आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत): Difference between revisions

Latest revision as of 11:42, 3 August 2023

भौतिकी में (विशेष रूप से, गैसों का गतिज सिद्धांत), आइंस्टीन संबंध एक पूर्व अप्रत्याशित संबंध है जिसे विलियम सदरलैंड (भौतिक विज्ञानी) ने 1904 में,^[1]^[2]^[3] अल्बर्ट आइंस्टीन 1905 में,^[4] और मैरियन स्मोलुचोव्स्की द्वारा 1906 में^[5] ब्राउनियन गति पर अपने कार्यों में स्वतंत्र रूप से प्रकट किया था। पारंपरिक स्थिति में समीकरण का अधिक सामान्य रूप है^[6]

D=\mu \,k_{\text{B}}T,

जहाँ

$D$ फ़िक का प्रसार का नियम है;
$μ$ गतिशीलता है, या लागू बल के लिए कण के टर्मिनल वेग अपवाह वेग का अनुपात है, $μ = v d / F$ ;
$k B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है;
$T$ पूर्ण तापमान है.

यह समीकरण उतार-चढ़ाव अपव्यय संबंध का प्रारंभिक उदाहरण है।^[7]

ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण पारंपरिक स्थिति का वर्णन करता है और क्वांटम प्रभाव प्रासंगिक होने पर इसे संशोधित किया जाना चाहिए।

संबंध के दो अधिकांश उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण विशेष रूप हैं:

विद्युत आवेश कणों के प्रसार के लिए आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की समीकरण:^[8] $D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}}$
कम रेनॉल्ड्स संख्या वाले तरल के माध्यम से गोलाकार कणों के प्रसार के लिए स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण: $D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}$

यहाँ

$q$ कण का विद्युत आवेश है;
$μ q$ आवेशित कण की विद्युत गतिशीलता है;
$η$ गतिशील श्यानता है;
$r$ गोलाकार कण की त्रिज्या है।

विशेष स्थिति

विद्युत गतिशीलता समीकरण (पारंपरिक स्थिति)

विद्युत आवेश $q$ वाले एक कण के लिए, इसकी विद्युत गतिशीलता $μ q$ इसकी सामान्यीकृत गतिशीलता $μ$ से समीकरण $μ = μ q / q$ द्वारा संबंधित होती है। पैरामीटर $μ q$ कण के टर्मिनल अपवाह वेग और लागू विद्युत क्षेत्रत्र का अनुपात है। इसलिए, आवेशित कण के स्थिति में समीकरण इस प्रकार दिया गया है

D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}},

जहाँ

$D$ प्रसार गुणांक ( $\mathrm {m^{2}s^{-1}}$ ) है।
$\mu _{q}$ विद्युत गतिशीलता ( $\mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}}$ ) है।
$q$ कण का विद्युत आवेश (C, कूलम्ब) है।
$T$ प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (K) है।^[9]

यदि तापमान वाल्ट में दिया गया है, जो प्लाज्मा के लिए अधिक सामान्य है:

D={\frac {\mu _{q}\,T}{Z}},

जहाँ

$Z$ कण (इकाई रहित) की आवेश संख्या है
$T$ प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (V) है।

विद्युत गतिशीलता समीकरण (क्वांटम केस)

सामान्य धातुओं में इलेक्ट्रॉन गतिशीलता के लिए प्रासंगिक फर्मी गैस (फर्मी तरल) के स्थिति में, आइंस्टीन संबंध को संशोधित किया जाना चाहिए:

D={\frac {\mu _{q}\,E_{F}}{q}},

जहाँ

E_{F}

फर्मी ऊर्जा है.

स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण

निम्न रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में, गतिशीलता μ ड्रैग गुणांक $\zeta$ का व्युत्क्रम है। एक अवमंदन स्थिरांक $\gamma =\zeta /m$ का उपयोग अधिकांश विसरित वस्तु के व्युत्क्रम गति विश्राम समय (यादृच्छिक गति की तुलना में जड़ता गति को नगण्य होने के लिए आवश्यक समय) के लिए किया जाता है। त्रिज्या r के गोलाकार कणों के लिए, स्टोक्स का नियम देता है

\zeta =6\pi \,\eta \,r,

जहाँ

\eta

माध्यम की श्यानता है। इस प्रकार आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध में परिणत होता है

D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.

इसे तरल पदार्थों में स्व-प्रसार गुणांक का अनुमान लगाने के लिए कई वर्षों से लागू किया गया है, और आइसोमोर्फ सिद्धांत के अनुरूप संस्करण की पुष्टि लेनार्ड-जोन्स प्रणाली के कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा की गई है।^[10] घूर्णी प्रसार के स्थिति में, घर्षण

\zeta _{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}

है, और घूर्णी प्रसार स्थिरांक

D_{\text{r}}

है

D_{\text{r}}={\frac {k_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.

इसे कभी-कभी स्टोक्स-आइंस्टीन-डेबी संबंध के रूप में जाना जाता है।

अर्धचालक

अवस्थाओं के स्वैच्छिक घनत्व वाले अर्धचालक में, अर्थात् छिद्रों या इलेक्ट्रॉनों $p$ के घनत्व और संबंधित अर्ध फर्मी स्तर (या विद्युत रासायनिक क्षमता) $\varphi$ के बीच फॉर्म $p=p(\varphi )$ का संबंध, आइंस्टीन संबंध है^[11]^[12]

D={\frac {\mu _{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},

जहाँ $\mu _{q}$ विद्युत गतिशीलता (इस संबंध के प्रमाण के लिए § सामान्य स्थिति का प्रमाण देखें) है। अवस्थाओं के घनत्व और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी के लिए एक परवलयिक फैलाव संबंध मानने वाला एक उदाहरण, जिसका उपयोग अधिकांश अकार्बनिक यौगिक अर्धचालक सामग्रियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिनकी गणना (अवस्थाओं का घनत्व और वितरण कार्य देखें) की जा सकती है:

p(\varphi )=N_{0}e^{\frac {q\varphi }{k_{\text{B}}T}},

जहाँ

N_{0}

उपलब्ध ऊर्जा अवस्थाओं का कुल घनत्व है, जो सरलीकृत संबंध देता है:

D=\mu _{q}{\frac {k_{\text{B}}T}{q}}.

नर्नस्ट-आइंस्टीन समीकरण

इलेक्ट्रोलाइट की समतुल्य चालकता की अभिव्यक्तियों से धनायनों और आयनों की विद्युत आयनिक गतिशीलता की अभिव्यक्तियों में विवर्तनशीलता को प्रतिस्थापित करके नर्नस्ट-आइंस्टीन समीकरण प्राप्त किया गया है:

\Lambda _{e}={\frac {z_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D_{+}+D_{-}).

सामान्य स्थिति का प्रमाण

आइंस्टीन संबंध का प्रमाण कई संदर्भों में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए कुबो देखें।^[13]

मान लीजिए कि कुछ निश्चित, बाह्य स्थितिज ऊर्जा $U$ किसी दिए गए स्थान $\mathbf {x}$ पर स्थित एक कण पर एक संरक्षी बल $F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )$ (उदाहरण के लिए, एक विद्युत बल) उत्पन्न करती है। हम मानते हैं कि कण वेग $v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )$ (ड्रैग (भौतिकी) देखें) के साथ चलते हुए प्रतिक्रिया करता हैं। अब मान लें कि बड़ी संख्या में ऐसे कण हैं, जिनकी स्थानीय सांद्रता $\rho (\mathbf {x} )$ स्थिति पर निर्भर करती है। कुछ समय के बाद, संतुलन स्थापित हो जाएगा: कण सबसे कम संभावित ऊर्जा $U$ वाले क्षेत्रों के आसपास संचित हो जाएंगे, किन्तु फिर भी प्रसार के कारण कुछ सीमा तक प्रसारित हो जाता हैं। संतुलन पर, कणों का कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है: कणों की निचली $U$ की ओर खींचने की प्रवृत्ति, जिसे अपवाह धारा कहा जाता है, विसरण के कारण कणों के प्रसार की प्रवृत्ति को पूरी तरह से संतुलित करती है, जिसे विसरण धारा (अपवाह-प्रसार समीकरण) कहा जाता है।

अपवाह धारा के कारण कणों का शुद्ध प्रवाह होता है

\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),

अर्थात्, किसी दिए गए स्थान से बहने वाले कणों की संख्या कण की सांद्रता के औसत वेग से गुणा के समान होती है।

विसरण धारा के कारण कणों का प्रवाह, फ़िक के नियम के अनुसार होता है,

\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),

जहां ऋण चिह्न का अर्थ है कि कण उच्च से निम्न सांद्रता की ओर प्रवाहित होते हैं।

अब संतुलन की स्थिति पर विचार करें। सबसे पहले, कोई शुद्ध प्रवाह नहीं है, अर्थात $\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0$ है। दूसरा, गैर-अंतःक्रियात्मक बिंदु कणों के लिए, संतुलन घनत्व $\rho$ यह पूरी तरह से स्थानीय संभावित ऊर्जा $U$ का कार्य है, अर्थात् दो स्थानों में एक ही $U$ है तो उनके पास भी एक ही $\rho$ (उदाहरण के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े देखें जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) होगा इसका अर्थ है, श्रृंखला नियम को लागू करना,

\nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.

इसलिए, संतुलन पर:

0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.

जैसा कि यह अभिव्यक्ति हर स्थिति

\mathbf {x}

में होती है, इसका तात्पर्य आइंस्टीन संबंध के सामान्य रूप से है:

D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.

के बीच संबंध

\rho

और

U

पारंपरिक भौतिकी को मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के माध्यम से मॉडलिंग किया जा सकता है

\rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\text{B}}T}}},

जहाँ

A

कणों की कुल संख्या से संबंधित स्थिरांक है। इसलिए

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\rho .

इस धारणा के अनुसार, इस समीकरण को सामान्य आइंस्टीन संबंध में जोड़ने से प्राप्त होता है:

D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k_{\text{B}}T,

जो पारंपरिक आइंस्टीन संबंध से मेल खाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.
↑ Sutherland William (1905). "LXXV. गैर-इलेक्ट्रोलाइट्स और एल्बुमिन के आणविक द्रव्यमान के लिए प्रसार का एक गतिशील सिद्धांत". Philosophical Magazine. Series 6. 9 (54): 781–785. doi:10.1080/14786440509463331.
↑ P. Hänggi, "Stokes–Einstein–Sutherland equation".
↑ Einstein, A. (1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen". Annalen der Physik (in Deutsch). 322 (8): 549–560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806.
↑ von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen". Annalen der Physik (in Deutsch). 326 (14): 756–780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405.
↑ Dill, Ken A.; Bromberg, Sarina (2003). Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology (in English). Garland Science. p. 327. ISBN 9780815320517.
↑ Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics".
↑ Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", Chapter 2.7 Archived 2021-05-06 at the Wayback Machine.
↑ Raizer, Yuri (2001). गैस डिस्चार्ज भौतिकी. Springer. pp. 20–28. ISBN 978-3540194620.
↑ Costigliola, Lorenzo; Heyes, David M.; Schrøder, Thomas B.; Dyre, Jeppe C. (2019-01-14). "हाइड्रोडायनामिक व्यास के बिना स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध पर दोबारा गौर करना". The Journal of Chemical Physics (in English). 150 (2): 021101. Bibcode:2019JChPh.150b1101C. doi:10.1063/1.5080662. ISSN 0021-9606. PMID 30646717.
↑ Ashcroft, N. W.; Mermin, N. D. (1988). Solid State Physics. New York (USA): Holt, Rineheart and Winston. p. 826.
↑ Bonnaud, Olivier (2006). Composants à semiconducteurs (in français). Paris (France): Ellipses. p. 78.
↑ Kubo, R. (1966). "The fluctuation-dissipation theorem". Rep. Prog. Phys. 29 (1): 255–284. Bibcode:1966RPPh...29..255K. doi:10.1088/0034-4885/29/1/306. S2CID 250892844.

बाहरी संबंध

[1] World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.

[2] Sutherland William (1905). "LXXV. गैर-इलेक्ट्रोलाइट्स और एल्बुमिन के आणविक द्रव्यमान के लिए प्रसार का एक गतिशील सिद्धांत". Philosophical Magazine. Series 6. 9 (54): 781–785. doi:10.1080/14786440509463331.

[3] P. Hänggi, "Stokes–Einstein–Sutherland equation".

[4] Einstein, A. (1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen". Annalen der Physik (in Deutsch). 322 (8): 549–560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806.

[5] von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen". Annalen der Physik (in Deutsch). 326 (14): 756–780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405.

[6] Dill, Ken A.; Bromberg, Sarina (2003). Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology (in English). Garland Science. p. 327. ISBN 9780815320517.

[7] Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics".

[8] Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", Chapter 2.7 Archived 2021-05-06 at the Wayback Machine.

[9] Raizer, Yuri (2001). गैस डिस्चार्ज भौतिकी. Springer. pp. 20–28. ISBN 978-3540194620.

[10] Costigliola, Lorenzo; Heyes, David M.; Schrøder, Thomas B.; Dyre, Jeppe C. (2019-01-14). "हाइड्रोडायनामिक व्यास के बिना स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध पर दोबारा गौर करना". The Journal of Chemical Physics (in English). 150 (2): 021101. Bibcode:2019JChPh.150b1101C. doi:10.1063/1.5080662. ISSN 0021-9606. PMID 30646717.

[11] Ashcroft, N. W.; Mermin, N. D. (1988). Solid State Physics. New York (USA): Holt, Rineheart and Winston. p. 826.

[12] Bonnaud, Olivier (2006). Composants à semiconducteurs (in français). Paris (France): Ellipses. p. 78.

[13] Kubo, R. (1966). "The fluctuation-dissipation theorem". Rep. Prog. Phys. 29 (1): 255–284. Bibcode:1966RPPh...29..255K. doi:10.1088/0034-4885/29/1/306. S2CID 250892844.

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 {{Short description|Equation in Brownian motion}}
-भौतिकी में (विशेष रूप से, [[गैसों का गतिज सिद्धांत]]), आइंस्टीन संबंध एक पूर्व अप्रत्याशित संबंध है जिसे 1904 में [[विलियम सदरलैंड ([[भौतिक विज्ञान]]ी)]] द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रकट किया गया था।<!--
+भौतिकी में (विशेष रूप से, [[गैसों का गतिज सिद्धांत]]), '''आइंस्टीन संबंध''' एक पूर्व अप्रत्याशित संबंध है जिसे विलियम सदरलैंड ([[भौतिक विज्ञान|भौतिक विज्ञानी]]) ने 1904 में,<ref>[http://www.ph.unimelb.edu.au/~dnj/wyop/wyop2005-sutherland-essay.html World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne]. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005.  Accessed 2017-04-28.</ref><ref>{{cite journal | doi = 10.1080/14786440509463331 | volume=9 | issue=54 | title=LXXV. गैर-इलेक्ट्रोलाइट्स और एल्बुमिन के आणविक द्रव्यमान के लिए प्रसार का एक गतिशील सिद्धांत| year=1905 | journal=Philosophical Magazine |series=Series 6 | pages=781–785 | author=Sutherland William| url=https://zenodo.org/record/1430774 }}</ref><ref>P. Hänggi, [http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/Robert_Brown_Vortrag.pdf "Stokes–Einstein–Sutherland equation"].</ref> [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] 1905 में,<ref>{{cite journal
-With the use of the word "revealed", we should use 1904 for Sutherland:
-"Sutherland reported his solution to this problem in 1904 in a paper at the year."
-The original revelation (and indeed, arguably, publication) by Sutherland was thus in 1904, irrespective of the fact that this was not in the form of a journal article.
---><ref>[http://www.ph.unimelb.edu.au/~dnj/wyop/wyop2005-sutherland-essay.html World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne]. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005.  Accessed 2017-04-28.</ref><ref>{{cite journal | doi = 10.1080/14786440509463331 | volume=9 | issue=54 | title=LXXV. गैर-इलेक्ट्रोलाइट्स और एल्बुमिन के आणविक द्रव्यमान के लिए प्रसार का एक गतिशील सिद्धांत| year=1905 | journal=Philosophical Magazine |series=Series 6 | pages=781–785 | author=Sutherland William| url=https://zenodo.org/record/1430774 }}</ref><ref>P. Hänggi, [http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/Robert_Brown_Vortrag.pdf "Stokes–Einstein–Sutherland equation"].</ref> 1905 में [[अल्बर्ट आइंस्टीन]],<ref>{{cite journal
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-कहाँ
+जहाँ
 * {{mvar|D}} फ़िक का प्रसार का नियम है;
-* {{mvar|μ}} गतिशीलता है, या लागू बल के लिए कण के [[टर्मिनल वेग]] बहाव वेग का अनुपात है, {{math|1=''μ'' = ''v''<sub>d</sub>/''F''}};
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+यह समीकरण [[उतार-चढ़ाव अपव्यय प्रमेय|उतार-चढ़ाव अपव्यय संबंध]] का प्रारंभिक उदाहरण है।<ref>Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [https://arxiv.org/abs/0803.0719 "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics"].</ref>
-ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण शास्त्रीय मामले का वर्णन करता है और क्वांटम प्रभाव प्रासंगिक होने पर इसे संशोधित किया जाना चाहिए।
-संबंध के दो अक्सर उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण विशेष रूप हैं:
+ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण पारंपरिक स्थिति का वर्णन करता है और क्वांटम प्रभाव प्रासंगिक होने पर इसे संशोधित किया जाना चाहिए।
+संबंध के दो अधिकांश उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण विशेष रूप हैं:
 * विद्युत आवेश कणों के प्रसार के लिए आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की समीकरण:<ref>Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", [http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_7.htm Chapter 2.7] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210506163214/http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_7.htm |date=2021-05-06 }}.</ref> <math display="block">D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q}</math>
 * कम [[रेनॉल्ड्स संख्या]] वाले तरल के माध्यम से गोलाकार कणों के प्रसार के लिए स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण: <math display="block">D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r} </math>
 यहाँ
-* {{mvar|q}} एक कण का [[विद्युत आवेश]] है;
+* {{mvar|q}} कण का [[विद्युत आवेश]] है;
 * {{math|''μ<sub>q</sub>''}}आवेशित कण की [[विद्युत गतिशीलता]] है;
 * {{mvar|η}} गतिशील [[श्यानता]] है;
 * {{mvar|r}} गोलाकार कण की त्रिज्या है।
-==विशेष मामले==
+==विशेष स्थिति==
-===विद्युत गतिशीलता समीकरण (शास्त्रीय मामला)===
+===विद्युत गतिशीलता समीकरण (पारंपरिक स्थिति)===
-विद्युत आवेश वाले कण के लिए {{mvar|q}}, इसकी विद्युत गतिशीलता {{math|''μ<sub>q</sub>''}} इसकी सामान्यीकृत गतिशीलता से संबंधित है {{mvar|μ}} समीकरण द्वारा {{math|1=''μ'' = ''μ<sub>q</sub>''/''q''}}. पैरामीटर {{math|''μ<sub>q</sub>''}} कण के टर्मिनल बहाव वेग और लागू [[विद्युत क्षेत्र]] का अनुपात है। इसलिए, आवेशित कण के मामले में समीकरण इस प्रकार दिया गया है
+विद्युत आवेश {{mvar|q}} वाले एक कण के लिए, इसकी विद्युत गतिशीलता {{math|''μ<sub>q</sub>''}} इसकी सामान्यीकृत गतिशीलता {{mvar|μ}} से समीकरण {{math|1=''μ'' = ''μ<sub>q</sub>''/''q''}} द्वारा संबंधित होती है। पैरामीटर {{math|''μ<sub>q</sub>''}} कण के टर्मिनल अपवाह वेग और लागू [[विद्युत क्षेत्र]]त्र का अनुपात है। इसलिए, आवेशित कण के स्थिति में समीकरण इस प्रकार दिया गया है
 <math display="block">D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q},</math>
-कहाँ
+जहाँ
-* <math>D</math> प्रसार गुणांक है (<math>\mathrm{m^2 s^{-1}}</math>).
+* <math>D</math> प्रसार गुणांक (<math>\mathrm{m^2 s^{-1}}</math>) है।
-* <math>\mu_q</math> विद्युत गतिशीलता है (<math>\mathrm{m^2 V^{-1} s^{-1}}</math>).
+* <math>\mu_q</math> विद्युत गतिशीलता (<math>\mathrm{m^2 V^{-1} s^{-1}}</math>) है।
-* <math>q</math> कण का विद्युत आवेश है (C, कूलम्ब)
+* <math>q</math> कण का विद्युत आवेश ('''C''', '''कूलम्ब''') है।
-* <math>T</math> प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (K) है।<ref>{{Cite book |title=गैस डिस्चार्ज भौतिकी|last=Raizer |first=Yuri |publisher=Springer |year=2001 |isbn=978-3540194620 |pages=20–28}}</ref>
+* <math>T</math> प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान ('''K''') है।<ref>{{Cite book |title=गैस डिस्चार्ज भौतिकी|last=Raizer |first=Yuri |publisher=Springer |year=2001 |isbn=978-3540194620 |pages=20–28}}</ref>
-यदि तापमान [[ वाल्ट ]] में दिया गया है, जो प्लाज्मा के लिए अधिक सामान्य है:
+यदि तापमान [[ वाल्ट |वाल्ट]] में दिया गया है, जो प्लाज्मा के लिए अधिक सामान्य है:
 <math display="block">D = \frac{\mu_q \, T}{Z},</math>
-कहाँ
+जहाँ
-* <math>Z</math> कण की आवेश संख्या है (इकाई रहित)
+* <math>Z</math> कण (इकाई रहित) की आवेश संख्या है
 * <math>T</math> प्लाज्मा में इलेक्ट्रॉन तापमान या आयन तापमान (V) है।
 ===विद्युत गतिशीलता समीकरण (क्वांटम केस)===
-सामान्य धातुओं में इलेक्ट्रॉन गतिशीलता के लिए प्रासंगिक फर्मी गैस (फर्मी तरल) के मामले में, आइंस्टीन संबंध को संशोधित किया जाना चाहिए:
+सामान्य धातुओं में इलेक्ट्रॉन गतिशीलता के लिए प्रासंगिक फर्मी गैस (फर्मी तरल) के स्थिति में, आइंस्टीन संबंध को संशोधित किया जाना चाहिए:
 <math display="block">D = \frac{\mu_q \, E_F}{q},</math>
-कहाँ <math>E_F</math> फर्मी ऊर्जा है.
+जहाँ <math>E_F</math> फर्मी ऊर्जा है.
 === स्टोक्स-आइंस्टीन समीकरण ===
-निम्न रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में, गतिशीलता μ ड्रैग गुणांक का व्युत्क्रम है <math>\zeta</math>. एक अवमंदन स्थिरांक <math>\gamma = \zeta / m</math> विसरित वस्तु के व्युत्क्रम गति विश्राम समय (यादृच्छिक गति की तुलना में जड़ता गति को नगण्य होने के लिए आवश्यक समय) के लिए अक्सर उपयोग किया जाता है। त्रिज्या r के गोलाकार कणों के लिए, स्टोक्स का नियम देता है
+निम्न रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में, गतिशीलता μ ड्रैग गुणांक <math>\zeta</math> का व्युत्क्रम है। एक अवमंदन स्थिरांक <math>\gamma = \zeta / m</math> का उपयोग अधिकांश विसरित वस्तु के व्युत्क्रम गति विश्राम समय (यादृच्छिक गति की तुलना में जड़ता गति को नगण्य होने के लिए आवश्यक समय) के लिए किया जाता है। त्रिज्या r के गोलाकार कणों के लिए, स्टोक्स का नियम देता है
 <math display="block">\zeta = 6 \pi \, \eta \, r,</math>
-कहाँ <math>\eta</math> माध्यम की श्यानता है. इस प्रकार आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध में परिणत होता है
+जहाँ <math>\eta</math> माध्यम की श्यानता है। इस प्रकार आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध में परिणत होता है
 <math display="block">D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}.</math>
-इसे तरल पदार्थों में स्व-प्रसार गुणांक का अनुमान लगाने के लिए कई वर्षों से लागू किया गया है, और आइसोमोर्फ सिद्धांत के अनुरूप संस्करण की पुष्टि [[लेनार्ड-जोन्स क्षमता]] | लेनार्ड-जोन्स प्रणाली के कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा की गई है।<ref>{{Cite journal |last1=Costigliola|first1=Lorenzo|last2=Heyes|first2=David M.|last3=Schrøder|first3=Thomas B.|last4=Dyre|first4=Jeppe C.| date=2019-01-14|title=हाइड्रोडायनामिक व्यास के बिना स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध पर दोबारा गौर करना|journal=The Journal of Chemical Physics |language=en|volume=150|issue=2|pages=021101|doi=10.1063/1.5080662|pmid=30646717|bibcode=2019JChPh.150b1101C |issn=0021-9606|doi-access=free}}</ref> [[घूर्णी प्रसार]] के मामले में, घर्षण है <math>\zeta_\text{r} = 8 \pi \eta r^3</math>, और घूर्णी प्रसार स्थिरांक <math>D_\text{r}</math> है
+इसे तरल पदार्थों में स्व-प्रसार गुणांक का अनुमान लगाने के लिए कई वर्षों से लागू किया गया है, और आइसोमोर्फ सिद्धांत के अनुरूप संस्करण की पुष्टि [[लेनार्ड-जोन्स क्षमता|लेनार्ड-जोन्स प्रणाली]] के कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा की गई है।<ref>{{Cite journal |last1=Costigliola|first1=Lorenzo|last2=Heyes|first2=David M.|last3=Schrøder|first3=Thomas B.|last4=Dyre|first4=Jeppe C.| date=2019-01-14|title=हाइड्रोडायनामिक व्यास के बिना स्टोक्स-आइंस्टीन संबंध पर दोबारा गौर करना|journal=The Journal of Chemical Physics |language=en|volume=150|issue=2|pages=021101|doi=10.1063/1.5080662|pmid=30646717|bibcode=2019JChPh.150b1101C |issn=0021-9606|doi-access=free}}</ref> [[घूर्णी प्रसार]] के स्थिति में, घर्षण <math>\zeta_\text{r} = 8 \pi \eta r^3</math> है, और घूर्णी प्रसार स्थिरांक <math>D_\text{r}</math> है
 <math display="block">D_\text{r} = \frac{k_\text{B} T}{8\pi\,\eta\,r^3}.</math>
 इसे कभी-कभी स्टोक्स-आइंस्टीन-डेबी संबंध के रूप में जाना जाता है।
 ===[[अर्धचालक]]===
-एक अर्धचालक में राज्यों के मनमाने घनत्व के साथ, यानी रूप का एक संबंध <math>p = p(\varphi)</math> छिद्रों या इलेक्ट्रॉनों के घनत्व के बीच <math>p</math> और संबंधित अर्ध फर्मी स्तर (या [[विद्युत रासायनिक क्षमता]]) <math>\varphi</math>, आइंस्टीन संबंध है<ref>{{cite book
+अवस्थाओं के स्वैच्छिक घनत्व वाले अर्धचालक में, अर्थात् छिद्रों या इलेक्ट्रॉनों <math>p</math> के घनत्व और संबंधित अर्ध फर्मी स्तर (या [[विद्युत रासायनिक क्षमता]]) <math>\varphi</math> के बीच फॉर्म <math>p = p(\varphi)</math> का संबंध, आइंस्टीन संबंध है<ref>{{cite book
 |author1=Ashcroft, N. W. |author2=Mermin, N. D.
 |title=Solid State Physics
@@ Line 95: / Line 92: @@
 |language=fr}}</ref>
 <math display="block">D = \frac{\mu_q p}{q \frac{dp}{d\varphi}},</math>
-कहाँ <math>\mu_q</math> विद्युत गतिशीलता है (देखें) {{slink||Proof of the general case}}इस संबंध के प्रमाण के लिए)। राज्यों के घनत्व#राज्यों के घनत्व के लिए परवलयिक फैलाव संबंध और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी को मानते हुए एक उदाहरण, जिसका उपयोग अक्सर [[अकार्बनिक यौगिक]] अर्धचालक सामग्रियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, कोई गणना कर सकता है (राज्यों का घनत्व#राज्यों का घनत्व और वितरण कार्य देखें) :
+जहाँ <math>\mu_q</math> विद्युत गतिशीलता (इस संबंध के प्रमाण के लिए {{slink||सामान्य स्थिति का प्रमाण}} देखें) है। अवस्थाओं के घनत्व और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी के लिए एक परवलयिक फैलाव संबंध मानने वाला एक उदाहरण, जिसका उपयोग अधिकांश [[अकार्बनिक यौगिक]] अर्धचालक सामग्रियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जिनकी गणना (अवस्थाओं का घनत्व और वितरण कार्य देखें) की जा सकती है:
 <math display="block">p(\varphi) = N_0 e^{\frac{q \varphi}{k_\text{B} T}},</math>
-कहाँ <math>N_0</math> उपलब्ध ऊर्जा अवस्थाओं का कुल घनत्व है, जो सरलीकृत संबंध देता है:
+जहाँ <math>N_0</math> उपलब्ध ऊर्जा अवस्थाओं का कुल घनत्व है, जो सरलीकृत संबंध देता है:
 <math display="block">D = \mu_q \frac{k_\text{B} T}{q}.</math>
@@ Line 106: / Line 104: @@
-==सामान्य मामले का प्रमाण==
+==सामान्य स्थिति का प्रमाण==
 आइंस्टीन संबंध का प्रमाण कई संदर्भों में पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए कुबो देखें।<ref>{{cite journal
 |author=Kubo, R.
@@ Line 117: / Line 115: @@
 |bibcode = 1966RPPh...29..255K |doi = 10.1088/0034-4885/29/1/306 |s2cid=250892844
 }}</ref>
-मान लीजिए कुछ निश्चित, बाह्य स्थितिज ऊर्जा <math>U</math> एक रूढ़िवादी शक्ति उत्पन्न करता है <math>F(\mathbf{x})=-\nabla U(\mathbf{x})</math> (उदाहरण के लिए, एक विद्युत बल) किसी दिए गए स्थान पर स्थित कण पर <math>\mathbf{x}</math>. हम मानते हैं कि कण वेग से चलते हुए प्रतिक्रिया करेगा <math>v(\mathbf{x})=\mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x})</math> ([[खींचें (भौतिकी)]] देखें)। अब मान लीजिए कि स्थानीय सांद्रता वाले ऐसे कण बड़ी संख्या में हैं <math>\rho(\mathbf{x})</math> पद के एक कार्य के रूप में। कुछ समय के बाद, संतुलन स्थापित हो जाएगा: कण सबसे कम संभावित ऊर्जा वाले क्षेत्रों के आसपास ढेर हो जाएंगे <math>U</math>, लेकिन फिर भी [[प्रसार]] के कारण कुछ हद तक फैल जाएगा। संतुलन पर, कणों का कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है: कणों की प्रवृत्ति नीचे की ओर खिंचने की होती है <math>U</math>, जिसे बहाव धारा कहा जाता है, विसरण के कारण कणों के फैलने की प्रवृत्ति को पूरी तरह से संतुलित करता है, जिसे विसरण धारा कहा जाता है ([[बहाव-प्रसार समीकरण]] देखें)।
-बहाव धारा के कारण कणों का शुद्ध प्रवाह होता है
+मान लीजिए कि कुछ निश्चित, बाह्य स्थितिज ऊर्जा <math>U</math> किसी दिए गए स्थान <math>\mathbf{x}</math> पर स्थित एक कण पर एक संरक्षी बल <math>F(\mathbf{x})=-\nabla U(\mathbf{x})</math> (उदाहरण के लिए, एक विद्युत बल) उत्पन्न करती है। हम मानते हैं कि कण वेग <math>v(\mathbf{x})=\mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x})</math> ([[खींचें (भौतिकी)|ड्रैग (भौतिकी)]] देखें) के साथ चलते हुए प्रतिक्रिया करता हैं। अब मान लें कि बड़ी संख्या में ऐसे कण हैं, जिनकी स्थानीय सांद्रता <math>\rho(\mathbf{x})</math> स्थिति पर निर्भर करती है। कुछ समय के बाद, संतुलन स्थापित हो जाएगा: कण सबसे कम संभावित ऊर्जा <math>U</math> वाले क्षेत्रों के आसपास संचित हो जाएंगे, किन्तु फिर भी [[प्रसार]] के कारण कुछ सीमा तक प्रसारित हो जाता हैं। संतुलन पर, कणों का कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है: कणों की निचली <math>U</math> की ओर खींचने की प्रवृत्ति, जिसे अपवाह धारा कहा जाता है, विसरण के कारण कणों के प्रसार की प्रवृत्ति को पूरी तरह से संतुलित करती है, जिसे विसरण धारा ([[बहाव-प्रसार समीकरण|अपवाह-प्रसार समीकरण]]) कहा जाता है।
+अपवाह धारा के कारण कणों का शुद्ध प्रवाह होता है
 <math display="block">\mathbf{J}_\mathrm{drift}(\mathbf{x}) = \mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x}) \rho(\mathbf{x}) = -\rho(\mathbf{x}) \mu(\mathbf{x}) \nabla U(\mathbf{x}),</math>
-यानी, किसी दिए गए स्थान से बहने वाले कणों की संख्या कण की सांद्रता के औसत वेग से गुणा के बराबर होती है।
+अर्थात्, किसी दिए गए स्थान से बहने वाले कणों की संख्या कण की सांद्रता के औसत वेग से गुणा के समान होती है।
 विसरण धारा के कारण कणों का प्रवाह, फ़िक के नियम के अनुसार होता है,
@@ Line 127: / Line 126: @@
 जहां ऋण चिह्न का अर्थ है कि कण उच्च से निम्न सांद्रता की ओर प्रवाहित होते हैं।
-अब संतुलन की स्थिति पर विचार करें। सबसे पहले, कोई शुद्ध प्रवाह नहीं है, अर्थात। <math>\mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = 0</math>. दूसरा, गैर-अंतःक्रियात्मक बिंदु कणों के लिए, संतुलन घनत्व <math>\rho</math> यह पूरी तरह से स्थानीय संभावित ऊर्जा का एक कार्य है <math>U</math>, यानी यदि दो स्थानों पर समान है <math>U</math> तो उनके पास भी वैसा ही होगा <math>\rho</math> (उदाहरण के लिए [[मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े]] देखें जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) इसका मतलब है, [[श्रृंखला नियम]] को लागू करना,
+अब संतुलन की स्थिति पर विचार करें। सबसे पहले, कोई शुद्ध प्रवाह नहीं है, अर्थात <math>\mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = 0</math> है। दूसरा, गैर-अंतःक्रियात्मक बिंदु कणों के लिए, संतुलन घनत्व <math>\rho</math> यह पूरी तरह से स्थानीय संभावित ऊर्जा <math>U</math> का कार्य है, अर्थात् दो स्थानों में एक ही <math>U</math> है तो उनके पास भी एक ही <math>\rho</math> (उदाहरण के लिए [[मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े]] देखें जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) होगा इसका अर्थ है, [[श्रृंखला नियम]] को लागू करना,
 <math display="block">\nabla\rho = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} \nabla U.</math>
 इसलिए, संतुलन पर:
 <math display="block">0 = \mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = -\mu \rho \nabla U - D \nabla \rho = \left(-\mu \rho - D \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}\right)\nabla U.</math>
-जैसा कि यह अभिव्यक्ति हर स्थिति में होती है <math>\mathbf{x}</math>, इसका तात्पर्य आइंस्टीन संबंध के सामान्य रूप से है:
+जैसा कि यह अभिव्यक्ति हर स्थिति <math>\mathbf{x}</math> में होती है, इसका तात्पर्य आइंस्टीन संबंध के सामान्य रूप से है:
 <math display="block">D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}}.</math>
-के बीच संबंध <math>\rho</math> और <math>U</math> [[शास्त्रीय भौतिकी]] को मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के माध्यम से मॉडलिंग किया जा सकता है
+के बीच संबंध <math>\rho</math> और <math>U</math> [[शास्त्रीय भौतिकी|पारंपरिक भौतिकी]] को मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के माध्यम से मॉडलिंग किया जा सकता है
 <math display="block">\rho(\mathbf{x}) = A e^{-\frac{U(\mathbf{x})}{k_\text{B} T}},</math>
-कहाँ <math>A</math> कणों की कुल संख्या से संबंधित एक स्थिरांक है। इसलिए
+जहाँ <math>A</math> कणों की कुल संख्या से संबंधित स्थिरांक है। इसलिए
 <math display="block">\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} = -\frac{1}{k_\text{B} T}\rho.</math>
-इस धारणा के तहत, इस समीकरण को सामान्य आइंस्टीन संबंध में जोड़ने से प्राप्त होता है:
+इस धारणा के अनुसार, इस समीकरण को सामान्य आइंस्टीन संबंध में जोड़ने से प्राप्त होता है:
 <math display="block">D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}} = \mu k_\text{B} T,</math>
-जो शास्त्रीय आइंस्टीन संबंध से मेल खाता है।
+जो पारंपरिक आइंस्टीन संबंध से मेल खाता है।
 ==यह भी देखें==
@@ Line 156: / Line 155: @@
 {{Einstein}}
-{{DEFAULTSORT:Einstein Relation (Kinetic Theory)}}[[Category: सांख्यिकीय यांत्रिकी]] [[Category: अल्बर्ट आइंस्टीन|संबंध]]
+{{DEFAULTSORT:Einstein Relation (Kinetic Theory)}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
-[[Category:Created On 19/07/2023]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:Collapse templates|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Created On 19/07/2023|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Lua-based templates|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Machine Translated Page|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Pages with script errors|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Templates generating microformats|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:Webarchive template wayback links]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]
+[[Category:अल्बर्ट आइंस्टीन|संबंध]]
+[[Category:सांख्यिकीय यांत्रिकी|Einstein Relation (Kinetic Theory)]]

v t e Albert Einstein
Physics	Special relativity General relativity Mass–energy equivalence (E=mc²) Brownian motion Photoelectric effect Einstein coefficients Einstein solid Equivalence principle Einstein field equations Einstein radius Einstein relation (kinetic theory) Cosmological constant Bose–Einstein condensate Bose–Einstein statistics Bose–Einstein correlations Einstein–Cartan theory Einstein–Infeld–Hoffmann equations Einstein–de Haas effect EPR paradox Bohr–Einstein debates Teleparallelism Thought experiments Unsuccessful investigations Wave–particle duality Gravitational wave Tea leaf paradox
Works	Annus mirabilis papers (1905) "Investigations on the Theory of Brownian Movement" (1905) Relativity: The Special and the General Theory (1916) The Meaning of Relativity (1922) The World as I See It (1934) The Evolution of Physics (1938) "Why Socialism?" (1949) Russell–Einstein Manifesto (1955)
In popular culture	Die Grundlagen der Einsteinschen Relativitäts-Theorie (1922 documentary) The Einstein Theory of Relativity (1923 documentary) Relics: Einstein's Brain (1994 documentary) Insignificance (1985 film) I.Q. (1994 film) Einstein's Gift (2003 play) Einstein and Eddington (2008 TV film) Genius (2017 series)
Related	Awards and honors Brain House Memorial Political views Religious views List of things named after Albert Einstein Albert Einstein Archives Einstein Papers Project Einstein refrigerator Einsteinhaus Einsteinium Max Talmud
Prizes	Albert Einstein Award Albert Einstein Medal Kalinga Prize Albert Einstein Peace Prize Albert Einstein World Award of Science Einstein Prize for Laser Science Einstein Prize (APS)
Books about Einstein	Albert Einstein: Creator and Rebel Einstein and Religion Einstein for Beginners Einstein: His Life and Universe Einstein's Cosmos I Am Albert Einstein Introducing Relativity Subtle is the Lord
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आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत): Difference between revisions

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