बाहरी कलन पहचान: Difference between revisions

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यह आलेख बाह्य कलन में कई [[पहचान (गणित)|समरूपता (गणित)]] का सारांश प्रस्तुत करता है।<ref>{{Cite book |last1=Crane |first1=Keenan |last2=de Goes |first2=Fernando |last3=Desbrun |first3=Mathieu |last4=Schröder |first4=Peter |title=असतत बाहरी कलन के साथ डिजिटल ज्यामिति प्रसंस्करण|journal=Proceeding SIGGRAPH '13 ACM SIGGRAPH 2013 Courses |pages=1–126 |date=21 July 2013 |doi=10.1145/2504435.2504442|isbn=9781450323390 |s2cid=168676 }}</ref><ref>{{cite book |last1=Schwarz |first1=Günter |title=Hodge Decomposition – A Method for Solving Boundary Value Problems |date=1995 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-49403-4}}</ref><ref>{{cite book |last1=Cartan |first1=Henri |title=विभेदक रूप|date=26 May 2006 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0486450100 |edition=Dover}}</ref><ref>{{cite book |last1=Bott |first1=Raoul |last2=Tu |first2=Loring W. |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी में विभेदक रूप|date=16 May 1995 |publisher=Springer |isbn=978-0387906133}}</ref><ref>{{cite book |last1=Abraham |first1=Ralph |last2=J.E. |first2=Marsden |last3=Ratiu |first3=Tudor |title=मैनिफोल्ड्स, टेंसर विश्लेषण और अनुप्रयोग|date=6 December 2012 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-1-4612-1029-0 |edition=2nd}}</ref>
यह आलेख '''बाह्य कलन''' में कई [[पहचान (गणित)|'''समरूपताओं (गणित)''']] का सारांश प्रस्तुत करता है।<ref>{{Cite book |last1=Crane |first1=Keenan |last2=de Goes |first2=Fernando |last3=Desbrun |first3=Mathieu |last4=Schröder |first4=Peter |title=असतत बाहरी कलन के साथ डिजिटल ज्यामिति प्रसंस्करण|journal=Proceeding SIGGRAPH '13 ACM SIGGRAPH 2013 Courses |pages=1–126 |date=21 July 2013 |doi=10.1145/2504435.2504442|isbn=9781450323390 |s2cid=168676 }}</ref><ref>{{cite book |last1=Schwarz |first1=Günter |title=Hodge Decomposition – A Method for Solving Boundary Value Problems |date=1995 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-49403-4}}</ref><ref>{{cite book |last1=Cartan |first1=Henri |title=विभेदक रूप|date=26 May 2006 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0486450100 |edition=Dover}}</ref><ref>{{cite book |last1=Bott |first1=Raoul |last2=Tu |first2=Loring W. |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी में विभेदक रूप|date=16 May 1995 |publisher=Springer |isbn=978-0387906133}}</ref><ref>{{cite book |last1=Abraham |first1=Ralph |last2=J.E. |first2=Marsden |last3=Ratiu |first3=Tudor |title=मैनिफोल्ड्स, टेंसर विश्लेषण और अनुप्रयोग|date=6 December 2012 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-1-4612-1029-0 |edition=2nd}}</ref>
== संकेतन ==
== संकेतन ==
निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।
इस प्रकार से निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।


=== मैनिफोल्ड ===
=== मैनिफोल्ड ===
<math>M</math>, <math>N</math> <math>n</math>-विमीय चिकने (स्मूथ) मैनिफोल्ड हैं, जहां <math> n\in \mathbb{N} </math>। अर्थात्, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त बार विभेदित किया जा सकता है।
<math>M</math>, <math>N</math> <math>n</math>-विमीय समतल (स्मूथ) मैनिफोल्ड हैं, जहां <math> n\in \mathbb{N} </math>। अर्थात्, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त एक बार विभेदित किया जा सकता है।


<math> p \in M </math>, <math> q \in N </math> प्रत्येक [[कई गुना|मैनिफोल्ड]] पर एक बिंदु दर्शाता है।
इस प्रकार से <math> p \in M </math>, <math> q \in N </math> प्रत्येक [[कई गुना|मैनिफोल्ड]] पर एक बिंदु दर्शाता है।


मैनिफोल्ड <math> M </math> की सीमा मैनिफोल्ड <math> \partial M </math> है , जिसकी विमा <math> n - 1 </math> है। <math> M </math> पर एक अभिविन्यास <math> \partial M </math> पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है।
मैनिफोल्ड <math> M </math> की सीमा मैनिफोल्ड <math> \partial M </math> है , जिसकी विमा <math> n - 1 </math> है। <math> M </math> पर एक अभिविन्यास <math> \partial M </math> पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है।


हम सामान्यतः [[सबमैनिफोल्ड|उपमैनिफोल्ड]] को <math>\Sigma \subset M</math> से निरूपित करते हैं ।
अतः हम सामान्यतः [[सबमैनिफोल्ड|उपमैनिफोल्ड]] को <math>\Sigma \subset M</math> से निरूपित करते हैं।


=== स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल ===
=== स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल ===
<math>TM</math>, <math>T^{*}M</math> स्मूथ मैनिफोल्ड <math>M</math> के क्रमशः [[स्पर्शरेखा बंडल]] और [[कोटैंजेंट बंडल|कोटिस्पर्श रेखा बंडल]] को दर्शाता है।
इस प्रकार से <math>TM</math>, <math>T^{*}M</math> समतल मैनिफोल्ड <math>M</math> के क्रमशः [[स्पर्शरेखा बंडल]] और [[कोटैंजेंट बंडल|कोटिस्पर्श रेखा बंडल]] को दर्शाता है।


<math> T_p M </math>, क्रमशः बिंदु <math>p</math>, <math>q</math>, पर <math>M</math>, <math>N</math> के [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा स्थानों]] को दर्शाता है। <math> T^{*}_p M </math> बिंदु <math>p</math> पर <math>M</math> के [[कोटैंजेंट स्थान|कोटिस्पर्श रेखा स्थान]] को दर्शाता है।
अतः <math> T_p M </math>, क्रमशः बिंदु <math>p</math>, <math>q</math>, पर <math>M</math>, <math>N</math> के [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा समष्टि]] को दर्शाता है। <math> T^{*}_p M </math> बिंदु <math>p</math> पर <math>M</math> के [[कोटैंजेंट स्थान|कोटिस्पर्श रेखा समष्टि]] को दर्शाता है।


स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः <math>X, Y, Z \in \Gamma(TM)</math> के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु <math> p \in M </math> पर हमारे निकट <math> X|_p, Y|_p, Z|_p \in T_p M </math> है। कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें [[ विभेदक रूप |विभेदक रूप]] (या [[कोवेक्टर|सहसदिश]] क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः <math>\alpha, \beta \in \Gamma(T^{*}M)</math> के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु <math> p \in M </math> पर हमारे निकट <math> \alpha|_p, \beta|_p \in T^{*}_p M </math> है। <math>\Gamma(T^{*}M)</math> के लिए एक वैकल्पिक संकेतन <math>\Omega^1(M)</math> है।
स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः <math>X, Y, Z \in \Gamma(TM)</math> के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु <math> p \in M </math> पर हमारे निकट <math> X|_p, Y|_p, Z|_p \in T_p M </math> है। इस प्रकार से कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें [[ विभेदक रूप |विभेदक रूप]] (या [[कोवेक्टर|सहसदिश]] क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः <math>\alpha, \beta \in \Gamma(T^{*}M)</math> के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु <math> p \in M </math> पर हमारे निकट <math> \alpha|_p, \beta|_p \in T^{*}_p M </math> है। <math>\Gamma(T^{*}M)</math> के लिए एक वैकल्पिक संकेतन <math>\Omega^1(M)</math> है।


=== विभेदक k-रूप ===
=== विभेदक k-रूप ===


विभेदक <math>k</math>-रूप, जिसे हम यहां मात्र <math>k</math>-रूप के रूप में संदर्भित करते हैं, <math>TM</math> पर परिभाषित विभेदक रूप हैं। हम सभी <math>k</math>- रूपों के समुच्चय को <math>\Omega^k(M)</math> के रूप में निरूपित करते हैं। <math> 0\leq k,\ l,\ m\leq n </math> के लिए हम सामान्यतः <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math>, <math>\beta\in\Omega^l(M)</math>, <math>\gamma\in\Omega^m(M)</math> लिखते हैं।
विभेदक <math>k</math>-रूप, जिसे हम यहां मात्र <math>k</math>-रूप के रूप में संदर्भित करते हैं, <math>TM</math> पर परिभाषित विभेदक रूप हैं। हम सभी <math>k</math>-रूपों के समुच्चय को <math>\Omega^k(M)</math> के रूप में निरूपित करते हैं। <math> 0\leq k,\ l,\ m\leq n </math> के लिए हम सामान्यतः <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math>, <math>\beta\in\Omega^l(M)</math>, <math>\gamma\in\Omega^m(M)</math> लिखते हैं।


<math>0</math>-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> <math>M</math> पर मात्र अदिश फलन <math>C^{\infty}(M)</math> हैं। <math>\mathbf{1}\in\Omega^0(M)</math> प्रत्येक स्थान 1 के बराबर स्थिरांक 0-रूप को दर्शाता है।
इस प्रकार से <math>0</math>-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> <math>M</math> पर मात्र अदिश फलन <math>C^{\infty}(M)</math> हैं। <math>\mathbf{1}\in\Omega^0(M)</math> प्रत्येक समष्टि 1 के बराबर स्थिरांक 0-रूप को दर्शाता है।


=== अनुक्रम के छोड़े गए अवयव ===
=== अनुक्रम के छोड़े गए अवयव ===


जब हमें<math>(k+1)</math> इनपुट <math>X_0,\ldots,X_k</math> और <math>k</math>-रूप <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math> दिया जाता है तो हम
जब हमें <math>(k+1)</math> निवेश <math>X_0,\ldots,X_k</math> और <math>k</math>-रूप <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math> दिया जाता है तो हम


:<math>\alpha(X_0,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k):=\alpha(X_0,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_k) </math> लिखकर <math>i</math>वीं प्रविष्टि के लोप को दर्शाती हैं।
:<math>\alpha(X_0,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k):=\alpha(X_0,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_k) </math> लिखकर <math>i</math>वीं प्रविष्टि के लोप को दर्शाते हैं।
=== [[बाहरी उत्पाद|बाह्य उत्पाद]] ===
=== [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] ===


बाह्य उत्पाद को वेज उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। इसे <math> \wedge : \Omega^k(M) \times \Omega^l(M) \rightarrow \Omega^{k+l}(M)</math> से दर्शाया जाता है। <math>k</math>-रूप <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math> और <math>l</math>-रूप <math>\beta\in\Omega^l(M)</math> का बाह्य उत्पाद <math>(k+l)</math>-रूप <math>\alpha\wedge\beta \in\Omega^{k+l}(M)</math> उत्पन्न करता है। इसे <math>\{1,\ldots,n\}</math> के सभी क्रमपरिवर्तन <math>\sigma</math> के समुच्चय <math>S(k,k+l)</math> का उपयोग करके लिखा जा सकता है जैसे कि <math>\sigma(1)<\ldots <\sigma(k), \ \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l) </math> को
इस प्रकार से बाह्य गुणनफल को वेज गुणनफल के रूप में भी जाना जाता है। इसे <math> \wedge : \Omega^k(M) \times \Omega^l(M) \rightarrow \Omega^{k+l}(M)</math> से दर्शाया जाता है। अतः <math>k</math>-रूप <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math> और <math>l</math>-रूप <math>\beta\in\Omega^l(M)</math> का बाह्य गुणनफल <math>(k+l)</math>-रूप <math>\alpha\wedge\beta \in\Omega^{k+l}(M)</math> उत्पन्न करता है। इसे <math>\{1,\ldots,n\}</math> के सभी क्रमपरिवर्तन <math>\sigma</math> के समुच्चय <math>S(k,k+l)</math> का उपयोग करके लिखा जा सकता है जैसे कि <math>\sigma(1)<\ldots <\sigma(k), \ \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l) </math> को


:<math>(\alpha\wedge\beta)(X_1,\ldots,X_{k+l})=\sum_{\sigma\in S(k,k+l)}\text{sign}(\sigma)\alpha(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(k)})\otimes\beta(X_{\sigma(k+1)},\ldots,X_{\sigma(k+l)}) </math> के रूप में है।
:<math>(\alpha\wedge\beta)(X_1,\ldots,X_{k+l})=\sum_{\sigma\in S(k,k+l)}\text{sign}(\sigma)\alpha(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(k)})\otimes\beta(X_{\sigma(k+1)},\ldots,X_{\sigma(k+l)}) </math> के रूप में है।
=== [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] ===
=== [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] ===


अनुभाग <math>X\in\Gamma(TM)</math> के अनुदिश 0-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> का दिशात्मक व्युत्पन्न 0-रूप निरूपित <math>\partial_X f </math> है।
इस प्रकार से अनुभाग <math>X\in\Gamma(TM)</math> के अनुदिश 0-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> का दिशात्मक व्युत्पन्न 0-रूप निरूपित <math>\partial_X f </math> है।
=== [[बाहरी व्युत्पन्न|बाह्य व्युत्पन्न]] ===
=== [[बाहरी व्युत्पन्न|बाह्य व्युत्पन्न]] ===


बाह्य व्युत्पन्न <math>d_k : \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) </math> को सभी <math> 0 \leq k\leq n</math> के लिए परिभाषित किया गया है। हम सामान्यतः सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो।
अतः बाह्य व्युत्पन्न <math>d_k : \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M) </math> को सभी <math> 0 \leq k\leq n</math> के लिए परिभाषित किया गया है। हम सामान्यतः सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो।


<math>0</math>-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> के लिए हमारे निकट <math>1</math>-रूप के रूप में <math>d_0f\in\Omega^1(M)</math> है जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, अर्थात, अनुभाग <math>X\in \Gamma(TM)</math> के लिए हमारे निकट <math>(d_0f)(X) = \partial_X f</math> है, <math>X</math> के सा <math>f</math> का दिशात्मक व्युत्पन्न है।<ref name=":0">{{Cite book|title=अनेक गुनाओं का परिचय|last=Tu, Loring W.|date=2011|publisher=Springer|isbn=9781441974006|edition=2nd|location=New York|pages=34, 233|oclc=682907530}}</ref>
<math>0</math>-रूप <math>f\in\Omega^0(M)</math> के लिए हमारे निकट <math>1</math>-रूप के रूप में <math>d_0f\in\Omega^1(M)</math> है जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, अर्थात, अनुभाग <math>X\in \Gamma(TM)</math> के लिए हमारे निकट <math>(d_0f)(X) = \partial_X f</math> है, जो <math>X</math> के साथ <math>f</math> का दिशात्मक व्युत्पन्न है।<ref name=":0">{{Cite book|title=अनेक गुनाओं का परिचय|last=Tu, Loring W.|date=2011|publisher=Springer|isbn=9781441974006|edition=2nd|location=New York|pages=34, 233|oclc=682907530}}</ref>


<math> 0 < k\leq n</math> के लिए,<ref name=":0" />
<math> 0 < k\leq n</math> के लिए,<ref name=":0" />
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=== लाई कोष्ठक ===
=== लाई कोष्ठक ===


अनुभागों के सदिश क्षेत्र का लाई कोष्ठक <math>X,Y \in \Gamma(TM)</math> अद्वितीय अनुभाग के रूप में परिभाषित किया गया है <math>[X,Y] \in \Gamma(TM)</math> जो संतुष्ट करता है
इस प्रकार से अनुभागों <math>X,Y \in \Gamma(TM)</math> के लाई कोष्ठक को अद्वितीय अनुभाग <math>[X,Y] \in \Gamma(TM)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है जो


:<math>
:<math>
\forall f\in\Omega^0(M) \Rightarrow \partial_{[X,Y]}f = \partial_X \partial_Y f - \partial_Y \partial_X f .
\forall f\in\Omega^0(M) \Rightarrow \partial_{[X,Y]}f = \partial_X \partial_Y f - \partial_Y \partial_X f  
</math>
</math> को संतुष्ट करता है।
=== स्पर्शरेखा मानचित्र ===
=== स्पर्शरेखा प्रतिचित्र ===


अगर <math> \phi : M \rightarrow N </math> तो फिर, यह सहज मानचित्र है <math>d\phi|_p:T_pM\rightarrow T_{\phi(p)}N</math> से स्पर्श रेखा मानचित्र को परिभाषित करता है <math>M</math> को <math>N</math>इसे वक्रों के माध्यम से परिभाषित किया गया है <math>\gamma</math> पर <math>M</math> व्युत्पन्न के साथ <math>\gamma'(0)=X\in T_pM</math> ऐसा है कि
यदि <math> \phi : M \rightarrow N </math> एक समतल प्रतिचित्र है, तो <math>d\phi|_p:T_pM\rightarrow T_{\phi(p)}N</math> <math>M</math> से <math>N</math> तक एक स्पर्श रेखा प्रतिचित्र को परिभाषित करता है। अतः इसे व्युत्पन्न <math>\gamma'(0)=X\in T_pM</math> के साथ <math>M</math> पर वक्र <math>\gamma</math> के माध्यम से परिभाषित किया गया है जैसे कि


:<math>d\phi(X):=(\phi\circ\gamma)' .</math>
:<math>d\phi(X):=(\phi\circ\gamma)' .</math>
ध्यान दें कि <math>\phi</math> है <math>0</math>-मूल्यों के साथ रूप <math>N</math>
ध्यान दें कि <math>\phi</math> <math>N</math> में मानों के साथ <math>0</math>-रूप है।


=== पुल-बैक ===
=== पुल-बैक ===


अगर <math> \phi : M \rightarrow N </math> सहज मानचित्र है, फिर [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)]]|ए का पुल-बैक <math>k</math>-रूप <math> \alpha\in \Omega^k(N) </math> किसी के लिए भी इस प्रकार परिभाषित किया गया है <math>k</math>-विमीय सबमैनिफोल्ड <math>\Sigma\subset M</math>
यदि <math> \phi : M \rightarrow N </math> समतल प्रतिचित्र है, तो <math>k</math>-रूप <math> \alpha\in \Omega^k(N) </math> का [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)]] इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि किसी भी <math>k</math>-विमीय उपमैनिफोल्ड <math>\Sigma\subset M</math>
:<math> \int_{\Sigma} \phi^*\alpha = \int_{\phi(\Sigma)} \alpha .</math>
:<math> \int_{\Sigma} \phi^*\alpha = \int_{\phi(\Sigma)} \alpha </math> के लिए है।
पुल-बैक को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है
इस प्रकार से पुल-बैक को


:<math>(\phi^*\alpha)(X_1,\ldots,X_k)=\alpha(d\phi(X_1),\ldots,d\phi(X_k)) .</math>
:<math>(\phi^*\alpha)(X_1,\ldots,X_k)=\alpha(d\phi(X_1),\ldots,d\phi(X_k)) </math> के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
===[[आंतरिक उत्पाद]] ===
===[[आंतरिक उत्पाद|आंतरिक गुणनफल]] ===


इसे आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, आंतरिक उत्पाद को खंड दिया गया है <math> Y\in \Gamma(TM) </math> नक्शा है <math>\iota_Y:\Omega^{k+1}(M) \rightarrow \Omega^k(M)</math> जो प्रभावी रूप से a के पहले इनपुट को प्रतिस्थापित करता है <math>(k+1)</math>-रूप के साथ <math>Y</math>। अगर <math>\alpha\in\Omega^{k+1}(M)</math> और <math>X_i\in \Gamma(TM)</math> तब
आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, अनुभाग <math> Y\in \Gamma(TM) </math> दिया गया आंतरिक गुणनफल एक प्रतिचित्र <math>\iota_Y:\Omega^{k+1}(M) \rightarrow \Omega^k(M)</math> है जो प्रभावी रूप से <math>Y</math> के साथ <math>(k+1)</math>-रूप के पहले निवेश को प्रतिस्थापित करता है। इस प्रकार से यदि <math>\alpha\in\Omega^{k+1}(M)</math> और <math>X_i\in \Gamma(TM)</math> है, तो


:<math> (\iota_Y\alpha)(X_1,\ldots,X_k) = \alpha(Y,X_1,\ldots,X_k) .</math>
:<math> (\iota_Y\alpha)(X_1,\ldots,X_k) = \alpha(Y,X_1,\ldots,X_k) </math>
=== मीट्रिक टेंसर ===
=== मापन टेंसर ===


एक [[गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप]] दिया गया है <math> g_p( \cdot , \cdot ) </math> सभी के ऊपर <math> T_p M </math> जो निरंतर चालू है <math>M</math>, मैनिफोल्ड [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] बन जाता है। हम [[मीट्रिक टेंसर]] को निरूपित करते हैं <math>g</math>, द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है <math> g( X , Y )|_p = g_p( X|_p , Y|_p ) </math>हम बुलाते है <math>s=\operatorname{sign}(g)</math> हॉज स्टार ऑपरेटर#मीट्रिक का द्वंद्व। [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] है <math>s=1</math>, जबकि [[मिन्कोवस्की स्थान]] है <math>s=-1</math>
प्रत्येक <math> T_p M </math> पर एक [[गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप]] <math> g_p( \cdot , \cdot ) </math> दिया गया है जो कि <math>M</math> पर सतत है, मैनिफोल्ड एक [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] बन जाता है। हम [[मीट्रिक टेंसर|मापन टेंसर]] <math>g</math> को निरूपित करते हैं, जिसे <math> g( X , Y )|_p = g_p( X|_p , Y|_p ) </math> द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से हम <math>s=\operatorname{sign}(g)</math> को मापन का संकेत कहते हैं। अतः [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] में <math>s=1</math> है, जबकि [[मिन्कोवस्की स्थान|मिन्कोवस्की समष्टि]] में <math>s=-1</math> है।


=== संगीत समरूपता ===
=== संगीत समरूपता ===


मीट्रिक टेंसर <math>g(\cdot,\cdot)</math> सदिश क्षेत्र और एक-रूपों के बीच द्वंद्व मानचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय आइसोमोर्फिज्म फ्लैट हैं <math>\flat</math> और तेज़ <math>\sharp</math>अनुभाग <math> A \in \Gamma(TM)</math> अद्वितीय एक-रूप से मेल खाता है <math>A^{\flat}\in\Omega^1(M)</math> जैसे कि सभी वर्गों के लिए <math>X \in \Gamma(TM)</math>, अपने निकट:
मापन टेंसर <math>g(\cdot,\cdot)</math> सदिश क्षेत्र और एक-रूपों के बीच द्वंद्व प्रतिचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय समरूपताएं समतल <math>\flat</math> और तीव्र <math>\sharp</math> हैं। एक अनुभाग <math> A \in \Gamma(TM)</math> अद्वितीय एक-रूप <math>A^{\flat}\in\Omega^1(M)</math> से मेल खाता है जैसे कि सभी अनुभागों <math>X \in \Gamma(TM)</math> के लिए, हमारे निकट:


:<math> A^{\flat}(X) = g(A,X) .</math>
:<math> A^{\flat}(X) = g(A,X) </math> है।
एक रूप <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math> अद्वितीय सदिश क्षेत्र से मेल खाता है <math> \alpha^{\sharp}\in \Gamma(TM)</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>X \in \Gamma(TM)</math>, अपने निकट:
एक रूप <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math> अद्वितीय सदिश क्षेत्र <math> \alpha^{\sharp}\in \Gamma(TM)</math> से मेल खाता है जैसे कि सभी <math>X \in \Gamma(TM)</math> के लिए, हमारे निकट:


:<math> \alpha(X) = g(\alpha^\sharp,X) .</math>
:<math> \alpha(X) = g(\alpha^\sharp,X) </math> है।
ये मैपिंग बहुरेखीयता से होते हुए मैपिंग तक विस्तारित होती हैं <math>k</math>-सदिश क्षेत्र्स <math>k</math>-रूप और <math>k</math>-फ़ॉर्म को <math>k</math>-सदिश क्षेत्र के माध्यम से
इस प्रकार से ये प्रतिचित्रण बहुरेखीयता के माध्यम से <math>k</math>-सदिश क्षेत्र से <math>k</math>-रूप और <math>k</math>-रूप से <math>k</math>-सदिश क्षेत्र तक


:<math> (A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_k)^{\flat} = A_1^{\flat} \wedge A_2^{\flat} \wedge \cdots \wedge A_k^{\flat}</math>
:<math> (A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_k)^{\flat} = A_1^{\flat} \wedge A_2^{\flat} \wedge \cdots \wedge A_k^{\flat}</math>
:<math> (\alpha_1 \wedge \alpha_2 \wedge \cdots \wedge \alpha_k)^{\sharp} = \alpha_1^{\sharp} \wedge \alpha_2^{\sharp} \wedge \cdots \wedge \alpha_k^{\sharp}.</math>
:<math> (\alpha_1 \wedge \alpha_2 \wedge \cdots \wedge \alpha_k)^{\sharp} = \alpha_1^{\sharp} \wedge \alpha_2^{\sharp} \wedge \cdots \wedge \alpha_k^{\sharp}</math> के माध्यम से प्रतिचित्रण तक विस्तारित होती है।
=== हॉज स्टार ===
=== हॉज स्टार ===


एन-मैनिफोल्ड एम के लिए, [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] <math>{\star}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{n-k}(M)</math> द्वैत मानचित्रण है <math>k</math>-रूप <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> अगर <math>(n{-}k)</math>-रूप <math>({\star}\alpha) \in \Omega^{n-k}(M)</math>
इस प्रकार से एन-मैनिफोल्ड M के लिए, [[हॉज स्टार ऑपरेटर|हॉज स्टार संक्रियक]] <math>{\star}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{n-k}(M)</math> एक द्वैत प्रतिचित्रण है, जो <math>k</math>-रूप <math>\alpha \in \Omega^k(M)</math> को <math>(n{-}k)</math>-रूप <math>({\star}\alpha) \in \Omega^{n-k}(M)</math> में ले जाता है।


इसे उन्मुख फ़्रेम के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> के लिए <math>TM</math>, दिए गए मीट्रिक टेंसर के संबंध में ऑर्थोनॉर्मल <math>g</math>:
अतः इसे <math>TM</math> के लिए अभिविन्यस्त संरचना <math>(X_1,\ldots,X_n)</math> के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो दिए गए मापन टेंसर <math>g</math>:


:<math>
:<math>
({\star}\alpha)(X_1,\ldots,X_{n-k})=\alpha(X_{n-k+1},\ldots,X_n) .
({\star}\alpha)(X_1,\ldots,X_{n-k})=\alpha(X_{n-k+1},\ldots,X_n)  
</math>
</math> के संबंध में प्रसामान्य लांबिक है।
=== सह-विभेदक ऑपरेटर ===
=== सह-विभेदक संक्रियक ===
हॉज स्टार ऑपरेटर#कोडडिफ़रेंशियल|सह-डिफ़रेंशियल ऑपरेटर <math>\delta:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)</math> पर <math>n</math> विमीय मैनिफोल्ड <math>M</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
इस प्रकार से <math>n</math> विमीय मैनिफोल्ड <math>M</math> पर हॉज स्टार संक्रियक <math>\delta:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M)</math> को


:<math>\delta := (-1)^{k} {\star}^{-1} d {\star} = (-1)^{nk+n+1}{\star} d {\star} .</math>
:<math>\delta := (-1)^{k} {\star}^{-1} d {\star} = (-1)^{nk+n+1}{\star} d {\star} </math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
हॉज-डिराक ऑपरेटर, <math>d+\delta</math>, [[डिराक ऑपरेटर]] है जिसका अध्ययन [[क्लिफोर्ड विश्लेषण]] में किया गया है।
अतः हॉज-डिरैक संक्रियक, <math>d+\delta</math>, एक [[डिराक ऑपरेटर|डिरैक संक्रियक]] है जिसका अध्ययन [[क्लिफोर्ड विश्लेषण]] में किया गया है।


=== ओरिएंटेड मैनिफोल्ड ===
=== अभिविन्यस्त मैनिफोल्ड ===


एक <math>n</math>-विमीय स्टीयरेबल मैनिफोल्ड {{mvar|M}} ऐसा मैनिफोल्ड है जिसे किसी विकल्प से सुसज्जित किया जा सकता है {{mvar|n}}-रूप <math>\mu\in\Omega^n(M)</math> वह प्रत्येक स्थान निरंतर और शून्येतर है {{mvar|M}}
एक <math>n</math>-विमीय अभिविन्यसनीय मैनिफोल्ड {{mvar|M}} एक ऐसा मैनिफोल्ड है जिसे {{mvar|n}}-रूप <math>\mu\in\Omega^n(M)</math> के विकल्प से संगत किया जा सकता है जो {{mvar|M}} पर प्रत्येक समष्टि सतत और गैर-शून्य है।


=== आयतन आकार ===
=== आयतन रूप ===


एक ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड पर <math>M</math> मीट्रिक टेंसर दिए गए [[वॉल्यूम फॉर्म|वॉल्यूम रूप]] की विहित पसंद <math>g</math> और ओरिएंटेशन (सदिश स्पेस)#मल्टीलीनियर बीजगणित है <math>\mathbf{det}:=\sqrt{|\det g|}\;dX_1^{\flat}\wedge\ldots\wedge dX_n^{\flat}</math> किसी भी आधार के लिए <math>dX_1,\ldots, dX_n</math> ओरिएंटेशन से मिलान करने का आदेश दिया गया।
इस प्रकार से एक अभिविन्यसनीय मैनिफोल्ड <math>M</math> पर मापन टेंसर <math>g</math> दिए गए [[वॉल्यूम फॉर्म|आयतन रूप]] के विहित चयन और अभिविन्यास (सदिश समष्टि) से मेल खाने के लिए किसी भी आधार <math>dX_1,\ldots, dX_n</math> के लिए अभिविन्यास <math>\mathbf{det}:=\sqrt{|\det g|}\;dX_1^{\flat}\wedge\ldots\wedge dX_n^{\flat}</math> है।


===क्षेत्रफल ===
===क्षेत्रफल ===


वॉल्यूम रूप दिया गया है <math>\mathbf{det}</math> और इकाई सामान्य सदिश <math>N</math> हम क्षेत्र रूप को भी परिभाषित कर सकते हैं <math>\sigma:=\iota_N\textbf{det}</math> पर {{nowrap|boundary <math>\partial M.</math>}}
अतः एक आयतन रूप <math>\mathbf{det}</math> और इकाई सामान्य सदिश <math>N</math> को देखते हुए हम {{nowrap|boundary <math>\partial M</math>}} पर एक क्षेत्र रूप <math>\sigma:=\iota_N\textbf{det}</math> को भी परिभाषित कर सकते हैं।


=== के-रूप पर बिलिनियर रूप ===
=== <math>k</math>-रूप पर द्विरैखिक रूप ===


मीट्रिक टेंसर का सामान्यीकरण, दो के बीच [[सममित द्विरेखीय रूप]] <math>k</math>-रूप <math>\alpha,\beta\in\Omega^k(M)</math>, पर [[बिंदुवार]] परिभाषित किया गया है <math>M</math> द्वारा
इस प्रकार से मापन टेंसर का सामान्यीकरण, दो <math>k</math>-रूप <math>\alpha,\beta\in\Omega^k(M)</math> के बीच [[सममित द्विरेखीय रूप]], <math>M</math> पर


:<math>
:<math>
\langle\alpha,\beta\rangle|_p := {\star}(\alpha\wedge {\star}\beta )|_p .
\langle\alpha,\beta\rangle|_p := {\star}(\alpha\wedge {\star}\beta )|_p  
</math>
</math> द्वारा [[बिंदुवार]] परिभाषित किया गया है।


  <math>L^2</math>वें>-के स्थान के लिए द्विरेखीय रूप <math>k</math>-रूप <math>\Omega^k(M)</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
  <math>k</math>-रूप <math>\Omega^k(M)</math> की समष्टि के लिए <math>L^2</math> द्विरेखीय रूप को


:<math>
:<math>
\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle:= \int_M\alpha\wedge {\star}\beta .
\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle:= \int_M\alpha\wedge {\star}\beta  
</math>
</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
रीमैनियन मैनिफोल्ड के मामले में, प्रत्येक आंतरिक उत्पाद है (अर्थात सकारात्मक-निश्चित है)।
अतः रीमैनियन मैनिफोल्ड की स्थिति में, प्रत्येक आंतरिक गुणनफल है (अर्थात धनात्मक-निश्चित है)।


=== [[झूठ व्युत्पन्न|लाई व्युत्पन्न]] ===
=== [[झूठ व्युत्पन्न|लाई व्युत्पन्न]] ===


हम लाई व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं <math>\mathcal{L}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)</math> किसी दिए गए अनुभाग के लिए कार्टन के जादुई रूपूले के माध्यम से <math>X\in \Gamma(TM)</math> जैसा
हम किसी दिए गए खंड <math>X\in \Gamma(TM)</math> के लिए कार्टन के अवधि सूत्र के माध्यम से लाइ व्युत्पन्न <math>\mathcal{L}:\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)</math> को


:<math>
:<math>
\mathcal{L}_X = d \circ \iota_X + \iota_X \circ d .
\mathcal{L}_X = d \circ \iota_X + \iota_X \circ d  
</math>
</math> के रूप में परिभाषित करते हैं।
यह a के परिवर्तन का वर्णन करता है <math>k</math>-एक प्रवाह के साथ रूप (गणित) <math>\phi_t</math> अनुभाग से संबद्ध <math>X</math>
इस प्रकार से यह अनुभाग <math>X</math> से सम्बद्ध प्रवाह <math>\phi_t</math> के साथ <math>k</math>-रूप (गणित) के परिवर्तन का वर्णन करता है।
=== पुल-बैक गुण ===
=== पुल-बैक गुण ===


:<math>
:<math>
d(\phi^*\alpha) = \phi^*(d\alpha)
d(\phi^*\alpha) = \phi^*(d\alpha)
</math> (साथ क्रमविनिमेय <math>d</math>)
</math> (<math>d</math> के साथ क्रमविनिमेय)


:<math>
:<math>
\phi^*(\alpha\wedge\beta) = (\phi^*\alpha)\wedge(\phi^*\beta)
\phi^*(\alpha\wedge\beta) = (\phi^*\alpha)\wedge(\phi^*\beta)
</math> ( वितरित करता है <math>\wedge</math>)
</math> (<math>\wedge</math> पर वितरित करता है)


:<math>
:<math>
Line 153: Line 153:
</math> (विपरीत)
</math> (विपरीत)


:<math>
:<math>f\in\Omega^0(N)</math> के लिए <math>
\phi^*f=f\circ\phi
\phi^*f=f\circ\phi
</math> के लिए <math>f\in\Omega^0(N)</math> (फ़ंक्शन रचना)
</math> (फलन रचना)


=== संगीत समरूपता गुण ===
=== संगीत समरूपता गुण ===
Line 165: Line 165:
(\alpha^{\sharp})^{\flat}=\alpha
(\alpha^{\sharp})^{\flat}=\alpha
</math>
</math>
===आंतरिक उत्पाद गुण ===
===आंतरिक गुणनफल गुण ===


:<math>
:<math>
Line 178: Line 178:
</math> के लिए <math>\alpha\in\Omega^k(M), \ \beta\in\Omega^l(M)</math> (लीबनिज नियम)
</math> के लिए <math>\alpha\in\Omega^k(M), \ \beta\in\Omega^l(M)</math> (लीबनिज नियम)


:<math>
:<math>\alpha\in\Omega^1(M)</math> के लिए <math>
\iota_X\alpha = \alpha(X)
\iota_X\alpha = \alpha(X)
</math> के लिए <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math>
</math>
:<math>
:<math>f \in \Omega^0(M)</math> के लिए <math>
\iota_X f = 0
\iota_X f = 0
</math> के लिए <math>f \in \Omega^0(M)</math>
</math>
:<math>
:<math>f \in \Omega^0(M)</math> के लिए <math>
\iota_X(f\alpha) = f \iota_X\alpha
\iota_X(f\alpha) = f \iota_X\alpha
</math> के लिए <math>f \in \Omega^0(M)</math>
</math>
=== हॉज स्टार गुण ===
=== हॉज स्टार गुण ===


:<math>
:<math>\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}</math> के लिए <math>
{\star}(\lambda_1\alpha + \lambda_2\beta) = \lambda_1({\star}\alpha) + \lambda_2({\star}\beta)
{\star}(\lambda_1\alpha + \lambda_2\beta) = \lambda_1({\star}\alpha) + \lambda_2({\star}\beta)
</math> के लिए <math>\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}</math> ( रैखिकता )
</math> (रैखिकता)


:<math>
:<math>\alpha\in \Omega^k(M)</math> के लिए <math>
{\star}{\star}\alpha = s(-1)^{k(n-k)}\alpha
{\star}{\star}\alpha = s(-1)^{k(n-k)}\alpha
</math> के लिए <math>\alpha\in \Omega^k(M)</math>, <math>n=\dim(M)</math>, और <math>s = \operatorname{sign}(g)</math> मीट्रिक का चिह्न
</math>, <math>n=\dim(M)</math>, और मापन का संकेत <math>s = \operatorname{sign}(g)</math>


:<math>
:<math>
{\star}^{(-1)} = s(-1)^{k(n-k)}{\star}
{\star}^{(-1)} = s(-1)^{k(n-k)}{\star}
</math> ( उलटा )
</math> (व्युत्क्रम)


:<math>
:<math>f\in\Omega^0(M)</math> के लिए <math>
{\star}(f\alpha)=f({\star}\alpha)
{\star}(f\alpha)=f({\star}\alpha)
</math> के लिए <math>f\in\Omega^0(M)</math> (साथ क्रमविनिमेय <math>0</math>-रूप )
</math> (<math>0</math>-रूपों के साथ क्रमविनिमेय)


:<math>
:<math>\alpha\in\Omega^1(M)</math> के लिए <math>
\langle\!\langle\alpha,\alpha\rangle\!\rangle = \langle\!\langle{\star}\alpha,{\star}\alpha\rangle\!\rangle
\langle\!\langle\alpha,\alpha\rangle\!\rangle = \langle\!\langle{\star}\alpha,{\star}\alpha\rangle\!\rangle
</math> के लिए <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math> (हॉज स्टार संरक्षित करता है <math>1</math>-रूप मानदंड )
</math> (हॉज स्टार <math>1</math>-रूप मानदंड को संरक्षित रखता है)


:<math>
:<math>
{\star} \mathbf{1} = \mathbf{det}
{\star} \mathbf{1} = \mathbf{det}
</math> (स्थिर फलन 1 का हॉज डुअल आयतन रूप है)
</math> (स्थिर फलन 1 का हॉज द्वैत आयतन रूप है)


=== सह-विभेदक ऑपरेटर गुण ===
=== सह-विभेदक संक्रियक गुण ===


:<math>
:<math>
Line 221: Line 221:
:<math>
:<math>
{\star}\delta=(-1)^kd{\star}
{\star}\delta=(-1)^kd{\star}
</math> और <math>{\star} d = (-1)^{k+1}\delta{\star}</math> (हॉज के निकट <math>d</math>)
</math> और <math>{\star} d = (-1)^{k+1}\delta{\star}</math> (हॉज <math>d</math> से सम्बद्ध है)


:<math>
:<math>
\langle\!\langle d\alpha,\beta\rangle\!\rangle = \langle\!\langle \alpha,\delta\beta\rangle\!\rangle
\langle\!\langle d\alpha,\beta\rangle\!\rangle = \langle\!\langle \alpha,\delta\beta\rangle\!\rangle
</math> अगर <math>\partial M=0</math> (<math>\delta</math> के साथ जुड़ा हुआ <math>d</math>)
</math> यदि <math>\partial M=0</math> (<math>\delta</math> <math>d</math> से सम्बद्ध है)


:सामान्य रूप में, <math>\int_M d\alpha \wedge \star \beta = \int_{\partial M} \alpha \wedge \star \beta + \int_M \alpha\wedge\star\delta\beta </math>
:सामान्य रूप में, <math>\int_M d\alpha \wedge \star \beta = \int_{\partial M} \alpha \wedge \star \beta + \int_M \alpha\wedge\star\delta\beta </math>
:<math>
:<math>f \in \Omega^0(M)</math> के लिए <math>
\delta f = 0
\delta f = 0
</math> के लिए <math>f \in \Omega^0(M)</math>
</math>
=== लाई व्युत्पन्न गुण ===
=== लाई व्युत्पन्न गुण ===


:<math>
:<math>
d\circ\mathcal{L}_X = \mathcal{L}_X\circ d
d\circ\mathcal{L}_X = \mathcal{L}_X\circ d
</math> (साथ क्रमविनिमेय <math>d</math>)
</math> (<math>d</math> के साथ क्रमविनिमेय)


:<math>
:<math>
\iota_X \circ\mathcal{L}_X = \mathcal{L}_X\circ \iota_X
\iota_X \circ\mathcal{L}_X = \mathcal{L}_X\circ \iota_X
</math> (साथ क्रमविनिमेय <math>\iota_X</math>)
</math> (<math>\iota_X</math> के साथ क्रमविनिमेय)


:<math>
:<math>
Line 350: Line 350:
:<math>
:<math>
(\delta\alpha)(X_1,\ldots,X_{k-1})=-\sum_{i=1}^n(\iota_{E_i}(\nabla_{E_i}\alpha))(X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k)
(\delta\alpha)(X_1,\ldots,X_{k-1})=-\sum_{i=1}^n(\iota_{E_i}(\nabla_{E_i}\alpha))(X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,X_k)
</math> सकारात्मक रूप से उन्मुख ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम दिया गया <math>E_1,\ldots,E_n</math>
</math> को धनात्मक रूप से अभिविन्यस्त प्रसामान्य लांबिक संरचना<math>E_1,\ldots,E_n</math> दिया गया है।


:<math>
:<math>
Line 356: Line 356:
</math>
</math>
=== हॉज अपघटन ===
=== हॉज अपघटन ===
{{see also|Hodge theory}}
{{see also|हॉज सिद्धांत}}


अगर <math>\partial M =\empty</math>, <math>\omega\in\Omega^k(M) \Rightarrow \exists \alpha\in\Omega^{k-1}, \ \beta\in\Omega^{k+1}, \ \gamma\in\Omega^k(M), \ d\gamma=0, \ \delta\gamma = 0</math> ऐसा है कि
यदि <math>\partial M =\empty</math>, <math>\omega\in\Omega^k(M) \Rightarrow \exists \alpha\in\Omega^{k-1}, \ \beta\in\Omega^{k+1}, \ \gamma\in\Omega^k(M), \ d\gamma=0, \ \delta\gamma = 0</math> जैसे कि


:<math>
:<math>
Line 365: Line 365:
=== पोंकारे लेम्मा ===
=== पोंकारे लेम्मा ===


यदि सीमाहीन मैनिफोल्ड <math>M</math> इसमें तुच्छ कोहोमोलोजी है <math>H^k(M)=\{0\}</math>, फिर कोई भी बंद <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> सटीक है। यह मामला है यदि एम [[अनुबंध योग्य स्थान]] है।
इस प्रकार से यदि एक सीमाहीन मैनिफोल्ड <math>M</math> में तुच्छ सह समरूपता <math>H^k(M)=\{0\}</math> है, तो कोई भी संवृत <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> यथार्थ है। अतः यह स्थिति है यदि M [[अनुबंध योग्य स्थान|अनुबंध योग्य समष्टि]] है।


== सदिश कलन से संबंध ==
== सदिश कलन से संबंध ==
{{See also|Vector calculus identities}}
{{See also|सदिश गणना समरूपता}}


=== यूक्लिडियन 3-स्पेस में समरूपता ===
=== यूक्लिडियन 3-समष्टि में समरूपता ===


चलो [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] <math>g(X,Y):=\langle X,Y\rangle = X\cdot Y</math>।
मान लीजिए [[यूक्लिडियन मीट्रिक|यूक्लिडियन मापन]] <math>g(X,Y):=\langle X,Y\rangle = X\cdot Y</math>।


हम उपयोग करते हैं <math>
अतः इस प्रकार से हम <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math> के लिए <math>
\nabla = \left( {\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z} \right)
\nabla = \left( {\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z} \right)
</math> [[की]] <math>\mathbb{R}^3</math>
</math> [[की|डेल]] <math>\mathbb{R}^3</math>
:<math>
:<math>
\iota_X\alpha = g(X,\alpha^{\sharp}) = X\cdot \alpha^{\sharp}
\iota_X\alpha = g(X,\alpha^{\sharp}) = X\cdot \alpha^{\sharp}
</math> के लिए <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math>।
</math> का उपयोग करते हैं।


:<math>
:<math>
Line 387: Line 387:
:<math>
:<math>
X\times Y = ({\star}(X^{\flat}\wedge Y^{\flat}))^{\sharp}
X\times Y = ({\star}(X^{\flat}\wedge Y^{\flat}))^{\sharp}
</math> ( [[पार उत्पाद]] )
</math> ([[पार उत्पाद|अनुप्रस्थ गुणनफल]])


:<math>
:<math>
\iota_X\alpha=-(X\times A)^{\flat}
\iota_X\alpha=-(X\times A)^{\flat}
</math> अगर <math>\alpha\in\Omega^2(M),\ A=({\star}\alpha)^{\sharp}</math>
</math> यदि <math>\alpha\in\Omega^2(M),\ A=({\star}\alpha)^{\sharp}</math>
:<math>
:<math>
X\cdot Y = {\star}(X^{\flat}\wedge {\star} Y^{\flat})
X\cdot Y = {\star}(X^{\flat}\wedge {\star} Y^{\flat})
</math> ( [[अदिश उत्पाद]] )
</math> ([[अदिश उत्पाद|अदिश गुणनफल]])


:<math>
:<math>
\nabla f=(df)^{\sharp}
\nabla f=(df)^{\sharp}
</math> (ढाल)
</math> (प्रवणता)


:<math>
:<math>
Line 414: Line 414:
:<math>
:<math>
\langle X,N\rangle\sigma = {\star} X^\flat
\langle X,N\rangle\sigma = {\star} X^\flat
</math> कहाँ <math>N</math> की इकाई सामान्य सदिश है <math>\partial M</math> और <math>\sigma=\iota_{N}\mathbf{det}</math> पर क्षेत्र रूप है <math>\partial M</math>
</math> जहाँ <math>N</math>, <math>\partial M</math> का इकाई सामान्य सदिश है और <math>\sigma=\iota_{N}\mathbf{det}</math>, <math>\partial M</math> पर क्षेत्र का रूप है।


:<math>
:<math>
Line 424: Line 424:
:<math>
:<math>
\mathcal{L}_X f =X\cdot \nabla f
\mathcal{L}_X f =X\cdot \nabla f
</math> (<math>0</math>-रूप )
</math> (<math>0</math>-रूप)


:<math>
:<math>
\mathcal{L}_X \alpha = (\nabla_X\alpha^{\sharp})^{\flat} +g(\alpha^{\sharp},\nabla X)
\mathcal{L}_X \alpha = (\nabla_X\alpha^{\sharp})^{\flat} +g(\alpha^{\sharp},\nabla X)
</math> (<math>1</math>-रूप )
</math> (<math>1</math>-रूप)


:<math>
:<math>
{\star}\mathcal{L}_X\beta = \left( \nabla_XB - \nabla_BX + (\text{div}X)B \right)^{\flat}
{\star}\mathcal{L}_X\beta = \left( \nabla_XB - \nabla_BX + (\text{div}X)B \right)^{\flat}
</math> अगर <math>B=({\star}\beta)^{\sharp}</math> (<math>2</math>-पर रूप <math>3</math>-मैनिफोल्ड )
</math> यदि <math>B=({\star}\beta)^{\sharp}</math> (<math>2</math>-रूप <math>3</math>-मैनिफोल्ड पर)


:<math>
:<math>
{\star}\mathcal{L}_X\rho = dq(X)+(\text{div}X)q
{\star}\mathcal{L}_X\rho = dq(X)+(\text{div}X)q
</math> अगर <math>\rho={\star} q \in \Omega^0(M)</math> (<math>n</math>-रूप )
</math> यदि <math>\rho={\star} q \in \Omega^0(M)</math> (<math>n</math>-रूप)


:<math>
:<math>
\mathcal{L}_X(\mathbf{det})=(\text{div}(X))\mathbf{det}
\mathcal{L}_X(\mathbf{det})=(\text{div}(X))\mathbf{det}
</math>
</math>
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]

Latest revision as of 12:07, 1 August 2023

यह आलेख बाह्य कलन में कई समरूपताओं (गणित) का सारांश प्रस्तुत करता है।[1][2][3][4][5]

संकेतन

इस प्रकार से निम्नलिखित संक्षिप्त परिभाषाओं और संकेतनों का सारांश प्रस्तुत करता है जिनका उपयोग इस आलेख में किया गया है।

मैनिफोल्ड

, -विमीय समतल (स्मूथ) मैनिफोल्ड हैं, जहां । अर्थात्, भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड जिन्हें इस पृष्ठ पर प्रयोजनों के लिए पर्याप्त एक बार विभेदित किया जा सकता है।

इस प्रकार से , प्रत्येक मैनिफोल्ड पर एक बिंदु दर्शाता है।

मैनिफोल्ड की सीमा मैनिफोल्ड है , जिसकी विमा है। पर एक अभिविन्यास पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है।

अतः हम सामान्यतः उपमैनिफोल्ड को से निरूपित करते हैं।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा बंडल

इस प्रकार से , समतल मैनिफोल्ड के क्रमशः स्पर्शरेखा बंडल और कोटिस्पर्श रेखा बंडल को दर्शाता है।

अतः , क्रमशः बिंदु , , पर , के स्पर्शरेखा समष्टि को दर्शाता है। बिंदु पर के कोटिस्पर्श रेखा समष्टि को दर्शाता है।

स्पर्शरेखा बंडलों का खंड (फाइबर बंडल), जिसे सदिश क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु पर हमारे निकट है। इस प्रकार से कोटिस्पर्श रेखा बंडल के अनुभाग, जिन्हें विभेदक रूप (या सहसदिश क्षेत्र) के रूप में भी जाना जाता है, इसको सामान्यतः के रूप में दर्शाया जाता है जैसे कि बिंदु पर हमारे निकट है। के लिए एक वैकल्पिक संकेतन है।

विभेदक k-रूप

विभेदक -रूप, जिसे हम यहां मात्र -रूप के रूप में संदर्भित करते हैं, पर परिभाषित विभेदक रूप हैं। हम सभी -रूपों के समुच्चय को के रूप में निरूपित करते हैं। के लिए हम सामान्यतः , , लिखते हैं।

इस प्रकार से -रूप पर मात्र अदिश फलन हैं। प्रत्येक समष्टि 1 के बराबर स्थिरांक 0-रूप को दर्शाता है।

अनुक्रम के छोड़े गए अवयव

जब हमें निवेश और -रूप दिया जाता है तो हम

लिखकर वीं प्रविष्टि के लोप को दर्शाते हैं।

बाह्य गुणनफल

इस प्रकार से बाह्य गुणनफल को वेज गुणनफल के रूप में भी जाना जाता है। इसे से दर्शाया जाता है। अतः -रूप और -रूप का बाह्य गुणनफल -रूप उत्पन्न करता है। इसे के सभी क्रमपरिवर्तन के समुच्चय का उपयोग करके लिखा जा सकता है जैसे कि को

के रूप में है।

दिशात्मक व्युत्पन्न

इस प्रकार से अनुभाग के अनुदिश 0-रूप का दिशात्मक व्युत्पन्न 0-रूप निरूपित है।

बाह्य व्युत्पन्न

अतः बाह्य व्युत्पन्न को सभी के लिए परिभाषित किया गया है। हम सामान्यतः सबस्क्रिप्ट को तब छोड़ देते हैं जब वह संदर्भ से स्पष्ट हो।

-रूप के लिए हमारे निकट -रूप के रूप में है जो दिशात्मक व्युत्पन्न देता है, अर्थात, अनुभाग के लिए हमारे निकट है, जो के साथ का दिशात्मक व्युत्पन्न है।[6]

के लिए,[6]

लाई कोष्ठक

इस प्रकार से अनुभागों के लाई कोष्ठक को अद्वितीय अनुभाग के रूप में परिभाषित किया गया है जो

को संतुष्ट करता है।

स्पर्शरेखा प्रतिचित्र

यदि एक समतल प्रतिचित्र है, तो से तक एक स्पर्श रेखा प्रतिचित्र को परिभाषित करता है। अतः इसे व्युत्पन्न के साथ पर वक्र के माध्यम से परिभाषित किया गया है जैसे कि

ध्यान दें कि में मानों के साथ -रूप है।

पुल-बैक

यदि समतल प्रतिचित्र है, तो -रूप का पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि किसी भी -विमीय उपमैनिफोल्ड

के लिए है।

इस प्रकार से पुल-बैक को

के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

आंतरिक गुणनफल

आंतरिक व्युत्पन्न के रूप में भी जाना जाता है, अनुभाग दिया गया आंतरिक गुणनफल एक प्रतिचित्र है जो प्रभावी रूप से के साथ -रूप के पहले निवेश को प्रतिस्थापित करता है। इस प्रकार से यदि और है, तो

मापन टेंसर

प्रत्येक पर एक गैर-अपक्षयी द्विरेखीय रूप दिया गया है जो कि पर सतत है, मैनिफोल्ड एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड बन जाता है। हम मापन टेंसर को निरूपित करते हैं, जिसे द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से हम को मापन का संकेत कहते हैं। अतः रीमैनियन मैनिफोल्ड में है, जबकि मिन्कोवस्की समष्टि में है।

संगीत समरूपता

मापन टेंसर सदिश क्षेत्र और एक-रूपों के बीच द्वंद्व प्रतिचित्रण को प्रेरित करता है: ये संगीतमय समरूपताएं समतल और तीव्र हैं। एक अनुभाग अद्वितीय एक-रूप से मेल खाता है जैसे कि सभी अनुभागों के लिए, हमारे निकट:

है।

एक रूप अद्वितीय सदिश क्षेत्र से मेल खाता है जैसे कि सभी के लिए, हमारे निकट:

है।

इस प्रकार से ये प्रतिचित्रण बहुरेखीयता के माध्यम से -सदिश क्षेत्र से -रूप और -रूप से -सदिश क्षेत्र तक

के माध्यम से प्रतिचित्रण तक विस्तारित होती है।

हॉज स्टार

इस प्रकार से एन-मैनिफोल्ड M के लिए, हॉज स्टार संक्रियक एक द्वैत प्रतिचित्रण है, जो -रूप को -रूप में ले जाता है।

अतः इसे के लिए अभिविन्यस्त संरचना के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जो दिए गए मापन टेंसर :

के संबंध में प्रसामान्य लांबिक है।

सह-विभेदक संक्रियक

इस प्रकार से विमीय मैनिफोल्ड पर हॉज स्टार संक्रियक को

द्वारा परिभाषित किया गया है।

अतः हॉज-डिरैक संक्रियक, , एक डिरैक संक्रियक है जिसका अध्ययन क्लिफोर्ड विश्लेषण में किया गया है।

अभिविन्यस्त मैनिफोल्ड

एक -विमीय अभिविन्यसनीय मैनिफोल्ड M एक ऐसा मैनिफोल्ड है जिसे n-रूप के विकल्प से संगत किया जा सकता है जो M पर प्रत्येक समष्टि सतत और गैर-शून्य है।

आयतन रूप

इस प्रकार से एक अभिविन्यसनीय मैनिफोल्ड पर मापन टेंसर दिए गए आयतन रूप के विहित चयन और अभिविन्यास (सदिश समष्टि) से मेल खाने के लिए किसी भी आधार के लिए अभिविन्यास है।

क्षेत्रफल

अतः एक आयतन रूप और इकाई सामान्य सदिश को देखते हुए हम boundary पर एक क्षेत्र रूप को भी परिभाषित कर सकते हैं।

-रूप पर द्विरैखिक रूप

इस प्रकार से मापन टेंसर का सामान्यीकरण, दो -रूप के बीच सममित द्विरेखीय रूप, पर

द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है।
-रूप  की समष्टि के लिए  द्विरेखीय रूप को
द्वारा परिभाषित किया गया है।

अतः रीमैनियन मैनिफोल्ड की स्थिति में, प्रत्येक आंतरिक गुणनफल है (अर्थात धनात्मक-निश्चित है)।

लाई व्युत्पन्न

हम किसी दिए गए खंड के लिए कार्टन के अवधि सूत्र के माध्यम से लाइ व्युत्पन्न को

के रूप में परिभाषित करते हैं।

इस प्रकार से यह अनुभाग से सम्बद्ध प्रवाह के साथ -रूप (गणित) के परिवर्तन का वर्णन करता है।

पुल-बैक गुण

( के साथ क्रमविनिमेय)
( पर वितरित करता है)
(विपरीत)
के लिए (फलन रचना)

संगीत समरूपता गुण

आंतरिक गुणनफल गुण

(निलपोटेंट)
के लिए (लीबनिज नियम)
के लिए
के लिए
के लिए

हॉज स्टार गुण

के लिए (रैखिकता)
के लिए , , और मापन का संकेत
(व्युत्क्रम)
के लिए (-रूपों के साथ क्रमविनिमेय)
के लिए (हॉज स्टार -रूप मानदंड को संरक्षित रखता है)
(स्थिर फलन 1 का हॉज द्वैत आयतन रूप है)

सह-विभेदक संक्रियक गुण

(निलपोटेंट)
और (हॉज से सम्बद्ध है)
यदि ( से सम्बद्ध है)
सामान्य रूप में,
के लिए

लाई व्युत्पन्न गुण

( के साथ क्रमविनिमेय)
( के साथ क्रमविनिमेय)
(लीबनिज नियम)
को धनात्मक रूप से अभिविन्यस्त प्रसामान्य लांबिक संरचना दिया गया है।

हॉज अपघटन

यदि , जैसे कि

पोंकारे लेम्मा

इस प्रकार से यदि एक सीमाहीन मैनिफोल्ड में तुच्छ सह समरूपता है, तो कोई भी संवृत यथार्थ है। अतः यह स्थिति है यदि M अनुबंध योग्य समष्टि है।

सदिश कलन से संबंध

यूक्लिडियन 3-समष्टि में समरूपता

मान लीजिए यूक्लिडियन मापन

अतः इस प्रकार से हम के लिए डेल

का उपयोग करते हैं।
(अदिश त्रिगुण गुणनफल)
(अनुप्रस्थ गुणनफल)
यदि
(अदिश गुणनफल)
(प्रवणता)
(दिशात्मक व्युत्पन्न)
(विचलन)
(कर्ल (गणित))
जहाँ , का इकाई सामान्य सदिश है और , पर क्षेत्र का रूप है।
(विचलन प्रमेय)

लाई व्युत्पन्न

(-रूप)
(-रूप)
यदि (-रूप -मैनिफोल्ड पर)
यदि (-रूप)
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