वेइल बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 13:58, 3 August 2023

एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित में, वेइल बीजगणित बहुपद गुणांक (एक वेरिएबल में) के साथ अंतर संचालको की वलय (गणित) है, अर्थात् रूप की एक्सप्रेशन है

f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).

अधिक स्पष्ट रूप से, F को अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) होने दें, और F[X] को वेरिएबल , X में बहुपद वलय होने दें, F में गुणांक के साथ। फिर प्रत्येक f_if[x] में स्थित है।

∂_XX के संबंध में व्युत्पन्न है। बीजगणित X और ∂_X द्वारा उत्पन्न होता है.

वेइल बीजगणित साधारण वलय का उदाहरण है जो एक विभाजन की वलय के ऊपर आव्युह वलय नहीं है। यह डोमेन (वलय सिद्धांत) का गैर-अनुवांशिक उदाहरण और अयस्क विस्तार का उदाहरण भी है।

अवयव द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय सिद्धांत) द्वारा, वेइल बीजगणित दो जनरेटर, x और y पर फ्री बीजगणित की भागफल वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।

YX-XY=1~.

वेइल बीजगणित, बीजगणित के अनंत वर्ग में पहला है, जिसे वेइल बीजगणित के नाम से भी जाना जाता है। n-वें वेइल बीजगणित, a_n, n वेरिएबल में बहुपद गुणांक वाले विभेदक संचालकों का वलय है। यह x _iऔर ∂_{X_i}i = 1, ..., n, द्वारा उत्पन्न होता है.

वेइल बीजगणित का नाम हरमन वेइल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें क्वांटम यांत्रिकी में वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पेश किया था। यह हाइजेनबर्ग बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित, हाइजेनबर्ग समूह के ली बीजगणित का भागफल वलय है, जो हेइजेनबर्ग बीजगणित के केंद्रीय अवयव (अर्थात् [x, y]) को सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की इकाई के समान्तर सेट करते है ( ऊपर 1 कहा गया है)।

वेइल बीजगणित को 'सिम्प्लेक्टिक क्लिफ़ोर्ड बीजगणित' के रूप में भी जाना जाता है।^[1]^[2]^[3] वेइल बीजगणित सहानुभूतिपूर्ण द्विरेखीय रूप के लिए उसी संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं जो क्लिफोर्ड बीजगणित गैर-पतित सममित द्विरेखीय रूपों के लिए प्रस्तुत करते हैं।^[1]

जेनरेटर और संबंध

कोई बीजगणित A_n का एब्स्ट्रेक्ट निर्माण दे सकता है जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में. एब्स्ट्रेक्ट सदिश स्थल V (आयाम 2n का) से प्रारंभ करें जो सहानुभूतिपूर्ण रूप ω से सुसज्जित है। वेइल बीजगणित W(V) को परिभाषित करें

W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),

जहां T(V) V पर टेंसर बीजगणित और अंकन है $(\!()\!)$ का अर्थ है द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय सिद्धांत)।

दूसरे शब्दों में, W(V) केवल संबंध के अधीन V द्वारा उत्पन्न बीजगणित है $vu - uv = ω (v, u)$ . फिर, W(V) A_n का समरूपी है डार्बौक्स आधार के चयन के माध्यम से $ω$ . किया जाता है

परिमाणीकरण

बीजगणित W(V) सममित बीजगणित Sym(V) का परिमाणीकरण (भौतिकी) है। यदि V विशेषता शून्य के क्षेत्र पर है, तो W(V) स्वाभाविक रूप से सममित बीजगणित Sym(V) के अंतर्निहित सदिश स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है जो विकृत उत्पाद से सुसज्जित है जिसे ग्रोएनवॉल्ड-मोयल उत्पाद कहा जाता है (सममित बीजगणित को ध्यान में रखते हुए) V पर बहुपद फलन^∗, जहां वेरिएबल सदिश स्पेस V को विस्तारण करते हैं, और मोयल उत्पाद सूत्र में iħ को 1 से प्रतिस्थापित करते हैं)।

समरूपता Sym(V) से W(V) तक समरूपता मानचित्र द्वारा दी गई है

a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.

यदि कोई iħ को प्राथमिकता देता है और सम्मिश्र संख्याओं पर कार्य करता है, तो वह इसके अतिरिक्त X द्वारा उत्पन्न वेइल बीजगणित को परिभाषित कर सकता है (क्वांटम यांत्रिकी उपयोग के अनुसार)।

इस प्रकार, वेइल बीजगणित सममित बीजगणित का परिमाणीकरण है, जो अनिवार्य रूप से मोयल उत्पाद के समान है (यदि पश्चात वाले के लिए बहुपद कार्यों तक सीमित है), लेकिन पूर्व जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में है (अंतर संचालक माना जाता है) ) और पश्चात वाला विकृत गुणन के संदर्भ में है।

बाहरी बीजगणित के स्थिति में, वेइल के अनुरूप परिमाणीकरण क्लिफोर्ड बीजगणित है, जिसे ऑर्थोगोनल क्लिफोर्ड बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है।^[2]^[4]

वेइल बीजगणित के गुण

इस स्थिति में कि जमीनी क्षेत्र $F$ विशेषता शून्य है, n वें वेइल बीजगणित साधारण वलय नोथेरियन वलय डोमेन (वलय सिद्धांत) है। इसका वैश्विक आयाम n है, इसके द्वारा विकृत वलय के विपरीत, Sym(V), जिसका वैश्विक आयाम 2n है।

इसका कोई परिमित-आयामी निरूपण नहीं है। यद्यपि यह सरलता से अनुसरण करता है, इसे कुछ परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के लिए σ(X) और σ(Y) का ट्रेस लेकर अधिक सीधे दिखाया जा सकता है (जहां [X,Y] = 1). है

\mathrm {tr} ([\sigma (X),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.

चूँकि कम्यूटेटर का ट्रेस शून्य है, और पहचान का ट्रेस प्रतिनिधित्व का आयाम है, प्रतिनिधित्व शून्य आयामी होना चाहिए।

वास्तव में, परिमित-आयामी अभ्यावेदन की अनुपस्थिति की तुलना में अधिक सशक्त कथन हैं। किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न A_n के लिए मॉड्यूल m, की संगत उपविविधता चार (m) है V × V^∗ 'विशेष विविधता' कहा जाता है जिसका आकार सामान्यतः आकार से मेल खाता है m का (एक परिमित-आयामी मॉड्यूल में शून्य-आयामी विशेषता विविधता होगी)। फिर बर्नस्टीन की असमानता (गणितीय विश्लेषण) बताती है कि m गैर-शून्य के लिए उपयोग किया जाता है

\dim(\operatorname {char} (M))\geq n

एक और भी सशक्त कथन का प्रमेय है, जो बताता है कि चार (m) लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड उपविविधता है प्राकृतिक सहानुभूति V × V^∗ रूप के लिए उपयोग किया जाता है।

सकारात्मक विशेषता

विशेषता के क्षेत्र (बीजगणित) पर वेइल बीजगणित p > 0 के स्थिति अधिक भिन्न है .

इस स्थिति में, वेइल बीजगणित के किसी भी अवयव d के लिए, अवयव d^p केंद्रीय है, और इसलिए वेइल बीजगणित का केंद्र बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह अपने केंद्र पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है; इससे भी अधिक, यह अपने केंद्र पर बीजगणित है। परिणामस्वरूप, अनेक परिमित-आयामी निरूपण हैं जो सभी आयाम p के सरल निरूपण से निर्मित हैं।

स्थिर केंद्र

वेइल बीजगणित का केंद्र स्थिरांक का क्षेत्र है। किसी भी अवयव के लिए $h=f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)$ केंद्र में, $h\partial _{X}=\partial _{X}h$ तात्पर्य $f_{i}'=0$ सभी के लिए $i$ और $hX=Xh$ तात्पर्य $f_{i}=0$ के लिए $i>0$ . इस प्रकार $h=f_{0}$ स्थिरांक है.

सामान्यीकरण

स्थिति में इस परिमाणीकरण के बारे में अधिक जानकारी के लिए n = 1 (और फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके बहुपद फलन से बड़े पूर्णांक फलन के वर्ग में विस्तार), विग्नर-वेइल ट्रांसफ़ॉर्म देखें।

वेइल बीजगणित और क्लिफोर्ड *-बीजगणित की और संरचना को स्वीकार करते हैं, और इसे सुपरबीजगणित के सम और विषम शब्दों के रूप में एकीकृत किया जा सकता है, जैसा कि सीसीआर और सीएआर बीजगणित में चर्चा की गई है।

एफ़िन किस्में

वेइल बीजगणित बीजगणितीय विविधताएँ के स्थिति में भी सामान्यीकरण करते हैं। बहुपद वलय पर विचार करें

R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.

फिर विभेदक संचालक को की संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है $\mathbb {C}$ -की रैखिक व्युत्पत्तियाँ $R$ . इसे स्पष्ट रूप से भागफल वलय के रूप में वर्णित किया जा सकता है

{\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.

यह भी देखें

संदर्भ

de Traubenberg, M. Rausch; Slupinski, M. J.; Tanasa, A. (2006). "Finite-dimensional Lie subalgebras of the Weyl algebra". J. Lie Theory. 16: 427–454. arXiv:math/0504224. (Classifies subalgebras of the one-dimensional Weyl algebra over the complex numbers; shows relationship to SL(2,C))
Tsit Yuen Lam (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2nd ed.). Springer. p. 6. ISBN 978-0-387-95325-0.
Coutinho, S.C. (1997). "The many avatars of a simple algebra". American Mathematical Monthly. 104 (7): 593–604. doi:10.1080/00029890.1997.11990687.
Traves, Will (2010). "Differential Operations on Grassmann Varieties". In Campbell, H.; Helminck, A.; Kraft, H.; Wehlau, D. (eds.). Symmetry and Spaces. Progress in Mathematics. Vol. 278. Birkhäuse. pp. 197–207. doi:10.1007/978-0-8176-4875-6_10. ISBN 978-0-8176-4875-6.

↑ ^1.0 ^1.1 Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). "Introduction: Weyl algebras". द्विघात मानचित्रण और क्लिफ़ोर्ड बीजगणित. Birkhäuser. p. xii. ISBN 978-3-7643-8605-4.
↑ ^2.0 ^2.1 Abłamowicz, Rafał (2004). "Foreword". Clifford algebras: applications to mathematics, physics, and engineering. Progress in Mathematical Physics. Birkhäuser. pp. xvi. ISBN 0-8176-3525-4.
↑ Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Cz. (1989). "Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras". In Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग. Kluwer. pp. 83–96 see p.92. ISBN 0-7923-1623-1.
↑ Oziewicz & Sitarczyk 1989, p. 83

[helmstetter-2008-p12-1] 1.0 ^1.1 Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). "Introduction: Weyl algebras". द्विघात मानचित्रण और क्लिफ़ोर्ड बीजगणित. Birkhäuser. p. xii. ISBN 978-3-7643-8605-4.

[ablamowicz-Pxvi-2] 2.0 ^2.1 Abłamowicz, Rafał (2004). "Foreword". Clifford algebras: applications to mathematics, physics, and engineering. Progress in Mathematical Physics. Birkhäuser. pp. xvi. ISBN 0-8176-3525-4.

[3] Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Cz. (1989). "Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras". In Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग. Kluwer. pp. 83–96 see p.92. ISBN 0-7923-1623-1.

[4] Oziewicz & Sitarczyk 1989, p. 83

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 {{Short description|Differential algebra}}
-[[अमूर्त बीजगणित]] में, वेइल बीजगणित [[बहुपद]] गुणांक (एक चर में) के साथ अंतर ऑपरेटरों की [[अंगूठी (गणित)]] है, अर्थात् फॉर्म की अभिव्यक्तियां
+[[अमूर्त बीजगणित|एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित]] में, '''वेइल बीजगणित''' [[बहुपद]] गुणांक (एक वेरिएबल  में) के साथ अंतर संचालको की [[अंगूठी (गणित)|वलय  (गणित)]] है, अर्थात् रूप  की एक्सप्रेशन है
 :<math> f_m(X) \partial_X^m + f_{m-1}(X) \partial_X^{m-1} + \cdots + f_1(X) \partial_X + f_0(X).</math>
-अधिक सटीक रूप से, F को अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) होने दें, और F[X] को एक चर, X में बहुपद रिंग होने दें, F में गुणांक के साथ। फिर प्रत्येक f<sub>i</sub>एफ[एक्स] में स्थित है।
+अधिक स्पष्ट रूप से, F को अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) होने दें, और F[X] को वेरिएबल , X में बहुपद वलय  होने दें, F में गुणांक के साथ। फिर प्रत्येक f<sub>i</sub>f[x] में स्थित है।
-∂<sub>X</sub>X के संबंध में व्युत्पन्न है। बीजगणित X और ∂ द्वारा उत्पन्न होता है<sub>X</sub>.
+∂<sub>X</sub>X के संबंध में व्युत्पन्न है। बीजगणित X और ∂<sub>X</sub> द्वारा उत्पन्न होता है.
-वेइल बीजगणित एक साधारण रिंग का एक उदाहरण है जो एक [[ विभाजन की अंगूठी ]] के ऊपर [[मैट्रिक्स रिंग]] नहीं है। यह एक [[डोमेन (रिंग सिद्धांत)]] का एक गैर-अनुवांशिक उदाहरण और [[अयस्क विस्तार]] का एक उदाहरण भी है।
+वेइल बीजगणित साधारण वलय का उदाहरण है जो एक [[ विभाजन की अंगूठी |विभाजन की वलय]]  के ऊपर [[मैट्रिक्स रिंग|आव्युह वलय]]  नहीं है। यह [[डोमेन (रिंग सिद्धांत)|डोमेन (वलय  सिद्धांत)]] का गैर-अनुवांशिक उदाहरण और [[अयस्क विस्तार]] का उदाहरण भी है।
-तत्व द्वारा उत्पन्न [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] द्वारा, वेइल बीजगणित दो जनरेटर, एक्स और वाई पर [[मुक्त बीजगणित]] की [[भागफल अंगूठी]] के लिए आइसोमोर्फिक है।
+अवयव द्वारा उत्पन्न [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)|आदर्श (वलय  सिद्धांत)]] द्वारा, वेइल बीजगणित दो जनरेटर, x और y पर [[मुक्त बीजगणित|फ्री बीजगणित]] की [[भागफल अंगूठी|भागफल वलय]]  के लिए आइसोमोर्फिक है।
 :<math>YX - XY = 1~.</math>
-वेइल बीजगणित, बीजगणित के अनंत परिवार में पहला है, जिसे वेइल बीजगणित के नाम से भी जाना जाता है। ''एन''-वें वेइल बीजगणित, ''ए<sub>n</sub>, n चरों में बहुपद गुणांक वाले विभेदक संचालकों का वलय है। यह एक्स द्वारा उत्पन्न होता है<sub>i</sub>और ∂<sub>X<sub>i</sub></उप>, {{nowrap|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}.
+वेइल बीजगणित, बीजगणित के अनंत वर्ग में पहला है, जिसे वेइल बीजगणित के नाम से भी जाना जाता है। ''n''-वें वेइल बीजगणित, ''a<sub>n</sub>, n वेरिएबल में बहुपद गुणांक वाले विभेदक संचालकों का वलय है। यह x <sub>i</sub>और ∂<sub>X<sub>i</sub> ''i'' = 1, ..., ''n'', द्वारा उत्पन्न होता है{{nowrap|1=}}.
-वेइल बीजगणित का नाम [[हरमन वेइल]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें [[क्वांटम यांत्रिकी]] में [[वर्नर हाइजेनबर्ग]] अनिश्चितता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पेश किया था। यह [[हाइजेनबर्ग बीजगणित]] के [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित]], [[हाइजेनबर्ग समूह]] के ली बीजगणित का एक भागफल वलय है, जो हेइजेनबर्ग बीजगणित के केंद्रीय तत्व (अर्थात् [एक्स, वाई]) को सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की इकाई के बराबर सेट करके ( ऊपर 1 कहा गया है)।
+वेइल बीजगणित का नाम [[हरमन वेइल]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें [[क्वांटम यांत्रिकी]] में [[वर्नर हाइजेनबर्ग]] अनिश्चितता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पेश किया था। यह [[हाइजेनबर्ग बीजगणित]] के [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित]], [[हाइजेनबर्ग समूह]] के ली बीजगणित का भागफल वलय है, जो हेइजेनबर्ग बीजगणित के केंद्रीय अवयव (अर्थात् [x, y]) को सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की इकाई के समान्तर सेट करते है ( ऊपर 1 कहा गया है)।
-वेइल बीजगणित को 'सिम्प्लेक्टिक क्लिफ़ोर्ड बीजगणित' के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="helmstetter-2008-p12">{{cite book |first1=Jacques |last1=Helmstetter |first2=Artibano |last2=Micali |title=द्विघात मानचित्रण और क्लिफ़ोर्ड बीजगणित|publisher=Birkhäuser |year=2008 |isbn=978-3-7643-8605-4 |page=xii |chapter=Introduction: Weyl algebras |chapter-url=https://books.google.com/books?id=x_VfARQsSO8C&pg=PR12}}</ref><ref name="ablamowicz-Pxvi">{{cite book |first=Rafał |last=Abłamowicz |chapter=Foreword |chapter-url=https://books.google.com/books?id=b6mbSCv_MHMC&pg=PR16 |title=Clifford algebras: applications to mathematics, physics, and engineering |publisher=Birkhäuser |series=Progress in Mathematical Physics |year=2004 |isbn=0-8176-3525-4 |pages=xvi }}</ref><ref>{{cite book |first1=Z. |last1=Oziewicz |first2=Cz. |last2=Sitarczyk |chapter=Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras |chapter-url=https://books.google.com/books?id=FhU9QpPIscoC&pg=PA92 |editor-first=A. |editor-last=Micali |editor2-first=R. |editor2-last=Boudet |editor3-first=J. |editor3-last=Helmstetter |title=क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग|publisher=Kluwer |year=1989 |isbn=0-7923-1623-1 |pages=83–96 see p.92}}</ref> वेइल बीजगणित सहानुभूतिपूर्ण [[द्विरेखीय रूप]]ों के लिए उसी संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं जो [[क्लिफोर्ड बीजगणित]] गैर-पतित सममित द्विरेखीय रूपों के लिए प्रस्तुत करते हैं।<ref name="helmstetter-2008-p12"/>
+वेइल बीजगणित को 'सिम्प्लेक्टिक क्लिफ़ोर्ड बीजगणित' के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="helmstetter-2008-p12">{{cite book |first1=Jacques |last1=Helmstetter |first2=Artibano |last2=Micali |title=द्विघात मानचित्रण और क्लिफ़ोर्ड बीजगणित|publisher=Birkhäuser |year=2008 |isbn=978-3-7643-8605-4 |page=xii |chapter=Introduction: Weyl algebras |chapter-url=https://books.google.com/books?id=x_VfARQsSO8C&pg=PR12}}</ref><ref name="ablamowicz-Pxvi">{{cite book |first=Rafał |last=Abłamowicz |chapter=Foreword |chapter-url=https://books.google.com/books?id=b6mbSCv_MHMC&pg=PR16 |title=Clifford algebras: applications to mathematics, physics, and engineering |publisher=Birkhäuser |series=Progress in Mathematical Physics |year=2004 |isbn=0-8176-3525-4 |pages=xvi }}</ref><ref>{{cite book |first1=Z. |last1=Oziewicz |first2=Cz. |last2=Sitarczyk |chapter=Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras |chapter-url=https://books.google.com/books?id=FhU9QpPIscoC&pg=PA92 |editor-first=A. |editor-last=Micali |editor2-first=R. |editor2-last=Boudet |editor3-first=J. |editor3-last=Helmstetter |title=क्लिफोर्ड बीजगणित और गणितीय भौतिकी में उनके अनुप्रयोग|publisher=Kluwer |year=1989 |isbn=0-7923-1623-1 |pages=83–96 see p.92}}</ref> वेइल बीजगणित सहानुभूतिपूर्ण [[द्विरेखीय रूप]] के लिए उसी संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं जो [[क्लिफोर्ड बीजगणित]] गैर-पतित सममित द्विरेखीय रूपों के लिए प्रस्तुत करते हैं।<ref name="helmstetter-2008-p12"/>
+== जेनरेटर और संबंध                                                                                                                                                                   ==
+कोई बीजगणित A<sub>n</sub> का एब्स्ट्रेक्ट निर्माण दे सकता है जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में. एब्स्ट्रेक्ट [[ सदिश स्थल |सदिश स्थल]] V (आयाम 2n का) से प्रारंभ करें जो सहानुभूतिपूर्ण रूप ω से सुसज्जित है। वेइल बीजगणित W(V) को परिभाषित करें
+:<math>W(V) := T(V) / (\!( v \otimes u - u \otimes v - \omega(v,u), \text{ for } v,u \in V )\!),                                                                                         </math>
+जहां T(V) V पर [[टेंसर बीजगणित]] और अंकन है <math>(\!( )\!)</math> का अर्थ है द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय  सिद्धांत)।
-== जेनरेटर और संबंध ==
+दूसरे शब्दों में, W(V) केवल संबंध के अधीन V द्वारा उत्पन्न बीजगणित है {{math|''vu'' − ''uv'' {{=}} ''ω''(''v'', ''u'')}}. फिर, W(V) A<sub>n</sub> का समरूपी है डार्बौक्स आधार के चयन के माध्यम से {{mvar|ω}}. किया जाता है
-कोई बीजगणित ए का एक अमूर्त निर्माण दे सकता है<sub>n</sub>जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में. एक अमूर्त [[ सदिश स्थल ]] V (आयाम 2n का) से शुरू करें जो एक सहानुभूतिपूर्ण रूप ω से सुसज्जित है। वेइल बीजगणित W(V) को परिभाषित करें
-:<math>W(V) := T(V) / (\!( v \otimes u - u \otimes v - \omega(v,u), \text{ for } v,u \in V )\!),</math>
-जहां T(V) V पर [[टेंसर बीजगणित]] और अंकन है <math>(\!( )\!)</math> का अर्थ है द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत)।
-दूसरे शब्दों में, W(V) केवल संबंध के अधीन V द्वारा उत्पन्न बीजगणित है {{math|''vu'' − ''uv'' {{=}} ''ω''(''v'', ''u'')}}. फिर, W(V) A का समरूपी है<sub>n</sub>डार्बौक्स आधार के चयन के माध्यम से {{mvar|ω}}.
 === परिमाणीकरण ===
-बीजगणित W(V) [[सममित बीजगणित]] Sym(V) का एक [[परिमाणीकरण (भौतिकी)]] है। यदि V विशेषता शून्य के क्षेत्र पर है, तो W(V) स्वाभाविक रूप से सममित बीजगणित Sym(V) के अंतर्निहित वेक्टर स्थान के लिए आइसोमोर्फिक है जो एक विकृत उत्पाद से सुसज्जित है - जिसे ग्रोएनवॉल्ड-[[मोयल उत्पाद]] कहा जाता है (सममित बीजगणित को ध्यान में रखते हुए) V पर बहुपद फलन<sup>∗</sup>, जहां चर वेक्टर स्पेस V को फैलाते हैं, और मोयल उत्पाद सूत्र में iħ को 1 से प्रतिस्थापित करते हैं)।
+बीजगणित W(V) [[सममित बीजगणित]] Sym(V) का [[परिमाणीकरण (भौतिकी)]] है। यदि V विशेषता शून्य के क्षेत्र पर है, तो W(V) स्वाभाविक रूप से सममित बीजगणित Sym(V) के अंतर्निहित सदिश स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है जो विकृत उत्पाद से सुसज्जित है जिसे ग्रोएनवॉल्ड-[[मोयल उत्पाद]] कहा जाता है (सममित बीजगणित को ध्यान में रखते हुए) V पर बहुपद फलन<sup>∗</sup>, जहां वेरिएबल  सदिश स्पेस V को विस्तारण करते  हैं, और मोयल उत्पाद सूत्र में iħ को 1 से प्रतिस्थापित करते हैं)।
 समरूपता Sym(V) से W(V) तक समरूपता मानचित्र द्वारा दी गई है
 :<math>a_1 \cdots a_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} a_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes a_{\sigma(n)}~.</math>
-यदि कोई iħ को प्राथमिकता देता है और जटिल संख्याओं पर काम करता है, तो वह इसके बजाय X द्वारा उत्पन्न वेइल बीजगणित को परिभाषित कर सकता है।<sub>''i''</sub> और मैं∂<sub>X<sub>i</sub></sub> (क्वांटम यांत्रिकी उपयोग के अनुसार)।
+यदि कोई iħ को प्राथमिकता देता है और सम्मिश्र  संख्याओं पर कार्य  करता है, तो वह इसके अतिरिक्त X द्वारा उत्पन्न वेइल बीजगणित को परिभाषित कर सकता है (क्वांटम यांत्रिकी उपयोग के अनुसार)।
-इस प्रकार, वेइल बीजगणित सममित बीजगणित का एक परिमाणीकरण है, जो अनिवार्य रूप से मोयल उत्पाद के समान है (यदि बाद वाले के लिए बहुपद कार्यों तक सीमित है), लेकिन पूर्व जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में है (अंतर ऑपरेटर माना जाता है) ) और बाद वाला विकृत गुणन के संदर्भ में है।
+इस प्रकार, वेइल बीजगणित सममित बीजगणित का परिमाणीकरण है, जो अनिवार्य रूप से मोयल उत्पाद के समान है (यदि पश्चात  वाले के लिए बहुपद कार्यों तक सीमित है), लेकिन पूर्व जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में है (अंतर संचालक माना जाता है) ) और पश्चात  वाला विकृत गुणन के संदर्भ में है।
-[[बाहरी बीजगणित]] के मामले में, वेइल एक के अनुरूप परिमाणीकरण क्लिफोर्ड बीजगणित है, जिसे ऑर्थोगोनल क्लिफोर्ड बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="ablamowicz-Pxvi"/><ref>{{harvnb|Oziewicz|Sitarczyk|1989|p=[https://books.google.com/books?id=FhU9QpPIscoC&pg=PA83 83]}}</ref>
+[[बाहरी बीजगणित]] के स्थिति में, वेइल के अनुरूप परिमाणीकरण क्लिफोर्ड बीजगणित है, जिसे ऑर्थोगोनल क्लिफोर्ड बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="ablamowicz-Pxvi"/><ref>{{harvnb|Oziewicz|Sitarczyk|1989|p=[https://books.google.com/books?id=FhU9QpPIscoC&pg=PA83 83]}}</ref>
+==वेइल बीजगणित के गुण==
+{{further|स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय}}
+इस स्थिति में कि जमीनी क्षेत्र {{mvar|F}} विशेषता शून्य है, n वें वेइल बीजगणित साधारण वलय  [[नोथेरियन अंगूठी|नोथेरियन वलय]]  डोमेन (वलय  सिद्धांत) है। इसका [[वैश्विक आयाम]] n है, इसके द्वारा विकृत वलय  के विपरीत, Sym(V), जिसका वैश्विक आयाम 2n है।
-==वेइल बीजगणित के गुण==
+इसका कोई परिमित-आयामी निरूपण नहीं है। यद्यपि यह सरलता से अनुसरण करता है, इसे कुछ परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के लिए σ(X) और σ(Y) का ट्रेस लेकर अधिक सीधे दिखाया जा सकता है (जहां {{nowrap|1=[''X'',''Y''] = 1}}). है
-{{further|Stone–von Neumann theorem}}
-इस मामले में कि जमीनी क्षेत्र {{mvar|F}} विशेषता शून्य है, एनवां वेइल बीजगणित एक साधारण रिंग [[नोथेरियन अंगूठी]] डोमेन (रिंग सिद्धांत) है। इसका [[वैश्विक आयाम]] n है, इसके द्वारा विकृत रिंग के विपरीत, Sym(V), जिसका वैश्विक आयाम 2n है।
-इसका कोई परिमित-आयामी निरूपण नहीं है। यद्यपि यह सरलता से अनुसरण करता है, इसे कुछ परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के लिए σ(X) और σ(Y) का ट्रेस लेकर अधिक सीधे दिखाया जा सकता है (जहां {{nowrap|1=[''X'',''Y''] = 1}}).
 :<math> \mathrm{tr}([\sigma(X),\sigma(Y)])=\mathrm{tr}(1)~.</math>
 चूँकि कम्यूटेटर का ट्रेस शून्य है, और पहचान का ट्रेस प्रतिनिधित्व का आयाम है, प्रतिनिधित्व शून्य आयामी होना चाहिए।
-वास्तव में, परिमित-आयामी अभ्यावेदन की अनुपस्थिति की तुलना में अधिक मजबूत कथन हैं। किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न ए के लिए<sub>n</sub>-मॉड्यूल एम, की एक संगत उपविविधता चार (एम) है {{nowrap|''V'' × ''V''<sup>∗</sup>}} 'विशेष विविधता' कहा जाता है{{what|date=August 2016}} जिसका आकार मोटे तौर पर आकार से मेल खाता है{{what|date=August 2016}}एम का (एक परिमित-आयामी मॉड्यूल में शून्य-आयामी विशेषता विविधता होगी)। फिर बर्नस्टीन की असमानता (गणितीय विश्लेषण)|बर्नस्टीन की असमानता बताती है कि एम गैर-शून्य के लिए,
+वास्तव में, परिमित-आयामी अभ्यावेदन की अनुपस्थिति की तुलना में अधिक सशक्त कथन हैं। किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न A<sub>n</sub> के लिए मॉड्यूल m, की संगत उपविविधता चार (m) है {{nowrap|''V'' × ''V''<sup>∗</sup>}} 'विशेष विविधता' कहा जाता है जिसका आकार सामान्यतः  आकार से मेल खाता है m का (एक परिमित-आयामी मॉड्यूल में शून्य-आयामी विशेषता विविधता होगी)। फिर बर्नस्टीन की असमानता (गणितीय विश्लेषण) बताती है कि m गैर-शून्य के लिए उपयोग किया जाता है
 :<math>\dim(\operatorname{char}(M))\geq n</math>
-एक और भी मजबूत कथन गब्बर का प्रमेय है, जो बताता है कि चार (एम) एक [[लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड]]|सह-आइसोट्रोपिक उपविविधता है {{nowrap|''V'' × ''V''<sup>∗</sup>}} प्राकृतिक सहानुभूति रूप के लिए।
+एक और भी सशक्त कथन का प्रमेय है, जो बताता है कि चार (m) [[लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड]] उपविविधता है प्राकृतिक सहानुभूति {{nowrap|''V'' × ''V''<sup>∗</sup>}} रूप के लिए उपयोग किया जाता है।
 ===सकारात्मक विशेषता===
-विशेषता के क्षेत्र (बीजगणित) पर वेइल बीजगणित के मामले में स्थिति काफी भिन्न है {{nowrap|''p'' > 0}}.
+विशेषता के क्षेत्र (बीजगणित) पर वेइल बीजगणित {{nowrap|''p'' > 0}} के स्थिति अधिक भिन्न है .
-इस मामले में, वेइल बीजगणित के किसी भी तत्व डी के लिए, तत्व डी<sup>पी</sup>केंद्रीय है, और इसलिए वेइल बीजगणित का केंद्र बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह अपने केंद्र पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है; इससे भी अधिक, यह अपने केंद्र पर एक [[अज़ुमाया बीजगणित]] है। परिणामस्वरूप, कई परिमित-आयामी निरूपण हैं जो सभी आयाम पी के सरल निरूपण से निर्मित हैं।
+इस स्थिति में, वेइल बीजगणित के किसी भी अवयव d के लिए, अवयव d<sup>p</sup> केंद्रीय है, और इसलिए वेइल बीजगणित का केंद्र बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह अपने केंद्र पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है; इससे भी अधिक, यह अपने केंद्र पर [[अज़ुमाया बीजगणित|बीजगणित]] है। परिणामस्वरूप, अनेक  परिमित-आयामी निरूपण हैं जो सभी आयाम p के सरल निरूपण से निर्मित हैं।
-=== स्थिर केंद्र ===
+=== स्थिर केंद्र                                    ===
-वेइल बीजगणित का केंद्र स्थिरांक का क्षेत्र है। किसी भी तत्व के लिए <math> h = f_m(X) \partial_X^m + f_{m-1}(X) \partial_X^{m-1} + \cdots + f_1(X) \partial_X + f_0(X)</math> केंद्र में, <math> h\partial_X = \partial_X h</math> तात्पर्य <math> f_i'=0</math> सभी के लिए <math> i</math> और <math> hX =Xh</math> तात्पर्य <math> f_i=0</math> के लिए <math> i>0</math>. इस प्रकार <math> h=f_0</math> एक स्थिरांक है.
+वेइल बीजगणित का केंद्र स्थिरांक का क्षेत्र है। किसी भी अवयव के लिए <math> h = f_m(X) \partial_X^m + f_{m-1}(X) \partial_X^{m-1} + \cdots + f_1(X) \partial_X + f_0(X)</math> केंद्र में, <math> h\partial_X = \partial_X h</math> तात्पर्य <math> f_i'=0</math> सभी के लिए <math> i</math> और <math> hX =Xh</math> तात्पर्य <math> f_i=0</math> के लिए <math> i>0</math>. इस प्रकार <math> h=f_0</math> स्थिरांक है.
-== सामान्यीकरण ==
+== सामान्यीकरण                                                                                                                                                                                                                                 ==
-मामले में इस परिमाणीकरण के बारे में अधिक जानकारी के लिए n = 1 (और [[फूरियर रूपांतरण]] का उपयोग करके बहुपद फ़ंक्शंस से बड़े पूर्णांक फ़ंक्शंस के वर्ग में एक विस्तार), विग्नर-वेइल ट्रांसफ़ॉर्म देखें।
+स्थिति में इस परिमाणीकरण के बारे में अधिक जानकारी के लिए n = 1 (और [[फूरियर रूपांतरण]] का उपयोग करके बहुपद फलन से बड़े पूर्णांक फलन के वर्ग में विस्तार), विग्नर-वेइल ट्रांसफ़ॉर्म देखें।
-वेइल बीजगणित और क्लिफोर्ड बीजगणित [[*-बीजगणित]] की एक और संरचना को स्वीकार करते हैं, और इसे [[सुपरबीजगणित]] के सम और विषम शब्दों के रूप में एकीकृत किया जा सकता है, जैसा कि [[सीसीआर और सीएआर बीजगणित]] में चर्चा की गई है।
+वेइल बीजगणित और क्लिफोर्ड [[*-बीजगणित]] की और संरचना को स्वीकार करते हैं, और इसे [[सुपरबीजगणित]] के सम और विषम शब्दों के रूप में एकीकृत किया जा सकता है, जैसा कि [[सीसीआर और सीएआर बीजगणित]] में चर्चा  की गई है।
 === एफ़िन किस्में ===
-वेइल बीजगणित बीजगणितीय किस्मों के मामले में भी सामान्यीकरण करते हैं। एक बहुपद वलय पर विचार करें
+वेइल बीजगणित बीजगणितीय विविधताएँ के स्थिति में भी सामान्यीकरण करते हैं। बहुपद वलय पर विचार करें
 :<math>R = \frac{\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]}{I}.</math>
-फिर एक विभेदक ऑपरेटर को की संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathbb{C}</math>-की रैखिक व्युत्पत्तियाँ <math>R</math>. इसे स्पष्ट रूप से भागफल वलय के रूप में वर्णित किया जा सकता है
+फिर विभेदक संचालक को की संरचना के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathbb{C}</math>-की रैखिक व्युत्पत्तियाँ <math>R</math>. इसे स्पष्ट रूप से भागफल वलय के रूप में वर्णित किया जा सकता है
 :<math> \text{Diff}(R) = \frac{\{ D \in A_n\colon D(I) \subseteq I \}}{ I\cdot A_n}.</math>
+==यह भी देखें                       ==
-==यह भी देखें==
 * [[जैकोबियन अनुमान]]
 * [[डिक्समियर अनुमान]]
-==संदर्भ==
+==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                                  ==
 {{refbegin}}
 * {{cite journal |first1=M. Rausch |last1=de Traubenberg |first2=M. J. |last2=Slupinski |first3=A. |last3=Tanasa |title=Finite-dimensional Lie subalgebras of the Weyl algebra |journal=J. Lie Theory |year=2006  |volume=16 |pages=427–454 |arxiv=math/0504224}} ''(Classifies subalgebras of the one-dimensional Weyl algebra over the complex numbers; shows relationship to [[SL(2,C)]])''
@@ Line 83: / Line 78: @@
 {{refend}}
 {{Reflist}}
-[[Category: अल्जेब्रास]] [[Category: विभेदक संचालक]] [[Category: वलय सिद्धांत]]
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