हिग्स बंडल: Difference between revisions

Latest revision as of 10:05, 2 August 2023

गणित में, हिग्स बंडल ऐसी जोड़ी $(E,\varphi )$ है जो पूर्णसममितिक सदिश बंडल E एवं हिग्स क्षेत्र $\varphi$ से मिलकर, पूर्णसममितिक 1-रूप E के एंडोमोर्फिज्म के बंडल में मान लेता है जैसे कि $\varphi \wedge \varphi =0$ है। ऐसे जोड़े निगेल हिचिन (1987) द्वारा प्रस्तुत किए गए थे,^[1] जिसने हिग्स बोसोन के साथ सादृश्य के कारण पीटर हिग्स के पश्चात, क्षेत्र का नाम, $\varphi$ रखा गया था। 'हिग्स बंडल' शब्द एवं स्थिति $\varphi \wedge \varphi =0$ (जो रीमैन सतहों पर हिचिन के मूल समुच्चय में रिक्त है) को पश्चात में चार्ल्स सिम्पसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।^[2]

हिग्स बंडल को पूर्णसममितिक सदिश बंडल पर फ्लैट पूर्णसममितिक एफ़िन संबंध के सरलीकृत संस्करण के रूप में सोचा जा सकता है, जहां व्युत्पन्न को शून्य पर स्केल किया जाता है। नॉनबेलियन हॉज पत्राचार का कहना है कि उपयुक्त स्थिरता स्थितियों के अंतर्गत, चौरस, प्रक्षेप्य समष्टि बीजगणितीय विविधता पर फ्लैट पूर्णसममितिक संबंध की श्रेणी, विविधता के मौलिक समूह के प्रतिनिधित्व की श्रेणी, एवं इस आकृति पर हिग्स बंडलों की श्रेणी वास्तव में समकक्ष हैं। इसलिए, कोई सरल हिग्स बंडलों के साथ कार्य करके फ्लैट संबंध के साथ गेज सिद्धांत के विषय में परिणाम निकाल सकता है।

इतिहास

हिग्स बंडलों को अंतर्गत बार 1987 में हिचिन द्वारा प्रस्तुत किया गया था,^[1] उस विशिष्ट विषय के लिए जहां पूर्णसममितिक सदिश बंडल E सघन (गणित) रीमैन सतह पर है। इसके अतिरिक्त, हिचिन का पेपर अधिकतर उस विषय पर विचार करता है जहां सदिश बंडल रैंक 2 है (अर्थात्, फाइबर 2-आयामी सदिश समष्टि है)। रैंक 2 सदिश बंडल प्रमुख बंडल SU(2) बंडल के लिए हिचिन के समीकरणों के समाधान स्थान के रूप में उत्पन्न होता है।

रीमैन सतहों पर सिद्धांत को कार्लोस सिम्पसन द्वारा उस विषय में सामान्यीकृत किया गया था जहां बेस मैनिफोल्ड सघन एवं काहलर है। आयाम तक सीमित रहने से विषय हिचिन के सिद्धांत को पुनः प्राप्त करता है।

हिग्स बंडल की स्थिरता

हिग्स बंडलों के सिद्धांत में विशेष रुचि स्थिर हिग्स बंडल की धारणा है। ऐसा करने के लिए, $\varphi$ -अपरिवर्तनीय उप-बंडलों को पूर्व परिभाषित किया जाना चाहिए।

हिचिन की मूल विचार में, L लेबल वाला रैंक-1 सबबंडल $\varphi$ -अपरिवर्तनीय है, यदि $\varphi (L)\subset L\otimes K$ साथ $K$ रीमैन सतह M पर विहित बंडल है। तत्पश्चात हिग्स बंडल $(E,\varphi )$ स्थिर है यदि, प्रत्येक $\varphi$ अपरिवर्तनीय उपसमूह के लिए $E$ का सबबंडल $L$ है,

{\text{deg}}L<{\frac {1}{2}}{\text{deg}}(\wedge ^{2}E),

{\text{deg}}

रीमैन सतह पर समष्टि सदिश बंडल के लिए डिग्री की सामान्य धारणा है।

यह भी देखें

हिचिन प्रणाली

संदर्भ

↑ Hitchin, Nigel (1987). "रीमैन सतह पर आत्म-द्वैत समीकरण". London Mathematical Society. 55 (1): 59–126. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. Retrieved 10 November 2022.
↑ Simpson, Carlos (1992). "हिग्स बंडल और स्थानीय सिस्टम" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 75 (1): 5–95. doi:10.1007/BF02699491. S2CID 56417181. Retrieved 10 November 2022.

Corlette, Kevin (1988). "Flat G-bundles with canonical metrics". Journal of Differential Geometry. 28 (3): 361–382. doi:10.4310/jdg/1214442469. MR 0965220.
Gothen, Peter B.; García-Prada, Oscar; Bradlow, Steven B. (2007), "What is... a Higgs bundle?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 54 (8): 980–981, MR 2343296

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[hitchin1-1] Hitchin, Nigel (1987). "रीमैन सतह पर आत्म-द्वैत समीकरण". London Mathematical Society. 55 (1): 59–126. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. Retrieved 10 November 2022.

[simpson-2] Simpson, Carlos (1992). "हिग्स बंडल और स्थानीय सिस्टम" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 75 (1): 5–95. doi:10.1007/BF02699491. S2CID 56417181. Retrieved 10 November 2022.

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 {{Short description|Type of vector bundle}}
-गणित में, '''हिग्स बंडल''' ऐसी जोड़ी <math>(E,\varphi)</math> है [[होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल]] E और [[हिग्स फ़ील्ड|हिग्स क्षेत्र]] से मिलकर <math>\varphi</math>, होलोमोर्फिक 1-रूप E के एंडोमोर्फिज्म के बंडल में मान ले रहा है जैसे कि <math>\varphi \wedge \varphi=0</math> ऐसे जोड़े {{harvs|txt|last=हिचिन|first=निगेल|author-link=Nigel Hitchin|year=1987}} द्वारा प्रस्तुत किए गए थे,,<ref name="hitchin1">{{cite journal |last1=Hitchin |first1=Nigel |title=रीमैन सतह पर आत्म-द्वैत समीकरण|journal=London Mathematical Society |date=1987 |volume=55 |issue=1 |pages=59–126 |doi=10.1112/plms/s3-55.1.59 |url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-55.1.59 |access-date=10 November 2022}}</ref> जिसने क्षेत्र का नाम रखा हिग्स बोसोन के साथ सादृश्य के कारण [[पीटर हिग्स]] के पश्चात <math>\varphi</math> 'हिग्स बंडल' शब्द और स्थिति <math>\varphi \wedge \varphi=0</math> (जो [[रीमैन सतह|रीमैन सतहों]] पर हिचिन के मूल समुच्चय में रिक्त है) को पश्चात में [[ चार्ल्स सिम्पसन |चार्ल्स सिम्पसन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref name="simpson">{{cite journal |last1=Simpson |first1=Carlos |title=हिग्स बंडल और स्थानीय सिस्टम|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS |date=1992 |volume=75 |issue=1 |pages=5–95 |doi=10.1007/BF02699491 |s2cid=56417181 |url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__75__5_0.pdf |access-date=10 November 2022 |ref=simpson}}</ref>
+गणित में, '''हिग्स बंडल''' ऐसी जोड़ी <math>(E,\varphi)</math> है जो [[होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल|पूर्णसममितिक सदिश बंडल]] E एवं [[हिग्स फ़ील्ड|हिग्स क्षेत्र]] <math>\varphi</math> से मिलकर, पूर्णसममितिक 1-रूप E के एंडोमोर्फिज्म के बंडल में मान लेता है जैसे कि <math>\varphi \wedge \varphi=0</math> है। ऐसे जोड़े {{harvs|txt|last=हिचिन|first=निगेल|author-link=Nigel Hitchin|year=1987}} द्वारा प्रस्तुत किए गए थे,<ref name="hitchin1">{{cite journal |last1=Hitchin |first1=Nigel |title=रीमैन सतह पर आत्म-द्वैत समीकरण|journal=London Mathematical Society |date=1987 |volume=55 |issue=1 |pages=59–126 |doi=10.1112/plms/s3-55.1.59 |url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-55.1.59 |access-date=10 November 2022}}</ref> जिसने हिग्स बोसोन के साथ सादृश्य के कारण [[पीटर हिग्स]] के पश्चात, क्षेत्र का नाम, <math>\varphi</math> रखा गया था। 'हिग्स बंडल' शब्द एवं स्थिति <math>\varphi \wedge \varphi=0</math> (जो [[रीमैन सतह|रीमैन सतहों]] पर हिचिन के मूल समुच्चय में रिक्त है) को पश्चात में [[ चार्ल्स सिम्पसन |चार्ल्स सिम्पसन]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref name="simpson">{{cite journal |last1=Simpson |first1=Carlos |title=हिग्स बंडल और स्थानीय सिस्टम|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS |date=1992 |volume=75 |issue=1 |pages=5–95 |doi=10.1007/BF02699491 |s2cid=56417181 |url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__75__5_0.pdf |access-date=10 November 2022 |ref=simpson}}</ref>
-हिग्स बंडल को होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल पर फ्लैट होलोमोर्फिक [[एफ़िन कनेक्शन]] के सरलीकृत संस्करण के रूप में सोचा जा सकता है, जहां व्युत्पन्न को शून्य पर स्केल किया जाता है। [[नॉनबेलियन हॉज पत्राचार]] का कहना है कि, उपयुक्त स्थिरता स्थितियों के तहत, एक चिकनी, [[प्रक्षेप्य किस्म]] पर फ्लैट होलोमोर्फिक कनेक्शन की [[श्रेणी (गणित)]], विविधता के [[मौलिक समूह]] के प्रतिनिधित्व की श्रेणी, और इस किस्म पर हिग्स बंडलों की श्रेणी हैं वास्तव में समकक्ष. इसलिए, कोई सरल हिग्स बंडलों के साथ काम करके फ्लैट कनेक्शन के साथ [[गेज सिद्धांत]] के बारे में परिणाम निकाल सकता है।
+हिग्स बंडल को पूर्णसममितिक सदिश बंडल पर फ्लैट पूर्णसममितिक [[एफ़िन कनेक्शन|एफ़िन संबंध]] के सरलीकृत संस्करण के रूप में सोचा जा सकता है, जहां व्युत्पन्न को शून्य पर स्केल किया जाता है। [[नॉनबेलियन हॉज पत्राचार]] का कहना है कि उपयुक्त स्थिरता स्थितियों के अंतर्गत, चौरस, [[प्रक्षेप्य किस्म|प्रक्षेप्य समष्टि बीजगणितीय विविधता]] पर फ्लैट पूर्णसममितिक संबंध की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]], विविधता के [[मौलिक समूह]] के प्रतिनिधित्व की श्रेणी, एवं इस आकृति पर हिग्स बंडलों की श्रेणी वास्तव में समकक्ष हैं। इसलिए, कोई सरल हिग्स बंडलों के साथ कार्य करके फ्लैट संबंध के साथ [[गेज सिद्धांत]] के विषय में परिणाम निकाल सकता है।
 == इतिहास ==
-हिग्स बंडलों को पहली बार 1987 में हिचिन द्वारा पेश किया गया था,{{ref|hitchin1}} उस विशिष्ट मामले के लिए जहां होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल ई एक कॉम्पैक्ट (गणित) रीमैन सतह पर है। इसके अलावा, हिचिन का पेपर ज्यादातर उस मामले पर चर्चा करता है जहां वेक्टर बंडल रैंक 2 है (यानी, फाइबर 2-आयामी वेक्टर स्पेस है)। रैंक 2 वेक्टर बंडल एक [[प्रमुख बंडल]] [[एसयू(2)]] बंडल के लिए हिचिन के समीकरणों के समाधान स्थान के रूप में उत्पन्न होता है।
+हिग्स बंडलों को अंतर्गत बार 1987 में हिचिन द्वारा प्रस्तुत किया गया था,{{ref|hitchin1}} उस विशिष्ट विषय के लिए जहां पूर्णसममितिक सदिश बंडल ''E'' सघन (गणित) रीमैन सतह पर है। इसके अतिरिक्त, हिचिन का पेपर अधिकतर उस विषय पर विचार करता है जहां सदिश बंडल रैंक 2 है (अर्थात्, फाइबर 2-आयामी सदिश समष्टि है)। रैंक 2 सदिश बंडल [[प्रमुख बंडल]] [[एसयू(2)|SU(2)]] बंडल के लिए हिचिन के समीकरणों के समाधान स्थान के रूप में उत्पन्न होता है।
-रीमैन सतहों पर सिद्धांत को कार्लोस सिम्पसन द्वारा उस मामले में सामान्यीकृत किया गया था जहां बेस मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट है और काहलर मैनिफोल्ड|काहलर। आयाम तक सीमित रहने से एक मामला हिचिन के सिद्धांत को पुनः प्राप्त करता है।
+रीमैन सतहों पर सिद्धांत को कार्लोस सिम्पसन द्वारा उस विषय में सामान्यीकृत किया गया था जहां बेस मैनिफोल्ड सघन एवं काहलर है। आयाम तक सीमित रहने से विषय हिचिन के सिद्धांत को पुनः प्राप्त करता है।
 == हिग्स बंडल की स्थिरता ==
-हिग्स बंडलों के सिद्धांत में विशेष रुचि एक स्थिर हिग्स बंडल की धारणा है। ऐसा करने के लिए, <math>\varphi</math>-अपरिवर्तनीय उप-बंडलों को पहले परिभाषित किया जाना चाहिए।
+हिग्स बंडलों के सिद्धांत में विशेष रुचि स्थिर हिग्स बंडल की धारणा है। ऐसा करने के लिए, <math>\varphi</math>-अपरिवर्तनीय उप-बंडलों को पूर्व परिभाषित किया जाना चाहिए।
-हिचिन की मूल चर्चा में, L लेबल वाला एक रैंक-1 सबबंडल है <math>\varphi</math>-अपरिवर्तनीय अगर <math>\varphi(L) \subset L \otimes K</math> साथ <math>K</math> रीमैन सतह एम पर विहित बंडल। फिर एक हिग्स बंडल <math>(E, \varphi)</math> स्थिर है यदि, प्रत्येक के लिए <math>\varphi</math> अपरिवर्तनीय उपसमूह <math>L</math> का <math>E</math>,
+हिचिन की मूल विचार में, L लेबल वाला रैंक-1 सबबंडल <math>\varphi</math>-अपरिवर्तनीय है, यदि <math>\varphi(L) \subset L \otimes K</math> साथ <math>K</math> रीमैन सतह M पर विहित बंडल है। तत्पश्चात हिग्स बंडल <math>(E, \varphi)</math> स्थिर है यदि, प्रत्येक <math>\varphi</math> अपरिवर्तनीय उपसमूह के लिए <math>E</math> का सबबंडल <math>L</math> है,
 <math display = block>\text{deg} L < \frac{1}{2}\text{deg}(\wedge^2 E),</math>
-साथ <math>\text{deg}</math> रीमैन सतह पर एक जटिल वेक्टर बंडल के लिए डिग्री की सामान्य धारणा है।
+<math>\text{deg}</math> रीमैन सतह पर समष्टि सदिश बंडल के लिए डिग्री की सामान्य धारणा है।
 ==यह भी देखें==
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 *{{cite journal|first=Kevin|last= Corlette|authorlink=Kevin Corlette|title=Flat ''G''-bundles with canonical metrics|journal= [[Journal of Differential Geometry]] |volume=28 |issue= 3|year= 1988|pages= 361–382| doi=10.4310/jdg/1214442469| mr=0965220|doi-access=free}}
 *{{Citation | last1=Gothen | first1=Peter B. | last2=García-Prada | first2=Oscar | last3=Bradlow | first3=Steven B. | title=What is... a Higgs bundle? | url=https://www.ams.org/notices/200708/tx070800980p.pdf |mr=2343296 | year=2007 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=54 | issue=8 | pages=980–981}}
-[[Category: वेक्टर बंडल]] [[Category: जटिल अनेक गुना]]
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