सामान्यीकृत वृत्त

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ज्यामिति में, सामान्यीकृत वृत्त, जिसे रेखा या वृत्त भी कहा जाता है, सीधी रेखा या वृत्त है। इस अवधारणा का उपयोग विशेष रूप से व्युत्क्रम ज्यामिति में किया जाता है, ऐसा संदर्भ जिसमें सीधी रेखाएं एवं वृत्त अप्रभेद्य होते हैं।

सामान्यीकृत वृत्तों के लिए प्राकृतिक सेटिंग विस्तारित तल है। अनंत पर बिंदु के साथ तल है, जिसके माध्यम से तब सीधी रेखा को उन वृत्तों में से माना जाता है जो अनंत पर अनंतस्पर्शी बिंदु से होकर निकलती है। व्युत्क्रम ज्यामिति में यह गुण होता है कि वे सामान्यीकृत वृत्तों को सामान्यीकृत वृत्तों में मैप करते हैं। मोबियस परिवर्तन, जो व्युत्क्रमों की रचनाएँ हैं, उस संपत्ति को प्राप्त करते हैं। ये परिवर्तन आवश्यक रूप से रेखाओं को रेखाओं एवं वृत्तों को वृत्तों में मैप नहीं करते हैं: वे दोनों को मिला सकते हैं।

व्युत्क्रमण दो प्रकार के होते हैं: वृत्तों पर व्युत्क्रम एवं रेखाओं पर प्रतिबिम्ब है। चूँकि दोनों के गुण बहुत समान हैं, हम उन्हें जोड़ते हैं एवं सामान्यीकृत वृत्तों में व्युत्क्रमों के विषय में संवाद करते हैं।

विस्तारित तल में किन्हीं तीन भिन्न-भिन्न बिंदुओं को देखते हुए, वास्तव में सामान्यीकृत वृत्त सम्मिलित होता है जो तीन बिंदुओं से होकर निकलता है।

त्रिविम प्रक्षेपण का उपयोग करके विस्तारित तल को गोले से पहचाना जा सकता है। अनंत पर स्थित बिंदु तब गोले पर सामान्य बिंदु बन जाता है, एवं सभी सामान्यीकृत वृत्त गोले पर वृत्त बन जाते हैं।

विस्तारित सम्मिश्र तल में समीकरण

व्युत्क्रम ज्यामिति के विस्तारित तल को विस्तारित समष्टि तल से पहचाना जा सकता है, जिससे रेखाओं, वृत्तों एवं व्युत्क्रमों का वर्णन करने के लिए समष्टि संख्याओं के समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है।

वृत्त Γ समतल में बिंदु z का समुच्चय है जो केंद्र बिंदु γ से त्रिज्या r पर स्थित है।

$\Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{the distance between }}z{\text{ and }}\gamma {\text{ is }}r\}$

समष्टि तल का उपयोग करके, हम γ को समष्टि संख्या के रूप में एवं वृत्त Γ को समष्टि संख्याओं के समुच्चय के रूप में मान सकते हैं।

इस गुण का उपयोग करते हुए कि सम्मिश्र संख्या को उसके संयुग्म से गुणा करने पर हमें उसके मापांक का वर्ग प्राप्त होता है, एवं इसका मापांक मूल से इसकी यूक्लिडियन दूरी है, Γ के लिए समीकरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

${\left|z-\gamma \right|}=r$

${\left|z-\gamma \right|}^{2}=r^{2}$

$(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}=r^{2}$

$z{\bar {z}}-z{\bar {\gamma }}-{\bar {z}}\gamma +\gamma {\bar {\gamma }}=r^{2}$

$z{\bar {z}}-z{\bar {\gamma }}-{\bar {z}}\gamma +\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}=0.$

प्रपत्र का समीकरण प्राप्त करने के लिए हम इसे वास्तविक गुणांक z एवं उसका संयुग्म से गुणा कर सकते हैं,

$Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0$

जहाँ A एवं D वास्तविक संख्याएँ हैं, एवं B एवं C सम्मिश्र संयुग्म हैं। चरणों को विपरीत करते हुए, हम देखते हैं कि इसे वृत्त बनाने के लिए, त्रिज्या का वर्ग (BC-AD)/A² >0 बराबर होना चाहिए। इसलिए उपरोक्त समीकरण सामान्यीकृत वृत्त को परिभाषित करता है जब भी AD < BC होता है। ध्यान दें कि जब A शून्य है, तो यह समीकरण सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

समष्टि पारस्परिक

अब यह देखना सरल है कि परिवर्तन w = 1/z सामान्यीकृत वृत्तों को सामान्यीकृत वृत्तों में मैप करता है:

${\begin{aligned}Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D&=0\\[6pt]A{\frac {1}{w}}{\frac {1}{\bar {w}}}+B{\frac {1}{w}}+C{\frac {1}{\bar {w}}}+D&=0\\[6pt]A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}&=0\\[6pt]D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A&=0.\end{aligned}}$

हम देखते हैं कि मूल बिंदु (A= D = 0) से निकलने वाली रेखाएं मूल से निकलने वाली रेखाओं का मानचित्र हैं, जो रेखाएं मूल बिंदु से नहीं निकलती हैं (A = 0; D ≠ 0) मूल बिंदु से निकलने वाले वृत्तों वृत्तों का मानचित्र हैं, मूल के माध्यम से वृत्त (A ≠ 0; D = 0) उन रेखाओं का मानचित्र जो मूल बिंदु से होकर नहीं निकलती हैं; एवं वृत्त मूल बिंदु से होकर नहीं जाता (A ≠ 0; D ≠ 0) मूल से होकर न निकलने वाले वृत्तों का मानचित्र हैं।

हर्मिटियन आव्यूह द्वारा प्रतिनिधित्व

सामान्यीकृत वृत्त के समीकरण को परिभाषित करने वाला डेटा

$Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0$

इसे उपयोगी रूप से व्युत्क्रमणीय आव्यूह को हर्मिटियन आव्यूह लिखा जा सकता है,

${\mathfrak {C}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }.$

ऐसे दो हर्मिटियन आव्यूह एक ही सामान्यीकृत वृत्त को निर्दिष्ट करते हैं यदि एवं केवल तभी जब एक दूसरे के अदिश गुणज होते हैं।

मोबियस परिवर्तन ${\mathfrak {C}}$ द्वारा वर्णित सामान्यीकृत वृत्त को ${\mathfrak {H}}$ से रूपांतरित करना एवं मोबियस परिवर्तन ${\mathfrak {G}}$ विपरीत करना है,

${\mathfrak {C}}\mapsto {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.$

संदर्भ

• Hans Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, 1979
• Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete", 2nd edition, Prentice Hall, 2001
• David W. Lyons (2021) Möbius Geometry from LibreTexts