>M</math>, <math>N</math> <math>n</math>-विमीय चिकने (स्मूथ) कई गुना हैं, जहां <math> n\in \mathbb{N} </math>। अर्थात्, भिन्न-भिन्न कई गुना जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त बार विभेदित किया जा सकता है। | ||
<math> p \in M </math>, <math> q \in N </math> प्रत्येक [[कई गुना]] पर बिंदु | <math> p \in M </math>, <math> q \in N </math> प्रत्येक [[कई गुना]] पर एक बिंदु दर्शाता है। | ||
कई गुना <math> M </math> की सीमा कई गुना <math> \partial M </math> है , जिसकी विमा <math> n - 1 </math> है। <math> M </math> पर एक अभिविन्यास <math> \partial M </math> पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है। | |||
हम | हम सामान्यतः [[सबमैनिफोल्ड|उपकई गुना]] को <math>\Sigma \subset M</math> से निरूपित करते हैं । | ||
=== स्पर्शरेखा और | === स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल === | ||
<math>TM</math>, <math>T^{*}M</math> स्मूथ | <math>TM</math>, <math>T^{*}M</math> स्मूथ कई गुना के क्रमशः [[स्पर्शरेखा बंडल]] और [[कोटैंजेंट बंडल|कोटिस्पर्श रेखा बंडल]] को निरूपित करें <math>M</math>। | ||
<math> T_p M </math>, <math> T_q N </math> के [[स्पर्शरेखा स्थान]] | <math> T_p M </math>, <math> T_q N </math> के [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा स्थानों]] को निरूपित करें <math>M</math>, <math>N</math> बिंदुओं पर <math>p</math>, <math>q</math>, क्रमश। <math> T^{*}_p M </math> के [[कोटैंजेंट स्थान|कोटिस्पर्श रेखा स्थान]] को दर्शाता है <math>M</math> बिंदु पर <math>p</math>। | ||
स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे [[वेक्टर फ़ील्ड]] के रूप में भी जाना जाता है, को | स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे [[वेक्टर फ़ील्ड]] के रूप में भी जाना जाता है, को सामान्यतः इस रूप में दर्शाया जाता है <math>X, Y, Z \in \Gamma(TM)</math> ऐसे कि बिंदु पर <math> p \in M </math> अपने पास <math> X|_p, Y|_p, Z|_p \in T_p M </math>। कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें [[ विभेदक रूप |विभेदक रूप]] | डिफरेंशियल 1-फॉर्म (या [[कोवेक्टर]] फ़ील्ड) के रूप में भी जाना जाता है, को सामान्यतः इस रूप में दर्शाया जाता है <math>\alpha, \beta \in \Gamma(T^{*}M)</math> ऐसे कि बिंदु पर <math> p \in M </math> अपने पास <math> \alpha|_p, \beta|_p \in T^{*}_p M </math>। के लिए वैकल्पिक संकेतन <math>\Gamma(T^{*}M)</math> है <math>\Omega^1(M)</math>। | ||
=== विभेदक k-रूप === | === विभेदक k-रूप === | ||
अंतर <math>k</math>-रूप, जिसे हम बस के रूप में संदर्भित करते हैं <math>k</math>-यहाँ प्रपत्र, विभेदक रूप परिभाषित हैं <math>TM</math> | अंतर <math>k</math>-रूप, जिसे हम बस के रूप में संदर्भित करते हैं <math>k</math>-यहाँ प्रपत्र, विभेदक रूप परिभाषित हैं <math>TM</math>। हम सभी के समुच्चय को निरूपित करते हैं <math>k</math>-के रूप में बनता है <math>\Omega^k(M)</math>। के लिए <math> 0\leq k,\ l,\ m\leq n </math> हम सामान्यतः लिखते हैं <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math>, <math>\beta\in\Omega^l(M)</math>, <math>\gamma\in\Omega^m(M)</math>। | ||
<math>0</math>-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> केवल अदिश फलन हैं <math>C^{\infty}(M)</math> पर <math>M</math> | <math>0</math>-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> केवल अदिश फलन हैं <math>C^{\infty}(M)</math> पर <math>M</math>। <math>\mathbf{1}\in\Omega^0(M)</math> स्थिरांक को दर्शाता है <math>0</math>-रूप के बराबर <math>1</math> हर जगह। | ||
=== अनुक्रम के छोड़े गए तत्व === | === अनुक्रम के छोड़े गए तत्व === | ||
Line 32: | Line 32: | ||
=== [[बाहरी उत्पाद]] === | === [[बाहरी उत्पाद]] === | ||
बाहरी उत्पाद को वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। द्वारा निरूपित किया जाता है <math> \wedge : \Omega^k(M) \times \Omega^l(M) \rightarrow \Omega^{k+l}(M)</math> | बाहरी उत्पाद को वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। द्वारा निरूपित किया जाता है <math> \wedge : \Omega^k(M) \times \Omega^l(M) \rightarrow \Omega^{k+l}(M)</math>। ए का बाहरी उत्पाद <math>k</math>-प्रपत्र <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math> और <math>l</math>-प्रपत्र <math>\beta\in\Omega^l(M)</math> उत्पादन ए <math>(k+l)</math>-प्रपत्र <math>\alpha\wedge\beta \in\Omega^{k+l}(M)</math>। इसे सेट का उपयोग करके लिखा जा सकता है <math>S(k,k+l)</math> सभी क्रमपरिवर्तन का <math>\sigma</math> का <math>\{1,\ldots,n\}</math> ऐसा है कि <math>\sigma(1)<\ldots <\sigma(k), \ \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l) </math> जैसा | ||
:<math>(\alpha\wedge\beta)(X_1,\ldots,X_{k+l})=\sum_{\sigma\in S(k,k+l)}\text{sign}(\sigma)\alpha(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(k)})\otimes\beta(X_{\sigma(k+1)},\ldots,X_{\sigma(k+l)}) .</math> | :<math>(\alpha\wedge\beta)(X_1,\ldots,X_{k+l})=\sum_{\sigma\in S(k,k+l)}\text{sign}(\sigma)\alpha(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(k)})\otimes\beta(X_{\sigma(k+1)},\ldots,X_{\sigma(k+l)}) .</math> | ||
Line 40: | Line 40: | ||
=== [[बाहरी व्युत्पन्न]] === | === [[बाहरी व्युत्पन्न]] === | ||
बाह्य व्युत्पन्न <math>d_k : \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) </math> सभी के लिए परिभाषित है <math> 0 \leq k\leq n</math> | बाह्य व्युत्पन्न <math>d_k : \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) </math> सभी के लिए परिभाषित है <math> 0 \leq k\leq n</math>। हम सामान्यतः सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो। | ||
एक के लिए <math>0</math>-प्रपत्र <math>f\in\Omega^0(M)</math> अपने पास <math>d_0f\in\Omega^1(M)</math> के रूप में <math>1</math>-फॉर्म जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, यानी, अनुभाग के लिए <math>X\in \Gamma(TM)</math> अपने पास <math>(d_0f)(X) = \partial_X f</math>, का दिशात्मक व्युत्पन्न <math>f</math> साथ में <math>X</math> | एक के लिए <math>0</math>-प्रपत्र <math>f\in\Omega^0(M)</math> अपने पास <math>d_0f\in\Omega^1(M)</math> के रूप में <math>1</math>-फॉर्म जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, यानी, अनुभाग के लिए <math>X\in \Gamma(TM)</math> अपने पास <math>(d_0f)(X) = \partial_X f</math>, का दिशात्मक व्युत्पन्न <math>f</math> साथ में <math>X</math>।<ref name=":0">{{Cite book|title=अनेक गुनाओं का परिचय|last=Tu, Loring W.|date=2011|publisher=Springer|isbn=9781441974006|edition=2nd|location=New York|pages=34, 233|oclc=682907530}}</ref> | ||
के लिए <math> 0 < k\leq n</math>,<ref name=":0" /> | के लिए <math> 0 < k\leq n</math>,<ref name=":0" /> | ||
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=== स्पर्शरेखा मानचित्र === | === स्पर्शरेखा मानचित्र === | ||
अगर <math> \phi : M \rightarrow N </math> तो फिर, यह सहज मानचित्र है <math>d\phi|_p:T_pM\rightarrow T_{\phi(p)}N</math> से स्पर्श रेखा मानचित्र को परिभाषित करता है <math>M</math> को <math>N</math> | अगर <math> \phi : M \rightarrow N </math> तो फिर, यह सहज मानचित्र है <math>d\phi|_p:T_pM\rightarrow T_{\phi(p)}N</math> से स्पर्श रेखा मानचित्र को परिभाषित करता है <math>M</math> को <math>N</math>। इसे वक्रों के माध्यम से परिभाषित किया गया है <math>\gamma</math> पर <math>M</math> व्युत्पन्न के साथ <math>\gamma'(0)=X\in T_pM</math> ऐसा है कि | ||
:<math>d\phi(X):=(\phi\circ\gamma)' .</math> | :<math>d\phi(X):=(\phi\circ\gamma)' .</math> | ||
ध्यान दें कि <math>\phi</math> है <math>0</math>-मूल्यों के साथ फॉर्म <math>N</math> | ध्यान दें कि <math>\phi</math> है <math>0</math>-मूल्यों के साथ फॉर्म <math>N</math>। | ||
=== पुल-बैक === | === पुल-बैक === | ||
अगर <math> \phi : M \rightarrow N </math> सहज मानचित्र है, फिर [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)]]|ए का पुल-बैक <math>k</math>-प्रपत्र <math> \alpha\in \Omega^k(N) </math> किसी के लिए भी इस प्रकार परिभाषित किया गया है <math>k</math>- | अगर <math> \phi : M \rightarrow N </math> सहज मानचित्र है, फिर [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)]]|ए का पुल-बैक <math>k</math>-प्रपत्र <math> \alpha\in \Omega^k(N) </math> किसी के लिए भी इस प्रकार परिभाषित किया गया है <math>k</math>-विमीय सबकई गुना <math>\Sigma\subset M</math> | ||
:<math> \int_{\Sigma} \phi^*\alpha = \int_{\phi(\Sigma)} \alpha .</math> | :<math> \int_{\Sigma} \phi^*\alpha = \int_{\phi(\Sigma)} \alpha .</math> | ||
पुल-बैक को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है | पुल-बैक को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है | ||
Line 68: | Line 68: | ||
===[[आंतरिक उत्पाद]] === | ===[[आंतरिक उत्पाद]] === | ||
इसे आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, आंतरिक उत्पाद को खंड दिया गया है <math> Y\in \Gamma(TM) </math> नक्शा है <math>\iota_Y:\Omega^{k+1}(M) \rightarrow \Omega^k(M)</math> जो प्रभावी रूप से a के पहले इनपुट को प्रतिस्थापित करता है <math>(k+1)</math>-फॉर्म के साथ <math>Y</math> | इसे आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, आंतरिक उत्पाद को खंड दिया गया है <math> Y\in \Gamma(TM) </math> नक्शा है <math>\iota_Y:\Omega^{k+1}(M) \rightarrow \Omega^k(M)</math> जो प्रभावी रूप से a के पहले इनपुट को प्रतिस्थापित करता है <math>(k+1)</math>-फॉर्म के साथ <math>Y</math>। अगर <math>\alpha\in\Omega^{k+1}(M)</math> और <math>X_i\in \Gamma(TM)</math> तब | ||
:<math> (\iota_Y\alpha)(X_1,\ldots,X_k) = \alpha(Y,X_1,\ldots,X_k) .</math> | :<math> (\iota_Y\alpha)(X_1,\ldots,X_k) = \alpha(Y,X_1,\ldots,X_k) .</math> | ||
=== मीट्रिक टेंसर === | === मीट्रिक टेंसर === | ||
एक [[गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप]] दिया गया है <math> g_p( \cdot , \cdot ) </math> सभी के ऊपर <math> T_p M </math> जो निरंतर चालू है <math>M</math>, | एक [[गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप]] दिया गया है <math> g_p( \cdot , \cdot ) </math> सभी के ऊपर <math> T_p M </math> जो निरंतर चालू है <math>M</math>, कई गुना [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|छद्म-रीमैनियन कई गुना]] बन जाता है। हम [[मीट्रिक टेंसर]] को निरूपित करते हैं <math>g</math>, द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है <math> g( X , Y )|_p = g_p( X|_p , Y|_p ) </math>। हम बुलाते है <math>s=\operatorname{sign}(g)</math> हॉज स्टार ऑपरेटर#मीट्रिक का द्वंद्व। [[रीमैनियन मैनिफोल्ड|रीमैनियन कई गुना]] है <math>s=1</math>, जबकि [[मिन्कोवस्की स्थान]] है <math>s=-1</math>। | ||
=== संगीत समरूपता === | === संगीत समरूपता === | ||
मीट्रिक टेंसर <math>g(\cdot,\cdot)</math> वेक्टर फ़ील्ड और एक-रूपों के बीच द्वंद्व मानचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय आइसोमोर्फिज्म फ्लैट हैं <math>\flat</math> और तेज़ <math>\sharp</math> | मीट्रिक टेंसर <math>g(\cdot,\cdot)</math> वेक्टर फ़ील्ड और एक-रूपों के बीच द्वंद्व मानचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय आइसोमोर्फिज्म फ्लैट हैं <math>\flat</math> और तेज़ <math>\sharp</math>। अनुभाग <math> A \in \Gamma(TM)</math> अद्वितीय एक-रूप से मेल खाता है <math>A^{\flat}\in\Omega^1(M)</math> जैसे कि सभी वर्गों के लिए <math>X \in \Gamma(TM)</math>, अपने पास: | ||
:<math> A^{\flat}(X) = g(A,X) .</math> | :<math> A^{\flat}(X) = g(A,X) .</math> | ||
Line 89: | Line 89: | ||
=== हॉज स्टार === | === हॉज स्टार === | ||
एन- | एन-कई गुना एम के लिए, [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] <math>{\star}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{n-k}(M)</math> द्वैत मानचित्रण है <math>k</math>-प्रपत्र <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> अगर <math>(n{-}k)</math>-प्रपत्र <math>({\star}\alpha) \in \Omega^{n-k}(M)</math>। | ||
इसे उन्मुख फ़्रेम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> के लिए <math>TM</math>, दिए गए मीट्रिक टेंसर के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल <math>g</math>: | इसे उन्मुख फ़्रेम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> के लिए <math>TM</math>, दिए गए मीट्रिक टेंसर के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल <math>g</math>: | ||
Line 97: | Line 97: | ||
</math> | </math> | ||
=== सह-अंतर ऑपरेटर === | === सह-अंतर ऑपरेटर === | ||
हॉज स्टार ऑपरेटर#कोडडिफ़रेंशियल|सह-डिफ़रेंशियल ऑपरेटर <math>\delta:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)</math> पर <math>n</math> | हॉज स्टार ऑपरेटर#कोडडिफ़रेंशियल|सह-डिफ़रेंशियल ऑपरेटर <math>\delta:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)</math> पर <math>n</math> विमीय कई गुना <math>M</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
:<math>\delta := (-1)^{k} {\star}^{-1} d {\star} = (-1)^{nk+n+1}{\star} d {\star} .</math> | :<math>\delta := (-1)^{k} {\star}^{-1} d {\star} = (-1)^{nk+n+1}{\star} d {\star} .</math> | ||
हॉज-डिराक ऑपरेटर, <math>d+\delta</math>, [[डिराक ऑपरेटर]] है जिसका अध्ययन [[क्लिफोर्ड विश्लेषण]] में किया गया है। | हॉज-डिराक ऑपरेटर, <math>d+\delta</math>, [[डिराक ऑपरेटर]] है जिसका अध्ययन [[क्लिफोर्ड विश्लेषण]] में किया गया है। | ||
=== ओरिएंटेड | === ओरिएंटेड कई गुना === | ||
एक <math>n</math>- | एक <math>n</math>-विमीय स्टीयरेबल कई गुना {{mvar|M}} ऐसा कई गुना है जिसे किसी विकल्प से सुसज्जित किया जा सकता है {{mvar|n}}-प्रपत्र <math>\mu\in\Omega^n(M)</math> वह हर जगह निरंतर और शून्येतर है {{mvar|M}}। | ||
=== आयतन आकार === | === आयतन आकार === | ||
एक ओरिएंटेबल | एक ओरिएंटेबल कई गुना पर <math>M</math> मीट्रिक टेंसर दिए गए [[वॉल्यूम फॉर्म]] की विहित पसंद <math>g</math> और ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस)#मल्टीलीनियर बीजगणित है <math>\mathbf{det}:=\sqrt{|\det g|}\;dX_1^{\flat}\wedge\ldots\wedge dX_n^{\flat}</math> किसी भी आधार के लिए <math>dX_1,\ldots, dX_n</math> ओरिएंटेशन से मिलान करने का आदेश दिया गया। | ||
===क्षेत्रफल === | ===क्षेत्रफल === | ||
Line 127: | Line 127: | ||
\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle:= \int_M\alpha\wedge {\star}\beta . | \langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle:= \int_M\alpha\wedge {\star}\beta . | ||
</math> | </math> | ||
रीमैनियन | रीमैनियन कई गुना के मामले में, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद है (अर्थात सकारात्मक-निश्चित है)। | ||
=== [[झूठ व्युत्पन्न]] === | === [[झूठ व्युत्पन्न]] === | ||
Line 136: | Line 136: | ||
\mathcal{L}_X = d \circ \iota_X + \iota_X \circ d . | \mathcal{L}_X = d \circ \iota_X + \iota_X \circ d . | ||
</math> | </math> | ||
यह a के परिवर्तन का वर्णन करता है <math>k</math>-एक प्रवाह के साथ प्रपत्र (गणित) <math>\phi_t</math> अनुभाग से संबद्ध <math>X</math> | यह a के परिवर्तन का वर्णन करता है <math>k</math>-एक प्रवाह के साथ प्रपत्र (गणित) <math>\phi_t</math> अनुभाग से संबद्ध <math>X</math>। | ||
=== पुल-बैक गुण === | === पुल-बैक गुण === | ||
Line 189: | Line 189: | ||
:<math> | :<math> | ||
{\star}(\lambda_1\alpha + \lambda_2\beta) = \lambda_1({\star}\alpha) + \lambda_2({\star}\beta) | {\star}(\lambda_1\alpha + \lambda_2\beta) = \lambda_1({\star}\alpha) + \lambda_2({\star}\beta) | ||
</math> के लिए | </math> के लिए <math>\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}</math> ( रैखिकता ) | ||
:<math> | :<math> | ||
{\star}{\star}\alpha = s(-1)^{k(n-k)}\alpha | {\star}{\star}\alpha = s(-1)^{k(n-k)}\alpha | ||
</math> के लिए | </math> के लिए <math>\alpha\in \Omega^k(M)</math>, <math>n=\dim(M)</math>, और <math>s = \operatorname{sign}(g)</math> मीट्रिक का चिह्न | ||
:<math> | :<math> | ||
Line 219: | Line 219: | ||
:<math> | :<math> | ||
{\star}\delta=(-1)^kd{\star} | {\star}\delta=(-1)^kd{\star} | ||
</math> और | </math> और <math>{\star} d = (-1)^{k+1}\delta{\star}</math> (हॉज के निकट <math>d</math>) | ||
:<math> | :<math> | ||
Line 348: | Line 348: | ||
:<math> | :<math> | ||
(\delta\alpha)(X_1,\ldots,X_{k-1})=-\sum_{i=1}^n(\iota_{E_i}(\nabla_{E_i}\alpha))(X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k) | (\delta\alpha)(X_1,\ldots,X_{k-1})=-\sum_{i=1}^n(\iota_{E_i}(\nabla_{E_i}\alpha))(X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k) | ||
</math> सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम दिया गया <math>E_1,\ldots,E_n</math> | </math> सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम दिया गया <math>E_1,\ldots,E_n</math>। | ||
:<math> | :<math> | ||
Line 363: | Line 363: | ||
=== पोंकारे लेम्मा === | === पोंकारे लेम्मा === | ||
यदि सीमाहीन | यदि सीमाहीन कई गुना <math>M</math> इसमें तुच्छ कोहोमोलोजी है <math>H^k(M)=\{0\}</math>, फिर कोई भी बंद <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> सटीक है। यह मामला है यदि एम [[अनुबंध योग्य स्थान]] है। | ||
== सदिश कलन से संबंध == | == सदिश कलन से संबंध == | ||
{{See also|Vector calculus identities}} | {{See also|Vector calculus identities}} | ||
=== यूक्लिडियन 3-स्पेस में | === यूक्लिडियन 3-स्पेस में समरूपता === | ||
चलो [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] <math>g(X,Y):=\langle X,Y\rangle = X\cdot Y</math> | चलो [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] <math>g(X,Y):=\langle X,Y\rangle = X\cdot Y</math>। | ||
हम उपयोग करते हैं <math> | हम उपयोग करते हैं <math> | ||
Line 377: | Line 377: | ||
:<math> | :<math> | ||
\iota_X\alpha = g(X,\alpha^{\sharp}) = X\cdot \alpha^{\sharp} | \iota_X\alpha = g(X,\alpha^{\sharp}) = X\cdot \alpha^{\sharp} | ||
</math> के लिए <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math> | </math> के लिए <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math>। | ||
:<math> | :<math> | ||
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:<math> | :<math> | ||
\langle X,N\rangle\sigma = {\star} X^\flat | \langle X,N\rangle\sigma = {\star} X^\flat | ||
</math> कहाँ <math>N</math> की इकाई सामान्य वेक्टर है <math>\partial M</math> और <math>\sigma=\iota_{N}\mathbf{det}</math> पर क्षेत्र प्रपत्र है <math>\partial M</math> | </math> कहाँ <math>N</math> की इकाई सामान्य वेक्टर है <math>\partial M</math> और <math>\sigma=\iota_{N}\mathbf{det}</math> पर क्षेत्र प्रपत्र है <math>\partial M</math>। | ||
:<math> | :<math> |
Revision as of 10:58, 23 July 2023
यह आलेख बाहरी कलन में कई समरूपता (गणित) का सारांश प्रस्तुत करता है।[1][2][3][4][5]
संकेतन
निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।
कई गुना
, -विमीय चिकने (स्मूथ) कई गुना हैं, जहां । अर्थात्, भिन्न-भिन्न कई गुना जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त बार विभेदित किया जा सकता है।
, प्रत्येक कई गुना पर एक बिंदु दर्शाता है।
कई गुना की सीमा कई गुना है , जिसकी विमा है। पर एक अभिविन्यास पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है।
हम सामान्यतः उपकई गुना को से निरूपित करते हैं ।
स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल
, स्मूथ कई गुना के क्रमशः स्पर्शरेखा बंडल और कोटिस्पर्श रेखा बंडल को निरूपित करें ।
, के स्पर्शरेखा स्थानों को निरूपित करें , बिंदुओं पर , , क्रमश। के कोटिस्पर्श रेखा स्थान को दर्शाता है बिंदु पर ।
स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे वेक्टर फ़ील्ड के रूप में भी जाना जाता है, को सामान्यतः इस रूप में दर्शाया जाता है ऐसे कि बिंदु पर अपने पास । कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें विभेदक रूप | डिफरेंशियल 1-फॉर्म (या कोवेक्टर फ़ील्ड) के रूप में भी जाना जाता है, को सामान्यतः इस रूप में दर्शाया जाता है ऐसे कि बिंदु पर अपने पास । के लिए वैकल्पिक संकेतन है ।
विभेदक k-रूप
अंतर -रूप, जिसे हम बस के रूप में संदर्भित करते हैं -यहाँ प्रपत्र, विभेदक रूप परिभाषित हैं । हम सभी के समुच्चय को निरूपित करते हैं -के रूप में बनता है । के लिए हम सामान्यतः लिखते हैं , , ।
-रूप केवल अदिश फलन हैं पर । स्थिरांक को दर्शाता है -रूप के बराबर हर जगह।
अनुक्रम के छोड़े गए तत्व
जब हमें दिया जाता है आदानों और ए -प्रपत्र हम की चूक को दर्शाते हैं लिख कर वें प्रविष्टि
बाहरी उत्पाद
बाहरी उत्पाद को वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। द्वारा निरूपित किया जाता है । ए का बाहरी उत्पाद -प्रपत्र और -प्रपत्र उत्पादन ए -प्रपत्र । इसे सेट का उपयोग करके लिखा जा सकता है सभी क्रमपरिवर्तन का का ऐसा है कि जैसा
दिशात्मक व्युत्पन्न
0-रूप का दिशात्मक व्युत्पन्न अनुभाग के साथ 0-रूप दर्शाया गया है
बाहरी व्युत्पन्न
बाह्य व्युत्पन्न सभी के लिए परिभाषित है । हम सामान्यतः सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो। एक के लिए -प्रपत्र अपने पास के रूप में -फॉर्म जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, यानी, अनुभाग के लिए अपने पास , का दिशात्मक व्युत्पन्न साथ में ।[6] के लिए ,[6]
झूठ ब्रैकेट
अनुभागों के वेक्टर फ़ील्ड का लेट ब्रैकेट अद्वितीय अनुभाग के रूप में परिभाषित किया गया है जो संतुष्ट करता है
स्पर्शरेखा मानचित्र
अगर तो फिर, यह सहज मानचित्र है से स्पर्श रेखा मानचित्र को परिभाषित करता है को । इसे वक्रों के माध्यम से परिभाषित किया गया है पर व्युत्पन्न के साथ ऐसा है कि
ध्यान दें कि है -मूल्यों के साथ फॉर्म ।
पुल-बैक
अगर सहज मानचित्र है, फिर पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)|ए का पुल-बैक -प्रपत्र किसी के लिए भी इस प्रकार परिभाषित किया गया है -विमीय सबकई गुना
पुल-बैक को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है
आंतरिक उत्पाद
इसे आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, आंतरिक उत्पाद को खंड दिया गया है नक्शा है जो प्रभावी रूप से a के पहले इनपुट को प्रतिस्थापित करता है -फॉर्म के साथ । अगर और तब
मीट्रिक टेंसर
एक गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप दिया गया है सभी के ऊपर जो निरंतर चालू है , कई गुना छद्म-रीमैनियन कई गुना बन जाता है। हम मीट्रिक टेंसर को निरूपित करते हैं , द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है । हम बुलाते है हॉज स्टार ऑपरेटर#मीट्रिक का द्वंद्व। रीमैनियन कई गुना है , जबकि मिन्कोवस्की स्थान है ।
संगीत समरूपता
मीट्रिक टेंसर वेक्टर फ़ील्ड और एक-रूपों के बीच द्वंद्व मानचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय आइसोमोर्फिज्म फ्लैट हैं और तेज़ । अनुभाग अद्वितीय एक-रूप से मेल खाता है जैसे कि सभी वर्गों के लिए , अपने पास:
एक रूप अद्वितीय वेक्टर फ़ील्ड से मेल खाता है ऐसा कि सभी के लिए , अपने पास:
ये मैपिंग बहुरेखीयता से होते हुए मैपिंग तक विस्तारित होती हैं -वेक्टर फ़ील्ड्स -रूप और -फ़ॉर्म को -वेक्टर फ़ील्ड के माध्यम से
हॉज स्टार
एन-कई गुना एम के लिए, हॉज स्टार ऑपरेटर द्वैत मानचित्रण है -प्रपत्र अगर -प्रपत्र ।
इसे उन्मुख फ़्रेम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है के लिए , दिए गए मीट्रिक टेंसर के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल :
सह-अंतर ऑपरेटर
हॉज स्टार ऑपरेटर#कोडडिफ़रेंशियल|सह-डिफ़रेंशियल ऑपरेटर पर विमीय कई गुना द्वारा परिभाषित किया गया है
हॉज-डिराक ऑपरेटर, , डिराक ऑपरेटर है जिसका अध्ययन क्लिफोर्ड विश्लेषण में किया गया है।
ओरिएंटेड कई गुना
एक -विमीय स्टीयरेबल कई गुना M ऐसा कई गुना है जिसे किसी विकल्प से सुसज्जित किया जा सकता है n-प्रपत्र वह हर जगह निरंतर और शून्येतर है M।
आयतन आकार
एक ओरिएंटेबल कई गुना पर मीट्रिक टेंसर दिए गए वॉल्यूम फॉर्म की विहित पसंद और ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस)#मल्टीलीनियर बीजगणित है किसी भी आधार के लिए ओरिएंटेशन से मिलान करने का आदेश दिया गया।
क्षेत्रफल
वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है और इकाई सामान्य वेक्टर हम क्षेत्र रूप को भी परिभाषित कर सकते हैं पर boundary
के-फॉर्म पर बिलिनियर फॉर्म
मीट्रिक टेंसर का सामान्यीकरण, दो के बीच सममित द्विरेखीय रूप -रूप , पर बिंदुवार परिभाषित किया गया है द्वारा
वें>-के स्थान के लिए द्विरेखीय रूप -रूप द्वारा परिभाषित किया गया है
रीमैनियन कई गुना के मामले में, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद है (अर्थात सकारात्मक-निश्चित है)।
झूठ व्युत्पन्न
हम लाई व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं किसी दिए गए अनुभाग के लिए कार्टन के जादुई फॉर्मूले के माध्यम से जैसा
यह a के परिवर्तन का वर्णन करता है -एक प्रवाह के साथ प्रपत्र (गणित) अनुभाग से संबद्ध ।
पुल-बैक गुण
- (साथ क्रमविनिमेय )
- ( वितरित करता है )
- (विपरीत)
- के लिए (फ़ंक्शन रचना)
संगीत समरूपता गुण
आंतरिक उत्पाद गुण
- (निलपोटेंट)
- के लिए (लीबनिज नियम)
- के लिए
- के लिए
- के लिए
हॉज स्टार गुण
- के लिए ( रैखिकता )
- के लिए , , और मीट्रिक का चिह्न
- ( उलटा )
- के लिए (साथ क्रमविनिमेय -रूप )
- के लिए (हॉज स्टार संरक्षित करता है -फॉर्म मानदंड )
- (स्थिर फलन 1 का हॉज डुअल आयतन रूप है)
सह-अंतर ऑपरेटर गुण
- (निलपोटेंट)
- और (हॉज के निकट )
- अगर ( के साथ जुड़ा हुआ )
- सामान्य रूप में,
- के लिए
झूठ व्युत्पन्न गुण
- (साथ क्रमविनिमेय )
- (साथ क्रमविनिमेय )
- (लीबनिज नियम)
- सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम दिया गया ।
हॉज अपघटन
अगर , ऐसा है कि
पोंकारे लेम्मा
यदि सीमाहीन कई गुना इसमें तुच्छ कोहोमोलोजी है , फिर कोई भी बंद सटीक है। यह मामला है यदि एम अनुबंध योग्य स्थान है।
सदिश कलन से संबंध
यूक्लिडियन 3-स्पेस में समरूपता
चलो यूक्लिडियन मीट्रिक ।
हम उपयोग करते हैं की
- के लिए ।
- (अदिश त्रिगुण गुणनफल)
- ( पार उत्पाद )
- अगर
- ( अदिश उत्पाद )
- (ढाल)
- (दिशात्मक व्युत्पन्न)
- (विचलन)
- कहाँ की इकाई सामान्य वेक्टर है और पर क्षेत्र प्रपत्र है ।
झूठ व्युत्पन्न
- (-रूप )
- (-रूप )
- अगर (-पर प्रपत्र -कई गुना )
- अगर (-रूप )
- ↑ Crane, Keenan; de Goes, Fernando; Desbrun, Mathieu; Schröder, Peter (21 July 2013). असतत बाहरी कलन के साथ डिजिटल ज्यामिति प्रसंस्करण. pp. 1–126. doi:10.1145/2504435.2504442. ISBN 9781450323390. S2CID 168676.
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ignored (help) - ↑ Schwarz, Günter (1995). Hodge Decomposition – A Method for Solving Boundary Value Problems. Springer. ISBN 978-3-540-49403-4.
- ↑ Cartan, Henri (26 May 2006). विभेदक रूप (Dover ed.). Dover Publications. ISBN 978-0486450100.
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