अर्ध-पक्षीय सूत्र: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
[[Image:Law-of-haversines.svg|right|thumb|गोलाकार त्रिभुज]][[गोलाकार त्रिकोण|गोलाकार त्रिकोणमिति]] में, अर्ध | [[Image:Law-of-haversines.svg|right|thumb|गोलाकार त्रिभुज]][[गोलाकार त्रिकोण|गोलाकार त्रिकोणमिति]] में, अर्ध पक्षीय सूत्र गोलाकार त्रिभुजों की पक्षीयओं के कोणों और लंबाई से संबंधित होता है, जो एक गोले की सतह पर खींचे गए त्रिभुज होते हैं और इसलिए उनकी पक्षीयएँ घुमावदार होती हैं और समतल त्रिभुजों के सूत्रों का पालन नहीं करते हैं।<ref>{{citation|title=Handbook of Mathematics|title-link=Bronshtein and Semendyayev|first1=I. N.|last1=Bronshtein|first2=K. A.|last2=Semendyayev|first3=Gerhard|last3=Musiol|first4=Heiner|last4=Mühlig|publisher=Springer|year=2007|isbn=9783540721222|page=165}}[https://books.google.com/books?id=gCgOoMpluh8C&pg=PA165]</ref> | ||
== सूत्र == | == सूत्र == | ||
त्रिज्या r वाले गोले पर बने त्रिभुज के लिए, अर्ध- | त्रिज्या r वाले गोले पर बने त्रिभुज के लिए, अर्ध-पक्षीय सूत्र हैं:<ref>{{citation|title=The Penguin Dictionary of Mathematics|edition=4th|first=David|last=Nelson|publisher=Penguin UK|year=2008|isbn=9780141920870|page=529|url=https://books.google.com/books?id=ud3sEeVdTIwC&pg=PT529}}.</ref> | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\tan \left(\frac{a}{2r}\right) & = R \cos (S- A) \\ | \tan \left(\frac{a}{2r}\right) & = R \cos (S- A) \\ | ||
| Line 9: | Line 9: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहाँ | जहाँ | ||
* {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} क्रमशः विपरीत कोणों की | * {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} क्रमशः विपरीत कोणों की पक्षीयओं की लंबाई {{mvar|A}}, {{mvar|B}}, और {{mvar|C}} हैं; | ||
* <math>S = \frac{1}{2}(A+B+ C)</math> कोणों के योग का अर्ध है; और | * <math>S = \frac{1}{2}(A+B+ C)</math> कोणों के योग का अर्ध है; और | ||
* <math>R = \sqrt{\frac {-\cos S}{\cos (S-A) \cos (S-B) \cos (S-C)}}.</math> | * <math>R = \sqrt{\frac {-\cos S}{\cos (S-A) \cos (S-B) \cos (S-C)}}.</math> | ||
तीनों सूत्र वास्तव में एक ही सूत्र हैं, जिनमें चरों के नाम क्रमबद्ध हैं। | तीनों सूत्र वास्तव में एक ही सूत्र हैं, जिनमें चरों के नाम क्रमबद्ध हैं। | ||
पक्षीयओं {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} को {{math|1= 1/''r''}} कारक द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है जिससे वे इकाई गोले पर चाप की लंबाई का प्रतिनिधित्व करें। | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 22:38, 21 July 2023
गोलाकार त्रिकोणमिति में, अर्ध पक्षीय सूत्र गोलाकार त्रिभुजों की पक्षीयओं के कोणों और लंबाई से संबंधित होता है, जो एक गोले की सतह पर खींचे गए त्रिभुज होते हैं और इसलिए उनकी पक्षीयएँ घुमावदार होती हैं और समतल त्रिभुजों के सूत्रों का पालन नहीं करते हैं।[1]
सूत्र
त्रिज्या r वाले गोले पर बने त्रिभुज के लिए, अर्ध-पक्षीय सूत्र हैं:[2]
जहाँ
- a, b, और c क्रमशः विपरीत कोणों की पक्षीयओं की लंबाई A, B, और C हैं;
- कोणों के योग का अर्ध है; और
तीनों सूत्र वास्तव में एक ही सूत्र हैं, जिनमें चरों के नाम क्रमबद्ध हैं।
पक्षीयओं a, b, और c को 1/r कारक द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है जिससे वे इकाई गोले पर चाप की लंबाई का प्रतिनिधित्व करें।
यह भी देखें
- कोसाइन का गोलाकार नियम
- हावर्साइन्स का नियम
संदर्भ
- ↑ Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007), Handbook of Mathematics, Springer, p. 165, ISBN 9783540721222[1]
- ↑ Nelson, David (2008), The Penguin Dictionary of Mathematics (4th ed.), Penguin UK, p. 529, ISBN 9780141920870.
