एक बहुपद की घात

गणित में, एक बहुपद की डिग्री, शून्य गुणांकों वाले बहुपद मोनोमियल (अलग-अलग शब्दों) की उच्चतम डिग्री होती है। एक शब्द की घात उस में दिखाई देने वाले चर (गणित) के प्रतिपादकों का योग है, और इस प्रकार एक गैर नकारात्मक पूर्णांक है।एक बहुपदी बहुपद के लिए, बहुपद की डिग्री केवल बहुपद में उत्पन्न उच्चतम प्रतिपादक है। शब्द क्रम का प्रयोग डिग्री के पर्यायार्थ के रूप में किया गया है, लेकिन आजकल, यह अनेक अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में ((बहुपद) बहुविकल्पी व्यवस्था को दर्शाता है।)

उदाहरण के लिए, बहुपद $7x^{2}y^{3}+4x-9,$ जो भी लिखा जा सकता है $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},$ तीन शब्द है। पहले पद का घात 5 है (घातांक 2 और 3 का योग), दूसरे पद का घात 1 है, और अंतिम पद का घात 0 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है जो किसी भी पद की उच्चतम डिग्री है।

एक बहुपद की डिग्री निर्धारित करने के लिए जो मानक रूप में नहीं है, जैसे कि $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$, कोई भी इसे उत्पादों (वितरण द्वारा) के विस्तार और समान शर्तों के संयोजन द्वारा मानक रूप में रख सकता है; उदाहरण के लिए, $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ की डिग्री 1 है, हालांकि प्रत्येक शिखर की डिग्री 2 है। हालांकि, यह तब आवश्यक नहीं है जब बहुपद को मानक रूप में एक उत्पाद के रूप में लिखा जाता है क्योंकि एक उत्पाद की डिग्री कारकों की डिग्री का योग है।

घात के अनुसार बहुपदों के नाम

बहुपदों को उनकी डिग्री के अनुसार निम्नलिखित नाम दिए गए हैं:* विशेष स्थिति - शून्य बहुपद (नीचे #शून्य बहुपद की डिग्री देखें)

• डिग्री 0 - गैर-शून्य निरंतर कार्य
• डिग्री 1 - रैखिक कार्य
• डिग्री 2 - द्विघात बहुपद
• डिग्री 3 - घन समारोह
• डिग्री 4 - चतुर्थक फलन (या, यदि सभी पदों में सम अंश, द्विघात फलन है)
• डिग्री 5 - क्विंटिक समीकरण
• डिग्री 6 - सेक्स्टिक समीकरण (या, कम सामान्यतः, हेक्सिक)
• डिग्री 7 - सेप्टिक समीकरण (या, कम सामान्यतः, हेप्टिक)

उच्च डिग्री के लिए, कभी-कभी नाम प्रस्तावित किए गए हैं, लेकिन वे शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं:

• डिग्री 8 - ऑक्टिक
• डिग्री 9 - नॉनिक
• डिग्री 10 - decic

तीन से ऊपर की डिग्री के लिए नाम लैटिन क्रमिक अंकों पर आधारित होते हैं, और अंत में -ic होते हैं। इसे चरों की संख्या के लिए उपयोग किए जाने वाले नामों से अलग किया जाना चाहिए, एरिटी , जो लैटिन वितरण संख्या ओं पर आधारित हैं, और अंत में -री। उदाहरण के लिए, दो चरों में एक घात दो बहुपद, जैसे $x^{2}+xy+y^{2}$, को द्विघात द्विघात कहते हैं: दो चरों के कारण द्विघात, द्वितीय अंश के कारण द्विघात। शब्दों की संख्या के लिए भी नाम हैं, जो लैटिन वितरण संख्याओं पर भी आधारित हैं, जो -नॉमियल में समाप्त होते हैं; आम हैं एकपदी, द्विपद (बहुपद) , और (कम सामान्यतः) त्रिपद; इस प्रकार $x^{2}+y^{2}$ एक द्विघात द्विपद द्विपद है।

उदाहरण

बहुपद $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ एक घन बहुपद है: एक ही डिग्री के पदों को गुणा करने और एकत्रित करने के बाद, यह बन जाता है $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$, उच्चतम घातांक के साथ 3.

बहुपद $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ एक क्विंटिक बहुपद है: समान पदों को मिलाने पर, घात 8 के दो पद रद्द हो जाते हैं, छोड़कर $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$, उच्चतम घातांक 5 के साथ।

बहुपद संचालन के तहत व्यवहार

योग की डिग्री, उत्पाद या दो बहुपदों की संरचना इनपुट बहुपद की डिग्री से दृढ़ता से संबंधित है।

जोड़

दो बहुपदों के योग (या अंतर) की डिग्री उनकी डिग्री से कम या उसके बराबर होती है; वह है,

$\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$ तथा $\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}$.

उदाहरण के लिए, की डिग्री $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ 2, और 2 ≤ अधिकतम{3, 3} है।

समानता हमेशा बनी रहती है जब बहुपदों की डिग्री भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, की डिग्री $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 3 है, और 3 = अधिकतम{3, 2} है।

गुणन

एक गैर-शून्य अदिश (गणित) द्वारा बहुपद के गुणनफल की घात बहुपद की घात के बराबर होती है; वह है,

$\deg(cP)=\deg(P)$.

उदाहरण के लिए, की डिग्री $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ 2 है, जो की डिग्री के बराबर है $x^{2}+3x-2$.

इस प्रकार, बहुपदों का समुच्चय (गणित) (दिए गए क्षेत्र F से गुणांकों के साथ) जिसकी डिग्री दी गई संख्या n से छोटी या उसके बराबर होती है, एक सदिश समष्टि बनाता है; अधिक के लिए, उदाहरण_of_vector_spaces#Polynomial_vector_spaces देखें।

अधिक सामान्यतः, एक क्षेत्र (गणित) या एक अभिन्न डोमेन पर दो बहुपदों के उत्पाद की डिग्री उनकी डिग्री का योग है:

$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

उदाहरण के लिए, की डिग्री $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ 5 = 3 + 2 है।

एक मनमाना वलय (गणित) पर बहुपद के लिए, उपरोक्त नियम मान्य नहीं हो सकते हैं, क्योंकि रद्दीकरण जो दो गैर-शून्य स्थिरांक को गुणा करते समय हो सकता है। उदाहरण के लिए, रिंग में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ पूर्णांक मोडुलो n का, एक के पास वह है $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$, लेकिन $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$, जो कारकों की डिग्री के योग के बराबर नहीं है।

रचना

दो गैर-स्थिर बहुपदों की संरचना की डिग्री $P$ तथा $Q$ एक क्षेत्र या अभिन्न डोमेन पर उनकी डिग्री का उत्पाद है:

$\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)$.

उदाहरण के लिए:

• यदि $P=(x^{3}+x)$, $Q=(x^{2}+1)$, फिर $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$, जिसकी डिग्री 6 है।

ध्यान दें कि एक मनमाना वलय पर बहुपदों के लिए, यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, में $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$, $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$, लेकिन $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$.

शून्य बहुपद की डिग्री

शून्य बहुपद की घात को या तो अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, या ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है (आमतौर पर -1 या $-\infty$). किसी भी स्थिर मान की तरह, मान 0 को एक (स्थिर) बहुपद के रूप में माना जा सकता है, जिसे शून्य बहुपद कहा जाता है। इसकी कोई गैर-शून्य शर्तें नहीं हैं, और इसलिए, कड़ाई से बोलते हुए, इसकी कोई डिग्री भी नहीं है। जैसे, इसकी डिग्री आमतौर पर अपरिभाषित होती है। उपरोक्त खंड में बहुपदों के योग और गुणनफल के लिए प्रस्ताव लागू नहीं होते हैं, यदि इसमें शामिल कोई भी बहुपद शून्य बहुपद है। हालांकि, शून्य बहुपद की डिग्री को ऋणात्मक अनंत के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक है, $-\infty ,$ और अंकगणितीय नियमों को पेश करने के लिए

$\max(a,-\infty )=a,$

तथा

$a+(-\infty )=-\infty .$

ये उदाहरण बताते हैं कि यह एक्सटेंशन उपरोक्त बहुपद संचालन के तहत #व्यवहार को कैसे संतुष्ट करता है:

• योग की डिग्री $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ 3 है। यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि $3\leq \max(3,-\infty )$.
• अंतर की डिग्री $(x)-(x)=0$ है $-\infty$. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि $-\infty \leq \max(1,1)$.
• उत्पाद की डिग्री $(0)(x^{2}+1)=0$ है $-\infty$. यह अपेक्षित व्यवहार को संतुष्ट करता है, जो कि $-\infty =-\infty +2$.

फ़ंक्शन मानों से परिकलित

कई सूत्र मौजूद हैं जो बहुपद फलन f की डिग्री का मूल्यांकन करेंगे। स्पर्शोन्मुख विश्लेषण पर आधारित एक है

$\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}$;

यह लॉग-लॉग प्लॉट में ढलान के आकलन की विधि का सटीक प्रतिरूप है।

यह सूत्र डिग्री की अवधारणा को कुछ ऐसे कार्यों के लिए सामान्यीकृत करता है जो बहुपद नहीं हैं। उदाहरण के लिए:

• गुणात्मक प्रतिलोम की डिग्री, $\ 1/x$, -1 है।
• वर्गमूल की डिग्री, ${\sqrt {x}}$, 1/2 है।
• लघुगणक की डिग्री, $\ \log x$, 0 है।
• घातीय फ़ंक्शन की डिग्री, $\exp x$, है $\infty .$

सूत्र भी ऐसे कार्यों के कई संयोजनों के लिए समझदार परिणाम देता है, उदाहरण के लिए, डिग्री की डिग्री ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ है $-1/2$.

इसके मूल्यों से f की डिग्री की गणना करने का एक अन्य सूत्र है

$\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}$;

यह दूसरा सूत्र L'Hôpital के नियम को पहले सूत्र पर लागू करने से अनुसरण करता है। हालांकि, सहज रूप से, यह व्युत्पन्न में अतिरिक्त स्थिर कारक के रूप में डिग्री d को प्रदर्शित करने के बारे में अधिक है $dx^{d-1}$ का $x^{d}$.

एक फ़ंक्शन के एसिम्प्टोटिक्स का एक और अधिक बारीक (एक साधारण संख्यात्मक डिग्री से) विवरण बिग ओ नोटेशन का उपयोग करके किया जा सकता है। एल्गोरिदम के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, की वृद्धि दर के बीच अंतर करना अक्सर प्रासंगिक होता है $x$ तथा $x\log x$, जो दोनों उपरोक्त सूत्रों के अनुसार समान डिग्री के रूप में सामने आएंगे।

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों का विस्तार

दो या दो से अधिक चरों वाले बहुपदों के लिए, पद की घात पद में चरों के घातांकों का योग होता है; बहुपद की घात (जिसे कभी-कभी 'कुल घात' भी कहा जाता है) बहुपद में सभी पदों की घातों का अधिकतम होता है। उदाहरण के लिए, बहुपद x²और² + 3x³ + 4y में डिग्री 4 है, वही डिग्री x²और^{2</सुप>.}

हालांकि, चर x और y में एक बहुपद, x में एक बहुपद है जिसमें गुणांक y में बहुपद हैं, और y में एक बहुपद भी गुणांक के साथ है जो x में बहुपद हैं। बहुपद

$x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})$

डिग्री 3 x में और डिग्री 2 y में है।

अमूर्त बीजगणित में डिग्री फ़ंक्शन

एक वलय (गणित) R को देखते हुए, बहुपद वलय R[x] x में सभी बहुपदों का समुच्चय है, जिसके गुणांक R में हैं। विशेष स्थिति में कि R भी एक क्षेत्र (गणित) है, बहुपद वलय R[x] एक प्रमुख आदर्श डोमेन है और, यहां हमारी चर्चा के लिए अधिक महत्वपूर्ण, एक यूक्लिडियन डोमेन ।

यह दिखाया जा सकता है कि एक क्षेत्र पर बहुपद की डिग्री यूक्लिडियन डोमेन में मानक फ़ंक्शन की सभी आवश्यकताओं को पूरा करती है। अर्थात्, दो बहुपद f(x) और g(x) दिए जाने पर, गुणनफल f(x)g(x) की घात व्यक्तिगत रूप से f और g दोनों की घातों से बड़ी होनी चाहिए। वास्तव में, कुछ मजबूत धारण करता है:

$\deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))$

एक उदाहरण के लिए डिग्री फ़ंक्शन एक रिंग पर विफल क्यों हो सकता है जो एक फ़ील्ड नहीं है, निम्न उदाहरण लें। चलो आर = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, पूर्णांकों का वलय मॉड्यूलर अंकगणित 4. यह वलय एक क्षेत्र नहीं है (और एक अभिन्न डोमेन भी नहीं है) क्योंकि 2 × 2 = 4 ≡ 0 (मॉड 4)। इसलिए, माना f(x) = g(x) = 2x + 1। फिर, f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1. इस प्रकार deg(f⋅g) = 0 जो f और g की डिग्री से अधिक नहीं है (जिनमें से प्रत्येक की डिग्री 1 थी)।

चूँकि वलय के शून्य तत्व के लिए मानक फलन परिभाषित नहीं है, हम बहुपद f(x) = 0 की घात को भी अपरिभाषित मानते हैं ताकि यह यूक्लिडियन डोमेन में एक मानदंड के नियमों का पालन करे।

यह भी देखें

• हाबिल-रफिनी प्रमेय
• बीजगणित की मौलिक प्रमेय

संदर्भ

• Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
• King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
• Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

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• क्यू कारक
• यूनिट सर्कल
• फी (पत्र)
• सुनहरा अनुपात
• मोनोटोनिक
• Immittance
• ऑप एंप
• आवेग invariance
• बेसेल फ़ंक्शन
• जटिल सन्युग्म
• संकेत प्रतिबिंब
• विद्युतीय ऊर्जा
• इनपुट उपस्थिति
• एकदिश धारा
• जटिल संख्या
• भार प्रतिबाधा
• विद्युतचुंबकीय व्यवधान
• बिजली की आपूर्ति
• आम-कैथोड
• अवमन्दन कारक
• ध्वनिरोधन
• गूंज (घटना)
• फ्रेस्नेल समीकरण
• रोड़ी
• लोडिंग कॉइल
• आर एस होयतो
• लोड हो रहा है कॉइल
• चेबीशेव बहुपद
• एक बंदरगाह
• सकारात्मक-वास्तविक कार्य
• आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
• उच्च मार्ग
• रैखिक फ़िल्टर
• प्रतिक दर
• घेरा
• नॉन-रिटर्न-टू-जीरो
• अनियमित चर
• संघ बाध्य
• एकाधिक आवृत्ति-शिफ्ट कुंजीयन
• COMPARATOR
• द्विआधारी जोड़
• असंबद्ध संचरण
• त्रुटि समारोह
• आपसी जानकारी
• बिखरा हुआ1
• डिजिटल मॉडुलन
• डिमॉड्युलेटर
• कंघा
• खड़ी तरंगें
• नमूना दर
• प्रक्षेप
• ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग
• खगोल-कंघी
• खास समय
• पोल (जटिल विश्लेषण)
• दुर्लभ
• आरसी सर्किट
• अवरोध
• स्थिर समय
• एक घोड़ा
• पुनरावृत्ति संबंध
• निष्क्रिय फिल्टर
• श्रव्य सीमा
• मिक्सिंग कंसोल
• एसी कपलिंग
• क्यूएससी ऑडियो
• संकट
• दूसरों से अलग
• डीएसएल मॉडम
• फाइबर ऑप्टिक संचार
• व्यावर्तित जोड़ी
• बातचीत का माध्यम
• समाक्षीय तार
• लंबी दूरी का टेलीफोन कनेक्शन
• डाउनस्ट्रीम (कंप्यूटर विज्ञान)
• आवृत्ति द्वैध
• आवृत्ति प्रतिक्रिया
• आकड़ों की योग्यता
• परीक्षण के अंतर्गत उपकरण
• कंघी फिल्टर
• निष्क्रियता (इंजीनियरिंग)
• लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स)
• कोने की आवृत्ति
• फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर
• कम आवृत्ति दोलन
• एकीकृत परिपथ
• निरंतर-प्रतिरोध नेटवर्क
• यूनिट सर्कल
• अधिकतम प्रयोग करने योग्य आवृत्ति
• विशेषता समीकरण (कलन)
• लहर संख्या
• वेवगाइड (प्रकाशिकी)
• लाप्लासियान
• वेवनंबर
• अपवर्तन तरंग
• एकतरफा बहुपद
• एकपदी की डिग्री
• एक बहुपद का क्रम (बहुविकल्पी)
• रैखिक प्रकार्य
• कामुक समीकरण
• चतुर्थक कार्य
• क्रमसूचक अंक
• त्रिनाम
• इंटीग्रल डोमेन
• सदिश स्थल
• फील्ड (गणित)
• सेट (गणित)
• अंगूठी (गणित)
• पूर्णांक मॉड्यूल n
• लोगारित्म
• घातांक प्रकार्य
• एल्गोरिदम का विश्लेषण
• बीजगणित का मौलिक प्रमेय

बाहरी संबंध

• Polynomial Order; Wolfram MathWorld