सैडलपॉइंट सन्निकटन विधि

सैडलबिन्दु सन्निकटन विधि, जिसे पहले डेनियल्स द्वारा 1954 में प्रस्तावित किया गया था, सांख्यिकीशास्त्र में गणितीय सैडलबिन्दु तकनीक का एक विशेष उदाहरण है। यह किसी भी वितरण की पीडीएफ या प्रायिकता सामूहिक फलन के लिए उच्च गणनीय अनुमान सूत्र प्रदान करता है, जो कि संभावना उत्पन्न करने वाला कार्य पर आधारित होता है। वितरण की सीडीएफ के लिए भी एक सूत्र है, जिसे लुगानानी और राइस द्वारा 1980 मे प्रस्तावित किया गया है।

परिभाषा

यदि किसी वितरण की संभावना उत्पन्न करने वाले कार्य को $M(t)$ के रूप में लिखा जाए जहां $K(t)=\log(M(t))$ होता है, तो वितरण की पीडीएफ के साथ सैडलबिन्दु सन्निकटन निर्धारित होता है:

${\hat {f}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi K''({\hat {s}})}}}\exp(K({\hat {s}})-{\hat {s}}x)$

और सीडीएफ के लिए सैडल बिन्दु सन्निकटन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

${\hat {F}}(x)={\begin{cases}\Phi ({\hat {w}})+\phi ({\hat {w}})({\frac {1}{\hat {w}}}-{\frac {1}{\hat {u}}})&{\text{for }}x\neq \mu \\{\frac {1}{2}}+{\frac {K'''(0)}{6{\sqrt {2\pi }}K''(0)^{3/2}}}&{\text{for }}x=\mu \end{cases}}$

जहाँ ${\hat {s}}$ का समाधान है $K'({\hat {s}})=x$, ${\hat {w}}=\operatorname {sgn} {\hat {s}}{\sqrt {2({\hat {s}}x-K({\hat {s}}))}}$ और ${\hat {u}}={\hat {s}}{\sqrt {K''({\hat {s}})}}$.

जब वितरण एक औसत का प्रतिरूप होता है, तब सीडीएफ के लिए लुगानानी और राइस के सैडलबिन्दु विस्तार $F(x)$ को विभेदित किया जा सकता है जिससे डेनियल्स के सैडलबिन्दु विस्तार को प्राप्त किया जा सके जो प्रायिकता घनत्व फलन $f(x)$ के लिए होता है (राउटलेज और त्साओ, 1997)। यह परिणाम परिवर्तित लुगानानी और राइस श्रृंखला के ट्रंकेटेड अवतरण की प्रतिस्थापन द्वारा विकर्ण फलन $f(x)$. के लिए एक वैकल्पिक अवकलनीय अनुमान स्थापित करता है। मूल सैडल बिन्दु अनुमानन $f(x)$, के विपरीत, इस वैकल्पिक अवकलननीय प्रतिस्थापन को सामान्यतः पुनर्स्थापित करने की आवश्यकता नहीं होती है।

संदर्भ

• Butler, Ronald W. (2007), Saddlepoint approximations with applications, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 9780521872508
• Daniels, H. E. (1954), "Saddlepoint Approximations in Statistics", The Annals of Mathematical Statistics, 25 (4): 631–650, doi:10.1214/aoms/1177728652
• Daniels, H. E. (1980), "Exact Saddlepoint Approximations", Biometrika, 67 (1): 59–63, doi:10.1093/biomet/67.1.59, JSTOR 2335316
• Lugannani, R.; Rice, S. (1980), "Saddle Point Approximation for the Distribution of the Sum of Independent Random Variables", Advances in Applied Probability, 12 (2): 475–490, doi:10.2307/1426607, JSTOR 1426607, S2CID 124484743
• Reid, N. (1988), "Saddlepoint Methods and Statistical Inference", Statistical Science, 3 (2): 213–227, doi:10.1214/ss/1177012906
• Routledge, R. D.; Tsao, M. (1997), "On the relationship between two asymptotic expansions for the distribution of sample mean and its applications", Annals of Statistics, 25 (5): 2200–2209, doi:10.1214/aos/1069362394