लक्षण वर्णन (गणित): Difference between revisions
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गणित में, किसी वस्तु का लक्षण वर्णन स्थितियों का | गणित में, किसी वस्तु का लक्षण वर्णन स्थितियों का समूह है, जो वस्तु की परिभाषा से भिन्न होते हुए भी तार्किक रूप से उसके समतुल्य है।<ref name=":0">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/निस्र्पण.html|title=निस्र्पण|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-21}}</ref> यह कहने का तात्पर्य यह है कि संपत्ति पी वस्तु इसी प्रकार, गुणों का सेट पी को एक्स की विशेषता कहा जाता है, जब ये गुण एक्स को अन्य सभी वस्तुओं से अलग करते हैं। भले ही लक्षण वर्णन किसी वस्तु की पहचान अनूठे तरीके से करता है, ही वस्तु के लिए कई लक्षण मौजूद हो सकते हैं। पी के संदर्भ में एक्स के लक्षण वर्णन के लिए सामान्य गणितीय अभिव्यक्तियों में शामिल है पी, एक्स के लिए [[आवश्यक और पर्याप्त]] है, और एक्स केवल तभी धारण करता है जब पी। | ||
ऐसे कथन मिलना भी आम है जैसे कि गुण Q, Y को समरूपता [[तक]] दर्शाता है। पहले प्रकार का कथन अलग-अलग शब्दों में कहता है कि P का [[विस्तार (शब्दार्थ)]] | ऐसे कथन मिलना भी आम है जैसे कि गुण Q, Y को समरूपता [[तक]] दर्शाता है। पहले प्रकार का कथन अलग-अलग शब्दों में कहता है कि P का [[विस्तार (शब्दार्थ)]] [[सिंगलटन (गणित)]] सेट है, जबकि दूसरे का कहना है कि Q का विस्तार एकल [[तुल्यता वर्ग]] है ([[ समाकृतिकता ]] के लिए, दिए गए उदाहरण में - पर निर्भर करता है) तक का उपयोग किया जा रहा है, कुछ अन्य तुल्यता संबंध शामिल हो सकते हैं)। | ||
गणितीय शब्दावली पर | गणितीय शब्दावली पर संदर्भ में कहा गया है कि विशेषता ग्रीक शब्द खारैक्स से उत्पन्न हुई है, नुकीला हिस्सा:<ब्लॉककोट>ग्रीक खारैक्स से खारख्टर आया, उपकरण जिसका उपयोग किसी वस्तु को चिह्नित करने या उत्कीर्ण करने के लिए किया जाता है। बार जब किसी वस्तु को चिह्नित किया गया, तो वह विशिष्ट हो गई, इसलिए किसी चीज़ के चरित्र का अर्थ उसकी विशिष्ट प्रकृति हो गया। परवर्ती यूनानी प्रत्यय -इस्टिकोस ने संज्ञा वर्ण को विशेषण लक्षण में परिवर्तित कर दिया, जो अपने विशेषण अर्थ को बनाए रखने के अलावा, बाद में संज्ञा भी बन गया।<ref>Steven Schwartzmann (1994) ''The Words of Mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English'', page 43, [[The Mathematical Association of America]] {{ISBN|0-88385-511-9}}</ref>जिस तरह रसायन विज्ञान में, किसी सामग्री की विशिष्ट संपत्ति नमूने की पहचान करने का काम करेगी, या सामग्री, संरचनाओं और गुणों के अध्ययन में [[लक्षण वर्णन (सामग्री विज्ञान)]] निर्धारित करेगी, गणित में गुणों को व्यक्त करने का निरंतर प्रयास होता है जो किसी सिद्धांत या प्रणाली में वांछित विशेषता को अलग करेगा। लक्षण वर्णन गणित के लिए अद्वितीय नहीं है, लेकिन चूंकि विज्ञान अमूर्त है, इसलिए अधिकांश गतिविधि को लक्षण वर्णन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितीय समीक्षाओं में, 2018 तक, 24,000 से अधिक लेखों में लेख शीर्षक में शब्द शामिल हैं, और 93,600 में समीक्षा में कहीं न कहीं शब्द शामिल हैं। | ||
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वस्तुओं और विशेषताओं के मनमाने संदर्भ में, लक्षण वर्णन को [[विषम संबंध]] एआरबी के माध्यम से व्यक्त किया गया है, जिसका अर्थ है कि वस्तु ए में विशेषता बी है। उदाहरण के लिए, b का अर्थ [[अमूर्त और ठोस]] हो सकता है। वस्तुओं को दुनिया का विस्तार (शब्दार्थ) माना जा सकता है, जबकि विशेषताएं इरादों की अभिव्यक्ति हैं। विभिन्न वस्तुओं के लक्षण वर्णन का सतत कार्यक्रम उनके [[वर्गीकरण]] की ओर ले जाता है। | |||
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* | * परिमेय संख्या, जिसे आम तौर पर दो पूर्णांकों के [[अनुपात]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, को परिमित या दोहराए जाने वाले [[दशमलव विस्तार]] वाली संख्या के रूप में वर्णित किया जा सकता है।<ref name=":0" />*समांतर [[चतुर्भुज]] चतुर्भुज है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। इसकी विशेषता यह है कि इसके विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका मतलब यह है कि सभी समांतर चतुर्भुजों में विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, और इसके विपरीत, कोई भी चतुर्भुज जिसके विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं वह समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। बाद वाला कथन केवल तभी सत्य है जब चतुर्भुजों की समावेशी परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, [[आयत]]ों को समांतर चतुर्भुज के रूप में गिना जाता है), जो आजकल गणित में वस्तुओं को परिभाषित करने का प्रमुख तरीका है। | ||
* वास्तविक रेखा पर 0 से ∞ तक के अंतराल पर संभाव्यता वितरणों के बीच, [[स्मृतिहीनता]] घातीय वितरण की विशेषता है। इस कथन का अर्थ है कि घातांकीय वितरण एकमात्र संभाव्यता वितरण हैं जो स्मृतिहीन हैं, बशर्ते कि वितरण ऊपर परिभाषित अनुसार निरंतर हो (अधिक जानकारी के लिए [[संभाव्यता वितरण की विशेषता]] देखें)। | * वास्तविक रेखा पर 0 से ∞ तक के अंतराल पर संभाव्यता वितरणों के बीच, [[स्मृतिहीनता]] घातीय वितरण की विशेषता है। इस कथन का अर्थ है कि घातांकीय वितरण एकमात्र संभाव्यता वितरण हैं जो स्मृतिहीन हैं, बशर्ते कि वितरण ऊपर परिभाषित अनुसार निरंतर हो (अधिक जानकारी के लिए [[संभाव्यता वितरण की विशेषता]] देखें)। | ||
* बोहर-मोलेरुप प्रमेय के अनुसार, सभी कार्यों के बीच f जैसे कि f(1) = 1 और x f(x) = f(x + 1) x > 0 के लिए, लॉग-उत्तलता [[गामा फ़ंक्शन]] की विशेषता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे सभी कार्यों के बीच, गामा फ़ंक्शन एकमात्र ऐसा फ़ंक्शन है जो लॉग-उत्तल है।<ref>A function ''f'' is ''log-convex'' [[Iff|if and only if]] log(''f'') is a [[convex function]]. The base of the logarithm does not matter as long as it is more than 1, but mathematicians generally take "log" with no subscript to mean the [[natural logarithm]], whose base is ''e''.</ref> | * बोहर-मोलेरुप प्रमेय के अनुसार, सभी कार्यों के बीच f जैसे कि f(1) = 1 और x f(x) = f(x + 1) x > 0 के लिए, लॉग-उत्तलता [[गामा फ़ंक्शन]] की विशेषता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे सभी कार्यों के बीच, गामा फ़ंक्शन एकमात्र ऐसा फ़ंक्शन है जो लॉग-उत्तल है।<ref>A function ''f'' is ''log-convex'' [[Iff|if and only if]] log(''f'') is a [[convex function]]. The base of the logarithm does not matter as long as it is more than 1, but mathematicians generally take "log" with no subscript to mean the [[natural logarithm]], whose base is ''e''.</ref> | ||
* सर्कल को एक-आयामी, [[ सघन स्थान ]] और [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] द्वारा [[कई गुना]] के रूप में जाना जाता है; यहाँ लक्षण वर्णन, | * सर्कल को एक-आयामी, [[ सघन स्थान ]] और [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] द्वारा [[कई गुना]] के रूप में जाना जाता है; यहाँ लक्षण वर्णन, सहज विविधता के रूप में, भिन्नरूपता तक है। | ||
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Revision as of 21:19, 7 July 2023
गणित में, किसी वस्तु का लक्षण वर्णन स्थितियों का समूह है, जो वस्तु की परिभाषा से भिन्न होते हुए भी तार्किक रूप से उसके समतुल्य है।[1] यह कहने का तात्पर्य यह है कि संपत्ति पी वस्तु इसी प्रकार, गुणों का सेट पी को एक्स की विशेषता कहा जाता है, जब ये गुण एक्स को अन्य सभी वस्तुओं से अलग करते हैं। भले ही लक्षण वर्णन किसी वस्तु की पहचान अनूठे तरीके से करता है, ही वस्तु के लिए कई लक्षण मौजूद हो सकते हैं। पी के संदर्भ में एक्स के लक्षण वर्णन के लिए सामान्य गणितीय अभिव्यक्तियों में शामिल है पी, एक्स के लिए आवश्यक और पर्याप्त है, और एक्स केवल तभी धारण करता है जब पी।
ऐसे कथन मिलना भी आम है जैसे कि गुण Q, Y को समरूपता तक दर्शाता है। पहले प्रकार का कथन अलग-अलग शब्दों में कहता है कि P का विस्तार (शब्दार्थ) सिंगलटन (गणित) सेट है, जबकि दूसरे का कहना है कि Q का विस्तार एकल तुल्यता वर्ग है (समाकृतिकता के लिए, दिए गए उदाहरण में - पर निर्भर करता है) तक का उपयोग किया जा रहा है, कुछ अन्य तुल्यता संबंध शामिल हो सकते हैं)।
गणितीय शब्दावली पर संदर्भ में कहा गया है कि विशेषता ग्रीक शब्द खारैक्स से उत्पन्न हुई है, नुकीला हिस्सा:<ब्लॉककोट>ग्रीक खारैक्स से खारख्टर आया, उपकरण जिसका उपयोग किसी वस्तु को चिह्नित करने या उत्कीर्ण करने के लिए किया जाता है। बार जब किसी वस्तु को चिह्नित किया गया, तो वह विशिष्ट हो गई, इसलिए किसी चीज़ के चरित्र का अर्थ उसकी विशिष्ट प्रकृति हो गया। परवर्ती यूनानी प्रत्यय -इस्टिकोस ने संज्ञा वर्ण को विशेषण लक्षण में परिवर्तित कर दिया, जो अपने विशेषण अर्थ को बनाए रखने के अलावा, बाद में संज्ञा भी बन गया।[2]जिस तरह रसायन विज्ञान में, किसी सामग्री की विशिष्ट संपत्ति नमूने की पहचान करने का काम करेगी, या सामग्री, संरचनाओं और गुणों के अध्ययन में लक्षण वर्णन (सामग्री विज्ञान) निर्धारित करेगी, गणित में गुणों को व्यक्त करने का निरंतर प्रयास होता है जो किसी सिद्धांत या प्रणाली में वांछित विशेषता को अलग करेगा। लक्षण वर्णन गणित के लिए अद्वितीय नहीं है, लेकिन चूंकि विज्ञान अमूर्त है, इसलिए अधिकांश गतिविधि को लक्षण वर्णन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितीय समीक्षाओं में, 2018 तक, 24,000 से अधिक लेखों में लेख शीर्षक में शब्द शामिल हैं, और 93,600 में समीक्षा में कहीं न कहीं शब्द शामिल हैं।
वस्तुओं और विशेषताओं के मनमाने संदर्भ में, लक्षण वर्णन को विषम संबंध एआरबी के माध्यम से व्यक्त किया गया है, जिसका अर्थ है कि वस्तु ए में विशेषता बी है। उदाहरण के लिए, b का अर्थ अमूर्त और ठोस हो सकता है। वस्तुओं को दुनिया का विस्तार (शब्दार्थ) माना जा सकता है, जबकि विशेषताएं इरादों की अभिव्यक्ति हैं। विभिन्न वस्तुओं के लक्षण वर्णन का सतत कार्यक्रम उनके वर्गीकरण की ओर ले जाता है।
उदाहरण
- परिमेय संख्या, जिसे आम तौर पर दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, को परिमित या दोहराए जाने वाले दशमलव विस्तार वाली संख्या के रूप में वर्णित किया जा सकता है।[1]*समांतर चतुर्भुज चतुर्भुज है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। इसकी विशेषता यह है कि इसके विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका मतलब यह है कि सभी समांतर चतुर्भुजों में विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, और इसके विपरीत, कोई भी चतुर्भुज जिसके विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं वह समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। बाद वाला कथन केवल तभी सत्य है जब चतुर्भुजों की समावेशी परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, आयतों को समांतर चतुर्भुज के रूप में गिना जाता है), जो आजकल गणित में वस्तुओं को परिभाषित करने का प्रमुख तरीका है।
- वास्तविक रेखा पर 0 से ∞ तक के अंतराल पर संभाव्यता वितरणों के बीच, स्मृतिहीनता घातीय वितरण की विशेषता है। इस कथन का अर्थ है कि घातांकीय वितरण एकमात्र संभाव्यता वितरण हैं जो स्मृतिहीन हैं, बशर्ते कि वितरण ऊपर परिभाषित अनुसार निरंतर हो (अधिक जानकारी के लिए संभाव्यता वितरण की विशेषता देखें)।
- बोहर-मोलेरुप प्रमेय के अनुसार, सभी कार्यों के बीच f जैसे कि f(1) = 1 और x f(x) = f(x + 1) x > 0 के लिए, लॉग-उत्तलता गामा फ़ंक्शन की विशेषता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे सभी कार्यों के बीच, गामा फ़ंक्शन एकमात्र ऐसा फ़ंक्शन है जो लॉग-उत्तल है।[3]
- सर्कल को एक-आयामी, सघन स्थान और जुड़ा हुआ स्थान द्वारा कई गुना के रूप में जाना जाता है; यहाँ लक्षण वर्णन, सहज विविधता के रूप में, भिन्नरूपता तक है।
यह भी देखें
- संभाव्यता वितरण की विशेषता
- टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी की विशेषताएँ
- घातांकीय फलन की विशेषताएँ
- विशेषता (बीजगणित)
- विशेषता (प्रतिपादक संकेतन)
- वर्गीकरण प्रमेय
- यूलर विशेषता
- चरित्र (गणित)
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. "निस्र्पण". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-11-21.
- ↑ Steven Schwartzmann (1994) The Words of Mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English, page 43, The Mathematical Association of America ISBN 0-88385-511-9
- ↑ A function f is log-convex if and only if log(f) is a convex function. The base of the logarithm does not matter as long as it is more than 1, but mathematicians generally take "log" with no subscript to mean the natural logarithm, whose base is e.
