अर्ध-सीमित क्षेत्र: Difference between revisions

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गणित में, एक अर्ध-सीमित क्षेत्र<ref>{{harv|Artin|Tate|2009|loc=§XI.3}} say that the field satisfies "Moriya's axiom"</ref> एक [[परिमित क्षेत्र]] का सामान्यीकरण है। मानक [[स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] आम तौर पर पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (यानी [[गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र]]), लेकिन सिद्धांत समान रूप से लागू होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।<ref>As shown by Mikao Moriya {{harv|Serre|1979|loc=chapter XIII, p. 188}}</ref>
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== औपचारिक परिभाषा ==
== औपचारिक परिभाषा ==
 
अर्ध-परिमित क्षेत्र [[टोपोलॉजिकल समूह]]ों की समरूपता के साथ आदर्श क्षेत्र ''K'' है
एक अर्ध-परिमित क्षेत्र [[टोपोलॉजिकल समूह]]ों की समरूपता के साथ एक आदर्श क्षेत्र ''K'' है
: <math>\phi : \hat{\mathbb Z} \to \operatorname{Gal}(K_s/K),</math>
: <math>\phi : \hat{\mathbb Z} \to \operatorname{Gal}(K_s/K),</math>
जहां के<sub>''s''</sub> K का [[बीजगणितीय समापन]] है (आवश्यक रूप से अलग करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार के<sub>''s''</sub>/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार [[क्रुल टोपोलॉजी]] दी गई है। समूह <math>\widehat{\mathbb{Z}}</math> परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में [[पूर्णांक]]ों की [[अनंत पूर्णता]] है।
जहां के<sub>''s''</sub> K का [[बीजगणितीय समापन]] है (आवश्यक रूप से अलग करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार के<sub>''s''</sub>/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार [[क्रुल टोपोलॉजी]] दी गई है। समूह <math>\widehat{\mathbb{Z}}</math> परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में [[पूर्णांक]]ों की [[अनंत पूर्णता]] है।


यह परिभाषा यह कहने के बराबर है कि K का एक अद्वितीय (आवश्यक रूप से [[चक्रीय विस्तार]]) विस्तार K है<sub>''n''</sub> प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n की, और इन एक्सटेंशनों का मिलन K के बराबर है<sub>''s''</sub>.<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2 exercise 1, p. 192}}</ref> इसके अलावा, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के हिस्से के रूप में, एक जनरेटर एफ है<sub>''n''</sub> प्रत्येक गैल(K) के लिए<sub>''n''</sub>/K), और जनरेटर सुसंगत होने चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो F का प्रतिबंध<sub>''m''</sub> के को<sub>''n''</sub> F के बराबर है<sub>''n''</sub>.
यह परिभाषा यह कहने के बराबर है कि K का अद्वितीय (आवश्यक रूप से [[चक्रीय विस्तार]]) विस्तार K है<sub>''n''</sub> प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n की, और इन ्सटेंशनों का मिलन K के बराबर है<sub>''s''</sub>.<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2 exercise 1, p. 192}}</ref> इसके अलावा, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के हिस्से के रूप में, जनरेटर एफ है<sub>''n''</sub> प्रत्येक गैल(K) के लिए<sub>''n''</sub>/K), और जनरेटर सुसंगत होने चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो F का प्रतिबंध<sub>''m''</sub> के को<sub>''n''</sub> F के बराबर है<sub>''n''</sub>.


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


सबसे बुनियादी उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, अर्थात् K का एक अद्वितीय चक्रीय विस्तार है<sub>''n''</sub> = जीएफ(''क्यू''<sup>n</sup>). के का संघ<sub>''n''</sub> बीजगणितीय समापन K है<sub>''s''</sub>. हम एफ लेते हैं<sub>''n''</sub> फ्रोबेनियस तत्व होना; यानी एफ<sub>''n''</sub>(एक्स) = एक्स<sup>क्यू</sup>.
सबसे बुनियादी उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, अर्थात् K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है<sub>''n''</sub> = जीएफ(''क्यू''<sup>n</sup>). के का संघ<sub>''n''</sub> बीजगणितीय समापन K है<sub>''s''</sub>. हम एफ लेते हैं<sub>''n''</sub> फ्रोबेनियस तत्व होना; यानी एफ<sub>''n''</sub>(्स) = ्स<sup>क्यू</sup>.


एक अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में [[औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला]] का वलय है। (ये केवल [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] हैं जिसमें हम नकारात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का एक अद्वितीय चक्रीय विस्तार है
अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में [[औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला]] का वलय है। (ये केवल [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] हैं जिसमें हम नकारात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है
: <math>K_n = \mathbf C((T^{1/n}))</math>
: <math>K_n = \mathbf C((T^{1/n}))</math>
प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका मिलन K का एक बीजगणितीय समापन है जिसे [[पुइसेक्स श्रृंखला]] का क्षेत्र कहा जाता है, और यह गैल (K) का एक जनरेटर है<sub>''n''</sub>/K) द्वारा दिया गया है
प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका मिलन K का बीजगणितीय समापन है जिसे [[पुइसेक्स श्रृंखला]] का क्षेत्र कहा जाता है, और यह गैल (K) का जनरेटर है<sub>''n''</sub>/K) द्वारा दिया गया है
: <math>F_n(T^{1/n}) = e^{2\pi i/n} T^{1/n}.</math>
: <math>F_n(T^{1/n}) = e^{2\pi i/n} T^{1/n}.</math>
यह निर्माण तब काम करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड ''C'' से बदल दिया जाता है।<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2, p. 191}}</ref>
यह निर्माण तब काम करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड ''C'' से बदल दिया जाता है।<ref>{{harv|Serre|1979|loc=§XIII.2, p. 191}}</ref>


 
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Revision as of 17:44, 20 July 2023

गणित में, अर्ध-सीमित क्षेत्र[1] परिमित क्षेत्र का सामान्यीकरण है। मानक स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत आम तौर पर पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (यानी गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र), लेकिन सिद्धांत समान रूप से लागू होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।[2]

औपचारिक परिभाषा

अर्ध-परिमित क्षेत्र टोपोलॉजिकल समूहों की समरूपता के साथ आदर्श क्षेत्र K है

जहां केs K का बीजगणितीय समापन है (आवश्यक रूप से अलग करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार केs/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार क्रुल टोपोलॉजी दी गई है। समूह परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में पूर्णांकों की अनंत पूर्णता है।

यह परिभाषा यह कहने के बराबर है कि K का अद्वितीय (आवश्यक रूप से चक्रीय विस्तार) विस्तार K हैn प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n की, और इन ्सटेंशनों का मिलन K के बराबर हैs.[3] इसके अलावा, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के हिस्से के रूप में, जनरेटर एफ हैn प्रत्येक गैल(K) के लिएn/K), और जनरेटर सुसंगत होने चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो F का प्रतिबंधm के कोn F के बराबर हैn.

उदाहरण

सबसे बुनियादी उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, अर्थात् K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार हैn = जीएफ(क्यूn). के का संघn बीजगणितीय समापन K हैs. हम एफ लेते हैंn फ्रोबेनियस तत्व होना; यानी एफn(्स) = ्सक्यू.

अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का वलय है। (ये केवल औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं जिसमें हम नकारात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है

प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका मिलन K का बीजगणितीय समापन है जिसे पुइसेक्स श्रृंखला का क्षेत्र कहा जाता है, और यह गैल (K) का जनरेटर हैn/K) द्वारा दिया गया है

यह निर्माण तब काम करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड C से बदल दिया जाता है।[4]

टिप्पणियाँ

  1. ↑ (Artin & Tate 2009, §XI.3) say that the field satisfies "Moriya's axiom"
  2. ↑ As shown by Mikao Moriya (Serre 1979, chapter XIII, p. 188)
  3. ↑ (Serre 1979, §XIII.2 exercise 1, p. 192)
  4. ↑ (Serre 1979, §XIII.2, p. 191)


संदर्भ

  • Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155, Zbl 1179.11040
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, translated by Greenberg, Marvin Jay, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237, Zbl 0423.12016
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