होमोटोपी विश्लेषण विधि: Difference between revisions

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[[File:HomotopySmall.gif|thumb|200px|ऊपर दिखाए गए दो धराशायी पथ उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानिक हैं। एनीमेशन संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।]][[होमोटॉपी]] विश्लेषण विधि (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/[[आंशिक अंतर समीकरण]] अंतर समीकरणों को हल करने के लिए अर्ध-विश्लेषणात्मक तकनीक है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए [[टोपोलॉजी]] से होमोटॉपी की अवधारणा को नियोजित करती है। इसे सिस्टम में गैर-रेखीयताओं से निपटने के लिए होमोटॉपी-[[टेलर श्रृंखला]] का उपयोग करके सक्षम किया गया है।
[[File:HomotopySmall.gif|thumb|200px|ऊपर दिखाए गए दो डैसेड पथ उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानिक हैं। एनीमेशन संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।]]'''[[होमोटॉपी]] विश्लेषण विधि''' (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण/[[आंशिक अंतर समीकरण]] को समाधान करने के लिए अर्ध-विश्लेषणात्मक विधि है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए टोपोलॉजी से [[टोपोलॉजी]] की अवधारणा को नियोजित करती है। इसको प्रणाली में गैर-रैखिकताओं से निर्वृत होने  के लिए होमोटॉपी-[[टेलर श्रृंखला]] का उपयोग करके सक्षम किया गया है।


HAM को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के [[लियाओ शिजुन]] ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था।<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems | publisher=PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University | year=1992 }}</ref> और आगे संशोधित किया गया<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=An explicit, totally analytic approximation of Blasius' viscous flow problems | journal=International Journal of Non-Linear Mechanics | volume=34 | issue=4 | pages=759–778 | year=1999 | doi=10.1016/S0020-7462(98)00056-0|bibcode = 1999IJNLM..34..759L }}</ref> 1997 में गैर-शून्य सहायक पैरामीटर पेश किया गया, जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर, ''सी'' कहा जाता है।<sub>'''0'''</sub>, सामान्य रूप में विभेदक प्रणाली पर समरूपता का निर्माण करना।<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method | publisher=Chapman & Hall/ CRC Press | location=Boca Raton  | year=2003 | isbn=978-1-58488-407-1 }}[https://www.amazon.com/Beyond-Perturbation-Introduction-Mechanics-Mathematics/dp/158488407X]</ref> अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर गैर-भौतिक चर है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और लागू करने का सरल तरीका प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य है।
एचएएम को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के [[लियाओ शिजुन]] ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था | <ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems | publisher=PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University | year=1992 }}</ref> और सामान्य रूप में यह विभेदक प्रणाली पर होमोटॉपी का निर्माण करने के लिए गैर-शून्य सहायक मापदंड  प्रस्तुत करने के लिए इसे 1997 में संशोधित किया गया था | <ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=An explicit, totally analytic approximation of Blasius' viscous flow problems | journal=International Journal of Non-Linear Mechanics | volume=34 | issue=4 | pages=759–778 | year=1999 | doi=10.1016/S0020-7462(98)00056-0|bibcode = 1999IJNLM..34..759L }}</ref>, जिसे अभिसरण-नियंत्रण मापदंड , '''''c'''''<sub>'''0'''</sub> के रूप में जाना जाता है। <ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method | publisher=Chapman & Hall/ CRC Press | location=Boca Raton  | year=2003 | isbn=978-1-58488-407-1 }}[https://www.amazon.com/Beyond-Perturbation-Introduction-Mechanics-Mathematics/dp/158488407X]</ref> अभिसरण-नियंत्रण मापदंड  गैर-भौतिक वैरिएबल होता है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और प्रयुक्त करने का सरल विधि प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य होती है।


==विशेषताएँ==
==विशेषताएँ==


HAM चार महत्वपूर्ण पहलुओं में खुद को विभिन्न अन्य [[गणितीय विश्लेषण]]ों से अलग करता है। सबसे पहले, यह [[श्रृंखला (गणित)]] विस्तार विधि है जो सीधे छोटे या बड़े भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक गड़बड़ी सिद्धांत की कुछ अंतर्निहित सीमाओं से परे जाकर, न केवल कमजोर बल्कि दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी लागू होता है। दूसरा, एचएएम [[अलेक्जेंडर ल्यपुनोव]] कृत्रिम छोटे पैरामीटर विधि, डेल्टा विस्तार विधि, [[एडोमियन अपघटन विधि]] के लिए एकीकृत विधि है।<ref name="Adomian94">{{cite book |title=Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method|first=G.|last=Adomian|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1994}}</ref> और होमोटोपी गड़बड़ी विधि।<ref>{{citation | last1=Liang | first1=Songxin |last2=Jeffrey |first2=David J. | title= Comparison of homotopy analysis method and homotopy perturbation method through an evolution equation | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation| volume=14| issue=12 | pages=4057–4064|year=2009 | doi=10.1016/j.cnsns.2009.02.016|bibcode = 2009CNSNS..14.4057L }}</ref><ref>{{citation | last1=Sajid | first1=M. |last2=Hayat |first2=T. | title= Comparison of HAM and HPM methods in nonlinear heat conduction and convection equations | journal=Nonlinear Analysis: Real World Applications| volume=9| issue=5 | pages=2296–2301|year=2008 | doi=10.1016/j.nonrwa.2007.08.007}}</ref> विधि की व्यापक व्यापकता अक्सर बड़े स्थानिक और पैरामीटर डोमेन पर समाधान के मजबूत अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट लचीलापन देता है। यह वांछित समाधान के [[आधार कार्य]]ों और होमोटॉपी के संबंधित सहायक [[रैखिक ऑपरेटर]] को चुनने की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन तकनीकों के विपरीत, HAM समाधान श्रृंखला के अनुक्रम की सीमा सुनिश्चित करने का सरल तरीका प्रदान करता है।
एचएएम चार महत्वपूर्ण पक्ष में स्वयं को विभिन्न अन्य [[गणितीय विश्लेषण]] विधियों से भिन्न करता है। सबसे पूर्व, यह [[श्रृंखला (गणित)]] विस्तार विधि होती है जो प्रत्यक्ष रूप से लघु या विशाल भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक त्रुटिपूर्ण विधियों की अनेक अंतर्निहित सीमाओं से बढ़ कर, न सिर्फ अशक्त किंतु दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी प्रयुक्त होता है। इसका दूसरा, एचएएम [[अलेक्जेंडर ल्यपुनोव]] कृत्रिम लघु मापदंड  विधि, डेल्टा विस्तार विधि, [[एडोमियन अपघटन विधि]] के लिए एकीकृत विधि होती है | <ref name="Adomian94">{{cite book |title=Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method|first=G.|last=Adomian|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1994}}</ref> और यह होमोटॉपी पर्टर्बेशन विधि के लिए एकीकृत विधि होती है। <ref>{{citation | last1=Liang | first1=Songxin |last2=Jeffrey |first2=David J. | title= Comparison of homotopy analysis method and homotopy perturbation method through an evolution equation | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation| volume=14| issue=12 | pages=4057–4064|year=2009 | doi=10.1016/j.cnsns.2009.02.016|bibcode = 2009CNSNS..14.4057L }}</ref> <ref>{{citation | last1=Sajid | first1=M. |last2=Hayat |first2=T. | title= Comparison of HAM and HPM methods in nonlinear heat conduction and convection equations | journal=Nonlinear Analysis: Real World Applications| volume=9| issue=5 | pages=2296–2301|year=2008 | doi=10.1016/j.nonrwa.2007.08.007}}</ref> इसमें विधि की व्यापक व्यापकता प्रायः विशाल स्थानिक और मापदंड  डोमेन पर समाधान के शक्तिशाली अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट स्मूथ होता है। यह वांछित समाधान के [[आधार कार्य|आधार कार्यो]] और होमोटॉपी के संबंधित सहायक [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संचालक]] को स्वीकार की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। इस प्रकार अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों के विपरीत, एचएएम समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सुनिश्चित करने का सरल विधि प्रदान करता है।


होमोटॉपी विश्लेषण विधि वर्णक्रमीय विधियों जैसे गैर-रेखीय अंतर समीकरणों में नियोजित अन्य तकनीकों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है<ref>{{citation | last1=Motsa | first1=S.S. | last2=Sibanda|first2=P.| last3=Awad| first3=F.G.|  last4 = Shateyi| first4 = S.| title= A new spectral-homotopy analysis method for the MHD Jeffery–Hamel problem | journal=Computers & Fluids| volume=39| issue=7 | pages=1219–1225|year=2010 | doi=10.1016/j.compfluid.2010.03.004}}</ref> और पाडे सन्निकटन। इसे आगे कम्प्यूटेशनल तरीकों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि [[सीमा तत्व विधि]], रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों को हल करने की अनुमति देती है। [[संख्यात्मक निरंतरता]] की संख्यात्मक तकनीक से भिन्न, होमोटोपी विश्लेषण विधि असतत कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है। इसके अलावा, एचएएम केवल सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी पैरामीटर का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि नॉनलाइनियर सिस्टम को रैखिक सिस्टम के अनंत सेट में विभाजित किया जा सकता है, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जाता है, जबकि निरंतरता के तरीकों के लिए अलग रैखिक सिस्टम को हल करने की आवश्यकता होती है क्योंकि नॉनलाइनर सिस्टम को हल करने के लिए होमोटॉपी पैरामीटर भिन्न होता है।
होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय अंतर समीकरणों जैसे वर्णक्रमीय विधियों और पैडे सन्निकटन में नियोजित अन्य विधियों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है। <ref>{{citation | last1=Motsa | first1=S.S. | last2=Sibanda|first2=P.| last3=Awad| first3=F.G.|  last4 = Shateyi| first4 = S.| title= A new spectral-homotopy analysis method for the MHD Jeffery–Hamel problem | journal=Computers & Fluids| volume=39| issue=7 | pages=1219–1225|year=2010 | doi=10.1016/j.compfluid.2010.03.004}}</ref> इसे आगे कम्प्यूटेशनल विधियों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि [[सीमा तत्व विधि]], रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों का समाधान करने की अनुमति देती है। [[संख्यात्मक निरंतरता|होमोटॉपी निरंतरता]] की संख्यात्मक विधि से भिन्न होती हैं | होमोटॉपी विश्लेषण विधि भिन्न कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि होती है। इसके अतिरिक्त, एचएएम सिर्फ सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी मापदंड  का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि गैर रेखीय प्रणाली को रैखिक प्रणाली के अनंत समुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिससे विश्लेषणात्मक रूप से समाधान किया जाता है | जबकि निरंतरता के विधियों के लिए भिन्न रैखिक प्रणाली को समाधान करने की आवश्यकता होती है क्योंकि गैर रेखीय प्रणाली का समाधान करने के लिए होमोटॉपी मापदंड  भिन्न होता है।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==


पिछले बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या को हल करने के लिए HAM का उपयोग किया गया है।<ref name="HAM in NDEs">{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2012 | isbn=978-7-04-032298-9}} [https://www.amazon.com/Homotopy-Analysis-Nonlinear-Differential-Equations/dp/3642251315]</ref><ref>{{citation | last1=Vajravelu | first1=K.  | last2= Van Gorder| title= Nonlinear Flow Phenomena and Homotopy Analysis| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2013 | isbn=978-3-642-32102-3}} [https://www.amazon.com/Nonlinear-Flow-Phenomena-Homotopy-Analysis/dp/3642321011/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1384402655&sr=1-1]</ref> उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में कई स्थिर-अवस्था वाली गुंजयमान तरंगें<ref>{{citation|last1=Xu|first1=D.L.|last2=Lin|first2=Z.L.|last3=Liao|first3=S.J.|last4=Stiassnie|first4=M.|title=On the steady-state fully resonant progressive waves in water of finite depth|journal =Journal of Fluid Mechanics|volume = 710|pages=379–418|year=2012|doi = 10.1017/jfm.2012.370|bibcode = 2012JFM...710..379X |s2cid=122094345 }}</ref> यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की मनमानी संख्या की [[तरंग प्रतिध्वनि]] मानदंड के साथ पाए गए; यह छोटे आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की कसौटी से सहमत था। इसके अलावा, HAM के साथ एकीकृत तरंग मॉडल लागू किया गया,<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title= Do peaked solitary water waves indeed exist? | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|year=2013 | doi=10.1016/j.cnsns.2013.09.042|arxiv = 1204.3354 |bibcode = 2014CNSNS..19.1792L | volume=19 | issue=6 | pages=1792–1821| s2cid=119203215 }}</ref> न केवल पारंपरिक चिकनी प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, बल्कि सीमित पानी की गहराई में शिखर वाली प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात चिकनी तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को कई अन्य गैर-रेखीय समस्याओं जैसे गैर-रेखीय ताप हस्तांतरण, पर लागू किया गया है।<ref>{{citation | last1=Abbasbandy | first1=S. | title= The application of homotopy analysis method to nonlinear equations arising in heat transfer | journal=Physics Letters A| volume=360| issue=1 | pages=109–113|year=2006 | doi=10.1016/j.physleta.2006.07.065|bibcode = 2006PhLA..360..109A }}</ref> अरेखीय गतिशील प्रणालियों का [[सीमा चक्र]],<ref>{{citation|last1= Chen|first1=Y.M.|first2=J.K. |last2=Liu|title=Uniformly valid solution of limit cycle of the Duffing–van der Pol equation|journal = Mechanics Research Communications|volume= 36|issue=7|year= 2009|pages= 845–850|doi=10.1016/j.mechrescom.2009.06.001}}</ref> अमेरिकी पुट विकल्प,<ref>{{citation | last1=Zhu | first1=S.P. | title= An exact and explicit solution for the valuation of American put options | journal=Quantitative Finance| volume=6| pages=229–242|year=2006 | issue=3 | doi=10.1080/14697680600699811| s2cid=121851109 }}</ref> सटीक नेवियर-स्टोक्स समीकरण,<ref>{{citation|last=Turkyilmazoglu|first=M.|title=Purely analytic solutions of the compressible boundary layer flow due to a porous rotating disk with heat transfer|journal=Physics of Fluids|volume=21|issue=10|pages=106104–106104–12|year=2009|doi=10.1063/1.3249752|bibcode = 2009PhFl...21j6104T }}</ref> [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता]] के तहत विकल्प मूल्य निर्धारण,<ref>{{citation|last1=Park|first1=Sang-Hyeon|last2=Kim|first2=Jeong-Hoon|title=Homotopy analysis method for option pricing under stochastic volatility|journal=Applied Mathematics Letters|volume= 24|issue=10|year= 2011|pages= 1740–1744|doi=10.1016/j.aml.2011.04.034|doi-access=free}}</ref> [[इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक]] प्रवाह,<ref>{{citation|last=Mastroberardino|first=A.|title=Homotopy analysis method applied to electrohydrodynamic flow|journal = Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulat.| volume=16|issue=7|year= 2011| pages=2730–2736|doi=10.1016/j.cnsns.2010.10.004|bibcode = 2011CNSNS..16.2730M }}</ref> अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण,<ref>{{citation|last1=Nassar|first1= Christopher J.| first2= Joseph F. |last2=Revelli|first3=Robert J. |last3=Bowman|title=Application of the homotopy analysis method to the Poisson–Boltzmann equation for semiconductor devices |journal = Commun Nonlinear Sci Numer Simulat |volume=16 |issue= 6|year=2011|pages= 2501–2512|doi=10.1016/j.cnsns.2010.09.015|bibcode = 2011CNSNS..16.2501N }}</ref> और दूसरे।
पूर्व बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या का समाधान करने के लिए एचएएम का उपयोग किया गया है। <ref name="HAM in NDEs">{{citation | last=Liao | first=S.J. | title=Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2012 | isbn=978-7-04-032298-9}} [https://www.amazon.com/Homotopy-Analysis-Nonlinear-Differential-Equations/dp/3642251315]</ref> <ref>{{citation | last1=Vajravelu | first1=K.  | last2= Van Gorder| title= Nonlinear Flow Phenomena and Homotopy Analysis| publisher=Springer & Higher Education Press| location=Berlin & Beijing | year=2013 | isbn=978-3-642-32102-3}} [https://www.amazon.com/Nonlinear-Flow-Phenomena-Homotopy-Analysis/dp/3642321011/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1384402655&sr=1-1]</ref> उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में अनेक स्थिर-अवस्था प्रतिध्वनित तरंगें होती हैं | <ref>{{citation|last1=Xu|first1=D.L.|last2=Lin|first2=Z.L.|last3=Liao|first3=S.J.|last4=Stiassnie|first4=M.|title=On the steady-state fully resonant progressive waves in water of finite depth|journal =Journal of Fluid Mechanics|volume = 710|pages=379–418|year=2012|doi = 10.1017/jfm.2012.370|bibcode = 2012JFM...710..379X |s2cid=122094345 }}</ref> यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की अनैतिक संख्या के [[तरंग प्रतिध्वनि]] मानदंड के साथ पाई गईं हैं | यह लघु आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की मानदंड से सहमत था। इसके अतिरिक्त, एचएएम के साथ प्रयुक्त एकीकृत तरंग मॉडल प्रयुक्त किया गया हैं ,<ref>{{citation | last=Liao | first=S.J. | title= Do peaked solitary water waves indeed exist? | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|year=2013 | doi=10.1016/j.cnsns.2013.09.042|arxiv = 1204.3354 |bibcode = 2014CNSNS..19.1792L | volume=19 | issue=6 | pages=1792–1821| s2cid=119203215 }}</ref> न सिर्फ पारंपरिक स्मूथ प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, किंतु सीमित पानी की गहराई में पैक्ड क्रेस्ट के साथ प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात स्मूथ तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को अनेक अन्य गैर-रेखीय समस्याओं पर प्रयुक्त किया गया है | <ref>{{citation | last1=Abbasbandy | first1=S. | title= The application of homotopy analysis method to nonlinear equations arising in heat transfer | journal=Physics Letters A| volume=360| issue=1 | pages=109–113|year=2006 | doi=10.1016/j.physleta.2006.07.065|bibcode = 2006PhLA..360..109A }}</ref> जैसे कि गैर-रेखीय गर्मी हस्तांतरण, गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों का [[सीमा चक्र]], होती हैं <ref>{{citation|last1= Chen|first1=Y.M.|first2=J.K. |last2=Liu|title=Uniformly valid solution of limit cycle of the Duffing–van der Pol equation|journal = Mechanics Research Communications|volume= 36|issue=7|year= 2009|pages= 845–850|doi=10.1016/j.mechrescom.2009.06.001}}</ref> और यह अमेरिकी पुट विकल्प होता हैं | <ref>{{citation | last1=Zhu | first1=S.P. | title= An exact and explicit solution for the valuation of American put options | journal=Quantitative Finance| volume=6| pages=229–242|year=2006 | issue=3 | doi=10.1080/14697680600699811| s2cid=121851109 }}</ref> यह स्पष्ट नेवियर-स्टोक्स समीकरण होता हैं | <ref>{{citation|last=Turkyilmazoglu|first=M.|title=Purely analytic solutions of the compressible boundary layer flow due to a porous rotating disk with heat transfer|journal=Physics of Fluids|volume=21|issue=10|pages=106104–106104–12|year=2009|doi=10.1063/1.3249752|bibcode = 2009PhFl...21j6104T }}</ref> [[स्टोकेस्टिक अस्थिरता]] के अनुसार इसमें विकल्प मूल्य निर्धारण होते हैं | <ref>{{citation|last1=Park|first1=Sang-Hyeon|last2=Kim|first2=Jeong-Hoon|title=Homotopy analysis method for option pricing under stochastic volatility|journal=Applied Mathematics Letters|volume= 24|issue=10|year= 2011|pages= 1740–1744|doi=10.1016/j.aml.2011.04.034|doi-access=free}}</ref> यह [[इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक]] प्रवाह होता हैं | <ref>{{citation|last=Mastroberardino|first=A.|title=Homotopy analysis method applied to electrohydrodynamic flow|journal = Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulat.| volume=16|issue=7|year= 2011| pages=2730–2736|doi=10.1016/j.cnsns.2010.10.004|bibcode = 2011CNSNS..16.2730M }}</ref> जिसमे अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण पाये जाते हैं। <ref>{{citation|last1=Nassar|first1= Christopher J.| first2= Joseph F. |last2=Revelli|first3=Robert J. |last3=Bowman|title=Application of the homotopy analysis method to the Poisson–Boltzmann equation for semiconductor devices |journal = Commun Nonlinear Sci Numer Simulat |volume=16 |issue= 6|year=2011|pages= 2501–2512|doi=10.1016/j.cnsns.2010.09.015|bibcode = 2011CNSNS..16.2501N }}</ref>


==संक्षिप्त गणितीय विवरण==
==संक्षिप्त गणितीय विवरण==
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</math>,
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कहाँ <math>\mathcal{N}</math> अरेखीय ऑपरेटर है. होने देना <math>\mathcal{L}</math> सहायक रैखिक ऑपरेटर को निरूपित करें, यू<sub>0</sub>(x) u(x), और c का प्रारंभिक अनुमान<sub>0</sub> क्रमशः स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर कहा जाता है)। होमोटॉपी सिद्धांत से एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] का उपयोग करके, कोई समीकरणों का परिवार बना सकता है,
जहां <math>\mathcal{N}                                                                                                                                                                                                                 </math> अरेखीय संचालक है। मान लीजिए कि <math>\mathcal{L}                                                                                                                                                                                                                       </math> क्रमशः सहायक रैखिक संचालक, ''u''<sub>0</sub>(''x'') ''u''(''x'') का प्रारंभिक अनुमान, और ''c''<sub>0</sub> स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण मापदंड  कहा जाता है) दर्शाता है। होमोटोपी सिद्धांत से एम्बेडिंग मापदंड  ''q'' ∈ [0,1] का उपयोग करके, अनेक समीकरणों का परिवार बन सकता है,


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(1 - q) \mathcal{L}[U(x; q) - u_0(x)] = c_0 \, q \, \mathcal{N}[U(x;q)],
(1 - q) \mathcal{L}[U(x; q) - u_0(x)] = c_0 \, q \, \mathcal{N}[U(x;q)],
</math>
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शून्य-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जिसका समाधान एम्बेडिंग पैरामीटर q ∈ [0,1] के संबंध में लगातार बदलता रहता है। यह रैखिक समीकरण है
शून्य-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जिसका समाधान एम्बेडिंग मापदंड  q ∈ [0,1] के संबंध में निरंतर परिवर्तन होता रहता है। यह रैखिक समीकरण होता है |
   
   
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\mathcal{L}[U(x; q) - u_0(x)] = 0,
\mathcal{L}[U(x; q) - u_0(x)] = 0,
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</math>                                                                                                          
ज्ञात प्रारंभिक अनुमान के साथ U(x; 0) = u<sub>0</sub>(x) जब q = 0, लेकिन मूल अरेखीय समीकरण के बराबर है <math>\mathcal{N}[u(x)] = 0</math>, जब q = 1, अर्थात U(x; 1) = u(x)). इसलिए, जैसे-जैसे q 0 से 1 तक बढ़ता है, शून्य-क्रम विरूपण समीकरण का समाधान U(x; q) चुने गए प्रारंभिक अनुमान u से भिन्न होता है (या विकृत होता है)।<sub>0</sub>(x) विचारित अरेखीय समीकरण के समाधान u(x) के लिए।
यह ज्ञात है कि प्रारंभिक अनुमान ''U''(''x''; 0) = ''u''<sub>0</sub>(''x'') के साथ जब ''q'' = 0 होता हैं | किन्तु मूल अरेखीय समीकरण <math>\mathcal{N}[u(x)] = 0</math> के सामान्य ''U''(''x''; 1) = ''u''(''x'')) है, और जब ''q'' = 1 होता हैं। इसलिए, जैसे-जैसे ''q'' 0 से 1 तक बढ़ता है | शून्य-क्रम विरूपण समीकरण का समाधान ''U''(''x''; ''q'') चुने गए प्रारंभिक अनुमान ''u''<sub>0</sub>(''x'') से विचारित अरेखीय समीकरण के समाधान ''u''(''x'') तक परिवर्तित (या विकृत) होता है।


q = 0 के बारे में टेलर श्रृंखला में U(x; q) का विस्तार करने पर, हमें होमोटॉपी-मैकलॉरिन श्रृंखला मिलती है
''q'' = 0 के बारे में टेलर श्रृंखला में ''U''(''x''; ''q'') का विस्तार करने पर, हमें होमोटॉपी-मैकलॉरिन श्रृंखला मिलती है |


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U(x;q) = u_0(x) +\sum_{m=1}^{\infty} u_m(x) \, q^m.  
U(x;q) = u_0(x) +\sum_{m=1}^{\infty} u_m(x) \, q^m.  
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यह मानते हुए कि तथाकथित अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c<sub>0</sub> शून्य-क्रम विरूपण समीकरण को ठीक से चुना गया है कि उपरोक्त श्रृंखला q = 1 पर अभिसरण है, हमारे पास समरूप-श्रृंखला समाधान है
यह मानते हुए कि शून्य-क्रम विरूपण समीकरण के तथाकथित अभिसरण-नियंत्रण मापदंड  ''c''<sub>0</sub> को सही प्रकार से चुना गया है कि उपरोक्त श्रृंखला ''q'' = 1 पर अभिसरण होती है | और हमारे समीप समरूप-श्रृंखला समाधान होता है |


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u(x) = u_0(x) + \sum_{m=1}^\infty u_m(x).
u(x) = u_0(x) + \sum_{m=1}^\infty u_m(x).                                                                                                                                
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शून्य-क्रम विरूपण समीकरण से, कोई सीधे यू के शासी समीकरण को प्राप्त कर सकता है<sub>m</sub>(एक्स)
शून्य-क्रम विरूपण समीकरण से, कोई प्रत्यक्ष रूप से ''u''<sub>m</sub>(''x'') का गवर्निंग समीकरण प्राप्त कर सकता है |


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\mathcal{L}[u_m(x) - \chi_m u_{m-1}(x) ] = c_0 \, R_m[u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}],
\mathcal{L}[u_m(x) - \chi_m u_{m-1}(x) ] = c_0 \, R_m[u_0, u_1, \ldots, u_{m-1}],
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एम को बुलाया<sup>वें</sup>-क्रम विरूपण समीकरण, जहां <math>\chi_1 = 0</math> और <math>\chi_k = 1</math> k > 1 के लिए, और दाहिनी ओर R<sub>''m''</sub> केवल ज्ञात परिणामों पर निर्भर है यू<sub>0</sub>, में<sub>1</sub>, ..., में<sub>''m''&nbsp;−&nbsp;1</sub> और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इस तरह, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, लेकिन बिना किसी छोटे/बड़े भौतिक मापदंडों की धारणा के।
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''m''<sup>वें</sup>-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जहां ''k'' > 1 के लिए <math>\chi_1 = 0</math> और <math>\chi_k = 1</math> होता हैं | और दाहिनी ओर R<sub>''m''</sub> सिर्फ ज्ञात परिणामों ''u''<sub>0</sub>, ''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>m</sub>'' <sub>− 1</sub> पर निर्भर होता है और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ्टवेयर का उपयोग करके सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, किंतु यह बिना किसी लघु/विशाल भौतिक मापदंडों की धारणा के होती हैं।


चूंकि एचएएम होमोटॉपी पर आधारित है, इसलिए किसी को प्रारंभिक अनुमान यू चुनने की बड़ी स्वतंत्रता है<sub>0</sub>(x), सहायक रैखिक संचालिका <math>\mathcal{L}</math>, और अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर सी<sub>0</sub> शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को चुनने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर का इष्टतम मान c<sub>0</sub> चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक ऑपरेटर के लिए सामान्य रूप को हल करने के बाद शासक समीकरणों और/या सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण पैरामीटर c<sub>0</sub> होमोटॉपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की गारंटी देने का सरल तरीका है और एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से अलग करता है। कुल मिलाकर यह विधि समरूपता की अवधारणा का उपयोगी सामान्यीकरण देती है।
चूँकि एचएएम समरूपता आधारित होता है | किसी को प्रारंभिक अनुमान ''u''<sub>0</sub>(''x''), सहायक रैखिक संचालक <math>\mathcal{L}                                                                                                                                                                                                                   </math> होता हैं | और शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में अभिसरण-नियंत्रण मापदंड  ''c''<sub>0</sub> स्वीकार करने की बड़ी स्वतंत्रता होती है। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को स्वीकार करने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। यह अभिसरण-नियंत्रण मापदंड  ''c''<sub>0</sub> का इष्टतम मान चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक संचालक के लिए सामान्य रूप समाधान होने के पश्चात् नियंत्रित समीकरणों और सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण मापदंड  ''c''<sub>0</sub> होमोटोपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की प्रभाव देने की सरल विधि होती है और यह एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से भिन्न करता है। पूर्ण रूप से यह विधि समरूपता की अवधारणा को उपयोगी सामान्यीकरण देती है।


== HAM और कंप्यूटर बीजगणित ==
== एचएएम और कंप्यूटर बीजगणित ==


HAM विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि है जिसे कंप्यूटर युग के लिए संख्याओं के बजाय फ़ंक्शन के साथ कंप्यूटिंग के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। [[मेथेमेटिका]] या [[मेपल (सॉफ्टवेयर)]] जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति केवल कुछ ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से मनमाने ढंग से उच्च क्रम में अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में HAM के हालिया सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, HAM पर आधारित गणित पैकेज, जिसे BVPh कहा जाता है, को गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm]। बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए सॉल्वर पैकेज है जिसमें एकवचन, एकाधिक समाधान और परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है, और इसमें कुछ प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन शामिल होता है।<ref name="HAM in NDEs"/> अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान को हल करने के लिए और HAM-आधारित गणित कोड, APOh, तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm]।
एचएएम विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि होती है जिसे कंप्यूटर युग के लिए "संख्याओं के अतिरिक्त कार्यों के साथ कंप्यूटिंग" के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। [[मेथेमेटिका]] या [[मेपल (सॉफ्टवेयर)]] जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति सिर्फ अनेक ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से इच्छानुसार उच्च क्रम में अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में एचएएम के वर्तमान सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, एचएएम पर आधारित गणित पैकेज हैं | जिसे बी.वी.पी.एच कहा जाता है | इसको गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को समाधान करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm]। बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए सॉल्वर पैकेज होता है जिसमें विलक्षणता, एकाधिक समाधान और परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है | और इसमें अनेक प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन सम्मिलित होता है। <ref name="HAM in NDEs"/> इसमें अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान का समाधान करने के लिए और एचएएम-आधारित मैथमैटिका कोड, एपीओएच तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध होता है [http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm]।


== नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण ==
== नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण ==
एचएएम को हाल ही में गैर-रेखीय आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोगी बताया गया है। ऐसे समाधान विभिन्न गैर-रेखीय व्यवहारों जैसे सख्त-प्रकार, नरम-प्रकार या ऑसिलेटर के मिश्रित व्यवहार को पकड़ने में सक्षम हैं।<ref>{{cite journal|last1=Tajaddodianfar|first1=Farid|title=Nonlinear dynamics of MEMS/NEMS resonators: analytical solution by the homotopy analysis method|journal=Microsystem Technologies|volume=23|issue=6|pages=1913–1926|doi=10.1007/s00542-016-2947-7|year=2017|s2cid=113216381}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Tajaddodianfar|first1=Farid|title=On the dynamics of bistable micro/nano resonators: Analytical solution and nonlinear behavior|journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|volume=20|issue=3|doi=10.1016/j.cnsns.2014.06.048|pages=1078–1089|bibcode=2015CNSNS..20.1078T|date=March 2015}}</ref> ये विश्लेषणात्मक समीकरण गैर-रेखीय प्रणालियों में अराजकता की भविष्यवाणी में भी उपयोगी हैं।<ref>{{cite journal|last1=Tajaddodianfar|first1=Farid|title=Prediction of chaos in electrostatically actuated arch micro-nano resonators: Analytical approach|journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|volume=30|issue=1–3|doi=10.1016/j.cnsns.2015.06.013|pages=182–195|date=January 2016|doi-access=free}}</ref>
एचएएम को वर्तमान में गैर-रेखीय आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोगी बताया गया है। इस प्रकार के समाधान विभिन्न गैर-रेखीय व्यवहारों जैसे सख्त-प्रकार, नरम-प्रकार या ऑसिलेटर के मिश्रित व्यवहार को आकर्षित करने में सक्षम होते हैं। <ref>{{cite journal|last1=Tajaddodianfar|first1=Farid|title=Nonlinear dynamics of MEMS/NEMS resonators: analytical solution by the homotopy analysis method|journal=Microsystem Technologies|volume=23|issue=6|pages=1913–1926|doi=10.1007/s00542-016-2947-7|year=2017|s2cid=113216381}}</ref> <ref>{{cite journal|last1=Tajaddodianfar|first1=Farid|title=On the dynamics of bistable micro/nano resonators: Analytical solution and nonlinear behavior|journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|volume=20|issue=3|doi=10.1016/j.cnsns.2014.06.048|pages=1078–1089|bibcode=2015CNSNS..20.1078T|date=March 2015}}</ref> यह विश्लेषणात्मक समीकरण गैर-रेखीय प्रणालियों में अव्यवस्था के पूर्वानुमान में भी उपयोगी होता हैं। <ref>{{cite journal|last1=Tajaddodianfar|first1=Farid|title=Prediction of chaos in electrostatically actuated arch micro-nano resonators: Analytical approach|journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|volume=30|issue=1–3|doi=10.1016/j.cnsns.2015.06.013|pages=182–195|date=January 2016|doi-access=free}}</ref>




== संदर्भ ==
== संदर्भ                                                                                                           ==
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Latest revision as of 10:01, 2 August 2023

ऊपर दिखाए गए दो डैसेड पथ उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष समस्थानिक हैं। एनीमेशन संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।

होमोटॉपी विश्लेषण विधि (एचएएम) गैर-रेखीय साधारण/आंशिक अंतर समीकरण को समाधान करने के लिए अर्ध-विश्लेषणात्मक विधि है। होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय प्रणालियों के लिए अभिसरण श्रृंखला समाधान उत्पन्न करने के लिए टोपोलॉजी से टोपोलॉजी की अवधारणा को नियोजित करती है। इसको प्रणाली में गैर-रैखिकताओं से निर्वृत होने के लिए होमोटॉपी-टेलर श्रृंखला का उपयोग करके सक्षम किया गया है।

एचएएम को पहली बार 1992 में शंघाई जियाओतोंग विश्वविद्यालय के लियाओ शिजुन ने अपने पीएचडी शोध प्रबंध में तैयार किया था | [1] और सामान्य रूप में यह विभेदक प्रणाली पर होमोटॉपी का निर्माण करने के लिए गैर-शून्य सहायक मापदंड प्रस्तुत करने के लिए इसे 1997 में संशोधित किया गया था | [2], जिसे अभिसरण-नियंत्रण मापदंड , c0 के रूप में जाना जाता है। [3] अभिसरण-नियंत्रण मापदंड गैर-भौतिक वैरिएबल होता है जो समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सत्यापित और प्रयुक्त करने का सरल विधि प्रदान करता है। श्रृंखला समाधान के अभिसरण को स्वाभाविक रूप से दिखाने के लिए एचएएम की क्षमता गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक और अर्ध-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण में असामान्य होती है।

विशेषताएँ

एचएएम चार महत्वपूर्ण पक्ष में स्वयं को विभिन्न अन्य गणितीय विश्लेषण विधियों से भिन्न करता है। सबसे पूर्व, यह श्रृंखला (गणित) विस्तार विधि होती है जो प्रत्यक्ष रूप से लघु या विशाल भौतिक मापदंडों पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, यह मानक त्रुटिपूर्ण विधियों की अनेक अंतर्निहित सीमाओं से बढ़ कर, न सिर्फ अशक्त किंतु दृढ़ता से गैर-रेखीय समस्याओं के लिए भी प्रयुक्त होता है। इसका दूसरा, एचएएम अलेक्जेंडर ल्यपुनोव कृत्रिम लघु मापदंड विधि, डेल्टा विस्तार विधि, एडोमियन अपघटन विधि के लिए एकीकृत विधि होती है | [4] और यह होमोटॉपी पर्टर्बेशन विधि के लिए एकीकृत विधि होती है। [5] [6] इसमें विधि की व्यापक व्यापकता प्रायः विशाल स्थानिक और मापदंड डोमेन पर समाधान के शक्तिशाली अभिसरण की अनुमति देती है। तीसरा, एचएएम समाधान की अभिव्यक्ति और समाधान को स्पष्ट रूप से कैसे प्राप्त किया जाता है, इसमें उत्कृष्ट स्मूथ होता है। यह वांछित समाधान के आधार कार्यो और होमोटॉपी के संबंधित सहायक रैखिक संचालक को स्वीकार की बड़ी स्वतंत्रता प्रदान करता है। इस प्रकार अंत में, अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों के विपरीत, एचएएम समाधान श्रृंखला के अभिसरण को सुनिश्चित करने का सरल विधि प्रदान करता है।

होमोटॉपी विश्लेषण विधि गैर-रेखीय अंतर समीकरणों जैसे वर्णक्रमीय विधियों और पैडे सन्निकटन में नियोजित अन्य विधियों के साथ संयोजन करने में भी सक्षम है। [7] इसे आगे कम्प्यूटेशनल विधियों के साथ जोड़ा जा सकता है, जैसे कि सीमा तत्व विधि, रैखिक विधि को गैर-रेखीय प्रणालियों का समाधान करने की अनुमति देती है। होमोटॉपी निरंतरता की संख्यात्मक विधि से भिन्न होती हैं | होमोटॉपी विश्लेषण विधि भिन्न कम्प्यूटेशनल विधि के विपरीत विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि होती है। इसके अतिरिक्त, एचएएम सिर्फ सैद्धांतिक स्तर पर होमोटॉपी मापदंड का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि गैर रेखीय प्रणाली को रैखिक प्रणाली के अनंत समुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिससे विश्लेषणात्मक रूप से समाधान किया जाता है | जबकि निरंतरता के विधियों के लिए भिन्न रैखिक प्रणाली को समाधान करने की आवश्यकता होती है क्योंकि गैर रेखीय प्रणाली का समाधान करने के लिए होमोटॉपी मापदंड भिन्न होता है।

अनुप्रयोग

पूर्व बीस वर्षों में, विज्ञान, वित्त और इंजीनियरिंग में गैर-रेखीय साधारण/आंशिक अंतर समीकरणों की बढ़ती संख्या का समाधान करने के लिए एचएएम का उपयोग किया गया है। [8] [9] उदाहरण के लिए, गहरे और सीमित पानी की गहराई में अनेक स्थिर-अवस्था प्रतिध्वनित तरंगें होती हैं | [10] यात्रा करने वाली गुरुत्वाकर्षण तरंगों की अनैतिक संख्या के तरंग प्रतिध्वनि मानदंड के साथ पाई गईं हैं | यह लघु आयाम वाली चार तरंगों के लिए फिलिप्स की मानदंड से सहमत था। इसके अतिरिक्त, एचएएम के साथ प्रयुक्त एकीकृत तरंग मॉडल प्रयुक्त किया गया हैं ,[11] न सिर्फ पारंपरिक स्मूथ प्रगतिशील आवधिक/एकान्त तरंगों को स्वीकार करता है, किंतु सीमित पानी की गहराई में पैक्ड क्रेस्ट के साथ प्रगतिशील एकान्त तरंगों को भी स्वीकार करता है। यह मॉडल दिखाता है कि शिखर वाली एकान्त तरंगें ज्ञात स्मूथ तरंगों के साथ-साथ सुसंगत समाधान हैं। इसके अतिरिक्त, एचएएम को अनेक अन्य गैर-रेखीय समस्याओं पर प्रयुक्त किया गया है | [12] जैसे कि गैर-रेखीय गर्मी हस्तांतरण, गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों का सीमा चक्र, होती हैं [13] और यह अमेरिकी पुट विकल्प होता हैं | [14] यह स्पष्ट नेवियर-स्टोक्स समीकरण होता हैं | [15] स्टोकेस्टिक अस्थिरता के अनुसार इसमें विकल्प मूल्य निर्धारण होते हैं | [16] यह इलेक्ट्रोहाइड्रोडायनामिक प्रवाह होता हैं | [17] जिसमे अर्धचालक उपकरणों के लिए पॉइसन-बोल्ट्ज़मैन समीकरण पाये जाते हैं। [18]

संक्षिप्त गणितीय विवरण

डोनट (टोरस्र्स ) में कॉफी कप की आइसोटोपी।

एक सामान्य अरेखीय अवकल समीकरण पर विचार करें

,

जहां अरेखीय संचालक है। मान लीजिए कि क्रमशः सहायक रैखिक संचालक, u0(x) u(x) का प्रारंभिक अनुमान, और c0 स्थिरांक (जिसे अभिसरण-नियंत्रण मापदंड कहा जाता है) दर्शाता है। होमोटोपी सिद्धांत से एम्बेडिंग मापदंड q ∈ [0,1] का उपयोग करके, अनेक समीकरणों का परिवार बन सकता है,

शून्य-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जिसका समाधान एम्बेडिंग मापदंड q ∈ [0,1] के संबंध में निरंतर परिवर्तन होता रहता है। यह रैखिक समीकरण होता है |

यह ज्ञात है कि प्रारंभिक अनुमान U(x; 0) = u0(x) के साथ जब q = 0 होता हैं | किन्तु मूल अरेखीय समीकरण के सामान्य U(x; 1) = u(x)) है, और जब q = 1 होता हैं। इसलिए, जैसे-जैसे q 0 से 1 तक बढ़ता है | शून्य-क्रम विरूपण समीकरण का समाधान U(x; q) चुने गए प्रारंभिक अनुमान u0(x) से विचारित अरेखीय समीकरण के समाधान u(x) तक परिवर्तित (या विकृत) होता है।

q = 0 के बारे में टेलर श्रृंखला में U(x; q) का विस्तार करने पर, हमें होमोटॉपी-मैकलॉरिन श्रृंखला मिलती है |

यह मानते हुए कि शून्य-क्रम विरूपण समीकरण के तथाकथित अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 को सही प्रकार से चुना गया है कि उपरोक्त श्रृंखला q = 1 पर अभिसरण होती है | और हमारे समीप समरूप-श्रृंखला समाधान होता है |

शून्य-क्रम विरूपण समीकरण से, कोई प्रत्यक्ष रूप से um(x) का गवर्निंग समीकरण प्राप्त कर सकता है |

mवें-क्रम विरूपण समीकरण कहा जाता है, जहां k > 1 के लिए और होता हैं | और दाहिनी ओर Rm सिर्फ ज्ञात परिणामों u0, u1, ..., um − 1 पर निर्भर होता है और कंप्यूटर बीजगणित सॉफ्टवेयर का उपयोग करके सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, मूल अरेखीय समीकरण को अनंत संख्या में रैखिक समीकरणों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, किंतु यह बिना किसी लघु/विशाल भौतिक मापदंडों की धारणा के होती हैं।

चूँकि एचएएम समरूपता आधारित होता है | किसी को प्रारंभिक अनुमान u0(x), सहायक रैखिक संचालक होता हैं | और शून्य-क्रम विरूपण समीकरण में अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 स्वीकार करने की बड़ी स्वतंत्रता होती है। इस प्रकार, एचएएम गणितज्ञ को उच्च-क्रम विरूपण समीकरण के समीकरण-प्रकार और उसके समाधान के आधार कार्यों को स्वीकार करने की स्वतंत्रता प्रदान करता है। यह अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 का इष्टतम मान चुने गए प्रारंभिक अनुमान और रैखिक संचालक के लिए सामान्य रूप समाधान होने के पश्चात् नियंत्रित समीकरणों और सीमा स्थितियों की न्यूनतम वर्ग अवशिष्ट त्रुटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, अभिसरण-नियंत्रण मापदंड c0 होमोटोपी श्रृंखला समाधान के अभिसरण की प्रभाव देने की सरल विधि होती है और यह एचएएम को अन्य विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधियों से भिन्न करता है। पूर्ण रूप से यह विधि समरूपता की अवधारणा को उपयोगी सामान्यीकरण देती है।

एचएएम और कंप्यूटर बीजगणित

एचएएम विश्लेषणात्मक सन्निकटन विधि होती है जिसे कंप्यूटर युग के लिए "संख्याओं के अतिरिक्त कार्यों के साथ कंप्यूटिंग" के लक्ष्य के साथ डिज़ाइन किया गया है। मेथेमेटिका या मेपल (सॉफ्टवेयर) जैसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के संयोजन में, कोई व्यक्ति सिर्फ अनेक ही सेकंड में एचएएम के माध्यम से इच्छानुसार उच्च क्रम में अत्यधिक गैर-रेखीय समस्या का विश्लेषणात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। विभिन्न क्षेत्रों में एचएएम के वर्तमान सफल अनुप्रयोगों से प्रेरित होकर, एचएएम पर आधारित गणित पैकेज हैं | जिसे बी.वी.पी.एच कहा जाता है | इसको गैर-रेखीय सीमा-मूल्य समस्याओं को समाधान करने के लिए ऑनलाइन उपलब्ध कराया गया है [4]। बीवीपीएच अत्यधिक गैर-रेखीय ओडीई के लिए सॉल्वर पैकेज होता है जिसमें विलक्षणता, एकाधिक समाधान और परिमित या अनंत अंतराल में बहु-बिंदु सीमा की स्थिति होती है | और इसमें अनेक प्रकार के गैर-रेखीय पीडीई के लिए समर्थन सम्मिलित होता है। [8] इसमें अमेरिकी पुट विकल्प की इष्टतम व्यायाम सीमा के स्पष्ट विश्लेषणात्मक अनुमान का समाधान करने के लिए और एचएएम-आधारित मैथमैटिका कोड, एपीओएच तैयार किया गया है, जो ऑनलाइन भी उपलब्ध होता है [5]।

नॉनलीनियर ऑसिलेटर्स के लिए आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण

एचएएम को वर्तमान में गैर-रेखीय आवृत्ति प्रतिक्रिया समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोगी बताया गया है। इस प्रकार के समाधान विभिन्न गैर-रेखीय व्यवहारों जैसे सख्त-प्रकार, नरम-प्रकार या ऑसिलेटर के मिश्रित व्यवहार को आकर्षित करने में सक्षम होते हैं। [19] [20] यह विश्लेषणात्मक समीकरण गैर-रेखीय प्रणालियों में अव्यवस्था के पूर्वानुमान में भी उपयोगी होता हैं। [21]


संदर्भ

  1. ↑ Liao, S.J. (1992), The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems, PhD thesis, Shanghai Jiao Tong University
  2. ↑ Liao, S.J. (1999), "An explicit, totally analytic approximation of Blasius' viscous flow problems", International Journal of Non-Linear Mechanics, 34 (4): 759–778, Bibcode:1999IJNLM..34..759L, doi:10.1016/S0020-7462(98)00056-0
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बाहरी संबंध

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