स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र: Difference between revisions
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[[त्रिकोणमिति]] में, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र किसी कोण के आधे हिस्से की स्पर्शरेखा को पूरे कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। आधे कोण की स्पर्शरेखा एक रेखा पर वृत्त का [[त्रिविम प्रक्षेपण]] है। इनमें से निम्नलिखित सूत्र हैं: | |||
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\sin \alpha & = \frac{2\tan \tfrac12 \alpha}{1 + \tan ^2 \tfrac12 \alpha} \\[7pt] | \sin \alpha & = \frac{2\tan \tfrac12 \alpha}{1 + \tan ^2 \tfrac12 \alpha} \\[7pt] | ||
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\tan \alpha & = \frac{2\tan \tfrac12 \alpha}{1 - \tan ^2 \tfrac12 \alpha} | \tan \alpha & = \frac{2\tan \tfrac12 \alpha}{1 - \tan ^2 \tfrac12 \alpha} | ||
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===बीजगणितीय प्रमाण=== | ===बीजगणितीय प्रमाण=== | ||
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= \frac{2 \sin \tfrac12(p+q) \, \cos \tfrac12(p-q)}{2 \cos \tfrac12(p+q) \, \cos \tfrac12(p-q)} = \tan \tfrac12(p+q) </math> | = \frac{2 \sin \tfrac12(p+q) \, \cos \tfrac12(p-q)}{2 \cos \tfrac12(p+q) \, \cos \tfrac12(p-q)} = \tan \tfrac12(p+q) </math> | ||
'''ज्यामितीय प्रमाण''' | |||
[[File:Tan.half.svg|right|400px|thumb|इस समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई 1 है। क्षैतिज रेखा और दिखाए गए विकर्ण के बीच का कोण है{{math|{{sfrac|1|2}} (''a'' + ''b'')}}. यह विशेष स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र को सिद्ध करने का एक ज्यामितीय तरीका है जो कहता है {{math|tan {{sfrac|1|2}} (''a'' + ''b'') {{=}} (sin ''a'' + sin ''b'') / (cos ''a'' + cos ''b'')}}. सूत्र {{math|sin {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'')}} और {{math|cos {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'')}} विकर्ण की लंबाई से वास्तविक दूरियों का अनुपात है।]]ऊपर दिए गए सूत्रों को दाईं ओर समचतुर्भुज आकृति पर लागू करने से यह आसानी से दिखाया जा सकता है | [[File:Tan.half.svg|right|400px|thumb|इस समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई 1 है। क्षैतिज रेखा और दिखाए गए विकर्ण के बीच का कोण है{{math|{{sfrac|1|2}} (''a'' + ''b'')}}. यह विशेष स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र को सिद्ध करने का एक ज्यामितीय तरीका है जो कहता है {{math|tan {{sfrac|1|2}} (''a'' + ''b'') {{=}} (sin ''a'' + sin ''b'') / (cos ''a'' + cos ''b'')}}. सूत्र {{math|sin {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'')}} और {{math|cos {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'')}} विकर्ण की लंबाई से वास्तविक दूरियों का अनुपात है।]]ऊपर दिए गए सूत्रों को दाईं ओर समचतुर्भुज आकृति पर लागू करने से यह आसानी से दिखाया जा सकता है | ||
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यह इस प्रकार है कि | यह इस प्रकार है कि | ||
<math display="block">t = \frac{\sin \varphi}{1+ \cos \varphi} = \frac{\sin \varphi(1- \cos \varphi)}{(1+ \cos \varphi)(1- \cos \varphi)} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}.</math> | == <math display="block">t = \frac{\sin \varphi}{1+ \cos \varphi} = \frac{\sin \varphi(1- \cos \varphi)}{(1+ \cos \varphi)(1- \cos \varphi)} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}.</math>अभिन्न कलन में स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन == | ||
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कुछ पूर्णांक के लिए {{math|''n''}}, और इसलिए | कुछ पूर्णांक के लिए {{math|''n''}}, और इसलिए | ||
<math display="block">d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.</math> | <math display="block">d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.</math>'''[[अतिशयोक्ति]]पूर्ण पहचान''' | ||
कोई भी [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के साथ एक पूरी तरह से अनुरूप खेल खेल सकता है। हाइपरबोला की (दाहिनी शाखा पर) एक बिंदु किसके द्वारा दिया जाता है{{math|(cosh ''ψ'', sinh ''ψ'')}}. इसे प्रक्षेपित करना {{math|''y''}}-केंद्र से अक्ष {{math|(−1, 0)}} निम्नलिखित देता है: | कोई भी [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के साथ एक पूरी तरह से अनुरूप खेल खेल सकता है। हाइपरबोला की (दाहिनी शाखा पर) एक बिंदु किसके द्वारा दिया जाता है{{math|(cosh ''ψ'', sinh ''ψ'')}}. इसे प्रक्षेपित करना {{math|''y''}}-केंद्र से अक्ष {{math|(−1, 0)}} निम्नलिखित देता है: | ||
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खोज {{math|''ψ''}} के अनुसार {{math|''t''}} [[व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के बीच निम्नलिखित संबंध की ओर ले जाता है <math>\operatorname{artanh}</math> और प्राकृतिक लघुगणक: | खोज {{math|''ψ''}} के अनुसार {{math|''t''}} [[व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों के बीच निम्नलिखित संबंध की ओर ले जाता है <math>\operatorname{artanh}</math> और प्राकृतिक लघुगणक: | ||
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{{Main|Gudermannian function}} | {{Main|Gudermannian function}} | ||
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==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
* [http://planetmath.org/encyclopedia/TangentOfHalvedAngle.html ''Tangent Of Halved Angle''] at [[Planetmath]] | * [http://planetmath.org/encyclopedia/TangentOfHalvedAngle.html ''Tangent Of Halved Angle''] at [[Planetmath]] | ||
Revision as of 18:02, 20 July 2023
त्रिकोणमिति |
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संदर्भ |
कानून और सिद्धांत |
पथरी |
त्रिकोणमिति में, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र किसी कोण के आधे हिस्से की स्पर्शरेखा को पूरे कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। आधे कोण की स्पर्शरेखा एक रेखा पर वृत्त का त्रिविम प्रक्षेपण है। इनमें से निम्नलिखित सूत्र हैं:
प्रमाण
बीजगणितीय प्रमाण
दोहरे कोण सूत्रों और पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना देता है
और
जो विभाजन करने पर मिलता है
इससे पता चलता है कि इन अंतिम दो सूत्रों में निरपेक्ष मान चिह्न हटाये जा सकते हैं, चाहे कोई भी चतुर्थांश हो α में है। निरपेक्ष मान पट्टियों के साथ या उसके बिना ये सूत्र तब लागू नहीं होते जब दाहिनी ओर अंश और हर दोनों शून्य हों।
इसके अलावा, साइन और कोसाइन दोनों के लिए कोण जोड़ और घटाव सूत्रों का उपयोग करके कोई प्राप्त करता है:
ज्यामितीय प्रमाण
ऊपर दिए गए सूत्रों को दाईं ओर समचतुर्भुज आकृति पर लागू करने से यह आसानी से दिखाया जा सकता है
अभिन्न कलन में स्पर्शरेखा अर्ध-कोण प्रतिस्थापन
त्रिकोणमिति के विभिन्न अनुप्रयोगों में, एक नए चर के तर्कसंगत कार्यों के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों (जैसे उन लोगों के और कोज्या ) को फिर से लिखना उपयोगी है। . की परिभाषा के कारण इन सर्वसमिकाओं को सामूहिक रूप से स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र के रूप में जाना जाता है . ये पहचानें साइन और कोसाइन में तर्कसंगत कार्यों को के कार्यों में परिवर्तित करने के लिए गणना में उपयोगी हो सकती हैं t उनके प्रतिअवकलज खोजने के लिए।
ज्यामितीय रूप से, निर्माण इस प्रकार होता है: किसी भी बिंदु के लिए (cos φ, sin φ) इकाई चक्र पर, इससे होकर गुजरने वाली रेखा और बिंदु खींचें (−1, 0). यह बिंदु पार करता है y-किसी बिंदु पर अक्ष y = t. कोई सरल ज्यामिति का उपयोग करके यह दिखा सकता है t = tan(φ/2). खींची गई रेखा का समीकरण है y = (1 + x)t. रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन का समीकरण तब एक द्विघात समीकरण होता है t. इस समीकरण के दो समाधान हैं (−1, 0) और (cos φ, sin φ). यह हमें बाद वाले को तर्कसंगत कार्यों के रूप में लिखने की अनुमति देता है t (समाधान नीचे दिए गए हैं)।
पैरामीटर t बिंदु के त्रिविम प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है (cos φ, sin φ) उस पर y-प्रक्षेपण के केंद्र के साथ अक्ष (−1, 0). इस प्रकार, स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र त्रिविम निर्देशांक के बीच रूपांतरण देते हैं t इकाई वृत्त और मानक कोणीय निर्देशांक पर φ.
तो हमारे पास हैं
गुडरमैनियन फ़ंक्शन
अतिशयोक्तिपूर्ण पहचानों की तुलना वृत्ताकार पहचानों से करने पर, कोई यह नोटिस करता है कि उनमें समान कार्य शामिल हैं t, अभी क्रमपरिवर्तित किया गया। यदि हम पैरामीटर की पहचान करते हैं t दोनों ही मामलों में हम वृत्ताकार फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के बीच एक संबंध पर पहुंचते हैं। अर्थात यदि
तर्कसंगत मान और पायथागॉरियन त्रिगुण
भुजाओं की लंबाई वाले पाइथागोरस त्रिभुज से प्रारंभ करना a, b, और c जो धनात्मक पूर्णांक हैं और संतुष्ट करते हैं a2 + b2 = c2, इससे तुरंत पता चलता है कि त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में साइन और कोसाइन के लिए तर्कसंगत मान हैं, क्योंकि ये केवल भुजाओं की लंबाई के अनुपात हैं। इस प्रकार, इनमें से प्रत्येक कोण का उपयोग करते हुए, इसके अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए एक तर्कसंगत मान होता है tan φ/2 = sin φ / (1 + cos φ).
विपरीत भी सही है। यदि दो धनात्मक कोण हैं जिनका योग 90° है, प्रत्येक एक परिमेय अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के साथ है, और तीसरा कोण एक समकोण है तो इन आंतरिक कोणों वाला एक त्रिभुज पाइथागोरस त्रिभुज के समान (ज्यामिति) हो सकता है। यदि तीसरे कोण का समकोण होना आवश्यक नहीं है, लेकिन वह कोण है जो तीन धनात्मक कोणों का योग 180° बनाता है तो तीसरे कोण के पास आवश्यक रूप से अपने अर्ध-कोण स्पर्शरेखा के लिए एक तर्कसंगत संख्या होगी जब पहले दो ऐसा करते हैं (का उपयोग करके) स्पर्शरेखाओं के लिए कोण जोड़ और घटाव सूत्र) और त्रिभुज को हेरोनियन त्रिभुज में स्केल किया जा सकता है।
आम तौर पर, अगर K सम्मिश्र संख्याओं का फ़ील्ड विस्तार है tan φ/2 ∈ K ∪ {∞} इसका आशय है {sin φ, cos φ, tan φ, sec φ, csc φ, cot φ} ⊆ K ∪ {∞}.