सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म

गणित में, सामान्यीकृत सह-समरूपता सिद्धांत जो बहुखण्डों के सह-बॉर्डिज्म से संबंधित होता हैसम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म । इसकी श्रृंखला को MU द्वारा दर्शाया जाता है। यह एक असामान्य रूप से प्रभावशाली सह-समरूपता सिद्धांत है, लेकिन इसकी गणना करना काफी कठिन हो सकता है, इसलिए अक्सर इसे सीधे उपयोग करने के बजाय इससे प्राप्त कुछ कमजोर सिद्धांतों जैसे कि ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता या मोरवा के-सिद्धांत का उपयोग किया जाता है, जिनकी गणना करना आसान होता है।

थॉम श्रृंखला का उपयोग करके माइकल अतियाह (1961) ने सामान्यीकृत समरूपता और सह-समरूपता सम्मिश्र कोबॉर्डिज्म सिद्धांत प्रस्तुत किए थे।

सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म की श्रृंखला

सम्मिश्र बोर्डिज्म $MU^{*}(X)$ एक स्थान का $X$ मोटे तौर पर बहुखण्ड अधिक बोर्डिज्म वर्गों का समूह है $X$ स्थिर सामान्य बंडल पर एक सम्मिश्र रैखिक संरचना के साथ। कॉम्प्लेक्स बोर्डिज़्म एक सामान्यीकृत होमोलॉजी सिद्धांत है, जो एक श्रृंखला एमयू के अनुरूप है जिसे थॉम रिक्त स्थान के संदर्भ में स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।

अंतरिक्ष $MU(n)$ सार्वभौमिक का थॉम स्थान है $n$वर्गीकृत स्थान पर -प्लेन बंडल $BU(n)$ एकात्मक समूह का $U(n)$. से प्राकृतिक समावेशन $U(n)$ में $U(n+1)$ डबल निलंबन (टोपोलॉजी) से एक मानचित्र तैयार करता है $\Sigma ^{2}MU(n)$ को $MU(n+1)$. ये मानचित्र मिलकर श्रृंखला देते हैं $MU$; अर्थात्, यह का समरूप कोलिमिट है $MU(n)$.

उदाहरण: $MU(0)$ गोलाकार श्रृंखला है. $MU(1)$ निलंबन है $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$ का $\mathbb {CP} ^{\infty }$.

निलपोटेंस प्रमेय बताता है कि, किसी भी वलय श्रृंखला के लिए $R$, का कर्नेल $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ शून्यशक्तिशाली तत्वों से युक्त है। प्रमेय का तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि, यदि $\mathbb {S}$ गोला श्रृंखला है, फिर किसी के लिए $n>0$, का प्रत्येक तत्व $\pi _{n}\mathbb {S}$ निलपोटेंट (ग्राउंडर निशिदा का एक प्रमेय) है। (प्रमाण: यदि $x$ में है $\pi _{n}S$, तब $x$ एक मरोड़ है लेकिन इसकी छवि में है $\operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L$, लैजार्ड वलय, तब से मरोड़ नहीं सकता $L$ एक बहुपद वलय है. इस प्रकार, $x$ कर्नेल में होना चाहिए.)

औपचारिक समूह कानून

John Milnor (1960) और Sergei Novikov (1960, 1962)दिखाया कि गुणांक वलय $\pi _{*}(\operatorname {MU} )$ (एक बिंदु के सम्मिश्र कोबॉर्डिज़्म के बराबर, या समकक्ष रूप से सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स के कोबॉर्डिज़्म वर्गों की वलय) एक बहुपद वलय है $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ अनंत रूप से अनेक उत्पादकों पर $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ सकारात्मक सम डिग्री का.

लिखना $\mathbb {CP} ^{\infty }$ अनंत आकारीय सम्मिश्र प्रक्षेप्य स्थान के लिए, जो सम्मिश्र रेखा बंडलों के लिए वर्गीकृत स्थान है, ताकि रेखा बंडलों का टेंसर उत्पाद एक मानचित्र को प्रेरित कर सके $\mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.$ सहयोगी क्रमविनिमेय वलय श्रृंखला E पर एक सम्मिश्र अभिविन्यास एक तत्व x है $E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ किसका प्रतिबंध $E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})$ 1 है, यदि बाद वाली वलय की पहचान E के गुणांक वलय से की जाती है। ऐसे तत्व x वाले श्रृंखला E को 'कॉम्प्लेक्स ओरिएंटेड वलय श्रृंखला' कहा जाता है।

यदि E एक सम्मिश्र उन्मुख वलय श्रृंखला है, तो

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]$

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$

और $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ वलय पर एक औपचारिक समूह कानून है $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$.

सम्मिश्र सह-बॉर्डिज़्म में एक प्राकृतिक सम्मिश्र अभिविन्यास होता है। Daniel Quillen (1969)दिखाया गया कि इसके गुणांक वलय से लेज़ार्ड के सार्वभौमिक वलय तक एक प्राकृतिक समरूपता है, जो सम्मिश्र कोबर्डिज्म के औपचारिक समूह कानून को सार्वभौमिक औपचारिक समूह कानून में बदल देती है। दूसरे शब्दों में, किसी भी क्रमविनिमेय वलय R पर किसी औपचारिक समूह नियम F के लिए, MU से एक अद्वितीय वलय समरूपता है^*(बिंदु) R की ओर इस प्रकार कि F सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के औपचारिक समूह कानून का प्रतिरूप है।

See also: complex-orientable cohomology theory

ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता

तर्कसंगतों पर सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म को तर्कसंगतों पर सामान्य सह-समरूपता में कम किया जा सकता है, इसलिए मुख्य रुचि सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के मरोड़ में है। प्राइम पी पर एमयू को स्थानीयकृत करके एक समय में एक प्राइम में मरोड़ का अध्ययन करना अक्सर आसान होता है; मोटे तौर पर इसका मतलब यह है कि कोई व्यक्ति मरोड़ प्राइम को पी तक खत्म कर देता है। स्थानीयकरण एमयू_p प्राइम पी पर एमयू का विभाजन ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता नामक एक सरल सह-समरूपता सिद्धांत के निलंबन के योग के रूप में होता है, जिसे पहले वर्णित किया गया था Brown & Peterson (1966). व्यवहार में व्यक्ति अक्सर सम्मिश्र कोबॉर्डिज्म के बजाय ब्राउन-पीटरसन कोहोलॉजी के साथ गणना करता है। सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए किसी स्थान के ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता का ज्ञान मोटे तौर पर इसके सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के ज्ञान के बराबर है।

कोनर-फ्लोयड कक्षाएं

वलय $\operatorname {MU} ^{*}(BU)$ औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय के समरूपी है $\operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]$ जहां तत्व cf कोनर-फ्लोयड वर्ग कहा जाता है। वे सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के लिए चेर्न कक्षाओं के अनुरूप हैं। द्वारा उनका परिचय कराया गया Conner & Floyd (1966).

उसी प्रकार $\operatorname {MU} _{*}(BU)$ बहुपद वलय का समरूपी है $\operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]$

सहसंगति संचालन

हॉपफ बीजगणित एमयू_*(MU) बहुपद बीजगणित R[b का समरूपी है₁, बी₂, ...], जहां आर 0-गोले की कम हुई बोर्डिज्म वलय है।

सह-गणना द्वारा दिया जाता है

$\psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}$

जहां अंकन ()_2i मतलब डिग्री 2i का टुकड़ा ले लो. इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है। वो नक्शा

$x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots$

एक्स में औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय और एमयू के सह-उत्पाद का एक निरंतर ऑटोमोर्फिज्म है_*(एमयू) ऐसे दो ऑटोमोर्फिज्म की संरचना देता है।

यह भी देखें

• एडम्स-नोविकोव वर्णक्रमीय अनुक्रम
• सह-समरूपता सिद्धांतों की सूची
• बीजगणितीय सहबॉर्डिज्म

संदर्भ

• Adams, J. Frank (1974), Stable homotopy and generalised homology, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00524-9
• Atiyah, Michael Francis (1961), "Bordism and cobordism", Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (2): 200–208, Bibcode:1961PCPS...57..200A, doi:10.1017/S0305004100035064, MR 0126856, S2CID 122937421
• Brown, Edgar H., Jr.; Peterson, Franklin P. (1966), "A spectrum whose $\mathbb {Z} _{p}$ cohomology is the algebra of reduced p^th powers", Topology, 5 (2): 149–154, doi:10.1016/0040-9383(66)90015-2, MR 0192494{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
• Conner, Pierre E.; Floyd, Edwin E. (1966), The relation of cobordism to K-theories, Lecture Notes in Mathematics, vol. 28, Berlin-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0071091, ISBN 978-3-540-03610-4, MR 0216511
• Milnor, John (1960), "On the cobordism ring $\Omega _{*}$ and a complex analogue, Part I", American Journal of Mathematics, 82 (3): 505–521, doi:10.2307/2372970, JSTOR 2372970
• Morava, Jack (2007). "Complex cobordism and algebraic topology". arXiv:0707.3216 [math.HO].
• Novikov, Sergei P. (1960), "Some problems in the topology of manifolds connected with the theory of Thom spaces", Soviet Math. Dokl., 1: 717–720. Translation of "О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома", Doklady Akademii Nauk SSSR, 132 (5): 1031–1034, MR 0121815, Zbl 0094.35902.
• Novikov, Sergei P. (1962), "Homotopy properties of Thom complexes. (Russian)", Mat. Sb., New Series, 57: 407–442, MR 0157381
• Quillen, Daniel (1969), "On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory", Bulletin of the American Mathematical Society, 75 (6): 1293–1298, doi:10.1090/S0002-9904-1969-12401-8, MR 0253350.
• Ravenel, Douglas C. (1980), "Complex cobordism and its applications to homotopy theory", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), vol. 1, Helsinki: Acad. Sci. Fennica, pp. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0, MR 0562646
• Ravenel, Douglas C. (1988), "Complex cobordism theory for number theorists", Elliptic Curves and Modular Forms in Algebraic Topology, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlin / Heidelberg: Springer, pp. 123–133, doi:10.1007/BFb0078042, ISBN 978-3-540-19490-3, ISSN 1617-9692
• Ravenel, Douglas C. (2003), Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres (2nd ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, MR 0860042
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Cobordism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Stong, Robert E. (1968), Notes on cobordism theory, Princeton University Press
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007/BF02566923, MR 0061823, S2CID 120243638

बाहरी संबंध

• Complex bordism at the manifold atlas
• cobordism cohomology theory at the nLab