फॉक मैट्रिक्स: Difference between revisions

Latest revision as of 10:00, 4 August 2023

क्वांटम यांत्रिकी की हार्ट्री-फॉक विधि में, फॉक आव्यूह एक आव्यूह (गणित) है जो आधार समुच्चय (रसायन विज्ञान) सदिश के दिए गए समुच्चय में किसी दिए गए क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली के एकल-इलेक्ट्रॉन ऊर्जा संचालक का अनुमान लगाता है।^[1]

किसी परमाणु या आणविक प्रणाली के लिए रूथान समीकरण को हल करने का प्रयास करते समय यह अधिकांशतः कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में बनता है। फॉक आव्यूह वास्तव में क्वांटम प्रणाली के वास्तविक हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत) ऑपरेटर (गणित) का एक अनुमान है। इसमें इलेक्ट्रॉन -इलेक्ट्रॉन कूलम्ब बल के प्रभाव को केवल औसत विधि से सम्मिलित किया गया है। क्योंकि फॉक ऑपरेटर एक-इलेक्ट्रॉन ऑपरेटर है, इसमें इलेक्ट्रॉन सहसंबंध ऊर्जा सम्मिलित नहीं है।

फ़ॉक आव्यूह को फ़ॉक ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया गया है। अपने सामान्य रूप में फ़ॉक ऑपरेटर लिखता है:

{\hat {F}}(i)={\hat {h}}(i)+\sum _{j=1}^{N}[{\hat {J}}_{j}(i)-{\hat {K}}_{j}(i)]

जहां मैं कुल N स्पिन ऑर्बिटल्स पर चलता हूं। संवर्त -शेल स्थिति में, केवल स्थानिक कक्षाओं पर विचार करके इसे सरल बनाया जा सकता है। यह देखते हुए कि ${\hat {J}}$ नियम दोहराई गई हैं और विभिन्न स्पिनों के मध्य विनिमय नियम शून्य हैं। प्रतिबंधित स्थिति के लिए जो संवर्त -कोश परमाणु कक्षीय और एकल मानता है- निर्धारक तरंगकार्य, i-th इलेक्ट्रॉन के लिए फॉक ऑपरेटर द्वारा दिया गया है:^[2]

{\hat {F}}(i)={\hat {h}}(i)+\sum _{j=1}^{n/2}[2{\hat {J}}_{j}(i)-{\hat {K}}_{j}(i)]

जहाँ :

{\hat {F}}(i)

प्रणाली में i-th इलेक्ट्रॉन के लिए फॉक ऑपरेटर है,

{\hat {h}}(i)

i-th इलेक्ट्रॉन के लिए एक-इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है,

n

इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और

{\frac {n}{2}}

संवर्त -कोश प्रणाली में व्याप्त कक्षकों की संख्या है,

{\hat {J}}_{j}(i)

कूलम्ब संचालिका है, जो प्रणाली में j-th और i-th इलेक्ट्रॉनों के मध्य प्रतिकारक बल को परिभाषित करता है,

{\hat {K}}_{j}(i)

एक्सचेंज ऑपरेटर है, जो दो इलेक्ट्रॉनों के आदान-प्रदान से उत्पन्न क्वांटम प्रभाव को परिभाषित करता है।

कूलम्ब ऑपरेटर को दो से गुणा किया जाता है क्योंकि प्रत्येक व्याप्त कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन होते हैं। एक्सचेंज ऑपरेटर को दो से गुणा नहीं किया जाता है क्योंकि इसमें केवल उन इलेक्ट्रॉनों के लिए गैर-शून्य परिणाम होता है जिनका स्पिन i-th इलेक्ट्रॉन के समान होता है।

अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों वाले प्रणाली के लिए फॉक मैट्रिसेस के कई विकल्प हैं।

यह भी देखें

हार्ट्री-फॉक विधि
अप्रतिबंधित हार्ट्री-फॉक
प्रतिबंधित ओपन-शेल हार्ट्री-फॉक

संदर्भ

↑ Callaway, J. (1974). ठोस अवस्था का क्वांटम सिद्धांत. New York: Academic Press. ISBN 9780121552039.
↑ Levine, I.N. (1991) Quantum Chemistry (4th ed., Prentice-Hall), p.403

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[1] Callaway, J. (1974). ठोस अवस्था का क्वांटम सिद्धांत. New York: Academic Press. ISBN 9780121552039.

[2] Levine, I.N. (1991) Quantum Chemistry (4th ed., Prentice-Hall), p.403

[1]

[2]

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-{{Refimprove|date=February 2013}}
+[[क्वांटम यांत्रिकी]] की हार्ट्री-फॉक विधि में, '''फॉक आव्यूह''' एक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] है जो [[आधार सेट (रसायन विज्ञान)|आधार समुच्चय (रसायन विज्ञान)]] सदिश के दिए गए समुच्चय में किसी दिए गए क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली के एकल-इलेक्ट्रॉन [[ऊर्जा संचालक]] का अनुमान लगाता है।<ref>{{Cite book|first=J.|last= Callaway|title=ठोस अवस्था का क्वांटम सिद्धांत|publisher= Academic Press|location= New York|year=1974|url=https://books.google.com/books?id=HKTvAAAAMAAJ|isbn=9780121552039}}</ref>
-[[क्वांटम यांत्रिकी]] की हार्ट्री-फॉक विधि में, फॉक मैट्रिक्स एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] है जो [[आधार सेट (रसायन विज्ञान)]] वैक्टर के दिए गए सेट में किसी दिए गए क्वांटम यांत्रिकी प्रणाली के एकल-इलेक्ट्रॉन [[ऊर्जा संचालक]] का अनुमान लगाता है।<ref>{{Cite book|first=J.|last= Callaway|title=ठोस अवस्था का क्वांटम सिद्धांत|publisher= Academic Press|location= New York|year=1974|url=https://books.google.com/books?id=HKTvAAAAMAAJ|isbn=9780121552039}}</ref>
-किसी परमाणु या आणविक प्रणाली के लिए [[रूथान समीकरण]]ों को हल करने का प्रयास करते समय यह अक्सर कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में बनता है। फॉक मैट्रिक्स वास्तव में क्वांटम प्रणाली के वास्तविक [[हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत)]] [[ऑपरेटर (गणित)]] का एक अनुमान है। इसमें [[इलेक्ट्रॉन]]|इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन [[कूलम्ब बल]] के प्रभाव को केवल औसत तरीके से शामिल किया गया है। क्योंकि फॉक ऑपरेटर एक-इलेक्ट्रॉन ऑपरेटर है, इसमें [[इलेक्ट्रॉन सहसंबंध]] ऊर्जा शामिल नहीं है।
+किसी परमाणु या आणविक प्रणाली के लिए [[रूथान समीकरण]] को हल करने का प्रयास करते समय यह अधिकांशतः कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में बनता है। फॉक आव्यूह वास्तव में क्वांटम प्रणाली के वास्तविक [[हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत)]] [[ऑपरेटर (गणित)]] का एक अनुमान है। इसमें [[इलेक्ट्रॉन]] -इलेक्ट्रॉन [[कूलम्ब बल]] के प्रभाव को केवल औसत विधि से सम्मिलित किया गया है। क्योंकि फॉक ऑपरेटर एक-इलेक्ट्रॉन ऑपरेटर है, इसमें [[इलेक्ट्रॉन सहसंबंध]] ऊर्जा सम्मिलित नहीं है।
+फ़ॉक आव्यूह को फ़ॉक ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया गया है। अपने सामान्य रूप में फ़ॉक ऑपरेटर लिखता है:
+:<math>\hat F(i) = \hat h(i)+\sum_{ j=1 }^{N} [\hat J_j(i)-\hat K_j(i)]
+                                                                                                                                </math>
+जहां मैं कुल ''N'' स्पिन ऑर्बिटल्स पर चलता हूं। संवर्त -शेल स्थिति में, केवल स्थानिक कक्षाओं पर विचार करके इसे सरल बनाया जा सकता है। यह देखते हुए कि <math>\hat J</math> नियम दोहराई गई हैं और विभिन्न स्पिनों के मध्य विनिमय नियम शून्य हैं। प्रतिबंधित स्थिति के लिए जो संवर्त -कोश परमाणु कक्षीय और एकल मानता है- निर्धारक तरंगकार्य, ''i''-th इलेक्ट्रॉन के लिए फॉक ऑपरेटर द्वारा दिया गया है:<ref>Levine, I.N. (1991) ''Quantum Chemistry'' (4th ed., Prentice-Hall), p.403</ref>
-फ़ॉक मैट्रिक्स को फ़ॉक ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया गया है। अपने सामान्य रूप में फ़ॉक ऑपरेटर लिखता है:
-:<math>\hat F(i) = \hat h(i)+\sum_{ j=1 }^{N} [\hat J_j(i)-\hat K_j(i)]</math>
-जहां मैं कुल एन स्पिन ऑर्बिटल्स पर चलता हूं। बंद-शेल मामले में, केवल स्थानिक कक्षाओं पर विचार करके इसे सरल बनाया जा सकता है। यह देखते हुए कि <math>\hat J</math> शर्तें दोहराई गई हैं और विभिन्न स्पिनों के बीच विनिमय शर्तें शून्य हैं।
-प्रतिबंधित मामले के लिए जो बंद-कोश परमाणु कक्षीय और एकल मानता है-
-निर्धारक तरंगकार्य, आई-वें इलेक्ट्रॉन के लिए फॉक ऑपरेटर द्वारा दिया गया है:<ref>Levine, I.N. (1991) ''Quantum Chemistry'' (4th ed., Prentice-Hall), p.403</ref>
 :<math>\hat F(i) = \hat h(i)+\sum_{ j=1 }^{n/2}[2 \hat J_j(i)-\hat
 K_j(i)]</math>
-कहाँ:
+जहाँ :
-:<math>\hat F(i)</math> सिस्टम में आई-वें इलेक्ट्रॉन के लिए फॉक ऑपरेटर है,
+:<math>\hat F(i)</math> प्रणाली में ''i''-th इलेक्ट्रॉन के लिए फॉक ऑपरेटर है,
-:<math>{\hat h}(i)</math> आई-वें इलेक्ट्रॉन के लिए एक-इलेक्ट्रॉन [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] है,
+:<math>{\hat h}(i)</math> ''i''-th इलेक्ट्रॉन के लिए एक-इलेक्ट्रॉन [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] है,
-:<math>n</math> इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और <math> \frac{n}{2} </math> बंद-कोश प्रणाली में व्याप्त कक्षकों की संख्या है,
+:<math>n</math> इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और <math> \frac{n}{2} </math> संवर्त -कोश प्रणाली में व्याप्त कक्षकों की संख्या है,
-:<math>\hat J_j(i)</math> [[कूलम्ब संचालिका]] है, जो सिस्टम में जे-वें और आई-वें इलेक्ट्रॉनों के बीच प्रतिकारक बल को परिभाषित करता है,
+:<math>\hat J_j(i)</math> [[कूलम्ब संचालिका]] है, जो प्रणाली में ''j''-th और ''i''-th इलेक्ट्रॉनों के मध्य प्रतिकारक बल को परिभाषित करता है,
 :<math>\hat K_j(i)</math> [[एक्सचेंज ऑपरेटर]] है, जो दो इलेक्ट्रॉनों के आदान-प्रदान से उत्पन्न क्वांटम प्रभाव को परिभाषित करता है।
-कूलम्ब ऑपरेटर को दो से गुणा किया जाता है क्योंकि प्रत्येक व्याप्त कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन होते हैं। एक्सचेंज ऑपरेटर को दो से गुणा नहीं किया जाता है क्योंकि इसमें केवल उन इलेक्ट्रॉनों के लिए गैर-शून्य परिणाम होता है जिनका स्पिन आई-वें इलेक्ट्रॉन के समान होता है।
+कूलम्ब ऑपरेटर को दो से गुणा किया जाता है क्योंकि प्रत्येक व्याप्त कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन होते हैं। एक्सचेंज ऑपरेटर को दो से गुणा नहीं किया जाता है क्योंकि इसमें केवल उन इलेक्ट्रॉनों के लिए गैर-शून्य परिणाम होता है जिनका स्पिन ''i''-th इलेक्ट्रॉन के समान होता है।
-अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों वाले सिस्टम के लिए फॉक मैट्रिसेस के कई विकल्प हैं।
+अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों वाले प्रणाली के लिए फॉक मैट्रिसेस के कई विकल्प हैं।
-==यह भी देखें==
+==यह भी देखें                                                                                                                                     ==
 *हार्ट्री-फॉक विधि
 *अप्रतिबंधित हार्ट्री-फॉक
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 {{Reflist}}
-{{Matrix classes}}
+{{DEFAULTSORT:Fock Matrix}}
-{{DEFAULTSORT:Fock Matrix}}[[Category: परमाणु, आणविक और ऑप्टिकल भौतिकी]] [[Category: क्वांटम रसायन शास्त्र]] [[Category: मैट्रिसेस]]
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