अर्ध-घातांकीय फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 15:16, 2 August 2023

गणित में, अर्ध-घातांकीय फलन किसी घातांकीय फलन का कार्यात्मक वर्गमूल होता है। अर्थात फलन (गणित) $f$ ऐसा है कि $f$ स्वयं से मिलकर घातांकीय फलन में परिणत होता है:

f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},

कुछ स्थिरांक के लिए

a

and

b

. है:^[1]^[2]

संवृत-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता

यदि कोई फलन $f$ को मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और वास्तविक संख्या-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर $f{\bigl (}f(x){\bigr )}$ या तो उप घातीय

या सुपर घातीय है।^[3] इस प्रकार, हार्डी $L$ -फलन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता है।

निर्माण

किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है $f(f(x))$ के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए $f$ विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए $A$ विवृत अंतराल में $(0,1)$ और प्रत्येक निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन के लिए $g$ से $[0,A]$ पर $[A,1]$ इस फलन का निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन तक विस्तार है। वास्तविक संख्याओं पर $f$ जैसे कि $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x$ .^[4]प्रोग्राम $f$ कार्यात्मक समीकरण का अद्वितीय समाधान है:

f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}

अर्ध-घातांकीय फलन का उदाहरण

सरल उदाहरण, जो $f$ की ओर ले जाता है प्रत्येक स्थान सतत प्रथम व्युत्पन्न होने पर $A={\tfrac {1}{2}}$ और $g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}$ होता है, जो इस प्रकार है:

f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}{-\log _{e}2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}

अनुप्रयोग

बहुपद और घातांक के मध्य मध्यवर्ती विकास दर के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।^[2]फलन $f$ कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फलन जितनी तीव्रता से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तीव्रता से बढ़ती है)। यदि यह घटता नहीं है और $f^{-1}(x^{C})=o(\log x)$ , प्रत्येक के लिए every $C>0$ .^[5]है।

यह भी देखें

पुनरावृत्त फलन – Result of repeatedly applying a mathematical function
श्रोडर का समीकरण
हाबिल समीकरण – Equation for function that computes iterated values

संदर्भ

↑ Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ [[Category: Templates Vigyan Ready]] und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67. MR 0035385. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)
↑ ^2.0 ^2.1 Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu (1999). "Super-polynomial versus half-exponential circuit size in the exponential hierarchy". In Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin-ichi; Tokuyama, Takeshi (eds.). Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26–28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1627. Springer. pp. 210–220. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. MR 1730337.
↑ van der Hoeven, J. (2006). Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1888. Springer-Verlag, Berlin. doi:10.1007/3-540-35590-1. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.
↑ Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. (1988). "Functional powers near a fixed point". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 132 (2): 520–529. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7. MR 0943525.
↑ Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven (1997). "Natural proofs". Journal of Computer and System Sciences. 55 (1): 24–35. doi:10.1006/jcss.1997.1494. MR 1473047.

बाहरी संबंध

[sqrtexp-1] Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ [[Category: Templates Vigyan Ready]] und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 187: 56–67. MR 0035385. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)

[miltersen-2] 2.0 ^2.1 Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu (1999). "Super-polynomial versus half-exponential circuit size in the exponential hierarchy". In Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin-ichi; Tokuyama, Takeshi (eds.). Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26–28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 1627. Springer. pp. 210–220. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. MR 1730337.

[transseries-3] van der Hoeven, J. (2006). Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1888. Springer-Verlag, Berlin. doi:10.1007/3-540-35590-1. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.

[croneu-4] Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. (1988). "Functional powers near a fixed point". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 132 (2): 520–529. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7. MR 0943525.

[razrud-5] Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven (1997). "Natural proofs". Journal of Computer and System Sciences. 55 (1): 24–35. doi:10.1006/jcss.1997.1494. MR 1473047.

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-गणित में, अर्ध-घातांकीय फलन किसी घातांकीय फलन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] होता है। यानी [[फ़ंक्शन (गणित)]] <math>f</math> ऐसा है कि <math>f</math> फ़ंक्शन संरचना स्वयं के साथ घातांकीय फ़ंक्शन में परिणत होती है:{{r|sqrtexp|miltersen}}
+गणित में, '''अर्ध-घातांकीय फलन''' किसी घातांकीय फलन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] होता है। अर्थात [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] <math>f</math> ऐसा है कि <math>f</math> स्वयं से मिलकर घातांकीय फलन में परिणत होता है:<math display=block>f\bigl(f(x)\bigr) = ab^x,</math>कुछ स्थिरांक के लिए {{nowrap|<math>a</math> and <math>b</math>.}} है:{{r|sqrtexp|miltersen}}
-<math display=block>f\bigl(f(x)\bigr) = ab^x,</math>
-कुछ स्थिरांक के लिए {{nowrap|<math>a</math> and <math>b</math>.}}
-==बंद-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता==
+==संवृत-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता==
-यदि कोई फ़ंक्शन <math>f</math> मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर <math>f\bigl(f(x)\bigr)</math> या तो सबएक्सपोनेंशियल या सुपरएक्सपोनेंशियल है।{{r|transseries}} इस प्रकार, हार्डी फ़ील्ड#उदाहरण|हार्डी {{mvar|L}}-फ़ंक्शन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता.
+यदि कोई फलन<math>f</math> को मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर <math>f\bigl(f(x)\bigr)</math> या तो उप घातीय
+या सुपर घातीय है।{{r|transseries}} इस प्रकार, हार्डी {{mvar|L}}-फलन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता है।
 ==निर्माण==
-किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है <math>f(f(x))</math> के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए <math>f</math>. विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए <math>A</math> खुले अंतराल में <math>(0,1)</math> और प्रत्येक [[सतत कार्य]] के लिए [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] फ़ंक्शन <math>g</math> से <math>[0,A]</math> [[विशेषण फलन]] <math>[A,1]</math>, इस फ़ंक्शन का निरंतर सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन तक विस्तार है <math>f</math> वास्तविक संख्याओं पर जैसे कि {{nowrap|<math>f\bigl(f(x)\bigr)=\exp x</math>.{{r|croneu}}}} कार्यक्रम <math>f</math> [[कार्यात्मक समीकरण]] का अद्वितीय समाधान है
+किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है <math>f(f(x))</math> के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए <math>f</math> विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए <math>A</math> विवृत अंतराल में <math>(0,1)</math> और प्रत्येक निरंतर जटिलता से बढ़ते [[विशेषण फलन|फलन]] के लिए <math>g</math> से <math>[0,A]</math> पर <math>[A,1]</math> इस फलन का निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन तक विस्तार है। वास्तविक संख्याओं पर <math>f</math> जैसे कि {{nowrap|<math>f\bigl(f(x)\bigr)=\exp x</math>.{{r|croneu}}}}प्रोग्राम <math>f</math> [[कार्यात्मक समीकरण]] का अद्वितीय समाधान है:<math display=block> f (x) =
-<math display=block> f (x) =
 \begin{cases}
 g (x) & \mbox{if } x \in [0,A], \\
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 \ln f ( \exp x) & \mbox{if } x \in (-\infty,0). \\
 \end{cases}
-</math>
+</math>[[File:Half-exponential_function.png|thumb|right|300px|अर्ध-घातांकीय फलन का उदाहरण]]सरल उदाहरण, जो <math>f</math> की ओर ले जाता है प्रत्येक स्थान सतत प्रथम व्युत्पन्न होने पर <math>A=\tfrac12</math> और <math>g(x)=x+\tfrac12</math> होता है, जो इस प्रकार है:
-[[File:Half-exponential_function.png|thumb|right|300px|अर्ध-घातांकीय फलन का उदाहरण]]सरल उदाहरण, जो की ओर ले जाता है <math>f</math> सर्वत्र सतत् प्रथम व्युत्पत्ति का होना, लेना है <math>A=\tfrac12</math> और <math>g(x)=x+\tfrac12</math>, देना
 <math display=block> f (x) =
 \begin{cases}
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 </math>
+== अनुप्रयोग ==
-==आवेदन==
+बहुपद और घातांक के मध्य मध्यवर्ती विकास दर के लिए [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।{{r|miltersen}}फलन <math>f</math> कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फलन जितनी तीव्रता से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तीव्रता से बढ़ती है)। यदि यह घटता नहीं है और <math>f^{-1}(x^C)=o(\log x)</math>, प्रत्येक के लिए {{nowrap|every <math>C>0</math>.{{r|razrud}}}}है।
-बहुपद और घातांक के बीच मध्यवर्ती विकास दर के लिए [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।{{r|miltersen}}  समारोह <math>f</math> यदि यह मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, तो कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फ़ंक्शन के रूप में तेजी से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तेजी से बढ़ती है) | गैर-घटती नहीं है और <math>f^{-1}(x^C)=o(\log x)</math>, के लिए {{nowrap|every <math>C>0</math>.{{r|razrud}}}}
 ==यह भी देखें==
-*{{annotated link|Iterated function}}
+*{{annotated link|पुनरावृत्त फलन}}
-*{{annotated link|Schröder's equation}}
+*{{annotated link|श्रोडर का समीकरण}}
-*{{annotated link|Abel equation}}
+*{{annotated link|हाबिल समीकरण}}
 ==संदर्भ==
@@ Line 113: / Line 109: @@
 * [https://mathoverflow.net/q/12081 Does the exponential function have a (compositional) square root?]
 * [https://mathoverflow.net/q/45477 “Closed-form” functions with half-exponential growth]
-[[Category: एल्गोरिदम का विश्लेषण]] [[Category: कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 errors]]
 [[Category:Created On 04/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:एल्गोरिदम का विश्लेषण]]
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