सोफी जर्मेन की पहचान: Difference between revisions

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गणित में, [[सोफी जर्मेन]] की पहचान एक बहुपद गुणनखंड है जिसका नाम सोफी जर्मेन के नाम पर रखा गया है, जिसमें कहा गया है
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           &= (x^2 + 2xy + 2y^2)\cdot(x^2 - 2xy + 2y^2).
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प्राथमिक बीजगणित में इसके उपयोग के अलावा, इसका उपयोग [[संख्या सिद्धांत]] से लेकर विशेष रूप के [[पूर्णांक गुणनखंडन]] में भी किया जा सकता है <math>x^4+4y^4</math>, और यह अक्सर [[गणित प्रतियोगिता]]ओं में समस्याओं का आधार बनता है।{{r|mgc|crux|engel}}
 
 
प्रारंभिक बीजगणित में इसके उपयोग के अतिरिक्त , इसका उपयोग विशेष रूप <math>x^4+4y^4</math> के पूर्णांकों को गुणनखंडित करने के लिए संख्या सिद्धांत में भी किया जा सकता है, और यह अधिकांशतः गणित प्रतियोगिताओं में समस्याओं का आधार बनता है।{{r|mgc|crux|engel}}


==इतिहास==
==इतिहास==
हालाँकि इस पहचान का श्रेय सोफी जर्मेन को दिया गया है, लेकिन यह उनके कार्यों में दिखाई नहीं देता है। इसके बजाय, उनके कार्यों में संबंधित पहचान पाई जा सकती है{{r|lss|totd}}
चूँकि इस पहचान का श्रेय सोफी जर्मेन को दिया गया है, किंतु यह उनके कार्यों में दिखाई नहीं देता है। इसके अतिरिक्त , उनके कार्यों में संबंधित पहचान पाई जा सकती है{{r|lss|totd}}
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         &= (x^2+y^2)^2-2(xy)^2.\\
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इस समीकरण को गुणा करके संशोधित करें <math>y</math> द्वारा <math>\sqrt2</math> देता है
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x^4+4y^4 = (x^2+2y^2)^2-4(xy)^2,
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[[दो वर्गों का अंतर]], जिससे जर्मेन की पहचान होती है।{{r|totd}} जर्मेन को इस पहचान का गलत श्रेय [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] ने अपने [[संख्याओं के सिद्धांत का इतिहास]] में दिया था, जिसमें यह भी कहा गया था (समान रूप से गलत) कि यह [[लियोनहार्ड यूलर]] के [[क्रिश्चियन गोल्डबैक]] को लिखे एक पत्र में पाया जा सकता है।{{r|totd|dickson}}
[[दो वर्गों का अंतर]], जिससे जर्मेन की पहचान होती है।{{r|totd}} जर्मेन को इस पहचान का गलत श्रेय [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] ने अपने [[संख्याओं के सिद्धांत का इतिहास]] में दिया था, जिसमें यह भी कहा गया था (समान रूप से गलत) कि यह [[लियोनहार्ड यूलर]] के [[क्रिश्चियन गोल्डबैक]] को लिखे एक पत्र में पाया जा सकता है।{{r|totd|dickson}}


पहचान को केवल गुणनखंडन के दो शब्दों को एक साथ गुणा करके और यह सत्यापित करके सिद्ध किया जा सकता है कि उनका उत्पाद समानता के दाहिने हाथ के बराबर है।{{r|cut}} [[पाइथागोरस प्रमेय]] के अनेक अनुप्रयोगों के आधार पर शब्दों के बिना भी प्रमाण संभव है।{{r|mgc}}
पहचान को केवल गुणनखंडन के दो शब्दों को एक साथ गुणा करके और यह सत्यापित करके सिद्ध किया जा सकता है कि उनका उत्पाद समानता के दाहिने हाथ के समान है।{{r|cut}} [[पाइथागोरस प्रमेय]] के अनेक अनुप्रयोगों के आधार पर शब्दों के बिना भी प्रमाण संभव है।{{r|mgc}}


==पूर्णांक गुणनखंडन के लिए अनुप्रयोग==
==पूर्णांक गुणनखंडन के लिए अनुप्रयोग==
जर्मेन की पहचान का एक परिणाम यह है कि प्रपत्र की संख्याएँ
जर्मेन की पहचान का एक परिणाम यह है कि प्रपत्र की संख्याएँ
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<math>n>1</math> के लिए अभाज्य नहीं हो सकता। (<math>n=1</math> के लिए, परिणाम अभाज्य संख्या 5 है।) यदि <math>n</math> सम है तो वे स्पष्ट रूप से अभाज्य नहीं हैं, और यदि <math>n</math> विषम है तो उनके पास <math>x=n</math> और <math>y=2^{(n-1)/2}</math> के साथ पहचान द्वारा दिया गया एक गुणनखंड है।.{{r|engel|cut}} ये संख्याएँ (<math>n=0</math> से प्रारंभ होकर) पूर्णांक अनुक्रम बनाती हैं
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गणित प्रतियोगिताओं में सोफी जर्मेन की पहचान की कई झलकें इसी के परिणाम स्वरूप सामने आती हैं।{{r|crux|engel}}
गणित प्रतियोगिताओं में सोफी जर्मेन की कई पहचान इसी के परिणाम से सामने आती हैं।{{r|crux|engel}}


के साथ पहचान का एक और विशेष मामला <math>x=1</math> और <math>y=2^k</math>
<math>x=1</math> और <math>y=2^k</math> के साथ पहचान का एक और विशेष स्थिति गुणनखंड उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जा सकता है
गुणनखंडन उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जा सकता है
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\begin{align}
\begin{align}
\Phi_4(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\
\Phi_4(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\
&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\
&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\
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कहाँ <math>\Phi_4(x)=x^2+1</math> चौथा [[साइक्लोटोमिक बहुपद]] है। जैसा कि आमतौर पर साइक्लोटोमिक बहुपदों के साथ होता है, <math>\Phi_4</math> एक [[अघुलनशील बहुपद]] है, इसलिए इसके अनंत मानों के इस गुणनखंड को इसके गुणनखंड तक नहीं बढ़ाया जा सकता है <math>\Phi_4</math> एक बहुपद के रूप में, यह ऑरिफ्यूइलियन गुणनखंडन का एक उदाहरण है।{{r|gp}}
 
 
जहाँ <math>\Phi_4(x)=x^2+1</math> चौथा साइक्लोटोमिक बहुपद है। सामान्यतः साइक्लोटोमिक बहुपदों की तरह,<math>\Phi_4</math>एक अघुलनशील बहुपद है, इसलिए इसके अनंत मानों के इस गुणनखंड को एक बहुपद के रूप में <math>\Phi_4</math> के गुणनखंडन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, जिससे यह ऑरिफ्यूइलियन गुणनखंडन का एक उदाहरण बन जाता है।{{r|gp}}


==सामान्यीकरण==
==सामान्यीकरण==
जर्मेन की पहचान को [[कार्यात्मक समीकरण]] में सामान्यीकृत किया गया है
जर्मेन की पहचान को [[कार्यात्मक समीकरण]] में सामान्यीकृत किया गया है
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f(x)^2+4f(y)^2 = \bigl( f(x+y)+f(y) \bigr)\bigl(f(x-y)+f(y)\bigr),
f(x)^2+4f(y)^2 = \bigl( f(x+y)+f(y) \bigr)\bigl(f(x-y)+f(y)\bigr),                                                                                                                        
                                                                                                                                                                             
</math>
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जो सोफी जर्मेन की पहचान वर्ग फलन से संतुष्ट होती है।{{r|lss}}
जो सोफी जर्मेन की पहचान वर्ग फलन से संतुष्ट होती है।{{r|lss}}


==संदर्भ==
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Latest revision as of 10:22, 2 August 2023

This article is about एक बहुपद पहचान जिसका श्रेय सोफी जर्मेन को दिया जाता है. For जर्मेन द्वारा प्रयुक्त छद्म नाम की पहचान, see एंटोनी-अगस्टे ले ब्लैंक.

गणित में, सोफी जर्मेन की पहचान एक बहुपद गुणनखंड है जिसका नाम सोफी जर्मेन के नाम पर रखा गया है, जिसमें कहा गया है


प्रारंभिक बीजगणित में इसके उपयोग के अतिरिक्त , इसका उपयोग विशेष रूप के पूर्णांकों को गुणनखंडित करने के लिए संख्या सिद्धांत में भी किया जा सकता है, और यह अधिकांशतः गणित प्रतियोगिताओं में समस्याओं का आधार बनता है।[1][2][3]

इतिहास

चूँकि इस पहचान का श्रेय सोफी जर्मेन को दिया गया है, किंतु यह उनके कार्यों में दिखाई नहीं देता है। इसके अतिरिक्त , उनके कार्यों में संबंधित पहचान पाई जा सकती है[4][5]

को से गुणा करके इस समीकरण को संशोधित करने से प्राप्त होता है
दो वर्गों का अंतर, जिससे जर्मेन की पहचान होती है।[5] जर्मेन को इस पहचान का गलत श्रेय लियोनार्ड यूजीन डिक्सन ने अपने संख्याओं के सिद्धांत का इतिहास में दिया था, जिसमें यह भी कहा गया था (समान रूप से गलत) कि यह लियोनहार्ड यूलर के क्रिश्चियन गोल्डबैक को लिखे एक पत्र में पाया जा सकता है।[5][6]

पहचान को केवल गुणनखंडन के दो शब्दों को एक साथ गुणा करके और यह सत्यापित करके सिद्ध किया जा सकता है कि उनका उत्पाद समानता के दाहिने हाथ के समान है।[7] पाइथागोरस प्रमेय के अनेक अनुप्रयोगों के आधार पर शब्दों के बिना भी प्रमाण संभव है।[1]

पूर्णांक गुणनखंडन के लिए अनुप्रयोग

जर्मेन की पहचान का एक परिणाम यह है कि प्रपत्र की संख्याएँ

के लिए अभाज्य नहीं हो सकता। ( के लिए, परिणाम अभाज्य संख्या 5 है।) यदि सम है तो वे स्पष्ट रूप से अभाज्य नहीं हैं, और यदि विषम है तो उनके पास और के साथ पहचान द्वारा दिया गया एक गुणनखंड है।.[3][7] ये संख्याएँ ( से प्रारंभ होकर) पूर्णांक अनुक्रम बनाती हैं

1, 5, 32, 145, 512, 1649, 5392, 18785, 69632, ... (sequence A001589 in the OEIS).

गणित प्रतियोगिताओं में सोफी जर्मेन की कई पहचान इसी के परिणाम से सामने आती हैं।[2][3]

और के साथ पहचान का एक और विशेष स्थिति गुणनखंड उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जा सकता है


जहाँ चौथा साइक्लोटोमिक बहुपद है। सामान्यतः साइक्लोटोमिक बहुपदों की तरह,एक अघुलनशील बहुपद है, इसलिए इसके अनंत मानों के इस गुणनखंड को एक बहुपद के रूप में के गुणनखंडन तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, जिससे यह ऑरिफ्यूइलियन गुणनखंडन का एक उदाहरण बन जाता है।[8]

सामान्यीकरण

जर्मेन की पहचान को कार्यात्मक समीकरण में सामान्यीकृत किया गया है

जो सोफी जर्मेन की पहचान वर्ग फलन से संतुष्ट होती है।[4]

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2019), "Proof without words: Sophie Germain's identity", The College Mathematics Journal, 50 (3): 197, doi:10.1080/07468342.2019.1603533, MR 3955328
  2. ↑ 2.0 2.1 "CC79: Show that if is an integer greater than 1, then is not prime" (PDF), The contest corner, Crux Mathematicorum, 40 (6): 239, June 2014; originally from 1979 APICS Math Competition
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 Engel, Arthur (1998), Problem-Solving Strategies, Problem Books in Mathematics, New York: Springer-Verlag, p. 121, doi:10.1007/b97682, ISBN 0-387-98219-1, MR 1485512
  4. ↑ 4.0 4.1 Łukasik, Radosław; Sikorska, Justyna; Szostok, Tomasz (2018), "On an equation of Sophie Germain", Results in Mathematics, 73 (2), Paper No. 60, doi:10.1007/s00025-018-0820-y, MR 3783549
  5. ↑ 5.0 5.1 5.2 Whitty, Robin, "Sophie Germain's identity" (PDF), Theorem of the day
  6. ↑ Dickson, Leonard Eugene (1919), History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality, Carnegie Institute of Washington, p. 382
  7. ↑ 7.0 7.1 Bogomolny, Alexander, "Sophie Germain's identity", Cut-the-Knot, retrieved 2023-06-19
  8. ↑ Granville, Andrew; Pleasants, Peter (2006), "Aurifeuillian factorization", Mathematics of Computation, 75 (253): 497–508, doi:10.1090/S0025-5718-05-01766-7, MR 2176412
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