गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, गैर-आर्किमिडीयन [[आदेशित क्षेत्र]] आदेशित क्षेत्र है जो आर्किमिडीयन संपत्ति को संतुष्ट नहीं करता है। उदाहरण हैं लेवी-सीविटा क्षेत्र, अतिवास्तविक संख्याएं, वास्तविक संख्याएं, देह्न तल, और उपयुक्त क्रम के साथ वास्तविक गुणांकों के साथ [[तर्कसंगत कार्य]]ों का क्षेत्र। | ||
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आर्किमिडीयन संपत्ति कुछ आदेशित क्षेत्रों की संपत्ति है जैसे कि परिमेय संख्या या [[वास्तविक संख्या]], यह बताते हुए कि प्रत्येक दो तत्व | आर्किमिडीयन संपत्ति कुछ आदेशित क्षेत्रों की संपत्ति है जैसे कि परिमेय संख्या या [[वास्तविक संख्या]], यह बताते हुए कि प्रत्येक दो तत्व दूसरे के पूर्णांक गुणक के भीतर हैं। यदि किसी क्षेत्र में दो सकारात्मक तत्व हैं {{math|''x'' < ''y''}} जिसके लिए यह सच नहीं है {{math|''x''/''y''}} अपरिमेय होना चाहिए, शून्य से बड़ा लेकिन किसी भी पूर्णांक [[इकाई अंश]] से छोटा होना चाहिए। इसलिए, आर्किमिडीयन संपत्ति का निषेध [[बहुत छोता]] के अस्तित्व के बराबर है। | ||
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अतिवास्तविक संख्याएं, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र जिसमें उपक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएं होती हैं, का उपयोग अमानक विश्लेषण के लिए गणितीय आधार प्रदान करने के लिए किया जा सकता है। | अतिवास्तविक संख्याएं, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र जिसमें उपक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएं होती हैं, का उपयोग अमानक विश्लेषण के लिए गणितीय आधार प्रदान करने के लिए किया जा सकता है। | ||
[[मैक्स डेहन]] ने [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] का निर्माण करने के लिए, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र का | [[मैक्स डेहन]] ने [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] का निर्माण करने के लिए, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र का उदाहरण, देह क्षेत्र का उपयोग किया। {{math|π}}.<ref>{{Citation | last1=Dehn | first1=Max | author1-link=Max Dehn | title=Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck | url=https://books.google.com/books?id=vEbWAAAAMAAJ&pg=PA404 | doi=10.1007/BF01448980 | jfm=31.0471.01 | year=1900 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=53 | issue=3 | pages=404–439}}.</ref>{{Dubious|Dehn's counterexample|date=February 2012}} | ||
तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र खत्म हो गया <math>\R</math> | तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र खत्म हो गया <math>\R</math> आदेशित क्षेत्र का निर्माण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जो कॉची पूर्ण है (कॉची अनुक्रमों के अभिसरण के अर्थ में) लेकिन वास्तविक संख्या नहीं है।<ref>''Counterexamples in Analysis'' by Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted, Chapter 1, Example 7, page 17.</ref> इस पूर्णता को Formal_power_series#Formal_Laurent_series over के क्षेत्र के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>\R</math>. कभी-कभी पूर्ण शब्द का अर्थ यह होता है कि [[कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति]] रखती है। [[Dedekind-पूर्ण]] के इस अर्थ के साथ कोई पूर्ण गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र नहीं हैं। पूर्ण शब्द के इन दो उपयोगों के बीच का सूक्ष्म अंतर कभी-कभी भ्रम का स्रोत होता है। | ||
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Revision as of 11:22, 24 July 2023
गणित में, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र आदेशित क्षेत्र है जो आर्किमिडीयन संपत्ति को संतुष्ट नहीं करता है। उदाहरण हैं लेवी-सीविटा क्षेत्र, अतिवास्तविक संख्याएं, वास्तविक संख्याएं, देह्न तल, और उपयुक्त क्रम के साथ वास्तविक गुणांकों के साथ तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र।
परिभाषा
आर्किमिडीयन संपत्ति कुछ आदेशित क्षेत्रों की संपत्ति है जैसे कि परिमेय संख्या या वास्तविक संख्या, यह बताते हुए कि प्रत्येक दो तत्व दूसरे के पूर्णांक गुणक के भीतर हैं। यदि किसी क्षेत्र में दो सकारात्मक तत्व हैं x < y जिसके लिए यह सच नहीं है x/y अपरिमेय होना चाहिए, शून्य से बड़ा लेकिन किसी भी पूर्णांक इकाई अंश से छोटा होना चाहिए। इसलिए, आर्किमिडीयन संपत्ति का निषेध बहुत छोता के अस्तित्व के बराबर है।
अनुप्रयोग
अतिवास्तविक संख्याएं, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र जिसमें उपक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएं होती हैं, का उपयोग अमानक विश्लेषण के लिए गणितीय आधार प्रदान करने के लिए किया जा सकता है।
मैक्स डेहन ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का निर्माण करने के लिए, गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र का उदाहरण, देह क्षेत्र का उपयोग किया। π.[1][dubious ] तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र खत्म हो गया आदेशित क्षेत्र का निर्माण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जो कॉची पूर्ण है (कॉची अनुक्रमों के अभिसरण के अर्थ में) लेकिन वास्तविक संख्या नहीं है।[2] इस पूर्णता को Formal_power_series#Formal_Laurent_series over के क्षेत्र के रूप में वर्णित किया जा सकता है . कभी-कभी पूर्ण शब्द का अर्थ यह होता है कि कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति रखती है। Dedekind-पूर्ण के इस अर्थ के साथ कोई पूर्ण गैर-आर्किमिडीयन आदेशित क्षेत्र नहीं हैं। पूर्ण शब्द के इन दो उपयोगों के बीच का सूक्ष्म अंतर कभी-कभी भ्रम का स्रोत होता है।
संदर्भ
- ↑ Dehn, Max (1900), "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck", Mathematische Annalen, 53 (3): 404–439, doi:10.1007/BF01448980, ISSN 0025-5831, JFM 31.0471.01.
- ↑ Counterexamples in Analysis by Bernard R. Gelbaum and John M. H. Olmsted, Chapter 1, Example 7, page 17.
