सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म

गणित में, सामान्यीकृत सह-समरूपता सिद्धांत जो बहुखण्डों के सह-बॉर्डिज्म से संबंधित होता है उसे सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म कहा जाता है। इसकी श्रेणी को MU द्वारा दर्शाया जाता है। यह एक असामान्य रूप से प्रभावशाली सह-समरूपता सिद्धांत है, लेकिन इसकी गणना करना काफी कठिन होता है, इसलिए अक्सर इसे सीधे उपयोग करने के अपेक्षा इससे प्राप्त कुछ कमजोर सिद्धांतों जैसे कि ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता या मोरवा के-सिद्धांत का उपयोग किया जाता है, जिनकी गणना करना आसान होता है।

थॉम श्रेणी का उपयोग करके माइकल अतियाह (1961) ने सामान्यीकृत समरूपता और सह-समरूपता सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म सिद्धांत प्रस्तुत किए थे।

सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म की श्रेणी

समष्टि $X$ का सम्मिश्र बोर्डिज्म $MU^{*}(X)$ सामान्य तौर पर स्थिर सामान्य बंडल पर एक सम्मिश्र रैखिक संरचना के साथ बहुखण्ड बोर्डिज्म वर्गों का समूह $X$ है। सम्मिश्र बोर्डिज़्म एक सामान्यीकृत समतुल्य सिद्धांत है, जो एक श्रेणी MU के अनुरूप है जिसे थॉम समष्टि के संदर्भ में स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है।

समष्टि $MU(n)$ थॉम समष्टि का सर्वसामान्‍य $n$- सतह समूह पर एकात्मक समूह $U(n)$ का वर्गीकृत समष्टि $BU(n)$ है। प्राकृतिक समावेशन $U(n)$ में $U(n+1)$ दोहरा स्थगन $\Sigma ^{2}MU(n)$ से $MU(n+1)$ से एक आलेखन तैयार करता है। ये आलेखन मिलकर श्रेणी $MU$ देते हैं; अर्थात्, यह $MU(n)$ का होमोटॉपी कोलिमिट है।

उदाहरण: $MU(0)$ वृत्ताकार श्रेणी है और $MU(1)$ $\mathbb {CP} ^{\infty }$ का स्थगन $\Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }$है।

शून्य प्रमेय बताता है कि, किसी भी वलय श्रेणी $R$ के लिए $\pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)$ का अभाज्य तत्व शून्य तत्वों से युक्त है। प्रमेय का तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि, यदि $\mathbb {S}$ वृत्ताकार श्रेणी है, तो किसी $n>0$ के लिए $\pi _{n}\mathbb {S}$ का प्रत्येक तत्व शून्य(ग्राउंडर निशिदा का एक प्रमेय) है। उदाहरण के लिए, यदि $x$, $\pi _{n}S$ में है तब $x$ घुमावदार है लेकिन इसकी छवि $\operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L$ में है, लैजार्ड वलय, घुमावदार नहीं हो सकती क्योंकि $L$ एक बहुपद वलय है इसलिए $x$ अभाज्य तत्व में होना चाहिए।

निरंतर समूह नियम

जॉन मिल्नोर (1960) और सर्गेई नोविकोव( 1960,1962 ) ने दर्शाया कि गुणांक वलय $\pi _{*}(\operatorname {MU} )$ अनंत रूप से अनेक उत्पादकों $x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )$ पर धनात्मक सम डिग्री का एक बहुपद वलय $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ है। इसका अर्थ है की एक बिंदु के सम्मिश्र सह बॉर्डिज़्म के समतुल्य या समकक्ष रूप से सम्मिश्र बहुखण्डो के सह बॉर्डिज़्म वर्गों का वलय होना चाहिए।

अनंत आकारीय सम्मिश्र प्रक्षेप्य समष्टि को $\mathbb {CP} ^{\infty }$द्वारा दर्शाया जाता है, जो सम्मिश्र रैखिक समूहों के लिए वर्गीकृत समष्टि है, ताकि रैखिक समूहों का क्षेत्र गुणनफल एक आलेखन $\mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }$ को उत्पन्न कर सके। यदि बाद वाली वलय की पहचान E के गुणांक वलय से की जाती है तो सहयोगी क्रमविनिमेय वलय श्रेणी E एक सम्मिश्र अभिविन्यास $E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ पर एक तत्व x है जिसका प्रतिबंध $E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})$पर 1 है। ऐसे x तत्व वाले श्रेणी E को 'सम्मिश्र उन्मुख वलय श्रेणी' कहा जाता है।

यदि E एक सम्मिश्र उन्मुख वलय श्रेणी है, तो

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]$

$E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$

और $\mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]$ वलय $E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)$ पर एक निरंतर समूह नियम है।

सम्मिश्र सह-बॉर्डिज़्म में एक प्राकृतिक सम्मिश्र अभिविन्यास होता है। डेनियल क्विलेन (1969) ने दर्शाया कि इसके गुणांक वलय से लेज़ार्ड के सार्वभौमिक वलय तक एक प्राकृतिक समरूपता है, जो सम्मिश्र कोबर्डिज्म के निरंतर समूह नियम को सार्वभौमिक निरंतर समूह नियम में बदल देती है। दूसरे शब्दों में, किसी भी क्रमविनिमेय वलय R पर किसी निरंतर समूह नियम F के लिए MU से R तक एक अद्वितीय वलय समरूपता है जो इस प्रकार कि F सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के निरंतर समूह नियम का प्रतिरूप है।

ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता

तर्कसंगतों पर सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म को सामान्य सह-समरूपता में कम किया जा सकता है, इसलिए मुख्य रुचि सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के घुमाव में है। अभाज्य p पर MU को स्थानीयकृत करके एक समय में एक अभाज्य घुमाव का अध्ययन करना अक्सर आसान होता है; सामान्य तौर पर इसका मतलब यह है कि कोई अभाज्य घुमाव को p तक नष्ट कर देता है। ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता नामक एक सरल सह-समरूपता सिद्धांत के निलंबन के योग के रूप में स्थानीयकरण MU_p पर MU का अभाज्य p विभाजन होता है, जिसे ब्राउन & पीटरसन (1966) द्वारा पहले वर्णित किया गया था। सामान्यतया अक्सर सम्मिश्र सह बॉर्डिज्म के अपेक्षा ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता के साथ गणना किया जाता है। सामान्य तौर पर सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए किसी समष्टि के ब्राउन-पीटरसन सह-समरूपता का ज्ञान इसके सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के ज्ञान के समतुल्य होता है।

कोनर-फ्लोयड श्रेणियाँ

वलय $\operatorname {MU} ^{*}(BU)$ निरंतर घात श्रेणी वलय $\operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]$ के समरूपी है जहां तत्व cf को कोनर-फ्लोयड श्रेणी भी कहा जाता है। इन्हें कॉनर और फ्लॉयड (1966) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और यह सम्मिश्र सह-बॉर्डिज्म के लिए चेर्न श्रेणियाँ के अनुरूप हैं।      

उसी प्रकार $\operatorname {MU} _{*}(BU)$ बहुपद वलय $\operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]$ का समरूपी है।

सह-समरूपता संचालन

हॉपफ बीजगणित MU_*(MU) बहुपद बीजगणित R[b₁, b₂, ...], का समरूपी है जहां R 0-वृत्त का घटाया हुआ बोर्डिज्म वलय है।

सह-गणना द्वारा दिया जाता है

$\psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}$

जहां अंकन ()_2i का मतलब डिग्री 2i का एक भाग होता है। इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है। इसका आलेखन

$x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots$

x में निरंतर घात श्रेणी की निरंतर स्वप्रतिरूपण वलय और MU_*(MU) की सह-गणना ऐसे दो स्वप्रतिरूपण की संरचना देता है।

यह भी देखें

• एडम्स-नोविकोव वर्णक्रमीय अनुक्रम
• सह-समरूपता सिद्धांतों की सूची
• बीजगणितीय सहबॉर्डिज्म

संदर्भ

• Adams, J. Frank (1974), Stable homotopy and generalised homology, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00524-9
• Atiyah, Michael Francis (1961), "Bordism and cobordism", Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (2): 200–208, Bibcode:1961PCPS...57..200A, doi:10.1017/S0305004100035064, MR 0126856, S2CID 122937421
• Brown, Edgar H., Jr.; Peterson, Franklin P. (1966), "A spectrum whose $\mathbb {Z} _{p}$ cohomology is the algebra of reduced p^th powers", Topology, 5 (2): 149–154, doi:10.1016/0040-9383(66)90015-2, MR 0192494{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
• Conner, Pierre E.; Floyd, Edwin E. (1966), The relation of cobordism to K-theories, Lecture Notes in Mathematics, vol. 28, Berlin-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0071091, ISBN 978-3-540-03610-4, MR 0216511
• Milnor, John (1960), "On the cobordism ring $\Omega _{*}$ and a complex analogue, Part I", American Journal of Mathematics, 82 (3): 505–521, doi:10.2307/2372970, JSTOR 2372970
• Morava, Jack (2007). "Complex cobordism and algebraic topology". arXiv:0707.3216 [math.HO].
• Novikov, Sergei P. (1960), "Some problems in the topology of manifolds connected with the theory of Thom spaces", Soviet Math. Dokl., 1: 717–720. Translation of "О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома", Doklady Akademii Nauk SSSR, 132 (5): 1031–1034, MR 0121815, Zbl 0094.35902.
• Novikov, Sergei P. (1962), "Homotopy properties of Thom complexes. (Russian)", Mat. Sb., New Series, 57: 407–442, MR 0157381
• Quillen, Daniel (1969), "On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory", Bulletin of the American Mathematical Society, 75 (6): 1293–1298, doi:10.1090/S0002-9904-1969-12401-8, MR 0253350.
• Ravenel, Douglas C. (1980), "Complex cobordism and its applications to homotopy theory", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), vol. 1, Helsinki: Acad. Sci. Fennica, pp. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0, MR 0562646
• Ravenel, Douglas C. (1988), "Complex cobordism theory for number theorists", Elliptic Curves and Modular Forms in Algebraic Topology, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlin / Heidelberg: Springer, pp. 123–133, doi:10.1007/BFb0078042, ISBN 978-3-540-19490-3, ISSN 1617-9692
• Ravenel, Douglas C. (2003), Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres (2nd ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, MR 0860042
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Cobordism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Stong, Robert E. (1968), Notes on cobordism theory, Princeton University Press
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007/BF02566923, MR 0061823, S2CID 120243638

बाहरी संबंध

• Complex bordism at the manifold atlas
• cobordism cohomology theory at the nLab