सुव्यवस्थित प्रमेय: Difference between revisions

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[[गणित]] में, सुव्यवस्थित प्रमेय, जिसे ज़र्मेलो के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कहता है कि प्रत्येक [[सेट (गणित)]] को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। एक सेट ''X'' सख्त कुल क्रम द्वारा ''सुव्यवस्थित'' है यदि ''X'' के प्रत्येक गैर-खाली सबसेट में क्रम के तहत [[कम से कम तत्व]] है। ज़ोर्न लेम्मा के साथ सुव्यवस्थित प्रमेय सबसे महत्वपूर्ण गणितीय कथन हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर हैं (अक्सर एसी कहा जाता है, यह भी देखें {{section link|Axiom of choice|Equivalents}}).<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=rqqvbKOC4c8C&pg=PA14 |title=An introduction to the theory of functional equations and inequalities |page=14 |location=Berlin |publisher=Springer |isbn=978-3-7643-8748-8 |first=Marek |last=Kuczma |year=2009 |authorlink=Marek Kuczma}}</ref><ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=ewIaZqqm46oC&pg=PA458 |title=Encyclopaedia of Mathematics: Supplement |first=Michiel |last=Hazewinkel |year=2001 |authorlink=Michiel Hazewinkel |page=458 |location=Berlin |publisher=Springer |isbn=1-4020-0198-3 }}</ref> [[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] ने सुव्यवस्थित प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक आपत्तिजनक तार्किक सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध को पेश किया।<ref name = "zer">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=RkepDgAAQBAJ&pg=PA23 |title=Handbook of Mathematics |first=Vialar |last=Thierry |year=1945 |page=23 |location=Norderstedt |publisher=Springer |isbn=978-2-95-519901-5 }}</ref> एक सुव्यवस्थित प्रमेय से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक सेट [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन]] के लिए अतिसंवेदनशील है, जिसे गणितज्ञों द्वारा एक शक्तिशाली तकनीक माना जाता है।<ref name = "zer"/>प्रमेय का एक प्रसिद्ध परिणाम बनच-तर्स्की विरोधाभास है।
[[गणित]] में, सुव्यवस्थित प्रमेय, जिसे ज़र्मेलो के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कहता है कि प्रत्येक [[सेट (गणित)]] को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। सेट ''X'' सख्त कुल क्रम द्वारा ''सुव्यवस्थित'' है यदि ''X'' के प्रत्येक गैर-खाली सबसेट में क्रम के तहत [[कम से कम तत्व]] है। ज़ोर्न लेम्मा के साथ सुव्यवस्थित प्रमेय सबसे महत्वपूर्ण गणितीय कथन हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर हैं (अक्सर एसी कहा जाता है, यह भी देखें {{section link|Axiom of choice|Equivalents}}).<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=rqqvbKOC4c8C&pg=PA14 |title=An introduction to the theory of functional equations and inequalities |page=14 |location=Berlin |publisher=Springer |isbn=978-3-7643-8748-8 |first=Marek |last=Kuczma |year=2009 |authorlink=Marek Kuczma}}</ref><ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=ewIaZqqm46oC&pg=PA458 |title=Encyclopaedia of Mathematics: Supplement |first=Michiel |last=Hazewinkel |year=2001 |authorlink=Michiel Hazewinkel |page=458 |location=Berlin |publisher=Springer |isbn=1-4020-0198-3 }}</ref> [[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] ने सुव्यवस्थित प्रमेय को सिद्ध करने के लिए आपत्तिजनक तार्किक सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध को पेश किया।<ref name = "zer">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=RkepDgAAQBAJ&pg=PA23 |title=Handbook of Mathematics |first=Vialar |last=Thierry |year=1945 |page=23 |location=Norderstedt |publisher=Springer |isbn=978-2-95-519901-5 }}</ref> सुव्यवस्थित प्रमेय से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक सेट [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन]] के लिए अतिसंवेदनशील है, जिसे गणितज्ञों द्वारा शक्तिशाली तकनीक माना जाता है।<ref name = "zer"/>प्रमेय का प्रसिद्ध परिणाम बनच-तर्स्की विरोधाभास है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
[[जॉर्ज कैंटर]] ने सुव्यवस्थित प्रमेय को विचार का एक मौलिक सिद्धांत माना।<ref>Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, ''Mathematische Annalen'' 21, pp. 545–591.</ref> हालांकि, एक अच्छी तरह से आदेश देने की कल्पना करना मुश्किल या असंभव माना जाता है <math>\mathbb{R}</math>; इस तरह के विज़ुअलाइज़ेशन को पसंद के स्वयंसिद्ध को शामिल करना होगा।<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=RXzsAwAAQBAJ&pg=PA174 |title=The Logic of Infinity |page=174 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-1070-5831-6 |first=Barnaby |last=Sheppard |year=2014 }}</ref> 1904 में, Gyula Kőnig ने यह साबित करने का दावा किया कि इस तरह की सुव्यवस्थित व्यवस्था मौजूद नहीं हो सकती। कुछ हफ्ते बाद, [[फेलिक्स हॉसडॉर्फ]] ने सबूत में गलती पाई।<ref>{{citation|title=Hausdorff on Ordered Sets|volume=25|series=History of Mathematics|first=J. M.|last=Plotkin|publisher=American Mathematical Society|isbn=9780821890516|year=2005|contribution=Introduction to "The Concept of Power in Set Theory"|pages=23–30|url=https://books.google.com/books?id=M_skkA3r-QAC&pg=PA23}}</ref> हालांकि, यह पता चला कि पहले क्रम के तर्क में सुक्रम प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है, इस अर्थ में कि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीत सुक्रम प्रमेय को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं, और इसके विपरीत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना, लेकिन अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय के साथ पसंद के स्वयंसिद्ध को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं। (यह ज़ोर्न के लेम्मा पर भी लागू होता है।) दूसरे क्रम के तर्क में, हालांकि, अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध से अधिक मजबूत है: अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय से कोई पसंद के स्वयंसिद्ध को कम कर सकता है, लेकिन पसंद के स्वयंसिद्ध से कोई सुव्यवस्थित प्रमेय नहीं निकाल सकता है।<ref>{{cite book |authorlink=Stewart Shapiro |first=Stewart |last=Shapiro |year=1991 |title=Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic |location=New York |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853391-8 }}</ref>
[[जॉर्ज कैंटर]] ने सुव्यवस्थित प्रमेय को विचार का मौलिक सिद्धांत माना।<ref>Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, ''Mathematische Annalen'' 21, pp. 545–591.</ref> हालांकि, अच्छी तरह से आदेश देने की कल्पना करना मुश्किल या असंभव माना जाता है <math>\mathbb{R}</math>; इस तरह के विज़ुअलाइज़ेशन को पसंद के स्वयंसिद्ध को शामिल करना होगा।<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=RXzsAwAAQBAJ&pg=PA174 |title=The Logic of Infinity |page=174 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-1070-5831-6 |first=Barnaby |last=Sheppard |year=2014 }}</ref> 1904 में, Gyula Kőnig ने यह साबित करने का दावा किया कि इस तरह की सुव्यवस्थित व्यवस्था मौजूद नहीं हो सकती। कुछ हफ्ते बाद, [[फेलिक्स हॉसडॉर्फ]] ने सबूत में गलती पाई।<ref>{{citation|title=Hausdorff on Ordered Sets|volume=25|series=History of Mathematics|first=J. M.|last=Plotkin|publisher=American Mathematical Society|isbn=9780821890516|year=2005|contribution=Introduction to "The Concept of Power in Set Theory"|pages=23–30|url=https://books.google.com/books?id=M_skkA3r-QAC&pg=PA23}}</ref> हालांकि, यह पता चला कि पहले क्रम के तर्क में सुक्रम प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है, इस अर्थ में कि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीत सुक्रम प्रमेय को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं, और इसके विपरीत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना, लेकिन अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय के साथ पसंद के स्वयंसिद्ध को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं। (यह ज़ोर्न के लेम्मा पर भी लागू होता है।) दूसरे क्रम के तर्क में, हालांकि, अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध से अधिक मजबूत है: अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय से कोई पसंद के स्वयंसिद्ध को कम कर सकता है, लेकिन पसंद के स्वयंसिद्ध से कोई सुव्यवस्थित प्रमेय नहीं निकाल सकता है।<ref>{{cite book |authorlink=Stewart Shapiro |first=Stewart |last=Shapiro |year=1991 |title=Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic |location=New York |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853391-8 }}</ref>
तीन कथनों और अंतर्ज्ञान के प्रति उनकी सापेक्ष सहजता के बारे में एक प्रसिद्ध चुटकुला है: पसंद का स्वयंसिद्ध स्पष्ट रूप से सत्य है, सुव्यवस्थित सिद्धांत स्पष्ट रूप से गलत है, और ज़ोर्न के लेम्मा के बारे में कौन बता सकता है?<ref>{{Citation|last=Krantz|first=Steven G.|chapter=The Axiom of Choice|date=2002|pages=121–126|editor-last=Krantz|editor-first=Steven G.|publisher=Birkhäuser Boston|language=en|doi=10.1007/978-1-4612-0115-1_9|isbn=9781461201151|title=Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science}}</ref></ब्लॉककोट>
तीन कथनों और अंतर्ज्ञान के प्रति उनकी सापेक्ष सहजता के बारे में प्रसिद्ध चुटकुला है: पसंद का स्वयंसिद्ध स्पष्ट रूप से सत्य है, सुव्यवस्थित सिद्धांत स्पष्ट रूप से गलत है, और ज़ोर्न के लेम्मा के बारे में कौन बता सकता है?<ref>{{Citation|last=Krantz|first=Steven G.|chapter=The Axiom of Choice|date=2002|pages=121–126|editor-last=Krantz|editor-first=Steven G.|publisher=Birkhäuser Boston|language=en|doi=10.1007/978-1-4612-0115-1_9|isbn=9781461201151|title=Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science}}</ref></ब्लॉककोट>


== पसंद के स्वयंसिद्ध से सबूत ==
== पसंद के स्वयंसिद्ध से सबूत ==


पसंद के स्वयंसिद्ध से अच्छी तरह से आदेश देने वाला प्रमेय इस प्रकार है।<ref>{{Cite book |last=Jech |first=Thomas |title=Set Theory (Third Millennium Edition) |publisher=[[Springer Publishing|Springer]] |year=2002 |isbn=978-3-540-44085-7 |pages=48}}</ref><blockquote>हम जिस सेट को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं, उसे होने दें <math>A</math>, और जाने <math>f</math> के गैर-खाली सबसेट के परिवार के लिए एक विकल्प समारोह हो <math>A</math>. हर क्रमिक संख्या के लिए <math>\alpha</math>, एक सेट परिभाषित करें <math>a_\alpha</math> यह है <math>A</math> व्यवस्थित करके <math>a_\alpha\ =\ f(A\setminus\{a_\xi\mid\xi<\alpha\})</math> यदि यह पूरक है <math>A\setminus\{a_\xi\mid\xi<\alpha\}</math> खाली नहीं है, या छोड़ दें <math>a_\alpha</math> अपरिभाषित अगर यह है। वह है, <math>a_\alpha</math> के तत्वों के समूह से चुना जाता है <math>A</math> जिन्हें अभी तक ऑर्डरिंग में कोई स्थान नहीं दिया गया है (या अपरिभाषित अगर पूरी तरह से <math>A</math> सफलतापूर्वक गिना गया है)। फिर <math>\langle a_\alpha\mid a_\alpha\text{ is defined}\rangle</math> की एक सुव्यवस्था है <math>A</math> इच्छा के अनुसार।</blockquote>
पसंद के स्वयंसिद्ध से अच्छी तरह से आदेश देने वाला प्रमेय इस प्रकार है।<ref>{{Cite book |last=Jech |first=Thomas |title=Set Theory (Third Millennium Edition) |publisher=[[Springer Publishing|Springer]] |year=2002 |isbn=978-3-540-44085-7 |pages=48}}</ref><blockquote>हम जिस सेट को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं, उसे होने दें <math>A</math>, और जाने <math>f</math> के गैर-खाली सबसेट के परिवार के लिए विकल्प समारोह हो <math>A</math>. हर क्रमिक संख्या के लिए <math>\alpha</math>, सेट परिभाषित करें <math>a_\alpha</math> यह है <math>A</math> व्यवस्थित करके <math>a_\alpha\ =\ f(A\setminus\{a_\xi\mid\xi<\alpha\})</math> यदि यह पूरक है <math>A\setminus\{a_\xi\mid\xi<\alpha\}</math> खाली नहीं है, या छोड़ दें <math>a_\alpha</math> अपरिभाषित अगर यह है। वह है, <math>a_\alpha</math> के तत्वों के समूह से चुना जाता है <math>A</math> जिन्हें अभी तक ऑर्डरिंग में कोई स्थान नहीं दिया गया है (या अपरिभाषित अगर पूरी तरह से <math>A</math> सफलतापूर्वक गिना गया है)। फिर <math>\langle a_\alpha\mid a_\alpha\text{ is defined}\rangle</math> की सुव्यवस्था है <math>A</math> इच्छा के अनुसार।</blockquote>


== पसंद के स्वयंसिद्ध प्रमाण ==
== पसंद के स्वयंसिद्ध प्रमाण ==
पसंद के स्वयंसिद्ध को सुव्यवस्थित प्रमेय से निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है।
पसंद के स्वयंसिद्ध को सुव्यवस्थित प्रमेय से निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है।


: गैर-खाली सेटों के संग्रह के लिए एक विकल्प कार्य करने के लिए, <math>E</math>, सेट के संघ को अंदर ले जाएं <math>E</math> और इसे कॉल करें <math>X</math>. का एक सुव्यवस्थित अस्तित्व है <math>X</math>; होने देना <math>R</math> ऐसा आदेश हो। वह कार्य जो प्रत्येक सेट के लिए <math>S</math> का <math>E</math> का सबसे छोटा तत्व जोड़ता है <math>S</math>, जैसा कि (के लिए प्रतिबंध <math>S</math> का) <math>R</math>, संग्रह के लिए एक विकल्प कार्य है <math>E</math>.
: गैर-खाली सेटों के संग्रह के लिए विकल्प कार्य करने के लिए, <math>E</math>, सेट के संघ को अंदर ले जाएं <math>E</math> और इसे कॉल करें <math>X</math>. का सुव्यवस्थित अस्तित्व है <math>X</math>; होने देना <math>R</math> ऐसा आदेश हो। वह कार्य जो प्रत्येक सेट के लिए <math>S</math> का <math>E</math> का सबसे छोटा तत्व जोड़ता है <math>S</math>, जैसा कि (के लिए प्रतिबंध <math>S</math> का) <math>R</math>, संग्रह के लिए विकल्प कार्य है <math>E</math>.


इस प्रमाण का एक अनिवार्य बिंदु यह है कि इसमें केवल एक मनमाना विकल्प शामिल है, वह है <math>R</math>; प्रत्येक सदस्य के लिए सुव्यवस्थित प्रमेय लागू करना <math>S</math> का <math>E</math> अलग से काम नहीं करेगा, क्योंकि प्रमेय केवल एक अच्छी व्यवस्था के अस्तित्व पर जोर देता है, और प्रत्येक के लिए चयन करता है <math>S</math> एक सुव्यवस्थित क्रम के लिए उतने ही विकल्पों की आवश्यकता होगी जितनी प्रत्येक में से एक तत्व को चुनने में <math>S</math>. खासकर अगर <math>E</math> पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों के तहत सभी बेशुमार रूप से कई विकल्पों को बनाने की अनुमति नहीं है।
इस प्रमाण का अनिवार्य बिंदु यह है कि इसमें केवल मनमाना विकल्प शामिल है, वह है <math>R</math>; प्रत्येक सदस्य के लिए सुव्यवस्थित प्रमेय लागू करना <math>S</math> का <math>E</math> अलग से काम नहीं करेगा, क्योंकि प्रमेय केवल अच्छी व्यवस्था के अस्तित्व पर जोर देता है, और प्रत्येक के लिए चयन करता है <math>S</math> सुव्यवस्थित क्रम के लिए उतने ही विकल्पों की आवश्यकता होगी जितनी प्रत्येक में से तत्व को चुनने में <math>S</math>. खासकर अगर <math>E</math> पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों के तहत सभी बेशुमार रूप से कई विकल्पों को बनाने की अनुमति नहीं है।


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==

Revision as of 10:52, 24 July 2023

"Zermelo's theorem" redirects here. For Zermelo's theorem in game theory, see Zermelo's theorem (game theory).
Not to be confused with Well-ordering principle.

गणित में, सुव्यवस्थित प्रमेय, जिसे ज़र्मेलो के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कहता है कि प्रत्येक सेट (गणित) को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। सेट X सख्त कुल क्रम द्वारा सुव्यवस्थित है यदि X के प्रत्येक गैर-खाली सबसेट में क्रम के तहत कम से कम तत्व है। ज़ोर्न लेम्मा के साथ सुव्यवस्थित प्रमेय सबसे महत्वपूर्ण गणितीय कथन हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर हैं (अक्सर एसी कहा जाता है, यह भी देखें Axiom of choice § Equivalents).[1][2] अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने सुव्यवस्थित प्रमेय को सिद्ध करने के लिए आपत्तिजनक तार्किक सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध को पेश किया।[3] सुव्यवस्थित प्रमेय से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक सेट ट्रांसफिनिट इंडक्शन के लिए अतिसंवेदनशील है, जिसे गणितज्ञों द्वारा शक्तिशाली तकनीक माना जाता है।[3]प्रमेय का प्रसिद्ध परिणाम बनच-तर्स्की विरोधाभास है।

इतिहास

जॉर्ज कैंटर ने सुव्यवस्थित प्रमेय को विचार का मौलिक सिद्धांत माना।[4] हालांकि, अच्छी तरह से आदेश देने की कल्पना करना मुश्किल या असंभव माना जाता है ; इस तरह के विज़ुअलाइज़ेशन को पसंद के स्वयंसिद्ध को शामिल करना होगा।[5] 1904 में, Gyula Kőnig ने यह साबित करने का दावा किया कि इस तरह की सुव्यवस्थित व्यवस्था मौजूद नहीं हो सकती। कुछ हफ्ते बाद, फेलिक्स हॉसडॉर्फ ने सबूत में गलती पाई।[6] हालांकि, यह पता चला कि पहले क्रम के तर्क में सुक्रम प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है, इस अर्थ में कि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीत सुक्रम प्रमेय को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं, और इसके विपरीत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना, लेकिन अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय के साथ पसंद के स्वयंसिद्ध को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं। (यह ज़ोर्न के लेम्मा पर भी लागू होता है।) दूसरे क्रम के तर्क में, हालांकि, अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध से अधिक मजबूत है: अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय से कोई पसंद के स्वयंसिद्ध को कम कर सकता है, लेकिन पसंद के स्वयंसिद्ध से कोई सुव्यवस्थित प्रमेय नहीं निकाल सकता है।[7] तीन कथनों और अंतर्ज्ञान के प्रति उनकी सापेक्ष सहजता के बारे में प्रसिद्ध चुटकुला है: पसंद का स्वयंसिद्ध स्पष्ट रूप से सत्य है, सुव्यवस्थित सिद्धांत स्पष्ट रूप से गलत है, और ज़ोर्न के लेम्मा के बारे में कौन बता सकता है?[8]</ब्लॉककोट>

पसंद के स्वयंसिद्ध से सबूत

पसंद के स्वयंसिद्ध से अच्छी तरह से आदेश देने वाला प्रमेय इस प्रकार है।[9]

हम जिस सेट को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं, उसे होने दें , और जाने के गैर-खाली सबसेट के परिवार के लिए विकल्प समारोह हो . हर क्रमिक संख्या के लिए , सेट परिभाषित करें यह है व्यवस्थित करके यदि यह पूरक है खाली नहीं है, या छोड़ दें अपरिभाषित अगर यह है। वह है, के तत्वों के समूह से चुना जाता है जिन्हें अभी तक ऑर्डरिंग में कोई स्थान नहीं दिया गया है (या अपरिभाषित अगर पूरी तरह से सफलतापूर्वक गिना गया है)। फिर की सुव्यवस्था है इच्छा के अनुसार।

पसंद के स्वयंसिद्ध प्रमाण

पसंद के स्वयंसिद्ध को सुव्यवस्थित प्रमेय से निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है।

गैर-खाली सेटों के संग्रह के लिए विकल्प कार्य करने के लिए, , सेट के संघ को अंदर ले जाएं और इसे कॉल करें . का सुव्यवस्थित अस्तित्व है ; होने देना ऐसा आदेश हो। वह कार्य जो प्रत्येक सेट के लिए का का सबसे छोटा तत्व जोड़ता है , जैसा कि (के लिए प्रतिबंध का) , संग्रह के लिए विकल्प कार्य है .

इस प्रमाण का अनिवार्य बिंदु यह है कि इसमें केवल मनमाना विकल्प शामिल है, वह है ; प्रत्येक सदस्य के लिए सुव्यवस्थित प्रमेय लागू करना का अलग से काम नहीं करेगा, क्योंकि प्रमेय केवल अच्छी व्यवस्था के अस्तित्व पर जोर देता है, और प्रत्येक के लिए चयन करता है सुव्यवस्थित क्रम के लिए उतने ही विकल्पों की आवश्यकता होगी जितनी प्रत्येक में से तत्व को चुनने में . खासकर अगर पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों के तहत सभी बेशुमार रूप से कई विकल्पों को बनाने की अनुमति नहीं है।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Kuczma, Marek (2009). An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Berlin: Springer. p. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8.
  2. ↑ Hazewinkel, Michiel (2001). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement. Berlin: Springer. p. 458. ISBN 1-4020-0198-3.
  3. ↑ 3.0 3.1 Thierry, Vialar (1945). Handbook of Mathematics. Norderstedt: Springer. p. 23. ISBN 978-2-95-519901-5.
  4. ↑ Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 21, pp. 545–591.
  5. ↑ Sheppard, Barnaby (2014). The Logic of Infinity. Cambridge University Press. p. 174. ISBN 978-1-1070-5831-6.
  6. ↑ Plotkin, J. M. (2005), "Introduction to "The Concept of Power in Set Theory"", Hausdorff on Ordered Sets, History of Mathematics, vol. 25, American Mathematical Society, pp. 23–30, ISBN 9780821890516
  7. ↑ Shapiro, Stewart (1991). Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853391-8.
  8. ↑ Krantz, Steven G. (2002), "The Axiom of Choice", in Krantz, Steven G. (ed.), Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science (in English), Birkhäuser Boston, pp. 121–126, doi:10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN 9781461201151
  9. ↑ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.


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