होमोटोपी विश्लेषण विधि: Difference between revisions

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[[File:HomotopySmall.gif|thumb|200px|ऊपर दिखाए गए दो धराशायी पथ उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानिक हैं। एनीमेशन संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।]][[होमोटॉपी]] विश्लेषण विधि (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/[[आंशिक अंतर समीकरण]] अंतर समीकरणों को हल करने के लिए अर्ध-विश्लेषणात्मक तकनीक है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए [[टोपोलॉजी]] से होमोटॉपी की अवधारणा को नियोजित करती है। इसे सिस्टम में गैर-रेखीयताओं से निपटने के लिए होमोटॉपी-[[टेलर श्रृंखला]] का उपयोग करके सक्षम किया गया है।


[[File:HomotopySmall.gif|thumb|शीर्ष|200px|ऊपर दिखाए गए दो धराशायी पथ उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानिक हैं। एनीमेशन एक संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।]][[होमोटॉपी]] विश्लेषण विधि (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/[[आंशिक अंतर समीकरण]] अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अर्ध-विश्लेषणात्मक तकनीक है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए एक अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए [[टोपोलॉजी]] से होमोटॉपी की अवधारणा को नियोजित करती है। इसे सिस्टम में गैर-रेखीयताओं से निपटने के लिए होमोटॉपी-[[टेलर श्रृंखला]] का उपयोग करके सक्षम किया गया है।
HAM को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के [[लियाओ शिजुन]] ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था।<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems | publisher=PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University | year=1992 }}</ref> और आगे संशोधित किया गया<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=An explicit, totally analytic approximation of Blasius' viscous flow problems | journal=International Journal of Non-Linear Mechanics | volume=34 | issue=4 | pages=759–778 | year=1999 | doi=10.1016/S0020-7462(98)00056-0|bibcode = 1999IJNLM..34..759L }}</ref> 1997 में गैर-शून्य सहायक पैरामीटर पेश किया गया, जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर, ''सी'' कहा जाता है।<sub>'''0'''</sub>, सामान्य रूप में विभेदक प्रणाली पर समरूपता का निर्माण करना।<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method | publisher=Chapman & Hall/ CRC Press | location=Boca Raton  | year=2003 | isbn=978-1-58488-407-1 }}[https://www.amazon.com/Beyond-Perturbation-Introduction-Mechanics-Mathematics/dp/158488407X]</ref> अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर गैर-भौतिक चर है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और लागू करने का सरल तरीका प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य है।
 
HAM को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के [[लियाओ शिजुन]] ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था।<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems | publisher=PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University | year=1992 }}</ref> और आगे संशोधित किया गया<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=An explicit, totally analytic approximation of Blasius' viscous flow problems | journal=International Journal of Non-Linear Mechanics | volume=34 | issue=4 | pages=759–778 | year=1999 | doi=10.1016/S0020-7462(98)00056-0|bibcode = 1999IJNLM..34..759L }}</ref> 1997 में एक गैर-शून्य सहायक पैरामीटर पेश किया गया, जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर, ''सी'' कहा जाता है।<sub>'''0'''</sub>, सामान्य रूप में एक विभेदक प्रणाली पर एक समरूपता का निर्माण करना।<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method | publisher=Chapman & Hall/ CRC Press | location=Boca Raton  | year=2003 | isbn=978-1-58488-407-1 }}[https://www.amazon.com/Beyond-Perturbation-Introduction-Mechanics-Mathematics/dp/158488407X]</ref> अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर एक गैर-भौतिक चर है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और लागू करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य है।


==विशेषताएँ==
==विशेषताएँ==


HAM चार महत्वपूर्ण पहलुओं में खुद को विभिन्न अन्य [[गणितीय विश्लेषण]]ों से अलग करता है। सबसे पहले, यह एक [[श्रृंखला (गणित)]] विस्तार विधि है जो सीधे छोटे या बड़े भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक गड़बड़ी सिद्धांत की कुछ अंतर्निहित सीमाओं से परे जाकर, न केवल कमजोर बल्कि दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी लागू होता है। दूसरा, एचएएम [[अलेक्जेंडर ल्यपुनोव]] कृत्रिम छोटे पैरामीटर विधि, डेल्टा विस्तार विधि, [[एडोमियन अपघटन विधि]] के लिए एक एकीकृत विधि है।<ref name="Adomian94">{{cite book |title=Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method|first=G.|last=Adomian|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1994}}</ref> और होमोटोपी गड़बड़ी विधि।<ref>{{citation | last1=Liang | first1=Songxin |last2=Jeffrey |first2=David J. | title= Comparison of homotopy analysis method and homotopy perturbation method through an evolution equation | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation| volume=14| issue=12 | pages=4057–4064|year=2009 | doi=10.1016/j.cnsns.2009.02.016|bibcode = 2009CNSNS..14.4057L }}</ref><ref>{{citation | last1=Sajid | first1=M. |last2=Hayat |first2=T. | title= Comparison of HAM and HPM methods in nonlinear heat conduction and convection equations | journal=Nonlinear Analysis: Real World Applications| volume=9| issue=5 | pages=2296–2301|year=2008 | doi=10.1016/j.nonrwa.2007.08.007}}</ref> विधि की व्यापक व्यापकता अक्सर बड़े स्थानिक और पैरामीटर डोमेन पर समाधान के मजबूत अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट लचीलापन देता है। यह वांछित समाधान के [[आधार कार्य]]ों और होमोटॉपी के संबंधित सहायक [[रैखिक ऑपरेटर]] को चुनने की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन तकनीकों के विपरीत, HAM समाधान श्रृंखला के अनुक्रम की सीमा सुनिश्चित करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है।
HAM चार महत्वपूर्ण पहलुओं में खुद को विभिन्न अन्य [[गणितीय विश्लेषण]]ों से अलग करता है। सबसे पहले, यह [[श्रृंखला (गणित)]] विस्तार विधि है जो सीधे छोटे या बड़े भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक गड़बड़ी सिद्धांत की कुछ अंतर्निहित सीमाओं से परे जाकर, न केवल कमजोर बल्कि दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी लागू होता है। दूसरा, एचएएम [[अलेक्जेंडर ल्यपुनोव]] कृत्रिम छोटे पैरामीटर विधि, डेल्टा विस्तार विधि, [[एडोमियन अपघटन विधि]] के लिए एकीकृत विधि है।<ref name="Adomian94">{{cite book |title=Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method|first=G.|last=Adomian|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1994}}</ref> और होमोटोपी गड़बड़ी विधि।<ref>{{citation | last1=Liang | first1=Songxin |last2=Jeffrey |first2=David J. | title= Comparison of homotopy analysis method and homotopy perturbation method through an evolution equation | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation| volume=14| issue=12 | pages=4057–4064|year=2009 | doi=10.1016/j.cnsns.2009.02.016|bibcode = 2009CNSNS..14.4057L }}</ref><ref>{{citation | last1=Sajid | first1=M. |last2=Hayat |first2=T. | title= Comparison of HAM and HPM methods in nonlinear heat conduction and convection equations | journal=Nonlinear Analysis: Real World Applications| volume=9| issue=5 | pages=2296–2301|year=2008 | doi=10.1016/j.nonrwa.2007.08.007}}</ref> विधि की व्यापक व्यापकता अक्सर बड़े स्थानिक और पैरामीटर डोमेन पर समाधान के मजबूत अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट लचीलापन देता है। यह वांछित समाधान के [[आधार कार्य]]ों और होमोटॉपी के संबंधित सहायक [[रैखिक ऑपरेटर]] को चुनने की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन तकनीकों के विपरीत, HAM समाधान श्रृंखला के अनुक्रम की सीमा सुनिश्चित करने का सरल तरीका प्रदान करता है।


होमोटॉपी विश्लेषण विधि वर्णक्रमीय विधियों जैसे गैर-रेखीय अंतर समीकरणों में नियोजित अन्य तकनीकों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है<ref>{{citation | last1=Motsa | first1=S.S. | last2=Sibanda|first2=P.| last3=Awad| first3=F.G.|  last4 = Shateyi| first4 = S.| title= A new spectral-homotopy analysis method for the MHD Jeffery–Hamel problem | journal=Computers & Fluids| volume=39| issue=7 | pages=1219–1225|year=2010 | doi=10.1016/j.compfluid.2010.03.004}}</ref> और पाडे सन्निकटन। इसे आगे कम्प्यूटेशनल तरीकों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि [[सीमा तत्व विधि]], रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों को हल करने की अनुमति देती है। [[संख्यात्मक निरंतरता]] की संख्यात्मक तकनीक से भिन्न, होमोटोपी विश्लेषण विधि एक असतत कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत एक विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है। इसके अलावा, एचएएम केवल सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी पैरामीटर का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि एक नॉनलाइनियर सिस्टम को रैखिक सिस्टम के अनंत सेट में विभाजित किया जा सकता है, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जाता है, जबकि निरंतरता के तरीकों के लिए एक अलग रैखिक सिस्टम को हल करने की आवश्यकता होती है क्योंकि नॉनलाइनर सिस्टम को हल करने के लिए होमोटॉपी पैरामीटर भिन्न होता है।
होमोटॉपी विश्लेषण विधि वर्णक्रमीय विधियों जैसे गैर-रेखीय अंतर समीकरणों में नियोजित अन्य तकनीकों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है<ref>{{citation | last1=Motsa | first1=S.S. | last2=Sibanda|first2=P.| last3=Awad| first3=F.G.|  last4 = Shateyi| first4 = S.| title= A new spectral-homotopy analysis method for the MHD Jeffery–Hamel problem | journal=Computers & Fluids| volume=39| issue=7 | pages=1219–1225|year=2010 | doi=10.1016/j.compfluid.2010.03.004}}</ref> और पाडे सन्निकटन। इसे आगे कम्प्यूटेशनल तरीकों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि [[सीमा तत्व विधि]], रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों को हल करने की अनुमति देती है। [[संख्यात्मक निरंतरता]] की संख्यात्मक तकनीक से भिन्न, होमोटोपी विश्लेषण विधि असतत कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है। इसके अलावा, एचएएम केवल सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी पैरामीटर का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि नॉनलाइनियर सिस्टम को रैखिक सिस्टम के अनंत सेट में विभाजित किया जा सकता है, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जाता है, जबकि निरंतरता के तरीकों के लिए अलग रैखिक सिस्टम को हल करने की आवश्यकता होती है क्योंकि नॉनलाइनर सिस्टम को हल करने के लिए होमोटॉपी पैरामीटर भिन्न होता है।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==


पिछले बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या को हल करने के लिए HAM का उपयोग किया गया है।<ref name="HAM in NDEs">{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2012 | isbn=978-7-04-032298-9}} [https://www.amazon.com/Homotopy-Analysis-Nonlinear-Differential-Equations/dp/3642251315]</ref><ref>{{citation | last1=Vajravelu | first1=K.  | last2= Van Gorder| title= Nonlinear Flow Phenomena and Homotopy Analysis| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2013 | isbn=978-3-642-32102-3}} [https://www.amazon.com/Nonlinear-Flow-Phenomena-Homotopy-Analysis/dp/3642321011/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1384402655&sr=1-1]</ref> उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में कई स्थिर-अवस्था वाली गुंजयमान तरंगें<ref>{{citation|last1=Xu|first1=D.L.|last2=Lin|first2=Z.L.|last3=Liao|first3=S.J.|last4=Stiassnie|first4=M.|title=On the steady-state fully resonant progressive waves in water of finite depth|journal =Journal of Fluid Mechanics|volume = 710|pages=379–418|year=2012|doi = 10.1017/jfm.2012.370|bibcode = 2012JFM...710..379X |s2cid=122094345 }}</ref> यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की मनमानी संख्या की [[तरंग प्रतिध्वनि]] मानदंड के साथ पाए गए; यह छोटे आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की कसौटी से सहमत था। इसके अलावा, HAM के साथ एक एकीकृत तरंग मॉडल लागू किया गया,<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title= Do peaked solitary water waves indeed exist? | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|year=2013 | doi=10.1016/j.cnsns.2013.09.042|arxiv = 1204.3354 |bibcode = 2014CNSNS..19.1792L | volume=19 | issue=6 | pages=1792–1821| s2cid=119203215 }}</ref> न केवल पारंपरिक चिकनी प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, बल्कि सीमित पानी की गहराई में शिखर वाली प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात चिकनी तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को कई अन्य गैर-रेखीय समस्याओं जैसे गैर-रेखीय ताप हस्तांतरण, पर लागू किया गया है।<ref>{{citation | last1=Abbasbandy | first1=S. | title= The application of homotopy analysis method to nonlinear equations arising in heat transfer | journal=Physics Letters A| volume=360| issue=1 | pages=109–113|year=2006 | doi=10.1016/j.physleta.2006.07.065|bibcode = 2006PhLA..360..109A }}</ref> अरेखीय गतिशील प्रणालियों का [[सीमा चक्र]],<ref>{{citation|last1= Chen|first1=Y.M.|first2=J.K. |last2=Liu|title=Uniformly valid solution of limit cycle of the Duffing–van der Pol equation|journal = Mechanics Research Communications|volume= 36|issue=7|year= 2009|pages= 845–850|doi=10.1016/j.mechrescom.2009.06.001}}</ref> अमेरिकी पुट विकल्प,<ref>{{citation | last1=Zhu | first1=S.P. | title= An exact and explicit solution for the valuation of American put options | journal=Quantitative Finance| volume=6| pages=229–242|year=2006 | issue=3 | doi=10.1080/14697680600699811| s2cid=121851109 }}</ref> सटीक नेवियर-स्टोक्स समीकरण,<ref>{{citation|last=Turkyilmazoglu|first=M.|title=Purely analytic solutions of the compressible boundary layer flow due to a porous rotating disk with heat transfer|journal=Physics of Fluids|volume=21|issue=10|pages=106104–106104–12|year=2009|doi=10.1063/1.3249752|bibcode = 2009PhFl...21j6104T }}</ref> [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता]] के तहत विकल्प मूल्य निर्धारण,<ref>{{citation|last1=Park|first1=Sang-Hyeon|last2=Kim|first2=Jeong-Hoon|title=Homotopy analysis method for option pricing under stochastic volatility|journal=Applied Mathematics Letters|volume= 24|issue=10|year= 2011|pages= 1740–1744|doi=10.1016/j.aml.2011.04.034|doi-access=free}}</ref> [[इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक]] प्रवाह,<ref>{{citation|last=Mastroberardino|first=A.|title=Homotopy analysis method applied to electrohydrodynamic flow|journal = Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulat.| volume=16|issue=7|year= 2011| pages=2730–2736|doi=10.1016/j.cnsns.2010.10.004|bibcode = 2011CNSNS..16.2730M }}</ref> अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण,<ref>{{citation|last1=Nassar|first1= Christopher J.| first2= Joseph F. |last2=Revelli|first3=Robert J. |last3=Bowman|title=Application of the homotopy analysis method to the Poisson–Boltzmann equation for semiconductor devices |journal = Commun Nonlinear Sci Numer Simulat |volume=16 |issue= 6|year=2011|pages= 2501–2512|doi=10.1016/j.cnsns.2010.09.015|bibcode = 2011CNSNS..16.2501N }}</ref> और दूसरे।
पिछले बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या को हल करने के लिए HAM का उपयोग किया गया है।<ref name="HAM in NDEs">{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2012 | isbn=978-7-04-032298-9}} [https://www.amazon.com/Homotopy-Analysis-Nonlinear-Differential-Equations/dp/3642251315]</ref><ref>{{citation | last1=Vajravelu | first1=K.  | last2= Van Gorder| title= Nonlinear Flow Phenomena and Homotopy Analysis| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2013 | isbn=978-3-642-32102-3}} [https://www.amazon.com/Nonlinear-Flow-Phenomena-Homotopy-Analysis/dp/3642321011/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1384402655&sr=1-1]</ref> उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में कई स्थिर-अवस्था वाली गुंजयमान तरंगें<ref>{{citation|last1=Xu|first1=D.L.|last2=Lin|first2=Z.L.|last3=Liao|first3=S.J.|last4=Stiassnie|first4=M.|title=On the steady-state fully resonant progressive waves in water of finite depth|journal =Journal of Fluid Mechanics|volume = 710|pages=379–418|year=2012|doi = 10.1017/jfm.2012.370|bibcode = 2012JFM...710..379X |s2cid=122094345 }}</ref> यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की मनमानी संख्या की [[तरंग प्रतिध्वनि]] मानदंड के साथ पाए गए; यह छोटे आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की कसौटी से सहमत था। इसके अलावा, HAM के साथ एकीकृत तरंग मॉडल लागू किया गया,<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title= Do peaked solitary water waves indeed exist? | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|year=2013 | doi=10.1016/j.cnsns.2013.09.042|arxiv = 1204.3354 |bibcode = 2014CNSNS..19.1792L | volume=19 | issue=6 | pages=1792–1821| s2cid=119203215 }}</ref> न केवल पारंपरिक चिकनी प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, बल्कि सीमित पानी की गहराई में शिखर वाली प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात चिकनी तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को कई अन्य गैर-रेखीय समस्याओं जैसे गैर-रेखीय ताप हस्तांतरण, पर लागू किया गया है।<ref>{{citation | last1=Abbasbandy | first1=S. | title= The application of homotopy analysis method to nonlinear equations arising in heat transfer | journal=Physics Letters A| volume=360| issue=1 | pages=109–113|year=2006 | doi=10.1016/j.physleta.2006.07.065|bibcode = 2006PhLA..360..109A }}</ref> अरेखीय गतिशील प्रणालियों का [[सीमा चक्र]],<ref>{{citation|last1= Chen|first1=Y.M.|first2=J.K. |last2=Liu|title=Uniformly valid solution of limit cycle of the Duffing–van der Pol equation|journal = Mechanics Research Communications|volume= 36|issue=7|year= 2009|pages= 845–850|doi=10.1016/j.mechrescom.2009.06.001}}</ref> अमेरिकी पुट विकल्प,<ref>{{citation | last1=Zhu | first1=S.P. | title= An exact and explicit solution for the valuation of American put options | journal=Quantitative Finance| volume=6| pages=229–242|year=2006 | issue=3 | doi=10.1080/14697680600699811| s2cid=121851109 }}</ref> सटीक नेवियर-स्टोक्स समीकरण,<ref>{{citation|last=Turkyilmazoglu|first=M.|title=Purely analytic solutions of the compressible boundary layer flow due to a porous rotating disk with heat transfer|journal=Physics of Fluids|volume=21|issue=10|pages=106104–106104–12|year=2009|doi=10.1063/1.3249752|bibcode = 2009PhFl...21j6104T }}</ref> [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता]] के तहत विकल्प मूल्य निर्धारण,<ref>{{citation|last1=Park|first1=Sang-Hyeon|last2=Kim|first2=Jeong-Hoon|title=Homotopy analysis method for option pricing under stochastic volatility|journal=Applied Mathematics Letters|volume= 24|issue=10|year= 2011|pages= 1740–1744|doi=10.1016/j.aml.2011.04.034|doi-access=free}}</ref> [[इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक]] प्रवाह,<ref>{{citation|last=Mastroberardino|first=A.|title=Homotopy analysis method applied to electrohydrodynamic flow|journal = Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulat.| volume=16|issue=7|year= 2011| pages=2730–2736|doi=10.1016/j.cnsns.2010.10.004|bibcode = 2011CNSNS..16.2730M }}</ref> अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण,<ref>{{citation|last1=Nassar|first1= Christopher J.| first2= Joseph F. |last2=Revelli|first3=Robert J. |last3=Bowman|title=Application of the homotopy analysis method to the Poisson–Boltzmann equation for semiconductor devices |journal = Commun Nonlinear Sci Numer Simulat |volume=16 |issue= 6|year=2011|pages= 2501–2512|doi=10.1016/j.cnsns.2010.09.015|bibcode = 2011CNSNS..16.2501N }}</ref> और दूसरे।


==संक्षिप्त गणितीय विवरण==
==संक्षिप्त गणितीय विवरण==


[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|शीर्ष|200px|डोनट ([[ टोरस्र्स ]]) में एक कॉफी कप की एक आइसोटोपी।]]एक सामान्य अरेखीय अवकल समीकरण पर विचार करें
[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|200px|डोनट ([[ टोरस्र्स ]]) में कॉफी कप की आइसोटोपी।]]एक सामान्य अरेखीय अवकल समीकरण पर विचार करें


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कहाँ <math>\mathcal{N}</math> एक अरेखीय ऑपरेटर है. होने देना <math>\mathcal{L}</math> एक सहायक रैखिक ऑपरेटर को निरूपित करें, यू<sub>0</sub>(x) u(x), और c का प्रारंभिक अनुमान<sub>0</sub> क्रमशः एक स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर कहा जाता है)। होमोटॉपी सिद्धांत से एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] का उपयोग करके, कोई समीकरणों का एक परिवार बना सकता है,
कहाँ <math>\mathcal{N}</math> अरेखीय ऑपरेटर है. होने देना <math>\mathcal{L}</math> सहायक रैखिक ऑपरेटर को निरूपित करें, यू<sub>0</sub>(x) u(x), और c का प्रारंभिक अनुमान<sub>0</sub> क्रमशः स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर कहा जाता है)। होमोटॉपी सिद्धांत से एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] का उपयोग करके, कोई समीकरणों का परिवार बना सकता है,


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एम को बुलाया<sup>वें</sup>-क्रम विरूपण समीकरण, जहां <math>\chi_1 = 0</math> और <math>\chi_k = 1</math> k > 1 के लिए, और दाहिनी ओर R<sub>''m''</sub> केवल ज्ञात परिणामों पर निर्भर है यू<sub>0</sub>, में<sub>1</sub>, ..., में<sub>''m''&nbsp;−&nbsp;1</sub> और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इस तरह, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, लेकिन बिना किसी छोटे/बड़े भौतिक मापदंडों की धारणा के।
एम को बुलाया<sup>वें</sup>-क्रम विरूपण समीकरण, जहां <math>\chi_1 = 0</math> और <math>\chi_k = 1</math> k > 1 के लिए, और दाहिनी ओर R<sub>''m''</sub> केवल ज्ञात परिणामों पर निर्भर है यू<sub>0</sub>, में<sub>1</sub>, ..., में<sub>''m''&nbsp;−&nbsp;1</sub> और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इस तरह, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, लेकिन बिना किसी छोटे/बड़े भौतिक मापदंडों की धारणा के।


चूंकि एचएएम एक होमोटॉपी पर आधारित है, इसलिए किसी को प्रारंभिक अनुमान यू चुनने की बड़ी स्वतंत्रता है<sub>0</sub>(x), सहायक रैखिक संचालिका <math>\mathcal{L}</math>, और अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर सी<sub>0</sub> शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को चुनने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर का इष्टतम मान c<sub>0</sub> चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक ऑपरेटर के लिए सामान्य रूप को हल करने के बाद शासक समीकरणों और/या सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c<sub>0</sub> होमोटॉपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की गारंटी देने का एक सरल तरीका है और एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से अलग करता है। कुल मिलाकर यह विधि समरूपता की अवधारणा का एक उपयोगी सामान्यीकरण देती है।
चूंकि एचएएम होमोटॉपी पर आधारित है, इसलिए किसी को प्रारंभिक अनुमान यू चुनने की बड़ी स्वतंत्रता है<sub>0</sub>(x), सहायक रैखिक संचालिका <math>\mathcal{L}</math>, और अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर सी<sub>0</sub> शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को चुनने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर का इष्टतम मान c<sub>0</sub> चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक ऑपरेटर के लिए सामान्य रूप को हल करने के बाद शासक समीकरणों और/या सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c<sub>0</sub> होमोटॉपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की गारंटी देने का सरल तरीका है और एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से अलग करता है। कुल मिलाकर यह विधि समरूपता की अवधारणा का उपयोगी सामान्यीकरण देती है।


== HAM और कंप्यूटर बीजगणित ==
== HAM और कंप्यूटर बीजगणित ==


HAM एक विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है जिसे कंप्यूटर युग के लिए संख्याओं के बजाय फ़ंक्शन के साथ कंप्यूटिंग के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। [[मेथेमेटिका]] या [[मेपल (सॉफ्टवेयर)]] जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति केवल कुछ ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से मनमाने ढंग से उच्च क्रम में एक अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में HAM के हालिया सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, HAM पर आधारित एक गणित पैकेज, जिसे BVPh कहा जाता है, को गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm]। बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए एक सॉल्वर पैकेज है जिसमें एकवचन, एकाधिक समाधान और एक परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है, और इसमें कुछ प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन शामिल होता है।<ref name="HAM in NDEs"/> अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान को हल करने के लिए एक और HAM-आधारित गणित कोड, APOh, तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm]।
HAM विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है जिसे कंप्यूटर युग के लिए संख्याओं के बजाय फ़ंक्शन के साथ कंप्यूटिंग के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। [[मेथेमेटिका]] या [[मेपल (सॉफ्टवेयर)]] जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति केवल कुछ ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से मनमाने ढंग से उच्च क्रम में अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में HAM के हालिया सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, HAM पर आधारित गणित पैकेज, जिसे BVPh कहा जाता है, को गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm]। बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए सॉल्वर पैकेज है जिसमें एकवचन, एकाधिक समाधान और परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है, और इसमें कुछ प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन शामिल होता है।<ref name="HAM in NDEs"/> अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान को हल करने के लिए और HAM-आधारित गणित कोड, APOh, तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm]।


== नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण ==
== नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण ==

Revision as of 20:13, 25 July 2023

ऊपर दिखाए गए दो धराशायी पथ उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानिक हैं। एनीमेशन संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।

होमोटॉपी विश्लेषण विधि (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/आंशिक अंतर समीकरण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए अर्ध-विश्लेषणात्मक तकनीक है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए टोपोलॉजी से होमोटॉपी की अवधारणा को नियोजित करती है। इसे सिस्टम में गैर-रेखीयताओं से निपटने के लिए होमोटॉपी-टेलर श्रृंखला का उपयोग करके सक्षम किया गया है।

HAM को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के लियाओ शिजुन ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था।[1] और आगे संशोधित किया गया[2] 1997 में गैर-शून्य सहायक पैरामीटर पेश किया गया, जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर, सी कहा जाता है।0, सामान्य रूप में विभेदक प्रणाली पर समरूपता का निर्माण करना।[3] अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर गैर-भौतिक चर है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और लागू करने का सरल तरीका प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य है।

विशेषताएँ

HAM चार महत्वपूर्ण पहलुओं में खुद को विभिन्न अन्य गणितीय विश्लेषणों से अलग करता है। सबसे पहले, यह श्रृंखला (गणित) विस्तार विधि है जो सीधे छोटे या बड़े भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक गड़बड़ी सिद्धांत की कुछ अंतर्निहित सीमाओं से परे जाकर, न केवल कमजोर बल्कि दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी लागू होता है। दूसरा, एचएएम अलेक्जेंडर ल्यपुनोव कृत्रिम छोटे पैरामीटर विधि, डेल्टा विस्तार विधि, एडोमियन अपघटन विधि के लिए एकीकृत विधि है।[4] और होमोटोपी गड़बड़ी विधि।[5][6] विधि की व्यापक व्यापकता अक्सर बड़े स्थानिक और पैरामीटर डोमेन पर समाधान के मजबूत अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट लचीलापन देता है। यह वांछित समाधान के आधार कार्यों और होमोटॉपी के संबंधित सहायक रैखिक ऑपरेटर को चुनने की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन तकनीकों के विपरीत, HAM समाधान श्रृंखला के अनुक्रम की सीमा सुनिश्चित करने का सरल तरीका प्रदान करता है।

होमोटॉपी विश्लेषण विधि वर्णक्रमीय विधियों जैसे गैर-रेखीय अंतर समीकरणों में नियोजित अन्य तकनीकों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है[7] और पाडे सन्निकटन। इसे आगे कम्प्यूटेशनल तरीकों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि सीमा तत्व विधि, रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों को हल करने की अनुमति देती है। संख्यात्मक निरंतरता की संख्यात्मक तकनीक से भिन्न, होमोटोपी विश्लेषण विधि असतत कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है। इसके अलावा, एचएएम केवल सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी पैरामीटर का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि नॉनलाइनियर सिस्टम को रैखिक सिस्टम के अनंत सेट में विभाजित किया जा सकता है, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जाता है, जबकि निरंतरता के तरीकों के लिए अलग रैखिक सिस्टम को हल करने की आवश्यकता होती है क्योंकि नॉनलाइनर सिस्टम को हल करने के लिए होमोटॉपी पैरामीटर भिन्न होता है।

अनुप्रयोग

पिछले बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या को हल करने के लिए HAM का उपयोग किया गया है।[8][9] उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में कई स्थिर-अवस्था वाली गुंजयमान तरंगें[10] यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की मनमानी संख्या की तरंग प्रतिध्वनि मानदंड के साथ पाए गए; यह छोटे आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की कसौटी से सहमत था। इसके अलावा, HAM के साथ एकीकृत तरंग मॉडल लागू किया गया,[11] न केवल पारंपरिक चिकनी प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, बल्कि सीमित पानी की गहराई में शिखर वाली प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात चिकनी तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को कई अन्य गैर-रेखीय समस्याओं जैसे गैर-रेखीय ताप हस्तांतरण, पर लागू किया गया है।[12] अरेखीय गतिशील प्रणालियों का सीमा चक्र,[13] अमेरिकी पुट विकल्प,[14] सटीक नेवियर-स्टोक्स समीकरण,[15] स्टोकेस्टिक अस्थिरता के तहत विकल्प मूल्य निर्धारण,[16] इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक प्रवाह,[17] अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण,[18] और दूसरे।

संक्षिप्त गणितीय विवरण

डोनट (टोरस्र्स ) में कॉफी कप की आइसोटोपी।

एक सामान्य अरेखीय अवकल समीकरण पर विचार करें

,

कहाँ अरेखीय ऑपरेटर है. होने देना सहायक रैखिक ऑपरेटर को निरूपित करें, यू0(x) u(x), और c का प्रारंभिक अनुमान0 क्रमशः स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर कहा जाता है)। होमोटॉपी सिद्धांत से एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] का उपयोग करके, कोई समीकरणों का परिवार बना सकता है,

शून्य-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जिसका समाधान एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] के संबंध में लगातार बदलता रहता है। यह रैखिक समीकरण है

ज्ञात प्रारंभिक अनुमान के साथ U(x; 0) = u0(x) जब q = 0, लेकिन मूल अरेखीय समीकरण के बराबर है , जब q = 1, अर्थात U(x; 1) = u(x)). इसलिए, जैसे-जैसे q 0 से 1 तक बढ़ता है, शून्य-क्रम विरूपण समीकरण का समाधान U(x; q) चुने गए प्रारंभिक अनुमान u से भिन्न होता है (या विकृत होता है)।0(x) विचारित अरेखीय समीकरण के समाधान u(x) के लिए।

q = 0 के बारे में टेलर श्रृंखला में U(x; q) का विस्तार करने पर, हमें होमोटॉपी-मैकलॉरिन श्रृंखला मिलती है

यह मानते हुए कि तथाकथित अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c0 शून्य-क्रम विरूपण समीकरण को ठीक से चुना गया है कि उपरोक्त श्रृंखला q = 1 पर अभिसरण है, हमारे पास समरूप-श्रृंखला समाधान है

शून्य-क्रम विरूपण समीकरण से, कोई सीधे यू के शासी समीकरण को प्राप्त कर सकता हैm(एक्स)

एम को बुलायावें-क्रम विरूपण समीकरण, जहां और k > 1 के लिए, और दाहिनी ओर Rm केवल ज्ञात परिणामों पर निर्भर है यू0, में1, ..., मेंm − 1 और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इस तरह, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, लेकिन बिना किसी छोटे/बड़े भौतिक मापदंडों की धारणा के।

चूंकि एचएएम होमोटॉपी पर आधारित है, इसलिए किसी को प्रारंभिक अनुमान यू चुनने की बड़ी स्वतंत्रता है0(x), सहायक रैखिक संचालिका , और अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर सी0 शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को चुनने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर का इष्टतम मान c0 चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक ऑपरेटर के लिए सामान्य रूप को हल करने के बाद शासक समीकरणों और/या सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c0 होमोटॉपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की गारंटी देने का सरल तरीका है और एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से अलग करता है। कुल मिलाकर यह विधि समरूपता की अवधारणा का उपयोगी सामान्यीकरण देती है।

HAM और कंप्यूटर बीजगणित

HAM विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है जिसे कंप्यूटर युग के लिए संख्याओं के बजाय फ़ंक्शन के साथ कंप्यूटिंग के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। मेथेमेटिका या मेपल (सॉफ्टवेयर) जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति केवल कुछ ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से मनमाने ढंग से उच्च क्रम में अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में HAM के हालिया सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, HAM पर आधारित गणित पैकेज, जिसे BVPh कहा जाता है, को गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है [4]। बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए सॉल्वर पैकेज है जिसमें एकवचन, एकाधिक समाधान और परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है, और इसमें कुछ प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन शामिल होता है।[8] अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान को हल करने के लिए और HAM-आधारित गणित कोड, APOh, तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध है [5]।

नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण

एचएएम को हाल ही में गैर-रेखीय आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोगी बताया गया है। ऐसे समाधान विभिन्न गैर-रेखीय व्यवहारों जैसे सख्त-प्रकार, नरम-प्रकार या ऑसिलेटर के मिश्रित व्यवहार को पकड़ने में सक्षम हैं।[19][20] ये विश्लेषणात्मक समीकरण गैर-रेखीय प्रणालियों में अराजकता की भविष्यवाणी में भी उपयोगी हैं।[21]


संदर्भ

  1. ↑ Liao, S.J. (1992), The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems, PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University
  2. ↑ Liao, S.J. (1999), "An explicit, totally analytic approximation of Blasius' viscous flow problems", International Journal of Non-Linear Mechanics, 34 (4): 759–778, Bibcode:1999IJNLM..34..759L, doi:10.1016/S0020-7462(98)00056-0
  3. ↑ Liao, S.J. (2003), Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method, Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-407-1[1]
  4. ↑ Adomian, G. (1994). Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method. Kluwer Academic Publishers.
  5. ↑ Liang, Songxin; Jeffrey, David J. (2009), "Comparison of homotopy analysis method and homotopy perturbation method through an evolution equation", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14 (12): 4057–4064, Bibcode:2009CNSNS..14.4057L, doi:10.1016/j.cnsns.2009.02.016
  6. ↑ Sajid, M.; Hayat, T. (2008), "Comparison of HAM and HPM methods in nonlinear heat conduction and convection equations", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 9 (5): 2296–2301, doi:10.1016/j.nonrwa.2007.08.007
  7. ↑ Motsa, S.S.; Sibanda, P.; Awad, F.G.; Shateyi, S. (2010), "A new spectral-homotopy analysis method for the MHD Jeffery–Hamel problem", Computers & Fluids, 39 (7): 1219–1225, doi:10.1016/j.compfluid.2010.03.004
  8. ↑ 8.0 8.1 Liao, S.J. (2012), Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations, Berlin & Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-7-04-032298-9 [2]
  9. ↑ Vajravelu, K.; Van Gorder (2013), Nonlinear Flow Phenomena and Homotopy Analysis, Berlin & Beijing: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3-642-32102-3 [3]
  10. ↑ Xu, D.L.; Lin, Z.L.; Liao, S.J.; Stiassnie, M. (2012), "On the steady-state fully resonant progressive waves in water of finite depth", Journal of Fluid Mechanics, 710: 379–418, Bibcode:2012JFM...710..379X, doi:10.1017/jfm.2012.370, S2CID 122094345
  11. ↑ Liao, S.J. (2013), "Do peaked solitary water waves indeed exist?", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 19 (6): 1792–1821, arXiv:1204.3354, Bibcode:2014CNSNS..19.1792L, doi:10.1016/j.cnsns.2013.09.042, S2CID 119203215
  12. ↑ Abbasbandy, S. (2006), "The application of homotopy analysis method to nonlinear equations arising in heat transfer", Physics Letters A, 360 (1): 109–113, Bibcode:2006PhLA..360..109A, doi:10.1016/j.physleta.2006.07.065
  13. ↑ Chen, Y.M.; Liu, J.K. (2009), "Uniformly valid solution of limit cycle of the Duffing–van der Pol equation", Mechanics Research Communications, 36 (7): 845–850, doi:10.1016/j.mechrescom.2009.06.001
  14. ↑ Zhu, S.P. (2006), "An exact and explicit solution for the valuation of American put options", Quantitative Finance, 6 (3): 229–242, doi:10.1080/14697680600699811, S2CID 121851109
  15. ↑ Turkyilmazoglu, M. (2009), "Purely analytic solutions of the compressible boundary layer flow due to a porous rotating disk with heat transfer", Physics of Fluids, 21 (10): 106104–106104–12, Bibcode:2009PhFl...21j6104T, doi:10.1063/1.3249752
  16. ↑ Park, Sang-Hyeon; Kim, Jeong-Hoon (2011), "Homotopy analysis method for option pricing under stochastic volatility", Applied Mathematics Letters, 24 (10): 1740–1744, doi:10.1016/j.aml.2011.04.034
  17. ↑ Mastroberardino, A. (2011), "Homotopy analysis method applied to electrohydrodynamic flow", Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulat., 16 (7): 2730–2736, Bibcode:2011CNSNS..16.2730M, doi:10.1016/j.cnsns.2010.10.004
  18. ↑ Nassar, Christopher J.; Revelli, Joseph F.; Bowman, Robert J. (2011), "Application of the homotopy analysis method to the Poisson–Boltzmann equation for semiconductor devices", Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 16 (6): 2501–2512, Bibcode:2011CNSNS..16.2501N, doi:10.1016/j.cnsns.2010.09.015
  19. ↑ Tajaddodianfar, Farid (2017). "Nonlinear dynamics of MEMS/NEMS resonators: analytical solution by the homotopy analysis method". Microsystem Technologies. 23 (6): 1913–1926. doi:10.1007/s00542-016-2947-7. S2CID 113216381.
  20. ↑ Tajaddodianfar, Farid (March 2015). "On the dynamics of bistable micro/nano resonators: Analytical solution and nonlinear behavior". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 20 (3): 1078–1089. Bibcode:2015CNSNS..20.1078T. doi:10.1016/j.cnsns.2014.06.048.
  21. ↑ Tajaddodianfar, Farid (January 2016). "Prediction of chaos in electrostatically actuated arch micro-nano resonators: Analytical approach". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 30 (1–3): 182–195. doi:10.1016/j.cnsns.2015.06.013.


बाहरी संबंध

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