आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत)

भौतिकी में (विशेष रूप से, गैसों का गतिज सिद्धांत), आइंस्टीन संबंध पूर्व अप्रत्याशित संबंध है जिसे 1904 में [[विलियम सदरलैंड (भौतिक विज्ञानी)]] द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रकट किया गया था। 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन, और 1906 में मैरियन स्मोलुचोव्स्की द्वारा प्रकार कि गति पर उनके कार्यों में। शास्त्रीय मामले में समीकरण का अधिक सामान्य रूप है

$$D=\mu \,k_{\text{B}}T,$$

कहाँ

• D फ़िक का प्रसार का नियम है;
• μ गतिशीलता है, या लागू बल के लिए कण के टर्मिनल वेग बहाव वेग का अनुपात है, μ = v_d/F;
• k_B बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है;
• T पूर्ण तापमान है.

यह समीकरण उतार-चढ़ाव अपव्यय प्रमेय | उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध का प्रारंभिक उदाहरण है। ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण शास्त्रीय मामले का वर्णन करता है और क्वांटम प्रभाव प्रासंगिक होने पर इसे संशोधित किया जाना चाहिए।

संबंध के दो अक्सर उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण विशेष रूप हैं:

• विद्युत आवेश कणों के प्रसार के लिए आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की समीकरण:
  $$D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}}$$
• कम रेनॉल्ड्स संख्या वाले तरल के माध्यम से गोलाकार कणों के प्रसार के लिए स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण:
  $$D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}$$

यहाँ

• q कण का विद्युत आवेश है;
• μ_qआवेशित कण की विद्युत गतिशीलता है;
• η गतिशील श्यानता है;
• r गोलाकार कण की त्रिज्या है।

विशेष मामले

विद्युत गतिशीलता समीकरण (शास्त्रीय मामला)

विद्युत आवेश वाले कण के लिए q, इसकी विद्युत गतिशीलता μ_q इसकी सामान्यीकृत गतिशीलता से संबंधित है μ समीकरण द्वारा μ = μ_q/q. पैरामीटर μ_q कण के टर्मिनल बहाव वेग और लागू विद्युत क्षेत्र का अनुपात है। इसलिए, आवेशित कण के मामले में समीकरण इस प्रकार दिया गया है

$$D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}},$$

कहाँ

• $D$ प्रसार गुणांक है ($\mathrm {m^{2}s^{-1}}$).
• $\mu _{q}$ विद्युत गतिशीलता है ($\mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}}$).
• $q$ कण का विद्युत आवेश है (C, कूलम्ब)
• $T$ प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (K) है।

यदि तापमान वाल्ट में दिया गया है, जो प्लाज्मा के लिए अधिक सामान्य है:

$$D={\frac {\mu _{q}\,T}{Z}},$$

कहाँ

• $Z$ कण की आवेश संख्या है (इकाई रहित)
• $T$ प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (V) है।

विद्युत गतिशीलता समीकरण (क्वांटम केस)

सामान्य धातुओं में इलेक्ट्रॉन गतिशीलता के लिए प्रासंगिक फर्मी गैस (फर्मी तरल) के मामले में, आइंस्टीन संबंध को संशोधित किया जाना चाहिए:

$$D={\frac {\mu _{q}\,E_{F}}{q}},$$

कहाँ $E_{F}$ फर्मी ऊर्जा है.

स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण

निम्न रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में, गतिशीलता μ ड्रैग गुणांक का व्युत्क्रम है $\zeta$. अवमंदन स्थिरांक $\gamma =\zeta /m$ विसरित वस्तु के व्युत्क्रम गति विश्राम समय (यादृच्छिक गति की तुलना में जड़ता गति को नगण्य होने के लिए आवश्यक समय) के लिए अक्सर उपयोग किया जाता है। त्रिज्या r के गोलाकार कणों के लिए, स्टोक्स का नियम देता है

$$\zeta =6\pi \,\eta \,r,$$

कहाँ $\eta$ माध्यम की श्यानता है. इस प्रकार आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध में परिणत होता है

$$D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.$$

इसे तरल पदार्थों में स्व-प्रसार गुणांक का अनुमान लगाने के लिए कई वर्षों से लागू किया गया है, और आइसोमोर्फ सिद्धांत के अनुरूप संस्करण की पुष्टि लेनार्ड-जोन्स क्षमता | लेनार्ड-जोन्स प्रणाली के कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा की गई है। घूर्णी प्रसार के मामले में, घर्षण है $\zeta _{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}$, और घूर्णी प्रसार स्थिरांक $D_{\text{r}}$ है

$$D_{\text{r}}={\frac {k_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.$$

इसे कभी-कभी स्टोक्स-आइंस्टीन-डेबी संबंध के रूप में जाना जाता है।

अर्धचालक

अर्धचालक में राज्यों के मनमाने घनत्व के साथ, यानी रूप का संबंध $p=p(\varphi )$ छिद्रों या इलेक्ट्रॉनों के घनत्व के बीच $p$ और संबंधित अर्ध फर्मी स्तर (या विद्युत रासायनिक क्षमता) $\varphi$, आइंस्टीन संबंध है

$$D={\frac {\mu _{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},$$

कहाँ $\mu _{q}$ विद्युत गतिशीलता है (देखें) § Proof of the general caseइस संबंध के प्रमाण के लिए)। राज्यों के घनत्व#राज्यों के घनत्व के लिए परवलयिक फैलाव संबंध और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी को मानते हुए उदाहरण, जिसका उपयोग अक्सर अकार्बनिक यौगिक अर्धचालक सामग्रियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, कोई गणना कर सकता है (राज्यों का घनत्व#राज्यों का घनत्व और वितरण कार्य देखें) :

$$p(\varphi )=N_{0}e^{\frac {q\varphi }{k_{\text{B}}T}},$$

कहाँ $N_{0}$ उपलब्ध ऊर्जा अवस्थाओं का कुल घनत्व है, जो सरलीकृत संबंध देता है:

$$D=\mu _{q}{\frac {k_{\text{B}}T}{q}}.$$

नर्नस्ट-आइंस्टीन समीकरण

इलेक्ट्रोलाइट की समतुल्य चालकता की अभिव्यक्तियों से धनायनों और आयनों की विद्युत आयनिक गतिशीलता की अभिव्यक्तियों में विवर्तनशीलता को प्रतिस्थापित करके नर्नस्ट-आइंस्टीन समीकरण प्राप्त किया गया है:

$$\Lambda _{e}={\frac {z_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D_{+}+D_{-}).$$

सामान्य मामले का प्रमाण

आइंस्टीन संबंध का प्रमाण कई संदर्भों में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए कुबो देखें। मान लीजिए कुछ निश्चित, बाह्य स्थितिज ऊर्जा $U$ रूढ़िवादी शक्ति उत्पन्न करता है $F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )$ (उदाहरण के लिए, विद्युत बल) किसी दिए गए स्थान पर स्थित कण पर $\mathbf {x}$. हम मानते हैं कि कण वेग से चलते हुए प्रतिक्रिया करेगा $v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )$ (खींचें (भौतिकी) देखें)। अब मान लीजिए कि स्थानीय सांद्रता वाले ऐसे कण बड़ी संख्या में हैं $\rho (\mathbf {x} )$ पद के कार्य के रूप में। कुछ समय के बाद, संतुलन स्थापित हो जाएगा: कण सबसे कम संभावित ऊर्जा वाले क्षेत्रों के आसपास ढेर हो जाएंगे $U$, लेकिन फिर भी प्रसार के कारण कुछ हद तक फैल जाएगा। संतुलन पर, कणों का कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है: कणों की प्रवृत्ति नीचे की ओर खिंचने की होती है $U$, जिसे बहाव धारा कहा जाता है, विसरण के कारण कणों के फैलने की प्रवृत्ति को पूरी तरह से संतुलित करता है, जिसे विसरण धारा कहा जाता है (बहाव-प्रसार समीकरण देखें)।

बहाव धारा के कारण कणों का शुद्ध प्रवाह होता है

$$\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),$$

यानी, किसी दिए गए स्थान से बहने वाले कणों की संख्या कण की सांद्रता के औसत वेग से गुणा के बराबर होती है।

विसरण धारा के कारण कणों का प्रवाह, फ़िक के नियम के अनुसार होता है,

$$\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),$$

जहां ऋण चिह्न का अर्थ है कि कण उच्च से निम्न सांद्रता की ओर प्रवाहित होते हैं।

अब संतुलन की स्थिति पर विचार करें। सबसे पहले, कोई शुद्ध प्रवाह नहीं है, अर्थात। $\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0$. दूसरा, गैर-अंतःक्रियात्मक बिंदु कणों के लिए, संतुलन घनत्व $\rho$ यह पूरी तरह से स्थानीय संभावित ऊर्जा का कार्य है $U$, यानी यदि दो स्थानों पर समान है $U$ तो उनके पास भी वैसा ही होगा $\rho$ (उदाहरण के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े देखें जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) इसका मतलब है, श्रृंखला नियम को लागू करना,

$$\nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.$$

इसलिए, संतुलन पर:

$$0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.$$

जैसा कि यह अभिव्यक्ति हर स्थिति में होती है $\mathbf {x}$, इसका तात्पर्य आइंस्टीन संबंध के सामान्य रूप से है:

$$D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.$$

के बीच संबंध $\rho$ और $U$ शास्त्रीय भौतिकी को मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के माध्यम से मॉडलिंग किया जा सकता है

$$\rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\text{B}}T}}},$$

कहाँ $A$ कणों की कुल संख्या से संबंधित स्थिरांक है। इसलिए

$${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\rho .$$

इस धारणा के तहत, इस समीकरण को सामान्य आइंस्टीन संबंध में जोड़ने से प्राप्त होता है:

$$D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k_{\text{B}}T,$$

जो शास्त्रीय आइंस्टीन संबंध से मेल खाता है।

यह भी देखें

• स्मोलुचोव्स्की कारक
• चालकता (इलेक्ट्रोलाइटिक)
• स्टोक्स त्रिज्या
• आयन परिवहन संख्या

बाहरी संबंध

• Einstein relation calculators
• ion diffusivity