लक्षण वर्णन (गणित): Difference between revisions
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गणित में, किसी वस्तु का लक्षण वर्णन स्थितियों का | गणित में, किसी वस्तु का '''लक्षण वर्णन''' स्थितियों का समूह होता है, जो वस्तु की परिभाषा से भिन्न होते हुए भी तार्किक रूप से उसके समतुल्य होते है।<ref name=":0">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/निस्र्पण.html|title=निस्र्पण|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-21}}</ref> कहने का तात्पर्य यह है कि संपत्ति P वस्तु इसी प्रकार, गुणों का समूह P को X की विशेषता कहा जाता है, जब ये गुण X को अन्य सभी वस्तुओं से पृथक करते हैं। यह किसी वस्तु की पहचान अद्वितीय प्रकार से करता है, वस्तु के लिए कई लक्षण उपस्थित हो सकते हैं I P के संदर्भ में X के लक्षण वर्णन के लिए सामान्य गणितीय अभिव्यक्तियों में सम्मिलित होते हैं "P X के लिए [[आवश्यक और पर्याप्त]] है", और " X यदि P रखता है"। | ||
ऐसे कथन | ऐसे कथन प्राप्त होना भी सामान्य है जैसे कि गुण Q, Y को समरूपता [[तक]] प्रदर्शित करता है। प्रथम प्रकार का कथन भिन्न-भिन्न शब्दों में कहता है कि, P का [[विस्तार (शब्दार्थ)]] [[सिंगलटन (गणित)]] समूह होते है, जबकि दूसरे का कहना है कि Q का विस्तार एकल [[तुल्यता वर्ग]] है ([[ समाकृतिकता ]]के लिए, यह इस पर निर्भर करता है कि इसका उपयोग कैसे किया जा रहा है , कुछ अन्य तुल्यता संबंध सम्मिलित हो सकते हैं)। | ||
गणितीय शब्दावली पर | गणितीय शब्दावली पर संदर्भ में कहा गया है कि विशेषता ग्रीक शब्द खारैक्स, "नुकीला दांव" से उत्पन्न हुई है: उपकरण जिसका उपयोग किसी वस्तु को चिह्नित करने या उत्कीर्ण करने के लिए किया जाता है। एक बार जब किसी वस्तु को चिह्नित किया गया, तो वह विशिष्ट हो गई, इसलिए किसी चीज़ के चरित्र का अर्थ उसकी विशिष्ट प्रकृति हो गया। लेट ग्रीक प्रत्यय -इस्टिकोस ने संज्ञा वर्ण को विशेषण विशेषता में परिवर्तित कर दिया, जो अपने विशेषण अर्थ को बनाए रखने के अतिरिक्त, तत्पश्चात संज्ञा भी बन गया।<ref>Steven Schwartzmann (1994) ''The Words of Mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English'', page 43, [[The Mathematical Association of America]] {{ISBN|0-88385-511-9}}</ref> जिस प्रकार रसायन विज्ञान में, किसी सामग्री की विशिष्ट संपत्ति प्रारूप की पहचान करने का काम करेगी, या सामग्री, संरचनाओं और गुणों के अध्ययन में [[लक्षण वर्णन (सामग्री विज्ञान)]] निर्धारित करेगी, गणित में गुणों को व्यक्त करने का निरंतर प्रयास होता है, जो किसी सिद्धांत या प्रणाली में वांछित विशेषता को पृथक करता है। लक्षण वर्णन गणित के लिए अद्वितीय नहीं है, लेकिन चूंकि विज्ञान अमूर्त है, इसलिए अधिकांश गतिविधि को लक्षण वर्णन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितीय समीक्षाओं में, 2018 तक, 24,000 से अधिक लेखों में लेख शीर्षक में शब्द सम्मिलित होते हैं, और 93,600 में समीक्षा में कहीं न कहीं शब्द सम्मिलित होते हैं। | ||
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वस्तुओं और विशेषताओं के स्वेच्छानुसार संदर्भ में, लक्षण वर्णन को [[विषम संबंध]] एआरबी के माध्यम से व्यक्त किया गया है, जिसका अर्थ है कि वस्तु a में विशेषता b है। उदाहरण के लिए, b का अर्थ [[अमूर्त और ठोस]] हो सकता है। वस्तुओं को विश्व का विस्तार (शब्दार्थ) माना जा सकता है, जबकि विशेषताएं विचारो की अभिव्यक्ति होती हैं। विभिन्न वस्तुओं के लक्षण वर्णन का सतत कार्यक्रम उनके [[वर्गीकरण]] की ओर ले जाता है। | |||
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* | * परिमेय संख्या, जिसे सामान्यतः दो पूर्णांकों के [[अनुपात]] रूप में परिभाषित किया जाता है, परिमित या दोहराए जाने वाले [[दशमलव विस्तार]] वाली संख्या के रूप में वर्णित किया जा सकता है।<ref name=":0" /> समांतर [[चतुर्भुज]] है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। इसकी विशेषता यह है कि इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका आशय यह है कि सभी समांतर चतुर्भुजों में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, और इसके विपरीत, कोई भी चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं वह समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। बाद वाला कथन केवल तभी सत्य है जब चतुर्भुजों की समावेशी परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, [[आयत|आयतों]] को समांतर चतुर्भुज के रूप में गिना जाता है), जो आजकल गणित में वस्तुओं को परिभाषित करने का प्रमुख उपाय है। | ||
* वास्तविक रेखा पर 0 से ∞ तक के अंतराल पर संभाव्यता वितरणों के | * वास्तविक रेखा पर 0 से ∞ तक के अंतराल पर संभाव्यता वितरणों के मध्य, [[स्मृतिहीनता]] घातीय वितरण की विशेषता है। इस कथन का अर्थ है कि घातांकीय वितरण एकमात्र संभाव्यता वितरण हैं जो स्मृतिहीन हैं, वितरण ऊपर परिभाषित अनुसार निरंतर हो (अधिक जानकारी के लिए [[संभाव्यता वितरण की विशेषता]] देखें)। | ||
* बोहर-मोलेरुप प्रमेय के अनुसार, सभी कार्यों के | * बोहर-मोलेरुप प्रमेय के अनुसार, सभी कार्यों के मध्य f जैसे कि f(1) = 1 और x f(x) = f(x + 1) x > 0 के लिए, लॉग-उत्तलता [[गामा फ़ंक्शन]] की विशेषता है। इसका आशय यह है कि ऐसे सभी कार्यों के मध्य, गामा फलन एकमात्र ऐसा फलन है जो लॉग-उत्तल होते है।<ref>A function ''f'' is ''log-convex'' [[Iff|if and only if]] log(''f'') is a [[convex function]]. The base of the logarithm does not matter as long as it is more than 1, but mathematicians generally take "log" with no subscript to mean the [[natural logarithm]], whose base is ''e''.</ref> | ||
* सर्कल को एक-आयामी, [[ सघन स्थान ]] और [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] द्वारा [[कई गुना]] के रूप में जाना जाता है; यहाँ लक्षण वर्णन, | * सर्कल को एक-आयामी, [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] और [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] द्वारा [[कई गुना]] के रूप में जाना जाता है; यहाँ लक्षण वर्णन, सहज विविधता के रूप में, भिन्नरूपता तक है। | ||
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Latest revision as of 13:37, 2 August 2023
गणित में, किसी वस्तु का लक्षण वर्णन स्थितियों का समूह होता है, जो वस्तु की परिभाषा से भिन्न होते हुए भी तार्किक रूप से उसके समतुल्य होते है।[1] कहने का तात्पर्य यह है कि संपत्ति P वस्तु इसी प्रकार, गुणों का समूह P को X की विशेषता कहा जाता है, जब ये गुण X को अन्य सभी वस्तुओं से पृथक करते हैं। यह किसी वस्तु की पहचान अद्वितीय प्रकार से करता है, वस्तु के लिए कई लक्षण उपस्थित हो सकते हैं I P के संदर्भ में X के लक्षण वर्णन के लिए सामान्य गणितीय अभिव्यक्तियों में सम्मिलित होते हैं "P X के लिए आवश्यक और पर्याप्त है", और " X यदि P रखता है"।
ऐसे कथन प्राप्त होना भी सामान्य है जैसे कि गुण Q, Y को समरूपता तक प्रदर्शित करता है। प्रथम प्रकार का कथन भिन्न-भिन्न शब्दों में कहता है कि, P का विस्तार (शब्दार्थ) सिंगलटन (गणित) समूह होते है, जबकि दूसरे का कहना है कि Q का विस्तार एकल तुल्यता वर्ग है (समाकृतिकता के लिए, यह इस पर निर्भर करता है कि इसका उपयोग कैसे किया जा रहा है , कुछ अन्य तुल्यता संबंध सम्मिलित हो सकते हैं)।
गणितीय शब्दावली पर संदर्भ में कहा गया है कि विशेषता ग्रीक शब्द खारैक्स, "नुकीला दांव" से उत्पन्न हुई है: उपकरण जिसका उपयोग किसी वस्तु को चिह्नित करने या उत्कीर्ण करने के लिए किया जाता है। एक बार जब किसी वस्तु को चिह्नित किया गया, तो वह विशिष्ट हो गई, इसलिए किसी चीज़ के चरित्र का अर्थ उसकी विशिष्ट प्रकृति हो गया। लेट ग्रीक प्रत्यय -इस्टिकोस ने संज्ञा वर्ण को विशेषण विशेषता में परिवर्तित कर दिया, जो अपने विशेषण अर्थ को बनाए रखने के अतिरिक्त, तत्पश्चात संज्ञा भी बन गया।[2] जिस प्रकार रसायन विज्ञान में, किसी सामग्री की विशिष्ट संपत्ति प्रारूप की पहचान करने का काम करेगी, या सामग्री, संरचनाओं और गुणों के अध्ययन में लक्षण वर्णन (सामग्री विज्ञान) निर्धारित करेगी, गणित में गुणों को व्यक्त करने का निरंतर प्रयास होता है, जो किसी सिद्धांत या प्रणाली में वांछित विशेषता को पृथक करता है। लक्षण वर्णन गणित के लिए अद्वितीय नहीं है, लेकिन चूंकि विज्ञान अमूर्त है, इसलिए अधिकांश गतिविधि को लक्षण वर्णन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणितीय समीक्षाओं में, 2018 तक, 24,000 से अधिक लेखों में लेख शीर्षक में शब्द सम्मिलित होते हैं, और 93,600 में समीक्षा में कहीं न कहीं शब्द सम्मिलित होते हैं।
वस्तुओं और विशेषताओं के स्वेच्छानुसार संदर्भ में, लक्षण वर्णन को विषम संबंध एआरबी के माध्यम से व्यक्त किया गया है, जिसका अर्थ है कि वस्तु a में विशेषता b है। उदाहरण के लिए, b का अर्थ अमूर्त और ठोस हो सकता है। वस्तुओं को विश्व का विस्तार (शब्दार्थ) माना जा सकता है, जबकि विशेषताएं विचारो की अभिव्यक्ति होती हैं। विभिन्न वस्तुओं के लक्षण वर्णन का सतत कार्यक्रम उनके वर्गीकरण की ओर ले जाता है।
उदाहरण
- परिमेय संख्या, जिसे सामान्यतः दो पूर्णांकों के अनुपात रूप में परिभाषित किया जाता है, परिमित या दोहराए जाने वाले दशमलव विस्तार वाली संख्या के रूप में वर्णित किया जा सकता है।[1] समांतर चतुर्भुज है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। इसकी विशेषता यह है कि इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका आशय यह है कि सभी समांतर चतुर्भुजों में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, और इसके विपरीत, कोई भी चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं वह समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। बाद वाला कथन केवल तभी सत्य है जब चतुर्भुजों की समावेशी परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, आयतों को समांतर चतुर्भुज के रूप में गिना जाता है), जो आजकल गणित में वस्तुओं को परिभाषित करने का प्रमुख उपाय है।
- वास्तविक रेखा पर 0 से ∞ तक के अंतराल पर संभाव्यता वितरणों के मध्य, स्मृतिहीनता घातीय वितरण की विशेषता है। इस कथन का अर्थ है कि घातांकीय वितरण एकमात्र संभाव्यता वितरण हैं जो स्मृतिहीन हैं, वितरण ऊपर परिभाषित अनुसार निरंतर हो (अधिक जानकारी के लिए संभाव्यता वितरण की विशेषता देखें)।
- बोहर-मोलेरुप प्रमेय के अनुसार, सभी कार्यों के मध्य f जैसे कि f(1) = 1 और x f(x) = f(x + 1) x > 0 के लिए, लॉग-उत्तलता गामा फ़ंक्शन की विशेषता है। इसका आशय यह है कि ऐसे सभी कार्यों के मध्य, गामा फलन एकमात्र ऐसा फलन है जो लॉग-उत्तल होते है।[3]
- सर्कल को एक-आयामी, सघन स्थान और जुड़ा हुआ स्थान द्वारा कई गुना के रूप में जाना जाता है; यहाँ लक्षण वर्णन, सहज विविधता के रूप में, भिन्नरूपता तक है।
यह भी देखें
- संभाव्यता वितरण की विशेषता
- संस्थानिक स्थान की श्रेणी की विशेषताएँ
- घातांकीय फलन की विशेषताएँ
- विशेषता (बीजगणित)
- विशेषता (प्रतिपादक संकेतन)
- वर्गीकरण प्रमेय
- यूलर विशेषता
- चरित्र (गणित)
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. "निस्र्पण". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-11-21.
- ↑ Steven Schwartzmann (1994) The Words of Mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English, page 43, The Mathematical Association of America ISBN 0-88385-511-9
- ↑ A function f is log-convex if and only if log(f) is a convex function. The base of the logarithm does not matter as long as it is more than 1, but mathematicians generally take "log" with no subscript to mean the natural logarithm, whose base is e.
