गेरोनो का लेम्निस्केट: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| (4 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Short description|Plane algebraic curve}} | {{Short description|Plane algebraic curve}} | ||
[[Image:Lemniscate-of-Gerono.svg|thumb|गेरोनो का लेम्निस्केट]][[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, गेरोनो का [[लेम्निस्केट]], या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, या आकृति-आठ वक्र, डिग्री चार और [[ज्यामितीय जीनस]] शून्य का | [[Image:Lemniscate-of-Gerono.svg|thumb|गेरोनो का लेम्निस्केट]][[बीजगणितीय ज्यामिति|बीजगणितीय]] [[ज्यामितीय जीनस|ज्यामितीय]] में, '''गेरोनो का [[लेम्निस्केट]]''', या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, या आकृति-आठ वक्र, डिग्री चार और [[ज्यामितीय जीनस|जीनस]] शून्य का समतल [[बीजगणितीय वक्र]] है और लेम्निस्केट वक्र के आकार का है <math>\infty</math> प्रतीक, या अंक आठ इसमें समीकरण है: | ||
:<math>x^4-x^2+y^2 = 0.</math> | :<math>x^4-x^2+y^2 = 0.</math> | ||
| Line 6: | Line 6: | ||
==पैरामीटरीकरण== | ==पैरामीटरीकरण== | ||
क्योंकि वक्र जीनस शून्य का है, इसे तर्कसंगत कार्यों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है; ऐसा करने का | क्योंकि वक्र जीनस शून्य का है, इसे तर्कसंगत कार्यों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है; ऐसा करने का साधन है: | ||
:<math>x = \frac{t^2-1}{t^2+1},\ y = \frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}.</math> | :<math>x = \frac{t^2-1}{t^2+1},\ y = \frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}.</math> | ||
और प्रतिनिधित्व है | और प्रतिनिधित्व है: | ||
:<math>x = \cos \varphi,\ y = \sin\varphi\,\cos\varphi = \sin(2\varphi)/2</math> | :<math>x = \cos \varphi,\ y = \sin\varphi\,\cos\varphi = \sin(2\varphi)/2</math> | ||
जिससे | जिससे ज्ञात होता है कि यह लेम्निस्केट लिसाजस आकृति की विशेष स्तिथि है। | ||
==[[दोहरा वक्र]]== | ==[[दोहरा वक्र|ड्यूल वक्र]]== | ||
नीचे चित्रित | नीचे चित्रित ड्यूल वक्र (प्लुकर सूत्र देखें) का चरित्र कुछ भिन्न है। इसका समीकरण है: | ||
:<math>(x^2-y^2)^3 + 8y^4+20x^2y^2-x^4-16y^2=0.</math> | :<math>(x^2-y^2)^3 + 8y^4+20x^2y^2-x^4-16y^2=0.</math> | ||
[[Image:Dualger.png|thumb|गेरोनो के लेम्निस्केट के लिए | [[Image:Dualger.png|thumb|गेरोनो के लेम्निस्केट के लिए ड्यूल]] | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
| Line 27: | Line 27: | ||
{{commonscat|Lemniscate of Gerono}} | {{commonscat|Lemniscate of Gerono}} | ||
*{{MacTutor|class=Curves|id=Eight|title=Figure Eight Curve}} | *{{MacTutor|class=Curves|id=Eight|title=Figure Eight Curve}} | ||
[[Category:Commons category link is locally defined]] | |||
[[Category: | |||
[[Category:Created On 13/07/2023]] | [[Category:Created On 13/07/2023]] | ||
[[Category:Lua-based templates]] | |||
[[Category:Machine Translated Page]] | |||
[[Category:Pages with script errors]] | |||
[[Category:Short description with empty Wikidata description]] | |||
[[Category:Templates Vigyan Ready]] | |||
[[Category:Templates that add a tracking category]] | |||
[[Category:Templates that generate short descriptions]] | |||
[[Category:Templates using TemplateData]] | |||
[[Category:क्रिस्टियान ह्यूजेन्स]] | |||
[[Category:बीजगणितीय वक्र]] | |||
Latest revision as of 13:38, 2 August 2023
बीजगणितीय ज्यामितीय में, गेरोनो का लेम्निस्केट, या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, या आकृति-आठ वक्र, डिग्री चार और जीनस शून्य का समतल बीजगणितीय वक्र है और लेम्निस्केट वक्र के आकार का है प्रतीक, या अंक आठ इसमें समीकरण है:
इसका अध्ययन केमिली-क्रिस्टोफ़ गेरोनो ने किया था।
पैरामीटरीकरण
क्योंकि वक्र जीनस शून्य का है, इसे तर्कसंगत कार्यों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है; ऐसा करने का साधन है:
और प्रतिनिधित्व है:
जिससे ज्ञात होता है कि यह लेम्निस्केट लिसाजस आकृति की विशेष स्तिथि है।
ड्यूल वक्र
नीचे चित्रित ड्यूल वक्र (प्लुकर सूत्र देखें) का चरित्र कुछ भिन्न है। इसका समीकरण है:
संदर्भ
- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. p. 124. ISBN 0-486-60288-5.
बाहरी संबंध
Wikimedia Commons has media related to Lemniscate of Gerono.
