ऊपरी और निचली सीमाएं: Difference between revisions
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[[File:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|ऊपरी सीमा के साथ | [[File:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|ऊपरी सीमा के साथ समुच्चय और इसकी कम से कम ऊपरी सीमा]]गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, कुछ पूर्व-क्रमित समुच्चय {{math|(''K'', ≤)}} के उपसमुच्चय {{mvar|S}} का एक '''ऊपरी सीमा या प्रमुख''' <ref name="schaefer" /> {{mvar|K}} का एक अवयव है जो {{mvar|S}} के प्रत्येक अवयव से बड़ा या उसके समान है।<ref name="MacLane-Birkhoff" /><ref>{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/upper-bound.html|title=Upper Bound Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|website=www.mathsisfun.com|access-date=2019-12-03}}</ref> दोहरी रूप से, {{mvar|S}} की एक निचली सीमा या अल्पांश को K के एक अवयव के रूप में परिभाषित किया जाता है जो {{mvar|S}} के प्रत्येक अवयव से कम या उसके समान होता है। ऊपरी (क्रमशः, निचली) सीमा वाले एक समुच्चय को ऊपर से घिरा हुआ या उस सीमा द्वारा प्रमुखीकृत <ref name="schaefer" /> (क्रमशः नीचे से घिरा हुआ या लघुकृत) कहा जाता है। ऊपर परिबद्ध (नीचे परिबद्ध) शब्दों का उपयोग गणितीय साहित्य में उन समुच्चयों के लिए भी किया जाता है जिनकी सीमा ऊपरी (क्रमशः निचली) होती है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/UpperBound.html|title=Upper Bound|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-03}}</ref> | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
उदाहरण के लिए, {{math|5}} | उदाहरण के लिए, {{math|5}} समुच्चय {{math|1=''S'' = {{mset|5, 8, 42, 34, 13934}}}} ([[पूर्णांकों]] या [[वास्तविक संख्या]]ओं आदि के उपसमुच्चय के रूप में) के लिए निचली सीमा है, और इसी प्रकार {{math|4}} भी है। दूसरी ओर, {{math|6}}, {{mvar|S}} के लिए निचली सीमा नहीं है क्योंकि यह {{mvar|S}} के प्रत्येक अवयव से छोटा नहीं है। | ||
समुच्चय {{math|1=''S'' = {{mset|42}}}} है {{math|42}} ऊपरी सीमा और निचली सीमा दोनों के रूप में; अन्य सभी संख्याएँ या तो उस {{mvar|S}} के लिए ऊपरी सीमा या निचली सीमा हैं . | |||
[[प्राकृतिक संख्या]]ओं के प्रत्येक उपसमुच्चय की निचली सीमा होती है क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं में कम से कम | [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के प्रत्येक उपसमुच्चय की निचली सीमा होती है क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं में कम से कम अवयव (0 या 1, सम्मेलन के आधार पर) होता है। प्राकृतिक संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय ऊपर से परिबद्ध नहीं किया जा सकता है। [[पूर्णांक]] का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध या ऊपर से परिबद्ध हो सकता है, किन्तु दोनों नहीं है। परिमेय संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी, और ऊपर से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी है। | ||
एक गैर- | एक गैर-रिक्त [[पूरी तरह से आदेशित सेट|पूरी तरह से ऑर्डर किया गया समुच्चय]] के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय में ऊपरी और निचली दोनों सीमाएँ होती हैं। | ||
== कार्यों की सीमा == | == कार्यों की सीमा == | ||
परिभाषाओं को | परिभाषाओं को फलन (गणित) और यहां तक कि कार्यों के समुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। | ||
एक | डोमेन {{mvar|D}} के साथ एक फलन {{italics correction|{{mvar|f}}}} और कोडोमेन के रूप में एक पूर्व-आदेशित समुच्चय {{math|(''K'', ≤)}} को देखते हुए, {{mvar|K}} का एक अवयव {{mvar|''y''}}, {{italics correction|{{mvar|f}}}} की ऊपरी सीमा है यदि {{mvar|D}} में प्रत्येक {{mvar|x}} के लिए {{math|''y'' ≥ {{italics correction|''f''}}(''x'')}} है। यदि समानता {{mvar|x}} के कम से कम एक मान के लिए है तो ऊपरी सीमा को तीव्र कहा जाता है। यह इंगित करता है कि बाधा इष्टतम है, और इस प्रकार असमानता को अमान्य किए बिना इसे और कम नहीं किया जा सकता है। | ||
इसी प्रकार, | इसी प्रकार, फलन {{mvar|g}} डोमेन पर परिभाषित {{mvar|D}} और समान कोडोमेन है {{math|(''K'', ≤)}} की ऊपरी सीमा {{italics correction|{{mvar|f}}}} है ,यदि {{math|''g''(''x'') ≥ {{italics correction|''f''}}(''x'')}} प्रत्येक के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|D}}. प्रोग्राम {{mvar|g}} आगे कार्यों के समुच्चय की ऊपरी सीमा कहा जाता है, यदि यह उस समुच्चय में प्रत्येक कार्य की ऊपरी सीमा है। | ||
फलन के समुच्चय के लिए निचली सीमा की धारणा को ≥ को ≤ से प्रतिस्थापित करके, अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। | |||
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एक अपर बाउंड को टाइट अपर बाउंड, [[सबसे कम]] अपर बाउंड या [[अंतिम]] कहा जाता है, | एक अपर बाउंड को टाइट अपर बाउंड, [[सबसे कम|सुप्रीम]] अपर बाउंड या [[अंतिम]] कहा जाता है, यदि कोई छोटा मान अपर बाउंड नहीं है। इसी तरह, निचली सीमा को टाइट निचली सीमा, सबसे बड़ी निचली सीमा, या कम सीमा कहा जाता है, यदि कोई बड़ा मूल्य निचली सीमा नहीं है। | ||
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एक पूर्व-आदेशित समुच्चय {{math|(''K'', ≤)}} के उपसमुच्चय {{mvar|S}} की ऊपरी सीमा {{mvar|u}} को {{mvar|S}} के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमा कहा जाता है यदि {{mvar|K}} का प्रत्येक अवयव जिसे {{mvar|u}} द्वारा सख्ती से प्रमुख किया जाता है, उसे {{mvar|S}} के कुछ अवयव द्वारा भी प्रमुख बनाया जाता है। [[रैखिक क्रम]] के कम किए गए उत्पादों की स्पष्ट ऊपरी सीमा पीसीएफ सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।<ref>{{Cite web|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168007298000116|title=Exact upper bounds and their uses in set theory|last=Kojman|first=Menachem}}</ref> | |||
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* अनंत और सुप्रीम | |||
* [[सबसे बड़ा तत्व और सबसे छोटा तत्व]] | * [[अधिकतम और न्यूनतम तत्व|अधिकतम और न्यूनतम अवयव]] | ||
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Latest revision as of 10:24, 4 August 2023
गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, कुछ पूर्व-क्रमित समुच्चय (K, ≤) के उपसमुच्चय S का एक ऊपरी सीमा या प्रमुख [1] K का एक अवयव है जो S के प्रत्येक अवयव से बड़ा या उसके समान है।[2][3] दोहरी रूप से, S की एक निचली सीमा या अल्पांश को K के एक अवयव के रूप में परिभाषित किया जाता है जो S के प्रत्येक अवयव से कम या उसके समान होता है। ऊपरी (क्रमशः, निचली) सीमा वाले एक समुच्चय को ऊपर से घिरा हुआ या उस सीमा द्वारा प्रमुखीकृत [1] (क्रमशः नीचे से घिरा हुआ या लघुकृत) कहा जाता है। ऊपर परिबद्ध (नीचे परिबद्ध) शब्दों का उपयोग गणितीय साहित्य में उन समुच्चयों के लिए भी किया जाता है जिनकी सीमा ऊपरी (क्रमशः निचली) होती है।[4]
उदाहरण
उदाहरण के लिए, 5 समुच्चय S = {5, 8, 42, 34, 13934} (पूर्णांकों या वास्तविक संख्याओं आदि के उपसमुच्चय के रूप में) के लिए निचली सीमा है, और इसी प्रकार 4 भी है। दूसरी ओर, 6, S के लिए निचली सीमा नहीं है क्योंकि यह S के प्रत्येक अवयव से छोटा नहीं है।
समुच्चय S = {42} है 42 ऊपरी सीमा और निचली सीमा दोनों के रूप में; अन्य सभी संख्याएँ या तो उस S के लिए ऊपरी सीमा या निचली सीमा हैं .
प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक उपसमुच्चय की निचली सीमा होती है क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं में कम से कम अवयव (0 या 1, सम्मेलन के आधार पर) होता है। प्राकृतिक संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय ऊपर से परिबद्ध नहीं किया जा सकता है। पूर्णांक का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध या ऊपर से परिबद्ध हो सकता है, किन्तु दोनों नहीं है। परिमेय संख्याओं का अनंत उपसमुच्चय नीचे से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी, और ऊपर से परिबद्ध हो भी सकता है और नहीं भी है।
एक गैर-रिक्त पूरी तरह से ऑर्डर किया गया समुच्चय के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय में ऊपरी और निचली दोनों सीमाएँ होती हैं।
कार्यों की सीमा
परिभाषाओं को फलन (गणित) और यहां तक कि कार्यों के समुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
डोमेन D के साथ एक फलन f और कोडोमेन के रूप में एक पूर्व-आदेशित समुच्चय (K, ≤) को देखते हुए, K का एक अवयव y, f की ऊपरी सीमा है यदि D में प्रत्येक x के लिए y ≥ f(x) है। यदि समानता x के कम से कम एक मान के लिए है तो ऊपरी सीमा को तीव्र कहा जाता है। यह इंगित करता है कि बाधा इष्टतम है, और इस प्रकार असमानता को अमान्य किए बिना इसे और कम नहीं किया जा सकता है।
इसी प्रकार, फलन g डोमेन पर परिभाषित D और समान कोडोमेन है (K, ≤) की ऊपरी सीमा f है ,यदि g(x) ≥ f(x) प्रत्येक के लिए x में D. प्रोग्राम g आगे कार्यों के समुच्चय की ऊपरी सीमा कहा जाता है, यदि यह उस समुच्चय में प्रत्येक कार्य की ऊपरी सीमा है।
फलन के समुच्चय के लिए निचली सीमा की धारणा को ≥ को ≤ से प्रतिस्थापित करके, अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है।
टाइट सीमा
एक अपर बाउंड को टाइट अपर बाउंड, सुप्रीम अपर बाउंड या अंतिम कहा जाता है, यदि कोई छोटा मान अपर बाउंड नहीं है। इसी तरह, निचली सीमा को टाइट निचली सीमा, सबसे बड़ी निचली सीमा, या कम सीमा कहा जाता है, यदि कोई बड़ा मूल्य निचली सीमा नहीं है।
स्पष्ट ऊपरी सीमा
एक पूर्व-आदेशित समुच्चय (K, ≤) के उपसमुच्चय S की ऊपरी सीमा u को S के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमा कहा जाता है यदि K का प्रत्येक अवयव जिसे u द्वारा सख्ती से प्रमुख किया जाता है, उसे S के कुछ अवयव द्वारा भी प्रमुख बनाया जाता है। रैखिक क्रम के कम किए गए उत्पादों की स्पष्ट ऊपरी सीमा पीसीएफ सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।[5]
यह भी देखें
- सबसे बड़ा अवयव और सबसे छोटा अवयव
- अनंत और सुप्रीम
- अधिकतम और न्यूनतम अवयव
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. p. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- ↑ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1991). Algebra. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 145. ISBN 0-8218-1646-2.
- ↑ "Upper Bound Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Upper Bound". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-03.
- ↑ Kojman, Menachem. "Exact upper bounds and their uses in set theory".
