स्लोप फील्ड

का स्लोप क्षेत्र ${\frac {dy}{dx}}=x^{2}-x-2$, नीली, लाल और फ़िरोज़ा रेखाओं के साथ ${\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x+4$, ${\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x$, और ${\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x-4$, क्रमश।

स्लोप क्षेत्र (जिन्हें दिशा क्षेत्र भी कहा जाता है) प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के समाधानों का चित्रमय प्रतिनिधित्व है अदिश फलन का. स्लोप क्षेत्र के समाधान ठोस वक्रों के रूप में खींचे गए कार्य हैं। स्लोप क्षेत्र x-y विमान पर कुछ ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अंतराल पर अंतर समीकरण की स्लोप दिखाता है, और इसका उपयोग वक्र पर बिंदु पर अनुमानित स्पर्शरेखा स्लोप को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जहां वक्र अंतर समीकरण का कुछ समाधान है।

परिभाषा

मानक स्थिति

स्लोप क्षेत्र को निम्नलिखित प्रकार के अंतर समीकरणों के लिए परिभाषित किया जा सकता है

$y'=f(x,y),$

जिसकी व्याख्या ज्यामितीय रूप से बिंदु निर्देशांक के फलन के रूप में प्रत्येक बिंदु (x, y) पर अंतर समीकरण के समाधान (अभिन्न वक्र) के फलन के ग्राफ़ को स्पर्शरेखा का स्लोप देने के रूप में की जा सकती है।

इसे एक समतल चित्र के रूप में दो वास्तविक चर $f(x,y)$ के वास्तविक-मूल्य वाले फलन को प्लॉट करने के रचनात्मक विधि के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, किसी दिए गए जोड़े $x,y$ के लिए, घटकों $[1,f(x,y)]$ के साथ एक सदिश $x,y$-तल पर बिंदु $x,y$ पर खींचा जाता है। कभी-कभी, मानव नेत्र की खोज को उत्तम बनाने के लिए सदिश $[1,f(x,y)]$ को सामान्यीकृत किया जाता है। एक आयताकार ग्रिड बनाने वाले जोड़े $x,y$ का एक समुच्चय सामान्यतः ड्राइंग के लिए उपयोग किया जाता है।

एक आइसोक्लाइन (समान स्लोप वाली रेखाओं की एक श्रृंखला) का उपयोग अधिकांशतः स्लोप क्षेत्र को पूरक करने के लिए किया जाता है। फॉर्म $y'=f(x,y)$ के समीकरण में, समद्विबाहु रेखा $x,y$-तल में एक रेखा है जो $f(x,y)$ को एक स्थिरांक के समान समुच्चय करके प्राप्त की जाती है।

विभेदक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य स्थिति

विभेदक समीकरणों की प्रणाली को देखते हुए,

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\{\frac {dx_{2}}{dt}}&=f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&\;\;\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}$

स्लोप क्षेत्र में स्लोप चिह्नों की सरणी है (प्रासंगिक चर की संख्या के आधार पर किसी भी संख्या में आयामों में; उदाहरण के लिए, प्रथम-क्रम रैखिक साधारण अंतर समीकरण के स्थिति में दो, जैसा कि दाईं ओर देखा गया है)। प्रत्येक स्लोप चिह्न बिंदु $(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ पर केन्द्रित होता है और सदिश के समानांतर है

${\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}.$

स्लोप के निशानों की संख्या, स्थिति और लंबाई अनैतिक हो सकती है। स्थिति सामान्यतः इस तरह चुनी जाती है कि बिंदु $(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ एक समान ग्रिड बनाते हैं। ऊपर वर्णित मानक स्थिति, $n=1$ का प्रतिनिधित्व करता है। विभेदक समीकरणों की प्रणालियों के लिए स्लोप क्षेत्र का सामान्य स्थिति $n>2$ के लिए कल्पना करना सरल नहीं है

सामान्य आवेदन

कंप्यूटर के साथ, जटिल स्लोप क्षेत्रों को बिना किसी परेशानी के जल्दी से बनाया जा सकता है, और इसलिए वर्तमान में व्यावहारिक अनुप्रयोग उनका उपयोग केवल यह अनुभव करने के लिए करना है कि स्पष्ट सामान्य समाधान की मांग करने से पहले समाधान क्या होना चाहिए। निःसंदेह, कंप्यूटर भी केवल समस्या का समाधान कर सकता है, यदि वह अस्तित्व में है।

यदि कोई स्पष्ट सामान्य समाधान नहीं है, तो कंप्यूटर ग्राफिकल समाधानों को संख्यात्मक रूप से खोजने के लिए स्लोप क्षेत्र (तथापि वे दिखाए नहीं गए हों) का उपयोग कर सकते हैं। ऐसी दिनचर्या के उदाहरण यूलर की विधि, या उत्तम, रनगे-कुट्टा विधियां हैं।

स्लोप क्षेत्रों की प्लॉटिंग के लिए सॉफ्टवेयर

विभिन्न सॉफ्टवेयर पैकेज स्लोप क्षेत्रों को प्लॉट कर सकते हैं।

जीएनयू ऑक्टेव/मैटलैब में डायरेक्शन फील्ड कोड

funn = @(x, y)y-x;                             % function f(x, y) = y-x
[x, y] = meshgrid(-5:0.5:5);                   % intervals for x and y
slopes = funn(x, y);                           % matrix of slope values
dy = slopes ./ sqrt(1 + slopes.^2);            % normalize the line element...
dx = ones(length(dy)) ./ sqrt(1 + slopes.^2);  % ...magnitudes for dy and dx
h = quiver(x, y, dx, dy, 0.5);                 % plot the direction field
set(h, "maxheadsize", 0.1);                    % alter head size

मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर) के लिए उदाहरण कोड

/* field for y'=xy (click on a point to get an integral curve). Plotdf requires Xmaxima  */                                                        
plotdf( x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);

गणित के लिए उदाहरण कोड

(* field for y'=xy *)
VectorPlot[{1,x*y-5x},{x,-2,2},{y,-2,2}]

सेजमैथ के लिए उदाहरण कोड

var('x,y')
plot_slope_field(x*y, (x,-2,2), (y,-2,2))

उदाहरण

<गैलरी कैप्शन= y' = x/y > Image:Slope_field_1.svg|स्लोप वाला मैदान Image:Slope_field_with_integral_curves_1.svg|अभिन्न वक्र image:Isocline_3.png|आइसोक्लाइन (नीला), स्लोप क्षेत्र (काला), और कुछ समाधान वक्र (लाल) </गैलरी>

यह भी देखें

• विभेदक समीकरणों के उदाहरण
• सदिश क्षेत्र
• लाप्लास परिवर्तन विभेदक समीकरणों पर प्रयुक्त होता है
• गतिशील प्रणालियों और विभेदक समीकरण विषयों की सूची
• अंतर समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत

संदर्भ

• Blanchard, Paul; Devaney, Robert L.; and Hall, Glen R. (2002). Differential Equations (2nd ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Slope field". MathWorld.
• Slope field plotter (Java)
• Slope field plotter (JavaScript)