आकार की सीमा का सिद्धांत: Difference between revisions

Revision as of 16:23, 24 July 2023

जॉन वॉन न्यूमैन

समुच्चय सिद्धांत में, आकार की सीमा का सिद्धांत जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा समुच्चय और क्लास के लिए अपने 1925 स्वयंसिद्ध प्रणाली में प्रस्तावित किया गया था।^[1] यह आकार सिद्धांत की सीमा को औपचारिक बनाता है, जो समुच्चय सिद्धांत के पहले के सूत्रीकरण में सामने आए विरोधाभासों से बचाता है, यह पहचानकर कि कुछ वर्ग समुच्चय होने के लिए बहुत बड़े हैं। वॉन न्यूमैन ने अनुभव किया कि इन बड़े वर्गों को एक वर्ग का सदस्य बनने की अनुमति देने से विरोधाभास पैदा होता है।^[2] एक वर्ग जो एक वर्ग का सदस्य है वह एक समुच्चय है; एक वर्ग जो समुच्चय नहीं है वह एक उचित वर्ग है। प्रत्येक वर्ग वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का एक उपवर्ग है, सभी समुच्चयों का वर्ग।^{[lower-alpha 1]} आकार की सीमा का सिद्धांत कहता है कि एक वर्ग एक समुच्चय है यदि और केवल अगर यह वी से छोटा है - अर्थात, इसे वी पर मैप करने वाला कोई फ़ंक्शन नहीं है। आमतौर पर, यह सिद्धांत तार्किक रूप से समकक्ष रूप में कहा गया है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर कोई फ़ंक्शन है जो इसे वी पर मैप करता है।

वॉन न्यूमैन का अभिगृहीत प्रतिस्थापन के अभिगृहीत, पृथक्करण के अभिगृहीत, मिलन के अभिगृहीत और वैश्विक चयन के अभिगृहीत के सिद्धांतों को दर्शाता है। यह वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत (एनबीजी) और मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत में प्रतिस्थापन, संघ और वैश्विक पसंद के संयोजन के बराबर है। वर्ग सिद्धांतों की बाद की व्याख्याएँ - जैसे कि पॉल बर्नेज़, कर्ट गोडेल और जॉन एल. केली - वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध के बजाय प्रतिस्थापन, संघ और वैश्विक पसंद के समकक्ष एक विकल्प स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं।^[3] 1930 में, अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने आकार की सीमा के सिद्धांत को संतुष्ट करते हुए समुच्चय सिद्धांत के मॉडल को परिभाषित किया।^[4] अब्राहम फ्रेंकेल और एज़्रिएल लेवी ने कहा है कि आकार की सीमा का सिद्धांत आकार सिद्धांत की सभी सीमाओं पर कब्जा नहीं करता है क्योंकि यह शक्ति समुच्चय के सिद्धांत को नहीं दर्शाता है।^[5] माइकल हैलेट ने तर्क दिया है कि आकार सिद्धांत की सीमा पावर समुच्चय स्वयंसिद्ध को उचित नहीं ठहराती है और वॉन न्यूमैन की स्पष्ट धारणा [पावर-समुच्चय की छोटीता की] ज़र्मेलो, फ्रेंकेल और लेवी की पावर-समुच्चय की छोटीता की अस्पष्ट रूप से छिपी अंतर्निहित धारणा के लिए बेहतर लगती है।^[6]

औपचारिक कथन

आकार की सीमा के सिद्धांत का सामान्य संस्करण - एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल तभी जब कोई फ़ंक्शन होता है जो इसे वी पर मैप करता है —समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

{\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}

गोडेल ने यह परिपाटी प्रस्तुत की कि अपरकेस वेरिएबल्स सभी वर्गों में होते हैं, जबकि लोअरकेस वेरिएबल्स सभी समुच्चयों में होते हैं।^[7] यह सम्मेलन हमें लिखने की अनुमति देता है:

$\exists y\,\varphi (y)$ के बजाय $\exists y{\bigl (}\exists D(y\in D)\land \varphi (y){\bigr )}$
$\forall y\,\varphi (y)$ के बजाय $\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \varphi (y){\bigr )}$

गोडेल के सम्मेलन के साथ, आकार की सीमा का सिद्धांत लिखा जा सकता है:

{\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}

स्वयंसिद्ध के निहितार्थ

वॉन न्यूमैन ने साबित किया कि आकार की सीमा का सिद्धांत प्रतिस्थापन के सिद्धांत का तात्पर्य है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि एफ एक फ़ंक्शन है और ए एक समुच्चय है, तो एफ (ए) एक समुच्चय है। यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण है. मान लीजिए F एक फलन है और A एक समुच्चय है। मान लें कि F(A) एक उचित वर्ग है। फिर एक फ़ंक्शन G है जो F(A) को V पर मैप करता है। चूंकि समग्र फ़ंक्शन G∘FF, A को V पर मैप करता है, आकार की सीमा के सिद्धांत का तात्पर्य है कि A एक उचित वर्ग है, जो A के एक समुच्चय होने का खंडन करता है। इसलिए, F(A) एक समुच्चय है। चूंकि प्रतिस्थापन का सिद्धांत#पृथक्करण के स्वयंसिद्ध स्कीमा से संबंध रखता है, आकार की सीमा का सिद्धांत पृथक्करण के सिद्धांत का तात्पर्य करता है।^{[lower-alpha 2]}

वॉन न्यूमैन ने यह भी साबित किया कि उनके स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि वी को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। प्रमाण विरोधाभास से यह साबित करने से शुरू होता है कि ऑर्ड, सभी ऑर्डिनल (गणित) का वर्ग, एक उचित वर्ग है। मान लीजिए कि ऑर्ड एक समुच्चय है। चूँकि यह एक सकर्मक समुच्चय है जो ∈ द्वारा सख्ती से सुव्यवस्थित है, यह एक क्रमसूचक है। तो Ord ∈ Ord, जो ∈ द्वारा Ord को सख्ती से सुव्यवस्थित किए जाने का खंडन करता है। इसलिए, ऑर्ड एक उचित वर्ग है। तो वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि एक फ़ंक्शन F है जो Ord को V पर मैप करता है। V के एक सुव्यवस्थित क्रम को परिभाषित करने के लिए, G को F का उपवर्ग होने दें जिसमें क्रमित जोड़े (α,x) शामिल हैं जहां α सबसे कम β है जैसे कि (β,x)∈F; यानी, G = {(α, x) ∈ F : ∀β((β,x) ∈F ⇒ α ≤ β)}. फ़ंक्शन G, Ord और V के उपसमुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार है। इसलिए, x < y यदि G⁻¹(x)<G⁻¹(y) वी के एक सुव्यवस्थित क्रम को परिभाषित करता है। यह सुव्यवस्थित क्रम एक वैश्विक विकल्प फ़ंक्शन को परिभाषित करता है: लेट इन्फ़िमम और सुप्रीमम (x) एक गैर-रिक्त समुच्चय x का सबसे छोटा तत्व हो। इंफ के बाद से (x) ∈ x, यह फ़ंक्शन प्रत्येक गैर-रिक्त समुच्चय x के लिए x का एक तत्व चुनता है। इसलिए, इंफ (x) एक वैश्विक पसंद फ़ंक्शन है, इसलिए वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध वैश्विक पसंद के स्वयंसिद्ध का तात्पर्य है।

1968 में, एज़्रिएल लेवी ने साबित किया कि वॉन न्यूमैन का सिद्धांत संघ के सिद्धांत को दर्शाता है। सबसे पहले, उन्होंने संघ के स्वयंसिद्ध का उपयोग किए बिना साबित किया कि अध्यादेशों के प्रत्येक समुच्चय की एक ऊपरी सीमा होती है। फिर उन्होंने एक फ़ंक्शन का उपयोग किया जो यह साबित करने के लिए ऑर्ड को वी पर मैप करता है कि यदि ए एक समुच्चय है, तो ∪ ए एक समुच्चय है.^[8] प्रतिस्थापन, वैश्विक पसंद और संघ के सिद्धांत (वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत के अन्य सिद्धांतों के साथ) आकार की सीमा के सिद्धांत को दर्शाते हैं।^{[lower-alpha 3]} इसलिए, यह स्वयंसिद्ध एनबीजी या मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत में प्रतिस्थापन, वैश्विक विकल्प और संघ के संयोजन के बराबर है। इन समुच्चय सिद्धांतों ने केवल प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध और आकार की सीमा के स्वयंसिद्ध के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के एक रूप को प्रतिस्थापित किया क्योंकि वॉन न्यूमैन की स्वयंसिद्ध प्रणाली में संघ का स्वयंसिद्ध शामिल है। लेवी का यह प्रमाण कि यह सिद्धांत निरर्थक है, कई वर्षों बाद आया।^[9]

वैश्विक पसंद के सिद्धांत के साथ एनबीजी के सिद्धांतों को पसंद के सामान्य सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित करने से आकार की सीमा का सिद्धांत नहीं लगता है। 1964 में, विलियम बिगेलो ईस्टन|विलियम बी. ईस्टन ने एनबीजी का एक मॉडल सिद्धांत बनाने के लिए फोर्सिंग (समुच्चय सिद्धांत) का उपयोग किया, जिसमें वैश्विक विकल्प को पसंद के सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया गया।^[10] ईस्टन के मॉडल में, V को रैखिक रूप से क्रमित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, आकार की सीमा का सिद्धांत इस मॉडल में विफल रहता है। Ord एक उचित वर्ग का उदाहरण है जिसे V पर मैप नहीं किया जा सकता क्योंकि (जैसा कि ऊपर साबित हुआ है) यदि Ord को V पर मैप करने वाला कोई फ़ंक्शन है, तो V को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है।

प्रतिस्थापन के सिद्धांत के साथ एनबीजी के सिद्धांतों को पृथक्करण के कमजोर सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित करने से आकार की सीमा का सिद्धांत नहीं लगता है। परिभाषित करना $\omega _{\alpha }$ के रूप में $\alpha$ -वां अनंत प्रारंभिक क्रमसूचक, जो कार्डिनल संख्या भी है $\aleph _{\alpha }$ ; नंबरिंग शुरू होती है $0$ , इसलिए $\omega _{0}=\omega .$ 1939 में, गोडेल ने बताया कि एल_{ω_ω}, रचनात्मक ब्रह्मांड का एक उपसमुच्चय, ZFC का एक मॉडल है जिसमें प्रतिस्थापन के स्थान पर पृथक्करण होता है।^[11] इसे पृथक्करण द्वारा प्रतिस्थापन के साथ एनबीजी के एक मॉडल में विस्तारित करने के लिए, इसकी कक्षाएं एल के समुच्चय होने दें_{ω_ω+1}, जो L के रचनात्मक उपसमुच्चय हैं_{ω_ω</उप>. यह मॉडल एनबीजी के वर्ग अस्तित्व सिद्धांतों को संतुष्ट करता है क्योंकि इन सिद्धांतों के समुच्चय चर को एल तक सीमित कर दिया गया है_{ω_ω} पृथक्करण के सिद्धांत का उदाहरण (विधेय तर्क) उत्पन्न करता है, जो एल में होता है।^{[lower-alpha 4]} यह वैश्विक पसंद के सिद्धांत को संतुष्ट करता है क्योंकि इसमें एल से संबंधित एक फ़ंक्शन है_{ω_ω+1} जो ω को मैप करता है उप>ω} एल पर उप>ओह_ω, जिसका अर्थ है कि एल_{ω_ω} सुव्यवस्थित है.^{[lower-alpha 5]} आकार की सीमा का सिद्धांत विफल हो जाता है क्योंकि उचित वर्ग {ω_n: n ∈ ω} में कार्डिनैलिटी एलेफ़ संख्या है| $\aleph _{0}$ , इसलिए इसे L पर मैप नहीं किया जा सकता_{ω_ω}, जिसमें प्रमुखता है $\aleph _{\omega }$ .^{[lower-alpha 6]}

1923 में ज़र्मेलो को लिखे एक पत्र में, वॉन न्यूमैन ने अपने स्वयंसिद्ध कथन का पहला संस्करण बताया: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल तभी जब इसके और वी के बीच एक-से-एक पत्राचार हो।^[2]आकार की सीमा का सिद्धांत वॉन न्यूमैन के 1923 के सिद्धांत का तात्पर्य है। इसलिए, इसका यह भी तात्पर्य है कि सभी उचित वर्ग V के समतुल्य हैं।

Proof that the axiom of limitation of size implies von Neumann's 1923 axiom

To prove the $\Longleftarrow$ direction, let $A$ be a class and $F$ be a one-to-one correspondence from $A$ to $V.$ Since $F$ maps $A$ onto $V,$ the axiom of limitation of size implies that $A$ is a proper class.

To prove the $\Longrightarrow$ direction, let $A$ be a proper class. We will define well-ordered classes $(A,<)$ and $(V,<),$ and construct order isomorphisms between $(Ord,<),(A,<),$ and $(V,<).$ Then the order isomorphism from $(A,<)$ to $(V,<)$ is a one-to-one correspondence between $A$ and $V.$

It was proved above that the axiom of limitation of size implies that there is a function $F$ that maps $Ord$ onto $V.$ Also, $G$ was defined as a subclass of $F$ that is a one-to-one correspondence between $Dom(G)$ and $V.$ It defines a well-ordering on $V\colon \,x<y\,$ if $G^{-1}(x)<G^{-1}(y).$ Therefore, $G$ is an order isomorphism from $(Dom(G),<)$ to $(V,<).$

If $(C,<)$ is well-ordered class, its proper initial segments are the classes $\{x\in C:x<y\}$ where $y\in C.$ Now $(Ord,<)$ has the property that all of its proper initial segments are sets. Since $Dom(G)\subseteq Ord,$ this property holds for $(Dom(G),<).$ The order isomorphism $G$ implies that this property holds for $(V,<).$ Since $A\subseteq V,$ this property holds for $(A,<).$

To obtain an order isomorphism from $(A,<)$ to $(V,<),$ the following theorem is used: If $P$ is a proper class and the proper initial segments of $(P,<)$ are sets, then there is an order isomorphism from $(Ord,<)$ to $(P,<).$ ^{[lower-alpha 7]} Since $(A,<)$ and $(V,<)$ satisfy the theorem's hypothesis, there are order isomorphisms $I_{A}\colon (Ord,<)\rightarrow (A,<)$ and $I_{V}\colon (Ord,<)\rightarrow (V,<).$ Therefore, the order isomorphism $I_{V}\circ I_{A}^{-1}\colon (A,<)\rightarrow (V,<)$ is a one-to-one correspondence between $A$ and $V.$

जर्मेलो के मॉडल और आकार की सीमा का सिद्धांत

1900 के दशक में अर्न्स्ट ज़र्मेलो

1930 में, ज़र्मेलो ने समुच्चय सिद्धांत के मॉडल पर एक लेख प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने साबित किया कि उनके कुछ मॉडल आकार की सीमा के सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं।^[4]ये मॉडल संचयी पदानुक्रम V का उपयोग करके ZFC में बनाए गए हैं_α, जिसे ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

वी₀= खाली समुच्चय|∅.^{[lower-alpha 8]}
में_α+1= वी_α∪पी(वी_α). अर्थात वी का संघ (समुच्चय सिद्धांत)_α और इसका सत्ता स्थापित ।^{[lower-alpha 9]}
सीमा β के लिए: वी_β = ∪_α < βमें_α. अर्थात वी_β पूर्ववर्ती V का मिलन है_α.

ज़र्मेलो ने वी फॉर्म के मॉडल के साथ काम किया_κ जहां κ वॉन न्यूमैन कार्डिनल है। मॉडल की कक्षाएं V के उपसमुच्चय हैं_κ, और मॉडल का ∈-संबंध मानक ∈-संबंध है। मॉडल के समुच्चय वर्ग X इस प्रकार हैं कि X ∈ V_κ.^{[lower-alpha 10]} ज़र्मेलो ने कार्डिनल्स की पहचान की κ जैसे कि वी_κ संतुष्ट करता है:^[12]

प्रमेय 1. एक वर्ग X एक समुच्चय है यदि और केवल यदि |X| < κ.

प्रमेय 2. |वी_κ| = κ.

चूँकि प्रत्येक वर्ग V का उपसमुच्चय है_κ, प्रमेय 2 का तात्पर्य है कि प्रत्येक कक्षा X में प्रमुखता ≤ κ है। इसे प्रमेय 1 के साथ संयोजित करने से सिद्ध होता है: प्रत्येक उचित वर्ग में कार्डिनैलिटी κ होती है। इसलिए, प्रत्येक उचित कक्षा को वी के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है_κ. यह पत्राचार वी का एक उपसमुच्चय है_κ, तो यह मॉडल का एक वर्ग है। इसलिए, आकार की सीमा का सिद्धांत मॉडल V के लिए लागू होता है_κ.

प्रमेय बताता है कि वी_κ एक सुव्यवस्थित होना प्रत्यक्ष प्रमाण हो सकता है। चूँकि κ कार्डिनैलिटी κ और |V का एक क्रमसूचक है_κ| = κ, κ और V के बीच एक-से-एक पत्राचार है_κ. यह पत्राचार वी का सुव्यवस्थित क्रम उत्पन्न करता है_κ. वॉन न्यूमैन का प्रमाण अप्रत्यक्ष प्रमाण है। यह विरोधाभास द्वारा यह साबित करने के लिए बुराली-फोर्टी विरोधाभास का उपयोग करता है कि सभी अध्यादेशों का वर्ग एक उचित वर्ग है। इसलिए, आकार की सीमा के सिद्धांत का तात्पर्य है कि एक फ़ंक्शन है जो सभी समुच्चयों के वर्ग पर सभी ऑर्डिनल्स के वर्ग को मैप करता है। यह फ़ंक्शन V का सुव्यवस्थित क्रम उत्पन्न करता है_κ.^[13]

मॉडल वी_ω

यह प्रदर्शित करने के लिए कि प्रमेय 1 और 2 कुछ V के लिए मान्य हैं_κ, हम पहले यह सिद्ध करते हैं कि यदि कोई समुच्चय V का है_α तो यह बाद के सभी V से संबंधित है_β, या समकक्ष: वी_α⊆ वी_β α ≤ β के लिए. यह β पर अनंत प्रेरण द्वारा सिद्ध होता है:

β=0: वी₀⊆ वी₀.
β+1 के लिए: आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, वी_α⊆ वी_β. इसलिए, वी_α⊆ वी_β⊆ वी_β∪पी(वी_β) = वी_β+1.
सीमा β के लिए: यदि α < β, तो V_α ⊆ ∪_ξ < βमें_ξ= वी_β. यदि α=β, तो V_α⊆ वी_β.

समुच्चय पावर समुच्चय पी(वी) के माध्यम से संचयी पदानुक्रम में प्रवेश करते हैं_β) चरण β+1 पर। निम्नलिखित परिभाषाओं की आवश्यकता होगी:

यदि x एक समुच्चय है, तो रैंक (समुच्चय सिद्धांत)(x) न्यूनतम क्रमसूचक β है जैसे कि x∈V_β+1.^[14]

ऑर्डिनल्स ए के एक समुच्चय का सर्वोच्च, सुपर ए द्वारा दर्शाया गया, सबसे कम ऑर्डिनल β है जैसे कि सभी α ∈ ए के लिए α ≤ β।

ज़र्मेलो का सबसे छोटा मॉडल V है_ω. गणितीय प्रेरण यह सिद्ध करता है कि वी_n सभी n < ω के लिए परिमित समुच्चय है:

|वी₀| = 0.
|वी_n+1| =|वी_n∪पी(वी_n)| ≤ |वी_n| + 2 ^|वी_n|, जो V से परिमित है_n आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा परिमित है।

प्रमेय 1 का प्रमाण: एक समुच्चय X, V में प्रवेश करता है_ω पी(वी) के माध्यम से_n) कुछ n < ω के लिए, इसलिए X ⊆ V_n. चूंकि वी_n परिमित है, एक्स परिमित है. व्युत्क्रम (तर्क): यदि कक्षा चूंकि सभी x∈X के लिए रैंक(x)≤N, हमारे पास X⊆V है_N+1, तो एक्स ∈ वी_N+2⊆ वी_ω. इसलिए, X∈V_ω.

प्रमेय 2 का प्रमाण: वी_ω बढ़ते हुए आकार के अनगिनत अनंत अनेक परिमित समुच्चयों का मिलन है। इसलिए, इसमें प्रमुखता है $\aleph _{0}$ , जो वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट द्वारा ω के बराबर है।

वी के समुच्चय और वर्ग_ω अनंत के सिद्धांत को छोड़कर एनबीजी के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करें।^{[lower-alpha 11]}

===मॉडल वी_κ जहां κ एक अत्यंत दुर्गम कार्डिनल=== है V के लिए प्रमेय 1 और 2 को सिद्ध करने के लिए परिमितता के दो गुणों का उपयोग किया गया था_ω:

यदि λ एक परिमित कार्डिनल है, तो 2^λपरिमित है।
यदि A इस प्रकार के अध्यादेशों का एक समुच्चय है कि |A| परिमित है, और α सभी α∈A के लिए परिमित है, तो सुप A परिमित है।

अनंत के सिद्धांत को संतुष्ट करने वाले मॉडल खोजने के लिए, दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स को परिभाषित करने वाले गुणों का उत्पादन करने के लिए परिमित को < κ से बदलें। एक कार्डिनल κ अत्यधिक पहुंच योग्य नहीं है यदि κ > ω और:

यदि λ एक कार्डिनल है जैसे कि λ < κ, तो 2^λ < κ.
यदि A इस प्रकार के अध्यादेशों का एक समुच्चय है कि |A| < κ, और α < κ सभी α ∈ A के लिए, फिर समर्थन A < κ।

ये गुण दावा करते हैं कि κ तक नीचे से नहीं पहुंचा जा सकता है। पहली संपत्ति कहती है कि κ तक पावर समुच्चय द्वारा नहीं पहुंचा जा सकता; दूसरा कहता है कि प्रतिस्थापन के सिद्धांत द्वारा κ तक नहीं पहुंचा जा सकता।^{[lower-alpha 12]} जिस तरह ω प्राप्त करने के लिए अनंत के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, उसी प्रकार दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स को प्राप्त करने के लिए एक स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। ज़र्मेलो ने अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल्स के एक असीमित अनुक्रम के अस्तित्व की परिकल्पना की।^{[lower-alpha 13]}

यदि κ एक अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल है, तो ट्रांसफिनिट इंडक्शन |V साबित होता है_α| <k सभी के लिए a<k:

α = 0: |वी₀| = 0.
α+1 के लिए: |V_α+1| =|वी_α∪पी(वी_α)| ≤ |वी_α| + 2 ^|वी_α|= 2^|वी_α| < κ. अंतिम असमानता आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करती है और κ अत्यधिक दुर्गम है।
सीमा α के लिए: |V_α| = |∪_ξ < αमें_ξ| ≤ समर्थन{|वी_ξ| : ξ<α}<κ. अंतिम असमानता आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करती है और κ अत्यधिक दुर्गम है।

प्रमेय 1 का प्रमाण: एक समुच्चय X, V में प्रवेश करता है_κ पी(वी) के माध्यम से_α) कुछ α< κ के लिए, इसलिए X ⊆V_α. चूंकि |वी_α| < κ, हमें |X| प्राप्त होता है < κ. इसके विपरीत: यदि कक्षा X में |X| < κ, मान लीजिए β = सुपर {रैंक(x): x ∈ X}। चूँकि κ अत्यंत दुर्गम है, |X| < κ और रैंक (x) < κ सभी x ∈ X के लिए β = super {rank(x): x ∈ X} < κ है। चूंकि सभी x ∈X के लिए रैंक(x) ≤ β, हमारे पास X ⊆V है_β+1, तो एक्स ∈ वी_β+2⊆ वी_κ. इसलिए, X∈V_κ.

प्रमेय 2 का प्रमाण: |वी_κ| = |∪_α < κमें_α| ≤सुपर{|वी_α| : α< κ}. मान लीजिए β यह सर्वोच्च है। चूँकि सर्वोच्च में प्रत्येक क्रमसूचक κ से कम है, हमारे पास β ≤ κ है। मान लीजिए β< κ. फिर एक कार्डिनल λ है जैसे कि β < λ < κ; उदाहरण के लिए, मान लीजिए λ=2^|बी|. चूंकि λ ⊆ वी_λ और |वी_λ| सर्वोच्च में है, हमारे पास λ ≤ |V है_λ| ≤β. यह β<<λ का खंडन करता है। इसलिए, |वी_κ| = β = κ.

वी के समुच्चय और वर्ग_κ एनबीजी के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करें।^{[lower-alpha 14]}

आकार सिद्धांत की सीमा

आकार सिद्धांत की सीमा एक अनुमानी सिद्धांत है जिसका उपयोग समुच्चय सिद्धांत के सिद्धांतों को उचित ठहराने के लिए किया जाता है। यह पूर्ण (विरोधाभासी) समझ स्वयंसिद्ध स्कीमा को प्रतिबंधित करके समुच्चय सैद्धांतिक विरोधाभासों से बचाता है:

\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_{n}))

ऐसे उदाहरणों के लिए जो समुच्चय को उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले समुच्चय से 'बहुत अधिक बड़ा' नहीं देते हैं।^[15] यदि बड़े का अर्थ कार्डिनल आकार में बड़ा है, तो अधिकांश सिद्धांतों को उचित ठहराया जा सकता है: पृथक्करण का सिद्धांत x का एक उपसमुच्चय उत्पन्न करता है जो x से बड़ा नहीं है। प्रतिस्थापन का सिद्धांत एक छवि समुच्चय f(x) उत्पन्न करता है जो x से बड़ा नहीं है। संघ का सिद्धांत एक ऐसे संघ का निर्माण करता है जिसका आकार संघ में सबसे बड़े समुच्चय के आकार से बड़ा नहीं होता है, जो कि संघ में समुच्चयों की संख्या से बड़ा होता है।^[16] पसंद का सिद्धांत एक विकल्प समुच्चय का निर्माण करता है जिसका आकार गैर-रिक्त समुच्चय के दिए गए समुच्चय के आकार से बड़ा नहीं है।

आकार सिद्धांत की सीमा अनंत के सिद्धांत को उचित नहीं ठहराती:

\exists y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\implies x\cup \{x\}\in y)],

जो उत्तराधिकारी क्रमसूचक को पुनरावृत्त करके खाली समुच्चय और खाली समुच्चय से प्राप्त समुच्चय का उपयोग करता है। चूँकि ये समुच्चय परिमित हैं, इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला कोई भी समुच्चय, जैसे ω, इन समुच्चयों से बहुत बड़ा है। फ्रेंकेल और लेवी खाली समुच्चय और प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय को मानते हैं, जिसका अस्तित्व अनंत और पृथक्करण के सिद्धांतों द्वारा निहित है, समुच्चय उत्पन्न करने के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में।^[17] आकार की सीमा के बारे में वॉन न्यूमैन का दृष्टिकोण आकार की सीमा के सिद्धांत का उपयोग करता है। जैसा कि उल्लेख किया गया है § Implications of the axiom, वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध पृथक्करण, प्रतिस्थापन, मिलन और चयन के सिद्धांतों को दर्शाता है। फ्रेंकेल और लेवी की तरह, वॉन न्यूमैन को अनंत के स्वयंसिद्ध को अपने सिस्टम में जोड़ना पड़ा क्योंकि इसे उनके अन्य सिद्धांतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।^{[lower-alpha 15]} आकार की सीमा पर वॉन न्यूमैन के दृष्टिकोण और फ्रेंकेल और लेवी के दृष्टिकोण के बीच अंतर हैं:

वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध सिद्धांत एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में आकार की सीमा डालता है, जिससे अधिकांश समुच्चय अस्तित्व स्वयंसिद्धों को साबित करना संभव हो जाता है। आकार सिद्धांत की सीमा अनौपचारिक तर्कों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों को उचित ठहराती है जो प्रमाण की तुलना में असहमति के लिए अधिक खुले हैं।
वॉन न्यूमैन ने पावर समुच्चय स्वयंसिद्ध को मान लिया क्योंकि इसे उनके अन्य सिद्धांतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।^{[lower-alpha 16]} फ्रेंकेल और लेवी का कहना है कि आकार सिद्धांत की सीमा शक्ति समुच्चय सिद्धांत को उचित ठहराती है।^[18]

इस बात पर असहमति है कि क्या आकार सिद्धांत की सीमा शक्ति समुच्चय सिद्धांत को उचित ठहराती है। माइकल हैलेट ने फ्रेंकेल और लेवी द्वारा दिए गए तर्कों का विश्लेषण किया है। उनके कुछ तर्क कार्डिनल आकार के अलावा अन्य मानदंडों के आधार पर आकार को मापते हैं - उदाहरण के लिए, फ्रेंकेल व्यापकता और विस्तारशीलता का परिचय देता है। हैलेट बताते हैं कि वह उनके तर्कों में क्या खामियां मानते हैं।^[19] इसके बाद हैलेट का तर्क है कि समुच्चय सिद्धांत के परिणामों से यह प्रतीत होता है कि अनंत समुच्चय के आकार और उसके पावर समुच्चय के आकार के बीच कोई संबंध नहीं है। इसका मतलब यह होगा कि आकार सिद्धांत की सीमा पावर समुच्चय सिद्धांत को उचित ठहराने में असमर्थ है क्योंकि इसके लिए आवश्यक है कि x का पावर समुच्चय x से बहुत बड़ा न हो। उस मामले के लिए जहां आकार को कार्डिनल आकार द्वारा मापा जाता है, हैलेट ने पॉल कोहेन के काम का उल्लेख किया है। <संदर्भ नाम = हैलेट 1984 206-207 >Hallett 1984, pp. 206–207.</ref> ZFC और के एक मॉडल से शुरुआत $\aleph _{\alpha }$ , कोहेन ने एक मॉडल बनाया जिसमें ω के पावर समुच्चय की कार्डिनैलिटी है $\aleph _{\alpha }$ यदि की सह-अंतिमता $\aleph _{\alpha }$ ω नहीं है; अन्यथा, इसकी प्रमुखता है $\aleph _{\alpha +1}$ .^[20] चूँकि ω के पावर समुच्चय की कार्डिनैलिटी की कोई सीमा नहीं है, इसलिए ω के कार्डिनल आकार और P(ω) के कार्डिनल आकार के बीच कोई संबंध नहीं है।^[21] हैलेट उस मामले पर भी चर्चा करता है जहां आकार को व्यापकता द्वारा मापा जाता है, जो एक संग्रह को बहुत बड़ा मानता है यदि वह असीमित समझ या असीमित सीमा का है।^[22] वह बताते हैं कि एक अनंत समुच्चय के लिए, हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते हैं कि ब्रह्मांड की असीमित सीमा से गुज़रे बिना हमारे पास इसके सभी उपसमुच्चय हैं। उन्होंने जॉन लेन बेल|जॉन एल. बेल और मोशे मैकओवर को भी उद्धृत किया: ... किसी दिए गए [अनंत] समुच्चय यू का पावर समुच्चय पी (यू) न केवल यू के आकार के लिए आनुपातिक है, बल्कि 'समृद्धि' के लिए भी आनुपातिक है। सम्पूर्ण ब्रह्माण्ड...^[23] इन टिप्पणियों को करने के बाद, हैलेट कहते हैं: किसी को यह संदेह हो जाता है कि अनंत ए के आकार (व्यापकता) और पी (ए) के आकार के बीच कोई संबंध नहीं है। <संदर्भ नाम = हैलेट 1984 206-207 />

हैलेट समुच्चय सिद्धांत के अधिकांश सिद्धांतों को उचित ठहराने के लिए आकार सिद्धांत की सीमा को मूल्यवान मानते हैं। उनके तर्क केवल यह संकेत देते हैं कि यह अनन्तता और शक्ति समुच्चय के सिद्धांतों को उचित नहीं ठहरा सकता।^[24] उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि वॉन न्यूमैन की स्पष्ट धारणा [पावर-समुच्चय की छोटीता की] ज़र्मेलो, फ्रेंकेल और लेवी की पावर-समुच्चय की छोटीता की अस्पष्ट रूप से छिपी हुई अंतर्निहित धारणा के लिए बेहतर लगती है।^[6]

इतिहास

वॉन न्यूमैन ने समुच्चयों की पहचान करने की एक नई विधि के रूप में आकार की सीमा के सिद्धांत को विकसित किया। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत अपने समुच्चय बिल्डिंग सिद्धांतों के माध्यम से समुच्चय की पहचान करता है। हालाँकि, जैसा कि अब्राहम फ्रेंकेल ने बताया: प्रक्रियाओं का मनमाना चरित्र, जो सिद्धांत के आधार के रूप में Z [ZFC] के सिद्धांतों में चुना गया है, तार्किक तर्कों के बजाय समुच्चय-सिद्धांत के ऐतिहासिक विकास द्वारा उचित है।^[25] ZFC स्वयंसिद्धों का ऐतिहासिक विकास 1908 में शुरू हुआ जब ज़र्मेलो ने विरोधाभासों को खत्म करने और सुव्यवस्थित प्रमेय के अपने प्रमाण का समर्थन करने के लिए स्वयंसिद्धों को चुना।^{[lower-alpha 17]} 1922 में, अब्राहम फ्रेंकेल और थोरल्फ़ स्कोलेम ने बताया कि ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत | ज़र्मेलो के स्वयंसिद्ध समुच्चय के अस्तित्व को साबित नहीं कर सकते हैं {Z₀, साथ₁, साथ₂,...} जहां Z₀ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, और Z_n+1 Z का पावर समुच्चय है_n.^[26] उन्होंने प्रतिस्थापन का सिद्धांत भी पेश किया, जो इस समुच्चय के अस्तित्व की गारंटी देता है।^[27] हालाँकि, आवश्यक होने पर स्वयंसिद्ध कथनों को जोड़ने से न तो सभी उचित समुच्चयों के अस्तित्व की गारंटी मिलती है और न ही उन समुच्चयों के बीच अंतर स्पष्ट होता है जो उपयोग के लिए सुरक्षित हैं और ऐसे संग्रह जो विरोधाभासों को जन्म देते हैं।

1923 में ज़र्मेलो को लिखे एक पत्र में, वॉन न्यूमैन ने समुच्चय सिद्धांत के लिए एक दृष्टिकोण की रूपरेखा तैयार की जो उन समुच्चयों की पहचान करता है जो बहुत बड़े हैं और विरोधाभास पैदा कर सकते हैं।^{[lower-alpha 18]} वॉन न्यूमैन ने मानदंड का उपयोग करके इन समुच्चयों की पहचान की: एक समुच्चय 'बहुत बड़ा' है यदि और केवल तभी जब यह सभी चीजों के समुच्चय के बराबर हो। फिर उन्होंने प्रतिबंधित किया कि इन समुच्चयों का उपयोग कैसे किया जा सकता है: ... विरोधाभासों से बचने के लिए जो [समुच्चय] 'बहुत बड़े' हैं उन्हें तत्वों के रूप में अस्वीकार्य घोषित किया गया है।^[28] इस प्रतिबंध को अपने मानदंड के साथ जोड़कर, वॉन न्यूमैन ने आकार की सीमा के सिद्धांत का पहला संस्करण प्राप्त किया, जो वर्गों की भाषा में कहता है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर यह वी के साथ समतुल्य है।^[2]1925 तक, वॉन न्यूमैन ने अपने स्वयंसिद्ध को संशोधित करके इसे V के साथ समतुल्य कर दिया। इसे V पर मैप किया जा सकता है , जो आकार की सीमा का सिद्धांत उत्पन्न करता है। इस संशोधन ने वॉन न्यूमैन को प्रतिस्थापन के सिद्धांत का एक सरल प्रमाण देने की अनुमति दी।^[1]वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध समुच्चय समुच्चय को उन वर्गों के रूप में पहचानता है जिन्हें वी पर मैप नहीं किया जा सकता है। वॉन न्यूमैन ने अनुभव किया कि, इस सिद्धांत के साथ भी, उनका समुच्चय सिद्धांत समुच्चय को पूरी तरह से चित्रित नहीं करता है।^{[lower-alpha 19]}

गोडेल ने वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध को बहुत रुचिकर पाया:

विशेष रूप से मेरा मानना है कि उनकी [वॉन न्यूमैन की] आवश्यक और पर्याप्त शर्त, जिसे एक संपत्ति को पूरा करना चाहिए, एक समुच्चय को परिभाषित करने के लिए, बहुत रुचि है, क्योंकि यह स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभासों के संबंध को स्पष्ट करता है। यह स्थिति वास्तव में चीजों के सार को समझती है, यह इस तथ्य से देखा जाता है कि यह पसंद के सिद्धांत को दर्शाता है, जो पहले अन्य अस्तित्व संबंधी सिद्धांतों से काफी अलग था। चीजों को देखने के इस तरीके से संभव होने वाले विरोधाभासों की सीमा वाले निष्कर्ष, मुझे न केवल बहुत सुंदर लगते हैं, बल्कि तार्किक दृष्टिकोण से भी बहुत दिलचस्प लगते हैं।^{[lower-alpha 20]} इसके अलावा मेरा मानना है कि केवल इस दिशा में आगे बढ़ने से, यानी रचनावाद (गणित) के विपरीत दिशा में, अमूर्त समुच्चय सिद्धांत की बुनियादी समस्याएं हल हो जाएंगी।^[29]

↑ Proof: Let A be a class and X ∈ A. Then X is a set, so X ∈ V. Therefore, A ⊆ V.
↑ Proof that uses von Neumann's axiom: Let A be a set and B be the subclass produced by the axiom of separation. Using proof by contradiction, assume B is a proper class. Then there is a function F mapping B onto V. Define the function G mapping A to V: if x ∈ B then G(x) = F(x); if x ∈ A \ B then G(x) = ∅. Since F maps A onto V, G maps A onto V. So the axiom of limitation of size implies that A is a proper class, which contradicts A being a set. Therefore, B is a set.
↑ This can be rephrased as: NBG implies the axiom of limitation of size. In 1929, von Neumann proved that the axiom system that later evolved into NBG implies the axiom of limitation of size. (Ferreirós 2007, p. 380.)
↑ An axiom's set variable is restricted on the right side of the "if and only if." Also, an axiom's class variables are converted to set variables. For example, the class existence axiom $\forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\Leftrightarrow u\notin A)]$ becomes $\forall a\,\exists b\,\forall u\,[u\in b\Leftrightarrow (u\in L_{\omega _{\omega }}\land u\notin a)].$ The class existence axioms are in Gödel 1940, p. 5.
↑ Gödel defined a function $F$ that maps the class of ordinals onto $L$ . The function ${F|}_{\omega _{\omega }}$ (which is the restriction of $F$ to $\omega _{\omega }$ ) maps $\omega _{\omega }$ onto $L_{\omega _{\omega }}$ , and it belongs to $L_{\omega _{\omega +1}}$ because it is a constructible subset of $L_{\omega _{\omega }}$ . Gödel uses the notation $F''\omega _{\alpha }$ for $L_{\omega _{\alpha }}$ . (Gödel 1940, pp. 37–38, 54.)
↑ Proof by contradiction that $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ is a proper class: Assume that it is a set. By the axiom of union, $\cup \,\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ is a set. This union equals $\omega _{\omega }$ , the model's proper class of all ordinals, which contradicts the union being a set. Therefore, $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ is a proper class.
Proof that $|L_{\omega _{\omega }}|=\aleph _{\omega }\!:$ The function ${F|}_{\omega _{\omega }}$ maps $\omega _{\omega }$ onto $L_{\omega _{\omega }}$ , so $|L_{\omega _{\omega }}|\leq |\omega _{\omega }|.$ Also, $\omega _{\omega }\subseteq L_{\omega _{\omega }}$ implies $|\omega _{\omega }|\leq |L_{\omega _{\omega }}|.$ Therefore, $|L_{\omega _{\omega }}|=|\omega _{\omega }|=\aleph _{\omega }.$
↑ This is the first half of theorem 7.7 in Gödel 1940, p. 27. Gödel defines the order isomorphism $F:(Ord,<)\rightarrow (A,<)$ by transfinite recursion: $F(\alpha )=Inf(A\setminus \{F(\beta ):\beta \in \alpha \}).$
↑ This is the standard definition of V₀. Zermelo let V₀ be a set of urelements and proved that if this set contains a single element, the resulting model satisfies the axiom of limitation of size (his proof also works for V₀ = ∅). Zermelo stated that the axiom is not true for all models built from a set of urelements. (Zermelo 1930, p. 38; English translation: Ewald 1996, p. 1227.)
↑ This is Zermelo's definition (Zermelo 1930, p. 36; English translation: Ewald 1996, p. 1225.). If V₀ = ∅, this definition is equivalent to the standard definition V_α+1 = P(V_α) since V_α ⊆ P(V_α) (Kunen 1980, p. 95; Kunen uses the notation R(α) instead of V_α). If V₀ is a set of urelements, the standard definition eliminates the urelements at V₁.
↑ If X is a set, then there is a class Y such that X ∈ Y. Since Y ⊆ V_κ, we have X ∈ V_κ. Conversely: if X ∈ V_κ, then X belongs to a class, so X is a set.
↑ Zermelo proved that V_ω satisfies ZFC without the axiom of infinity. The class existence axioms of NBG (Gödel 1940, p. 5) are true because V_ω is a set when viewed from the set theory that constructs it (namely, ZFC). Therefore, the axiom of separation produces subsets of V_ω that satisfy the class existence axioms.
↑ Zermelo introduced strongly inaccessible cardinals κ so that V_κ would satisfy ZFC. The axioms of power set and replacement led him to the properties of strongly inaccessible cardinals. (Zermelo 1930, pp. 31–35; English translation: Ewald 1996, pp. 1221–1224.) Independently, Wacław Sierpiński and Alfred Tarski introduced these cardinals in 1930. (Sierpiński & Tarski 1930.)
↑ Zermelo used this sequence of cardinals to obtain a sequence of models that explains the paradoxes of set theory — such as, the Burali-Forti paradox and Russell's paradox. He stated that the paradoxes "depend solely on confusing set theory itself ... with individual models representing it. What appears as an 'ultrafinite non- or super-set' in one model is, in the succeeding model, a perfectly good, valid set with both a cardinal number and an ordinal type, and is itself a foundation stone for the construction of a new domain [model]." (Zermelo 1930, pp. 46–47; English translation: Ewald 1996, p. 1223.)
↑ Zermelo proved that V_κ satisfies ZFC if κ is a strongly inaccessible cardinal. The class existence axioms of NBG (Gödel 1940, p. 5) are true because V_κ is a set when viewed from the set theory that constructs it (namely, ZFC + there exist infinitely many strongly inaccessible cardinals). Therefore, the axiom of separation produces subsets of V_κ that satisfy the class existence axioms.
↑ The model whose sets are the elements of $V_{\omega }$ and whose classes are the subsets of $V_{\omega }$ satisfies all of his axioms except for the axiom of infinity, which fails because all sets are finite.
↑ The model whose sets are the elements of $L_{\omega _{1}}$ and whose classes are the elements of $L_{\omega _{2}}$ satisfies all of his axioms except for the power set axiom. This axiom fails because all sets are countable.
↑ "... we must, on the one hand, restrict these principles [axioms] sufficiently to exclude all contradictions and, on the other hand, take them sufficiently wide to retain all that is valuable in this theory." (Zermelo 1908, p. 261; English translation: van Heijenoort 1967a, p. 200). Gregory Moore argues that Zermelo's "axiomatization was primarily motivated by a desire to secure his demonstration of the Well-Ordering Theorem ..." (Moore 1982, pp. 158–160).
↑ Von Neumann published an introductory article on his axiom system in 1925 (von Neumann 1925; English translation: van Heijenoort 1967c). In 1928, he provided a detailed treatment of his system (von Neumann 1928).
↑ Von Neumann investigated whether his set theory is categorical; that is, whether it uniquely determines sets in the sense that any two of its models are isomorphic. He showed that it is not categorical because of a weakness in the axiom of regularity: this axiom only excludes descending ∈-sequences from existing in the model; descending sequences may still exist outside the model. A model having "external" descending sequences is not isomorphic to a model having no such sequences since this latter model lacks isomorphic images for the sets belonging to external descending sequences. This led von Neumann to conclude "that no categorical axiomatization of set theory seems to exist at all" (von Neumann 1925, p. 239; English translation: van Heijenoort 1967c, p. 412).
↑ For example, von Neumann's proof that his axiom implies the well-ordering theorem uses the Burali-Forte paradox (von Neumann 1925, p. 223; English translation: van Heijenoort 1967c, p. 398).

संदर्भ

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↑ Gödel 1940, p. 3.
↑ Levy 1968.
↑ It came 43 years later: von Neumann stated his axioms in 1925 and Lévy's proof appeared in 1968. (von Neumann 1925, Levy 1968.)
↑ Easton 1964, pp. 56a–64.
↑ Gödel 1939, p. 223.
↑ These theorems are part of Zermelo's Second Development Theorem. (Zermelo 1930, p. 37; English translation: Ewald 1996, p. 1226.)
↑ von Neumann 1925, p. 223; English translation: van Heijenoort 1967c, p. 398. Von Neumann's proof, which only uses axioms, has the advantage of applying to all models rather than just to V_κ.
↑ Kunen 1980, p. 95.
↑ Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, pp. 32, 137.
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↑ Fraenkel 1922, pp. 230–231. Skolem 1922; English translation: van Heijenoort 1967b, pp. 296–297).
↑ Ferreirós 2007, p. 369. In 1917, Dmitry Mirimanoff published a form of replacement based on cardinal equivalence (Mirimanoff 1917, p. 49).
↑ Hallett 1984, pp. 288, 290.
↑ From a Nov. 8, 1957 letter Gödel wrote to Stanislaw Ulam (Kanamori 2003, p. 295).

ग्रन्थसूची

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[3] Proof: Let A be a class and X ∈ A. Then X is a set, so X ∈ V. Therefore, A ⊆ V.

[9] Proof that uses von Neumann's axiom: Let A be a set and B be the subclass produced by the axiom of separation. Using proof by contradiction, assume B is a proper class. Then there is a function F mapping B onto V. Define the function G mapping A to V: if x ∈ B then G(x) = F(x); if x ∈ A \ B then G(x) = ∅. Since F maps A onto V, G maps A onto V. So the axiom of limitation of size implies that A is a proper class, which contradicts A being a set. Therefore, B is a set.

[11] This can be rephrased as: NBG implies the axiom of limitation of size. In 1929, von Neumann proved that the axiom system that later evolved into NBG implies the axiom of limitation of size. (Ferreirós 2007, p. 380.)

[15] An axiom's set variable is restricted on the right side of the "if and only if." Also, an axiom's class variables are converted to set variables. For example, the class existence axiom $\forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\Leftrightarrow u\notin A)]$ becomes $\forall a\,\exists b\,\forall u\,[u\in b\Leftrightarrow (u\in L_{\omega _{\omega }}\land u\notin a)].$ The class existence axioms are in Gödel 1940, p. 5.

[16] Gödel defined a function $F$ that maps the class of ordinals onto $L$ . The function ${F|}_{\omega _{\omega }}$ (which is the restriction of $F$ to $\omega _{\omega }$ ) maps $\omega _{\omega }$ onto $L_{\omega _{\omega }}$ , and it belongs to $L_{\omega _{\omega +1}}$ because it is a constructible subset of $L_{\omega _{\omega }}$ . Gödel uses the notation $F''\omega _{\alpha }$ for $L_{\omega _{\alpha }}$ . (Gödel 1940, pp. 37–38, 54.)

[17] Proof by contradiction that $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ is a proper class: Assume that it is a set. By the axiom of union, $\cup \,\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ is a set. This union equals $\omega _{\omega }$ , the model's proper class of all ordinals, which contradicts the union being a set. Therefore, $\{\omega _{n}:n\in \omega \}$ is a proper class.
Proof that $|L_{\omega _{\omega }}|=\aleph _{\omega }\!:$ The function ${F|}_{\omega _{\omega }}$ maps $\omega _{\omega }$ onto $L_{\omega _{\omega }}$ , so $|L_{\omega _{\omega }}|\leq |\omega _{\omega }|.$ Also, $\omega _{\omega }\subseteq L_{\omega _{\omega }}$ implies $|\omega _{\omega }|\leq |L_{\omega _{\omega }}|.$ Therefore, $|L_{\omega _{\omega }}|=|\omega _{\omega }|=\aleph _{\omega }.$

[18] This is the first half of theorem 7.7 in Gödel 1940, p. 27. Gödel defines the order isomorphism $F:(Ord,<)\rightarrow (A,<)$ by transfinite recursion: $F(\alpha )=Inf(A\setminus \{F(\beta ):\beta \in \alpha \}).$

[19] This is the standard definition of V₀. Zermelo let V₀ be a set of urelements and proved that if this set contains a single element, the resulting model satisfies the axiom of limitation of size (his proof also works for V₀ = ∅). Zermelo stated that the axiom is not true for all models built from a set of urelements. (Zermelo 1930, p. 38; English translation: Ewald 1996, p. 1227.)

[20] This is Zermelo's definition (Zermelo 1930, p. 36; English translation: Ewald 1996, p. 1225.). If V₀ = ∅, this definition is equivalent to the standard definition V_α+1 = P(V_α) since V_α ⊆ P(V_α) (Kunen 1980, p. 95; Kunen uses the notation R(α) instead of V_α). If V₀ is a set of urelements, the standard definition eliminates the urelements at V₁.

[21] If X is a set, then there is a class Y such that X ∈ Y. Since Y ⊆ V_κ, we have X ∈ V_κ. Conversely: if X ∈ V_κ, then X belongs to a class, so X is a set.

[25] Zermelo proved that V_ω satisfies ZFC without the axiom of infinity. The class existence axioms of NBG (Gödel 1940, p. 5) are true because V_ω is a set when viewed from the set theory that constructs it (namely, ZFC). Therefore, the axiom of separation produces subsets of V_ω that satisfy the class existence axioms.

[26] Zermelo introduced strongly inaccessible cardinals κ so that V_κ would satisfy ZFC. The axioms of power set and replacement led him to the properties of strongly inaccessible cardinals. (Zermelo 1930, pp. 31–35; English translation: Ewald 1996, pp. 1221–1224.) Independently, Wacław Sierpiński and Alfred Tarski introduced these cardinals in 1930. (Sierpiński & Tarski 1930.)

[27] Zermelo used this sequence of cardinals to obtain a sequence of models that explains the paradoxes of set theory — such as, the Burali-Forti paradox and Russell's paradox. He stated that the paradoxes "depend solely on confusing set theory itself ... with individual models representing it. What appears as an 'ultrafinite non- or super-set' in one model is, in the succeeding model, a perfectly good, valid set with both a cardinal number and an ordinal type, and is itself a foundation stone for the construction of a new domain [model]." (Zermelo 1930, pp. 46–47; English translation: Ewald 1996, p. 1223.)

[28] Zermelo proved that V_κ satisfies ZFC if κ is a strongly inaccessible cardinal. The class existence axioms of NBG (Gödel 1940, p. 5) are true because V_κ is a set when viewed from the set theory that constructs it (namely, ZFC + there exist infinitely many strongly inaccessible cardinals). Therefore, the axiom of separation produces subsets of V_κ that satisfy the class existence axioms.

[32] The model whose sets are the elements of $V_{\omega }$ and whose classes are the subsets of $V_{\omega }$ satisfies all of his axioms except for the axiom of infinity, which fails because all sets are finite.

[33] The model whose sets are the elements of $L_{\omega _{1}}$ and whose classes are the elements of $L_{\omega _{2}}$ satisfies all of his axioms except for the power set axiom. This axiom fails because all sets are countable.

[42] "... we must, on the one hand, restrict these principles [axioms] sufficiently to exclude all contradictions and, on the other hand, take them sufficiently wide to retain all that is valuable in this theory." (Zermelo 1908, p. 261; English translation: van Heijenoort 1967a, p. 200). Gregory Moore argues that Zermelo's "axiomatization was primarily motivated by a desire to secure his demonstration of the Well-Ordering Theorem ..." (Moore 1982, pp. 158–160).

[45] Von Neumann published an introductory article on his axiom system in 1925 (von Neumann 1925; English translation: van Heijenoort 1967c). In 1928, he provided a detailed treatment of his system (von Neumann 1928).

[47] Von Neumann investigated whether his set theory is categorical; that is, whether it uniquely determines sets in the sense that any two of its models are isomorphic. He showed that it is not categorical because of a weakness in the axiom of regularity: this axiom only excludes descending ∈-sequences from existing in the model; descending sequences may still exist outside the model. A model having "external" descending sequences is not isomorphic to a model having no such sequences since this latter model lacks isomorphic images for the sets belonging to external descending sequences. This led von Neumann to conclude "that no categorical axiomatization of set theory seems to exist at all" (von Neumann 1925, p. 239; English translation: van Heijenoort 1967c, p. 412).

[48] For example, von Neumann's proof that his axiom implies the well-ordering theorem uses the Burali-Forte paradox (von Neumann 1925, p. 223; English translation: van Heijenoort 1967c, p. 398).

[Neumann1925-1] 1.0 ^1.1 von Neumann 1925, p. 223; English translation: van Heijenoort 1967c, pp. 397–398.

[HallettNeumann-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Hallett 1984, p. 290.

[4] Bernays 1937, pp. 66–70; Bernays 1941, pp. 1–6. Gödel 1940, pp. 3–7. Kelley 1955, pp. 251–273.

[Zermelo1930-5] 4.0 ^4.1 Zermelo 1930; English translation: Ewald 1996.

[6] Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, p. 137.

[Hallettpowersets-7] 6.0 ^6.1 Hallett 1984, p. 295.

[8] Gödel 1940, p. 3.

[10] Levy 1968.

[12] It came 43 years later: von Neumann stated his axioms in 1925 and Lévy's proof appeared in 1968. (von Neumann 1925, Levy 1968.)

[13] Easton 1964, pp. 56a–64.

[14] Gödel 1939, p. 223.

[22] These theorems are part of Zermelo's Second Development Theorem. (Zermelo 1930, p. 37; English translation: Ewald 1996, p. 1226.)

[23] von Neumann 1925, p. 223; English translation: van Heijenoort 1967c, p. 398. Von Neumann's proof, which only uses axioms, has the advantage of applying to all models rather than just to V_κ.

[24] Kunen 1980, p. 95.

[29] Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, pp. 32, 137.

[30] Hallett 1984, p. 205.

[31] Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, p. 95.

[34] Hallett 1984, pp. 200, 202.

[35] Hallett 1984, pp. 200–207.

[36] Cohen 1966, p. 134.

[37] Hallett 1984, p. 207.

[38] Hallett 1984, p. 200.

[39] Bell & Machover 2007, p. 509.

[40] Hallett 1984, pp. 209–210.

[41] Historical Introduction in Bernays 1991, p. 31.

[43] Fraenkel 1922, pp. 230–231. Skolem 1922; English translation: van Heijenoort 1967b, pp. 296–297).

[44] Ferreirós 2007, p. 369. In 1917, Dmitry Mirimanoff published a form of replacement based on cardinal equivalence (Mirimanoff 1917, p. 49).

[46] Hallett 1984, pp. 288, 290.

[49] From a Nov. 8, 1957 letter Gödel wrote to Stanislaw Ulam (Kanamori 2003, p. 295).

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-[[File:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|thumb|alt=refer to caption|जॉन वॉन न्यूमैन]]समुच्चय सिद्धांत में, '''आकार की सीमा का सिद्धांत''' [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा [[सेट (गणित)|समुच्चय]] और क्लास के लिए अपने 1925 [[स्वयंसिद्ध प्रणाली]] में प्रस्तावित किया गया था।<ref name=Neumann1925>{{harvnb|von Neumann|1925|p=223}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967c|pp=397&ndash;398}}.</ref> यह आकार सिद्धांत की सीमा को औपचारिक बनाता है, जो समुच्चय सिद्धांत के पहले के फॉर्मूलेशन में सामने आए विरोधाभासों से बचाता है, यह पहचानकर कि कुछ वर्ग समुच्चय होने के लिए बहुत बड़े हैं। वॉन न्यूमैन ने महसूस किया कि इन बड़े वर्गों को एक वर्ग का सदस्य बनने की अनुमति देने से विरोधाभास पैदा होता है।<ref name=HallettNeumann>{{harvnb|Hallett|1984|p=290}}.</ref> एक वर्ग जो एक वर्ग का सदस्य है वह एक समुच्चय है; एक वर्ग जो समुच्चय नहीं है वह एक [[उचित वर्ग]] है। प्रत्येक वर्ग वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का एक [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)|उपवर्ग (समुच्चय सिद्धांत)]] है, सभी समुच्चयों का वर्ग।{{efn|Proof: Let ''A'' be a class and ''X''&nbsp;∈&nbsp;''A''. Then ''X'' is a set, so ''X''&nbsp;∈&nbsp;''V''. Therefore, ''A''&nbsp;⊆&nbsp;''V''.}} आकार की सीमा का सिद्धांत कहता है कि एक वर्ग एक समुच्चय है यदि और केवल अगर यह वी से छोटा है - अर्थात, इसे वी [[पर]] मैप करने वाला कोई फ़ंक्शन नहीं है। आमतौर पर, यह सिद्धांत तार्किक रूप से समकक्ष रूप में कहा गया है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर कोई फ़ंक्शन है जो इसे वी पर मैप करता है।
+[[File:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|thumb|alt=refer to caption|जॉन वॉन न्यूमैन]]समुच्चय सिद्धांत में, '''आकार की सीमा का सिद्धांत''' [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा [[सेट (गणित)|समुच्चय]] और क्लास के लिए अपने 1925 [[स्वयंसिद्ध प्रणाली]] में प्रस्तावित किया गया था।<ref name=Neumann1925>{{harvnb|von Neumann|1925|p=223}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967c|pp=397&ndash;398}}.</ref> यह आकार सिद्धांत की सीमा को औपचारिक बनाता है, जो समुच्चय सिद्धांत के पहले के सूत्रीकरण में सामने आए विरोधाभासों से बचाता है, यह पहचानकर कि कुछ वर्ग समुच्चय होने के लिए बहुत बड़े हैं। वॉन न्यूमैन ने अनुभव किया कि इन बड़े वर्गों को एक वर्ग का सदस्य बनने की अनुमति देने से विरोधाभास पैदा होता है।<ref name=HallettNeumann>{{harvnb|Hallett|1984|p=290}}.</ref> एक वर्ग जो एक वर्ग का सदस्य है वह एक समुच्चय है; एक वर्ग जो समुच्चय नहीं है वह एक [[उचित वर्ग]] है। प्रत्येक वर्ग वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का एक [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)|उपवर्ग]] है, सभी समुच्चयों का वर्ग।{{efn|Proof: Let ''A'' be a class and ''X''&nbsp;∈&nbsp;''A''. Then ''X'' is a set, so ''X''&nbsp;∈&nbsp;''V''. Therefore, ''A''&nbsp;⊆&nbsp;''V''.}} आकार की सीमा का सिद्धांत कहता है कि एक वर्ग एक समुच्चय है यदि और केवल अगर यह वी से छोटा है - अर्थात, इसे वी [[पर]] मैप करने वाला कोई फ़ंक्शन नहीं है। आमतौर पर, यह सिद्धांत तार्किक रूप से समकक्ष रूप में कहा गया है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर कोई फ़ंक्शन है जो इसे वी पर मैप करता है।
 वॉन न्यूमैन का अभिगृहीत प्रतिस्थापन के अभिगृहीत, पृथक्करण के अभिगृहीत, मिलन के अभिगृहीत और वैश्विक चयन के अभिगृहीत के सिद्धांतों को दर्शाता है। यह वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत (एनबीजी) और मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत में प्रतिस्थापन, संघ और वैश्विक पसंद के संयोजन के बराबर है। वर्ग सिद्धांतों की बाद की व्याख्याएँ - जैसे कि [[पॉल बर्नेज़]], कर्ट गोडेल और जॉन एल. केली - वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध के बजाय प्रतिस्थापन, संघ और वैश्विक पसंद के समकक्ष एक विकल्प स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं।<ref>{{harvnb|Bernays|1937|pp=66&ndash;70}}; {{harvnb|Bernays|1941|pp=1&ndash;6}}. {{harvnb|Gödel|1940|pp=3&ndash;7}}. {{harvnb|Kelley|1955|pp=251&ndash;273}}.</ref> 1930 में, [[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] ने आकार की सीमा के सिद्धांत को संतुष्ट करते हुए समुच्चय सिद्धांत के मॉडल को परिभाषित किया।<ref name=Zermelo1930>{{harvnb|Zermelo|1930}}; English translation: {{harvnb|Ewald|1996}}.</ref>
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 ZFC स्वयंसिद्धों का ऐतिहासिक विकास 1908 में शुरू हुआ जब ज़र्मेलो ने विरोधाभासों को खत्म करने और [[सुव्यवस्थित प्रमेय]] के अपने प्रमाण का समर्थन करने के लिए स्वयंसिद्धों को चुना।{{efn|"... we must, on the one hand, restrict these principles [axioms] sufficiently to exclude all contradictions and, on the other hand, take them sufficiently wide to retain all that is valuable in this theory." ({{harvnb|Zermelo|1908|p=261}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967a|p=200}}). Gregory Moore argues that Zermelo's "axiomatization was primarily motivated by a desire to secure his demonstration of the Well-Ordering Theorem ..." (Moore 1982, pp. 158&ndash;160).}} 1922 में, अब्राहम फ्रेंकेल और [[ थोरल्फ़ स्कोलेम ]] ने बताया कि ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत | ज़र्मेलो के स्वयंसिद्ध समुच्चय के अस्तित्व को साबित नहीं कर सकते हैं {Z<sub>0</sub>, साथ<sub>1</sub>, साथ<sub>2</sub>,...} जहां Z<sub>0</sub> [[प्राकृतिक संख्या]]ओं का समुच्चय है, और Z<sub>''n''+1</sub> Z का पावर समुच्चय है<sub>''n''</sub>.<ref>{{harvnb|Fraenkel|1922|pp=230&ndash;231}}. {{harvnb|Skolem|1922}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967b|pp=296&ndash;297}}).</ref> उन्होंने प्रतिस्थापन का सिद्धांत भी पेश किया, जो इस समुच्चय के अस्तित्व की गारंटी देता है।<ref>{{harvnb|Ferreirós|2007|p=369}}. In 1917, [[Dmitry Mirimanoff]] published a form of replacement based on cardinal equivalence ({{harvnb|Mirimanoff|1917|p=49}}).</ref> हालाँकि, आवश्यक होने पर स्वयंसिद्ध कथनों को जोड़ने से न तो सभी उचित समुच्चयों के अस्तित्व की गारंटी मिलती है और न ही उन समुच्चयों के बीच अंतर स्पष्ट होता है जो उपयोग के लिए सुरक्षित हैं और ऐसे संग्रह जो विरोधाभासों को जन्म देते हैं।
-में ज़र्मेलो को लिखे एक पत्र में, वॉन न्यूमैन ने समुच्चय सिद्धांत के लिए एक दृष्टिकोण की रूपरेखा तैयार की जो उन समुच्चयों की पहचान करता है जो बहुत बड़े हैं और विरोधाभास पैदा कर सकते हैं।{{efn|Von Neumann published an introductory article on his axiom system in 1925 ({{harvnb|von Neumann|1925}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967c}}). In 1928, he provided a detailed treatment of his system ({{harvnb|von Neumann|1928}}).}} वॉन न्यूमैन ने मानदंड का उपयोग करके इन समुच्चयों की पहचान की: एक समुच्चय 'बहुत बड़ा' है यदि और केवल तभी जब यह सभी चीजों के समुच्चय के बराबर हो। फिर उन्होंने प्रतिबंधित किया कि इन समुच्चयों का उपयोग कैसे किया जा सकता है: ... विरोधाभासों से बचने के लिए जो [समुच्चय] 'बहुत बड़े' हैं उन्हें तत्वों के रूप में अस्वीकार्य घोषित किया गया है।<ref>{{harvnb|Hallett|1984|pp=288,&nbsp;290}}.</ref> इस प्रतिबंध को अपने मानदंड के साथ जोड़कर, वॉन न्यूमैन ने आकार की सीमा के सिद्धांत का पहला संस्करण प्राप्त किया, जो वर्गों की भाषा में कहता है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर यह वी के साथ समतुल्य है।<ref name=HallettNeumann />1925 तक, वॉन न्यूमैन ने अपने स्वयंसिद्ध को संशोधित करके इसे V के साथ समतुल्य कर दिया।{{space|hair}} इसे V पर मैप किया जा सकता है{{space|hair}} , जो आकार की सीमा का सिद्धांत उत्पन्न करता है। इस संशोधन ने वॉन न्यूमैन को प्रतिस्थापन के सिद्धांत का एक सरल प्रमाण देने की अनुमति दी।<ref name=Neumann1925 />वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध समुच्चय समुच्चय को उन वर्गों के रूप में पहचानता है जिन्हें वी पर मैप नहीं किया जा सकता है। वॉन न्यूमैन ने महसूस किया कि, इस सिद्धांत के साथ भी, उनका समुच्चय सिद्धांत समुच्चय को पूरी तरह से चित्रित नहीं करता है।{{efn|Von Neumann investigated whether his set theory is [[categorical (model theory)|categorical]]; that is, whether it uniquely determines sets in the sense that any two of its models are [[isomorphic]]. He showed that it is not categorical because of a weakness in the [[axiom of regularity]]: this axiom only excludes descending ∈-sequences from existing in the model; descending sequences may still exist outside the model. A model having "external" descending sequences is not isomorphic to a model having no such sequences since this latter model lacks isomorphic images for the sets belonging to external descending sequences. This led von Neumann to conclude "that no categorical axiomatization of set theory seems to exist at all" ({{harvnb|von Neumann|1925|p=239}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967c|p=412}}).}}
+में ज़र्मेलो को लिखे एक पत्र में, वॉन न्यूमैन ने समुच्चय सिद्धांत के लिए एक दृष्टिकोण की रूपरेखा तैयार की जो उन समुच्चयों की पहचान करता है जो बहुत बड़े हैं और विरोधाभास पैदा कर सकते हैं।{{efn|Von Neumann published an introductory article on his axiom system in 1925 ({{harvnb|von Neumann|1925}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967c}}). In 1928, he provided a detailed treatment of his system ({{harvnb|von Neumann|1928}}).}} वॉन न्यूमैन ने मानदंड का उपयोग करके इन समुच्चयों की पहचान की: एक समुच्चय 'बहुत बड़ा' है यदि और केवल तभी जब यह सभी चीजों के समुच्चय के बराबर हो। फिर उन्होंने प्रतिबंधित किया कि इन समुच्चयों का उपयोग कैसे किया जा सकता है: ... विरोधाभासों से बचने के लिए जो [समुच्चय] 'बहुत बड़े' हैं उन्हें तत्वों के रूप में अस्वीकार्य घोषित किया गया है।<ref>{{harvnb|Hallett|1984|pp=288,&nbsp;290}}.</ref> इस प्रतिबंध को अपने मानदंड के साथ जोड़कर, वॉन न्यूमैन ने आकार की सीमा के सिद्धांत का पहला संस्करण प्राप्त किया, जो वर्गों की भाषा में कहता है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर यह वी के साथ समतुल्य है।<ref name=HallettNeumann />1925 तक, वॉन न्यूमैन ने अपने स्वयंसिद्ध को संशोधित करके इसे V के साथ समतुल्य कर दिया।{{space|hair}} इसे V पर मैप किया जा सकता है{{space|hair}} , जो आकार की सीमा का सिद्धांत उत्पन्न करता है। इस संशोधन ने वॉन न्यूमैन को प्रतिस्थापन के सिद्धांत का एक सरल प्रमाण देने की अनुमति दी।<ref name=Neumann1925 />वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध समुच्चय समुच्चय को उन वर्गों के रूप में पहचानता है जिन्हें वी पर मैप नहीं किया जा सकता है। वॉन न्यूमैन ने अनुभव किया कि, इस सिद्धांत के साथ भी, उनका समुच्चय सिद्धांत समुच्चय को पूरी तरह से चित्रित नहीं करता है।{{efn|Von Neumann investigated whether his set theory is [[categorical (model theory)|categorical]]; that is, whether it uniquely determines sets in the sense that any two of its models are [[isomorphic]]. He showed that it is not categorical because of a weakness in the [[axiom of regularity]]: this axiom only excludes descending ∈-sequences from existing in the model; descending sequences may still exist outside the model. A model having "external" descending sequences is not isomorphic to a model having no such sequences since this latter model lacks isomorphic images for the sets belonging to external descending sequences. This led von Neumann to conclude "that no categorical axiomatization of set theory seems to exist at all" ({{harvnb|von Neumann|1925|p=239}}; English translation: {{harvnb|van&nbsp;Heijenoort|1967c|p=412}}).}}
 गोडेल ने वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध को बहुत रुचिकर पाया:

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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